Содержание к диссертации
Введение
1 Фуксовы системы и обобщенные ураввевия Книжника-Замолодчикова 35
1.1 Конфигурации гиперплоскостей и фуксовы системы на С. Интегрируемость фуксовых систем 36
1.2 Монодромия многомерных фуксовых систем. Проблема Римана-Гильберта 51
1.3 Многомерная теория Лаппо-Данилевского 54
1.4 Метод Лапдо-Данилевского и пересечение радикалов элементов нижнего центрального ряда некоторых фундаментальных групп 78
1.5 Коксетеровские и комплексные группы отражений. Обобщенные уравнения Книжника-Замолодчикова 82
1.6 Голономия обобщенных КЗ уравнений с формальными коэффициентами. Ассоциаторы Дринфельда 87
2 Монодромия фуксовых R-систем с коэффициентами ранга один 96
2.1 Билинейные и эрмитовы формы на С1, ассоциированные с конфигурациями векторов в С 98
2.2 Условие Веселова и интегрируемые Д-системы 107
2.3 Монодромия Д-связностей Веселова-Коно-Чередника для вещественных систем корней 112
2.4 Монодромия Я-связностей для комплексных систем корней 116
2.5 Интегрируемые Д-системы и специальные решения уравнений ассоциативности 127
3 Теорема Дринфельда-Коно для КЗ уравнений коксетеровских типов В 130
3.1 Теория Дринфельда-Коно для КЗ уравнений типа А 131
3.2 Введение в теорию Дринфельда-Коно типа Вп 142
3.3 Сплетенные квази-биалгебры коксетеровского типа Вп и обобщение теоремы Дринфельда-Коно 153
3.4 Теоремы жесткости и доказательство Вп-аналога теоремы Дринфельда-Коно 159
4 Обобщенные КЗ операторы и операторы Шредингера с потенциалами Калоджеро-Мозера 169
4.1 Обобщенные уравнения Книжника-Замолодчикова и операторы Калоджеро 170
4.2 Отображение Веселова-Мацуо-Чередника 173
4.3 Обобщенная формула восстановления Веселова-Фельдера 178
4.4 Канонические формы и универрсальные операторы Лапласа . 182
4.5 Универсальные операторы Дункла и универсальные гамильтонианы. Многообразия Бете-Дункла 187
4.6 Об изоморфизме универсальных моделей Калоджеро во внешнем поле осциллятора и универсальных моделей Сазерленда 195
5 Уравнения Книжника-Замолодчикова и изомонодромные деформации 197
5.1 Деформации Книжника-Замолодчикова и их редукция к нормализованным деформациям Шлезингера 197
5.2 Уравнения Шлезингера и аналитические свойства их решений 203
5.3 Характеризация KZn решений уравнений Шлезингера 207
Выводы
Заключение
- Метод Лапдо-Данилевского и пересечение радикалов элементов нижнего центрального ряда некоторых фундаментальных групп
- Монодромия Д-связностей Веселова-Коно-Чередника для вещественных систем корней
- Сплетенные квази-биалгебры коксетеровского типа Вп и обобщение теоремы Дринфельда-Коно
- Универсальные операторы Дункла и универсальные гамильтонианы. Многообразия Бете-Дункла
Введение к работе
Актуальность темы
Работа посвящена интегрируемым линейным мероморфным пфаффовым системам на многомерных комплексных многообразиях. Эти системы записываются в виде:
где мероморфная матричная дифференциальная 1-форма П удовлетворяет условию интегрируемости Фробениуса dfl — ІЇ Л Я и имеет полюса на некоторой конечной конфигурации комплексных гиперповерхностей (дивизор особенностей) в комплексном многообразии. Если полюса у системы первого порядка, то такие системы называют фуксовыми. Их активное исследование началось в конце шестидесятых годов XX века.
В работе, в основном, исследуются фуксовы системы на комплексных линейных пространствах С", которые имеют полюса на конечных конфигурациях гиперплоскостей и постоянные коэффициенты. А именно, эти системы записываются в следующем виде
где функция Ф(г) принимает значения в некотором комплексном линейном пространстве О*, р > 2, tj - постоянные матрицы размера р х р, стандартно действующие на О", a otj(z) линейные функции на С". Такие системы названы в дисссертации системами Жерара-Левелл. В случае систем Жерара-Левеля условие интегрируемости Фробениуса принимает вид Я ЛИ = 0, так как ясно, что дифференциальная 1-форма Q замкнута. Это условие равносильно следующей системе коммутационных соотношений на матрицы tj :
[*<,>] = о, 4i<=J,4J,
где J максимальный набор индексов, для которого гиперплоскости Hi, = {z Є C*\ak(z) = 0}, Л Є J пересекаются по плоскости комплексной коразмерности два. Отметим, что дивизор особенностей рассматриваемых систем
гас нлциенл.а., а
ее о»
(то есть, конфигурация гиперплоскостей), в общем случае, не удовлетворяет условию нормальности пересечений (или, в другой терминологии, трансверсальности) codim Я,-, Г) Я^ П... Г) Я,-, = к для всех наборов 1 < ji < jt < < jk < N. Иначе, в случае нормальных пересечений, как следует из указанных соотношений на коэффициенты tj, любые два коэффициента tj системы Жерара-Левеля обязаны коммутировать между собой, и можно в явном виде выписать фундаментальную систему решений системы, и все задачи, формулируемые ниже, легко решаются. Для любой интегрируемой системы Жерара-Левеля (как, впрочем, и для любой интегрируемой фуксовой системы), с помощью аналитического продолжения её решений, определяется линейное представление фундаментальной группы дополнения к дивизору
Особенностей Н= \J Hj
J=l
*i{C\H,xo)-*GHp, С).
Это представление называется представлением монодромии системы или просто монодромией системы.
Фундаментальное значение систем Жерара-Левеля выявлено во многих областях математики и математической физики. Укажем некоторые из них.
Специальные функции многих комплексных переменных, введенные ещё в конце XIX веке в работах П.Аппеля, Я.Горна, Э.Пикара, Дж.Лауричелла, и являющиеся аналогами классических гипергеометрических функций одного переменного, удовлетворяют дифференциальным уравнениям в частных производных с полиномиальными коэффициентами, приводимым к линейным мероморфным пфаффовым системам, а некоторые из них приводятся к системам Жерара-Левеля.
В работах Н.И.Лобачевского и Л.Шлефли по объемам неевклидовых многогранников появились функции многих комплексных переменных, которые, как было установлено значительно позже японским математиком Аомото, удовлетворяют дифференциальным уравнениям, также приводимым к системам Жерара-Левеля.
Особое стимулирующее влияние на развитие теории многомерных специальных фуксовых систем оказало то обстоятельство, что некоторые фейн-
мановские интегралы, рассматриваемые в методе теории возмущений квантовой теории поля, являются функциями многих комплексных переменных, удовлетворяющих системам дифференциальных уравнений в частных производных, приводимым к такого рода системам. А также открытие, сделанное В.А.Книжником и А.Б.Замолодчиковым в 1984 году, которое показало, что аналитические корреляционные функции двумерной конформной теории поля являются решениями фуксовых систем, инвариантных относительно действия симметрической группы . Эти системы позже стали называть уравнениями Книжника-Замолодчикова (КЗ уравнения). В конструкцию КЗ уравнений входит алгебра Ли g симметрии исходной физической теории и представления этой алгебры Ли.
Так как КЗ уравнения и их различные обобщения и модификации являются основными объектами рассмотрения в нашей работе, мы сразу более подробно охарактеризуем их.
Первоначальные КЗ уравнения определяются следующими данными. Пусть Vi ,V2,... ,Vn набор представлений простой комплексной алгебры Ли д и h Є С - комплексный параметр. Рассмотрим тензор Белавина-Дринфельда t — So=TiP *о *а , где ta, a = 1,2,..., dimg — ортонормальный базис в алгебре Ли 0 относительно формы Киллинга. По тензору t определим операторы U} = t$, действующие в тензорном произведении Vi Vi Vn по правилу: каждое слагаемое ta ta действует на і-том и j-том сомножителях в тензорном произведении Vi Vi х V^, как ta , а на других сомножителях тождественно, затем результаты действия слагаемых ta ta суммируем относительно индекса а. Как показали В.А.Книжник и А.Б.Замолодчиков, п-точечные корреляционные функции Ф«(гі,... , гп) = {Фі(гі)фг(гг)... фп(гп)) со значениями в Vi Vi Vn для голоморфных примарных полей фі,ф2,...фп конформной теории поля удовлетворяют следующей системе уравнений:
Операторы tl} удовлетворяют коммутационным соотношениям
[*«,«ы] = 0, {»,ЛП<*''> = 0 [ А.А.Болибруха ; на семинаре по алгебраической топологии и ее приложе- ниям под руководством профессора;М.М.Постникова | в МГУ им. М.В.Ломо- носова, на семинаре по динамическим системам и эргодическои теории под руководством профессора А.М.Степина в МГУ им. М.В.Ломоносова, на семинаре по теории представлений в Независимом университете, иа научном семинаре по математике под руководством профессора В.А.Голубевой в Коломенском государственном педагогическом институте. Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[17] Структура и объем диссертации Такие же уравнения появляются в трехмерной квантовой теории поля, отвечающей классическому действию Черна-Саймонса, как уравнения на корреляционные функции для линий Вильсона [49]. Отметим, что КЗ уравнения входят в класс систем Жерараа-Левеля. А.Мацуо и И.В.Чередник обнаружили связь КЗ операторов V = щ- {У, :) и ихсобственных функций с интегралами и собственными состояниями спиновых квантовых моделей Калоджеро-Мозера [39, 76]. В 1999 году А.П.Веселов показал [88], что условия интегрируемости некоторых обобщенных КЗ уравнений равносильны обобщенным уравнениям Виттена-Дийкграфа-Верлинда-Верлинда ( называемых также уравнениями ассоциативности), которые выражают условия ассоциативности умножения примарных полей в некоторых топологических (то есь независящих от метрики основного пространства) теориях поля. Были найдены приложения монодромии систем Жерара-Левеля к теории квантовых вычислений [52]. При геометрической трактовке коэффициентов tij КЗ уравнений как хордовых диаграмм, эти уравнения используются в теории инвариантов конечного порядка, для доказательства существования универсального инварианта Васильева-Концевича узлов и зацеплений [70]. Систематическое изучение многомерных регулярных и фук-совых систем, когда дивизор особенностей имеет нормальные пересечения, началось в работах Р.Жерара, А.Х.М.Левеля, П.Де-линя, К.Аомото, А.А.Болибруха и В.А.Голубевой более 30 лет - назад ( [50, 51],[46], [33], [2, 3], [12]). Первоначально, большинство общих задач теории линейных мероморфных пфаффовых систем со многими переменными ставились по аналогии с задачами классической аналитической теории систем дифференциальных уравнений с одной переменной. Первой среди таких задач традиционно рассматривается задача о поведении решения при подходе к особой точке системы и представлении решения в окрестности особой точки ( [2], [89], [51]). В частности, рассматривается задача о вычислении локальной монодромии системы при обходе заданной точки дивизора особенностей. Затем, в соответствии с типом поведения решений системы, выделяют класс регулярных систем (степенной рост решений в особых точках), и расматривается класс фуксовых систем, выделяемых требованием на 1-форму системы (логарифмические полюса). Изучается взаимоотношение между этими классами (в классическом случае все фуксовы системы являются регулярными). По локальным свойствам решений фуксовых систем проверяется достаточность выявленных локальных свойств решений для характеризации фуксовых систем (критерии фуксовости). Исчерпывающая локальной теории многомерных регулярных и фуксовых систем, имеющих дивизоры особенностей с нормальными пересечениями, была построена в работах Р.Жерара, П.Делиня и А.А.Болибруха [3, 46, 50]. Были развиты категорные варианты этой теории, в контексте категории пучков аналитических -модулей, которые продолжают активно развиваться в работах французских и японских математиков. Следущий комплекс задач связан с глобальными аспектами теории линейных мероморфных систем: а именно, с описанием представления монодромии фундаментальной группы дополнения к дивизору особенностей фуксовой системы и глобальными критериями фуксовости. Для компактных кэлеровых многообразий и дивизоров с нормальными пересечениями глобальные критерии фуксовости были сформулированы А.А.Болибрухом в середине 70-х годов прошлого века [3]. Естественным является вопрос о том, насколько полно представление монодромии определяет фуксову систему. Часть поставленного вопроса: любое ли линейное представление фундаментальной группы дополнения к заданному дивизору будет представлением монодромии некоторой фуксовой системы,для которой заданный дивизор есть дивизор особенностей, является многомерным вариантом известной проблемы Римана-Гильберта в теории фуксовых систем на сфере Римана. Наибольшие успехи в решении многомерной проблемы Ри мана-Гильберта были достигнуты для многомерных фуксовых систем, имеющих дивизоры особенностей с нормальными пересечениями. Р.Жерар доказал разрешимость многомерной проблемы Римана-Гильберта на стягиваемом многообразии Штейна. Для дивизоров с нормальными перечениями на неособых алгебраических многообразиях П.Делинь и О.Сузуки решили проблему, но с допущением дополнительных "ложных" особенностей [46, 80]. М.Кита решил проблему РГ без "ложных" особенностей для двумерных многообразий Штейна и произвольного дивизора [63], однако требовалось, чтобы вторые гомологии многообразия Штейна обращались в нуль (для С2 это условие, конечно, выполняется), но структура формы системы, в окрестностях тех особых точек дивизора особенностей, которые не являются нормальными пересечениями, не была исследована. В этой главе мы изложим необходимые сведения о фуксовых системах на С", дивизорами особенностей которых являются конечные конфигурации гиперплоскостей в С". Среди фуксовых систем мы выделяем класс систем, имеющих постоянные коэффициенты. Такие системы мы называем системами Жерара-Левеля, и рассматриваем более специальный класс таких систем, каждый представитель которого инвариантен при действии группы, порожденной отражениями относительно гиперплоскостей дивизора особенностей этого представителя. В главе изложены некоторые общие результаты о системах Жерара-Левеля. К ним относятся: условия интегрируемости систем Жерара-Левеля; связь условий интегрируемости этих систем с соотношениями в фундаментальной группе дополнения к дивизору особенностей; многомерная теория Лаппо-Данилевского, а также следующие результаты: приложение метода Л аппо-Дани леве кого к разрешимости проблемы Римана-Гильберта для аналитических семейств представлений и "малых" представлений фундаментальной груп пы дополнения, к заданному набору гиперплоскостей; отсутствие алгебраического препятствия, которое равно пересечению радикалов членов нижнего центрального ряда фундаментальной группы дополнения к заданному набору гиперплоскостей, для разрешимости проблемы Римана-Гильберта с заданным произвольным представлением, при наличиии точных "малых" представлений фундаментальной группы; описание монодромии фор-мальых уравнений Книжника-Замолодчикова, отвечающих корневой системе типа В. Пусть % = {Hi,... ,Я#} - произвольная конфигурация гиперплоскостей в комплексном аффинном пространстве С", и а\,... , а — линейные функции на С", определяющие гиперплоскости из этой конфигурации. То есть Щ = {z Є С" \cti(z) = 0, і = 1,... , N]. Для краткости мы будем обозначать той же буквой % и объединение UfLiHi гиперплоскостей конфигурации %, Фуксовы системы на С" с особенностями на конфигурации гиперплоскостей % — это мероморфные линейные пфаффовы системы где Ф — аналитические функции на С" со значением в конечномерном векторном пространстве У, а О мероморфная оператор-нозначная 1-форма П Є По (logН} 8 End(V) с не более, чем логарифмическими полюсами на конфигурации Ті. Последнее означает, что локально, в достаточно малой окрестности D(ZQ) любой точки ZQ Є Н С С\ форма О имеет вид где а ,... ,0 —линейные функции, задающие все гиперплоскости конфигурации Н, которые проходят через точку ZQ Є %, tik (z) — голоморфные операторнозначные функции в D(ZQ) , QQ — голоморфная 1-форма в D(ZQ). Форма П называется формой фук-совой системы. Фуксову систему можно трактовать как уравнение горизонтальных сечений мероморфной связности в тривиальном расслоении С" х V, с формой связности П. Общее определение фуксовых систем на комплексных многообразиях можно найти в работе [50], а его уточнение в [2], [3]. Эти системы появляются в работе Делиня [46] в контексте связностей с не более, чем логарифмическими полюсами в голоморфных расслоениях над комплексными многообразиями, но как самостоятельный класс там не выделяются и не изучаются. Мы будем, в основном, рассматривать следующий специальный класс фуксовых систем на С", Эти системы допускают продолжение до фуксовых систем на проективном пространстве СРП Э С71, и любая специальная фук-сова система на С", получается ограничением из фуксовой системы на СРП. Впервые такой класс специальных фуксовых систем был выделен и изучался Жераром и Левелем в работе [51]. В работе [43], в случае, когда коэффициенты формальные переменные и «j — линейные формы, специальные фуксовы системы назывались уравнениями голономии. Введенный класс фуксовых систем (с операторными или формальными коэффициентами), мы назовем системами Жерара-Левеля, а формы этих систем QCL назовем формами Жерара-Левеля. Нижние индексы в обозначении формы системы указывают на это название. Условие интегрируемости Фробениуса для произвольной фук-совой системы имеет вид d&l = П Л П. Для систем Жерара-Левеля, форма П ?1, очевидно, является замкнутой формой, и потому, условие Фробениуса имеет вид Как доказано в [33], [51], последнее условие равносильно системе некоторых коммутационных соотношений на коэффициенты ti , В этих работах также были приведены примеры вычисления явного вида коммутационных соотношений для систем Жерара-Левеля с особенностями на простых конфигурациях прямых в двумерном пространстве С2. Обобщая эти результаты, в работе [8] был найден явный вид коммутационных соотношений для систем Жерара-Левеля с особенностями на произвольных конфигурациях % гиперплоскостей в С". С помощью алгебро-геометрических рассуждений было доказано, что условия интегрируемости системы Жерара-Левеля равносильно следующей системе коммутационных соотношений где каждый набор индексов «/ таков, что Щ, і Є J образуют максимальный набор гиперплоскостей исходной конфигурации % = {НІ, і = 1,... ,iV}, пересечение гиперплоскостей которого есть некоторая плоскость коразмерности два. Наборы «Д,..., Ji исчерпывают все возможные максимальные наборы с указанным свойством. Доказательство. Рассмотрим интегралы J GL A QGL ОТ замкнутой дифференциальной 2-формы QgL A Q,GL по двумерным циклам а (напомним, что форма QQL имеет, в общем случае, некоммутирующие между собой операторные коэффициенты из End V и потому ее внешнее произведение с собой не обязательно равно нулю). Разложим форму QQL A QGL В сумму 2-форм где Jk С {1,... ,N}, к = 1,... j все подмножества индексов, для которых конфигурации %jk {НІ, г 6 Л} являются максимальными наборами гиперплоскостей содержащими некоторую плоскость коразмерности 2, то есть все плоскости из конфигурации Hjk пересекаются по этой плоскости. Формы Qjk имеют вид Qjk = YljeJk a(z) ФРМЫ Л и Л А л являются замкнутыми формами на дополнении Xjh = С \ UjejkHj э Хп(%) и представляют некоторые одномерный и двухмерный классы ко-гомологий. Брискорн показал ( [6], лемма 3), что для 2-мерных когомологий дополнения Xn{%) имеет место разложение в прямую сумму Из разложений 1.10 и 1,11 следует, что замкнутая 2-форма QGL А CIGL представляет нулевой класс когомологий (то есть является точной) в H2(Xn(W.),EndV), тогда и только тогда, когда замкнутые 2-формы QJk Aljk, к = 1,... , представляют нулевые классы когомологий в H2(XjkiEndV), к = 1,... t. Лемма 5 в [6] утверждает, что кольцо когомологий H {Xjh71i) изоморфно подкольцу в алгебре диференциальных форм на Xjk, порожденному формами ujj = —Щ-, j Є Jk и 1 над кольцом целых чисел (это утверждение конечно также верно, если рассматривать когомологий и под кольцо форм с коэффициентами из С). Из этой леммы следует, что формы Ujk Afljfc, к — 1,... , точны, тогда и только тогда, когда они равны нулю. Из разложений 1.10 и 1.11 следует, что аналогичное утверждение верно и для формы QGL A QGL- Итак, форма QQL A UQL равна нулю, тогда и только тогда, когда каждая форма Qjk Л Ujki к = 1,... } является точной формой. Из тривиальности расслоения Хопфа над проколотой сферой Римана следует, что дополнение С2\игЄ(/Ьї диффеоморфно С х Y (см. [4]), где L(, і Є J — прямые проходящие через начало координат в С2, С = С \ {0}, Y - сфера Римана с 7 проколами (\J\ — число элементов во множестве индексов J). Нетрудно видеть, что существует диффеоморфизм XJk — С"-2 X (С2 \ieJk Li) — С х У, где У сфера Римана с \Jk\ проколами. Указанный диффеоморфизм влечет, что фундаментальная группа Xjk изоморфна прямому произведению свободной циклической группы и свободной группы с числом образующих равным j Jk\ — 1. Другие гомотопические группы равны нулю. Поэтому каждое пространство Xjk является пространством Эйленберга-Маклейна АГ(тгі,1). Следовательно, в силу следствия из теоремы Хопфа, получаем #2pOfc, Z) — H2(7ri(Xjk, Z). Для точности формы Qjk Л Qjk необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю интегралы Jff ljk AQjk = 0 по циклам ат S #2 0 , Z), т = 1,.., , т, которые являются образами ат = 0(гт) некоторой системы образу ющихп,... ,га в Rn[F,F\/[R,F\=H2(XJk,Z) - H2{Ki{XJh),Z) (напомним, что эти изоморфизмы были определены выше в более общем случае). Для каждого пространства XJk возьмем циклы, которые отвечают системе порождающих соотношений коммутаторного типа в фундаментального группе этого пространства. Из описания фундаментальной группы пространства Xjk следует, что все порождающие соотношения в ней можно выбрать коммутаторного типа. Опишем подробнее выбор образующих и соотношений в фундаментальной группе iri(Xjk7xo). Возьмем комплекснную прямую, пересекающую каждую гиперплоскость Щ, г Є Л в одной точке. Возьмем образующую 7» фундаментальной группы 7Ti(Xjk, #о), которая определяется окружностью, обходящей эту точку пересечения с гиперплоскостью по границе малого круга на прямой, трансверсального к этой гиперплоскости, и некоторой фиксированной кривой без самопересечений, лежащей на выбранной прямой, соединяющей окружность с отмеченной точкой хо, также лежащей на выбранной прямой. Траектория петли 7г представляющая образующую 7», состоит в прохождении фиксированной кривой, начиная с XQ, затем обход по окружности и возвращение в XQ опять по фиксированной кривой. Направление обхода по окружности выбирается таким образом, чтобы f Qj. = 2iritm. Порождающие соотношения fm = 1, где fm [7тіПІ=і7ї ]) представлены коммутаторами между каждой образующей 7т с произведением всех образующих ПІ-1 Ъг взятых в подходящем порядке. Воспользуемся теперь теоремой Стокса для 2-итерированных интегралов Чена (определение итерированных интегралов Чена от дифференциальных 1-форм и некоторые свойства приведены в разделе 3 данной главы). Общее определение итерированных интегралов и их свойства можно найти в работах [36], [37], [24], [30], [59]. В этом разделе для фуксовых систем Жерара-Левеля (1.1) на С" с особенностями на конечной конфигурации гиперплоскостей ті = {Hi,... Ндг} мы определим представление монодромии. Это представление есть представление фундаментальной группы дополнения Хп(гі) = С" \ Н в группу автоморфизмов векторного пространства V, на котором действуют коэффициенты фуксовой системы (1.1). Возможен другой вариант определения, когда значения представления монодромии являются обратимыми элементами алгебры (или ее пополнения), где лежат коэффициенты системы. Пусть 7 : [0,1] — Хп(г1) произвольный кусочно-гладкий замкнутый путь (то есть петля) (7(0) = 7(1) — го) в дополнении Хп. Возьмем в Хп{%) покрытие этого пути достаточно малыми открытыми полидисками D\,... , DM, DM+I = i со связными и односвязными попарными пересечениями. Полагаем, что в каждом полидиске выбрана отмеченная точка р;, расположенная на траектории пути, и нумерация полидисков согласована с нумерацией этих точек, которая определяется ростом параметра вдоль пути, то есть, если pi = 7(ri) и Pj — l{Ti)- то г j, при ТІ TJ ( хотя, геометрически, возможны возвращения на траектории пути -у([0,1]))- Выберем в векторном пространстве V базис и отождествим решения системы Жерара-Левеля 1.1 со столбцами, составленными из координат. Мы выбираем такие малые полидиски Di, і = 1,,,, ,М покрытия пути, чтобы в каждом полидиске Di существовала голоморфная и голоморфно обратимая фундаментальная матрица решений Фг(г) интегрируемой системы Жерара-Левеля (1.1) с некоторым начальным значением (обратимая матрица) в отмеченной точке pi [9]. В пересечении Di П А+ь в силу предположений о покрытии, фундаментальные матрицы решений связаны равенствами Фі(г) = 4?i+i(z)Gi, где G{ постоянная обратимая матрица. Рассмотрим оператор G{y) представленный произведением матриц G{y) = G1G2 ... GM- При достаточно малых деформациях пути 7 (в компактно-открытой топологии в пространстве замкнутых путей с фиксированным началом) полидиски покрытия пути и фундаментальные матрицы решений можно оставить без изменений и, следовательно, матрица G(-y) не изменится. Из этого следует, что G{y) зависит лишь от гомотопического класса [7] петли 7 и является мультипликативным относительно произведения петель. Сопоставление [7] определяет представление фундаментальной группы тгі(Хп(Н),ZQ) Представление paGL называется представлением монодромии системы Жерара-Левеля 1.1. или просто монодромией фуксовой системы. Образ фундаментальной группы GnGL = РПаЛ ХпСН))) С Aut(V) называется группой монодромии системы Жерара-Левеля. Заметим, что достаточно выбрать фундаментальную матрицу решений лишь в Di, а затем говорить об аналитическом продолжении этой матрицы в другие полидиски, то есть так выбирать фундаметальные матрицы решений ФДг), чтобы все матрицы Gj при і М — 1 были равны единичной матрице. Тогда G(j) = GM И МЫ получаем обычное определение монодромии решений, которое используется в аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений для функций одного комплексного переменного. Далее, другой выбор покрытия полидисками и фундаментальных матриц решений приводит к эквивалентному представлению фундаментальной группы пространства Хп(Н), а группа монодромии заменяется на сопряженную подгруппу. Таким образом фуксова система (1.1) определяет лишь класс представлений (с точностью до эквивалентности представлений) фундаментальной группы пространства Xn(W), и группу монодромии с точностью до сопряженности. Имея это ввиду, мы тем не менее, в дальнейшем будем говорить о конкретных представлениях и группах монодромии и совпадении этих представлений и групп. Монодромия является важнейшей характеристикой системы Жерара-Левеля. Ниже, мы сформулируем задачу, которая объясняет роль монодромии в теории систем Жерара-Левеля. Более того, отметим, что задача описания представлений монодромии систем Жерара-Левеля (1.1), для различных коэффициентов ti этих систем, является одной из основных в работе и ей будут посвящены глава 1,2, III, и некоторые разделы главы 5. Определенние монодромии интегрируемых фуксовых систем, изложенное выше, с небольшими изменениями обобщается на незамкнутые пути. Получим преобразование параллельного переноса или голономии фуксовой системы вдоль пути. Это преобразование мультипликативно, если определено произведение соответствующих путей.Метод Лапдо-Данилевского и пересечение радикалов элементов нижнего центрального ряда некоторых фундаментальных групп
Монодромия Д-связностей Веселова-Коно-Чередника для вещественных систем корней
Сплетенные квази-биалгебры коксетеровского типа Вп и обобщение теоремы Дринфельда-Коно
Универсальные операторы Дункла и универсальные гамильтонианы. Многообразия Бете-Дункла
Похожие диссертации на Специальные классы многомерных фуксовых систем и их приложения
