Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Стационарные и нестационарные решения классической системы Власова-Максвелла 18
1. Введение в математическую теорию кинетических уравнений 18
1.1. Характеристическая система 18
1.2. Системы Власова-Максвелла и Власова-Пуассона 23
1.3. Слабые решения систем Власова-Пуассона и Власов а-Максвелла 25
1.4. Классические решения систем Власова-Пуассона и Власова-Максвелла 27
1.5. Кинетические уравнения моделирования полупроводников 27
2. Стационарные решения системы Власова-Максвелла 30
2.1. Редукция задачи (2.1)-(2.5) к системе нелинейных эллиптических уравнений 31
2.2. Редукция системы (2.28), (2.29) к одному уравнению 36
3. Существование решений краевой задачи (2.40)-(2.42) 40
4. Приложения теорем 2.2 и 2.3 48
5. Существование решений нелокальной краевой задачи (2.40), (2.42) 62
6. Нестационарные решения системы Власов а-Максвелла 67
6.1. Редукция системы Власова-Максвелл а к нелинейному волновому уравнению 67
6.2. Существование нестационарных решений системы Власова-Максвелл а в ограниченной области 75
ГЛАВА II. Бифуркация стационарных решений системы Власова-Максвелла 80
1. Введение gQ
2. Бифуркация нелинейных уравнений в банаховых пространствах 84
3. Постановка краевой задачи и задачи о точке бифуркации системы (3.8) 93
4. Вывод уравнения разветвления 107
5. Теорема существования точек бифуркации и построение асимптотических решений ПО
6. О точках бифуркации стационарной системы Власова-Максвелла с бифуркационным направлением 119
ГЛАВА III. Положительные решения нелинейной сингулярной краевой задачи магнитной изоляции 124
1. Введение 124
2. Постановка задачи и вывод системы (I) 126
3. Слабые магнитные поля Bcxt < Вн 131
4. Магнитно изолирующий диод 134
5. Геометрические эффекты 138
6. Существование полутривиальных решений задачи (I) 140
7. Существование решений системы (I) 148
ГЛАВА IV. Численное моделирование магнитно изолирующего диода 151
1. Введение 151
1.1. Описание вакуумного диода 152
1.2. Описание математической модели 155
2. Траектория решения, нижние-верхние решения 157
2.1. Анализ найденных нижних-верхних решений предельной задачи 157
2.2. Первая гипотеза нижнего решения 158
2,3. Вторая гипотеза о нижнем решении 161
3. Численные методы 164
3.1. Формальный анализ предельной задачи 164
3.2. Метод Гира и проблема численной чувствительности 166
3.3. Постановка преобразованной задачи 168
4. Численное моделирование 169
4.1. Стационарные решения 169
4.2. Бифуркационные решения 172
5. Выводы 177
ГЛАВА V Приближенные методы ортогонального разложения решения обобщенного уравнения Лиувилля 179
1. Введение 179
2. Постановка основной задачи 181
3. Асимптотическое разложение в пространстве малого времени 184
4. Предварительный анализ 188
5. Разложение по полиномам Эрмита 191
6. Разложение по функциям Эрмита 194
7. Асимптотическая трактовка уравнения Камассы-Хольма 200
8. Анализ уравнения Камассы-Хольма размерности два 204
9. Численное моделирование и графическое изображение 207
9.1. Открытая траектория без потенциальных сил 207
9.2. Открытая траектория с учетом непотеициальных сил 208
9.3. Замкнутые траектории с учетом непотенциальных сил 210
9.4. Замкнутые траектории без потенциальных сил 211
Заключение 223
Список литературы
- Слабые решения систем Власова-Пуассона и Власов а-Максвелла
- Постановка краевой задачи и задачи о точке бифуркации системы (3.8)
- Магнитно изолирующий диод
- Анализ найденных нижних-верхних решений предельной задачи
Введение к работе
В настоящее время исследование уравнения Власова ведется в двух различных направлениях. Первое связано с доказательством теорем существования задачи Коши на основе техники априорных оценок. Второе базируется на сведении исходной задачи к более простой посредством задания функции распределения (анзатц) и нахождения характеристик электромагнитных полей в явном виде. Такой подход обычно сужает задачу, так как функция распределения имеет специальную форму, но с другой стороны, позволяет решать задачу в явном виде, что важно для приложений. Постановка и изучение краевых задач для уравнения Власова являются очень сложными и в связи с этим рассматривались только в простейших случаях (см. Abdallach [55], Guo [106], Degond [85]). Редукция уравнения Власова к системе нелинейных эллиптических уравнений позволяет в некоторых случаях доказать разрешимость задачи, что трудно осуществить в исходной постановке.
Можно отметить, что существует связь между этими двумя направлениями на основе применения специальных конструкций для кинетических уравнений. Например, интеграл энергии используется как для получения энергетических оценок в теоремах существования, так и для построения функционалов Ляпунова и вириальных тождеств в анализе устойчивости и неустойчивости специальных классов решений уравнения Власова.
Три года назад ведущие специалисты Европы по кинетическим уравнениям (Германия, Франция, Италия, Швеция, Австрия, Испания) объединились для проведения совместных исследований в проекте "Асимптотические методы в кинетических уравнениях".
Приведем здесь краткий обзор новейших результатов, полученных международной группой математиков, которые непосредственно связаны с темой диссертации.
Бесстолкновительные кинетические модели (классические и релятивистские системы ВМ). Доказаны теоремы существования (и глобальной устойчивости) ренормализованных решений в ограниченных областях (задание следа на границе) (см. Mischler [131, 132]). Разработаны энтропийные методы в ограниченных областях для качественного изучения поведения глобальных решений системы ВП (Abdallah, Dolbeault [60]). Доказаны теоремы регулярности слабых решений на основе скалярных законов сохранения и усредняющих лемм (Jabin, Perthame [117])- Получены локальные теоремы существования слабых решений системы ВП в ограниченных областях (Jabin [118]). Построены новые кинетические модели с источником (Ambroso, Fleury, Lucquin-Desreux, Raviart [63]) для моделирования ионных пучков. Доказаны теоремы существования глобальных решений системы Власов а-Эйнштейна для случая гиперболической симметрии (Andreasson, Rein, Rendall [64]).
Квантовые модели (системы Вигнера-Пуассона (ВП) и Шре-дингера-Пуассона (ШП)). В работе Abdallah, Degond, Markowich [57] рассмотрен режим Чайлд-Ленгмюра для стационарного уравнения Шре-дингера. Авторы развивают полуклассический анализ для квантовых кинетических уравнений с переходом в пределе h — 0 к классическому уравнению Власова со специальными граничными условиями "перехода" от квантовой области к классической. Новые результаты были получены для систем Больцмана- Пуассона, Эйлера-Пуассона, В игнера-Пуассон а-Фоккера-Планка (существование и единственность решений, гидродинамические пределы, решения с минимальной энергией и свойства дисперсии.)
Смешанные квантово-классические кинетические системы. В работе Abdallah [58] для одномерного стационарного случая рассматриваются системы Власова-Шредингера (ВШ) и Больцмана-Шредингера. Нестационарная задача для системы ВШ с граничными условиями "перехода" от классической зоны (уравнение Власова) к квантовой (уравнение Шредингера) изучается в работе Abdallah., Degond, Gamba [59].
Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения (пятая глава), заключения и списка литературы. Нумерация формул, утверждений и теорем двухзначная в пределах каждой главы. В ссылках на формулы, утверждения и теоремы из других глав добавляется цифра, со отвєтствующая номеру главы, которая ставится в начале. В ссылках на формулы из введения добавляется цифра нуль, которая также ставится вначале.
Цель работы - изучить систему Власов а-Максвелла с учетом краевых условий и рассмотреть приложения, возникающие в моделировании полупроводников.
В главе I изучаются специальные классы стационарных и нестационарных решений системы Власова-Максвелла. Построение таких решений ведет к системам нелокальных полулинейных эллиптических уравнений с граничными условиями. На основе развития метода нижних-верхних решений получены теоремы существования решений класса полулинейных нелокальных эллиптических краевых задач при соответствующих ограничениях на функцию распределения. Показано, что при определенных условиях на потенциалы электромагнитного поля удовлетворяются краевые условия на электрическое и магнитное поля и условие зеркального отражения для функции распределения. Приводятся сравнение полученных результатов с результатами В.В.Веденяпина, J.Batt, P.Braasch, G.Rem, P.Degond, F.Poupaud и Y.Guo.
В главе II рассматривается задача бифуркации стационарных решений системы Власова-Максвелла, которая сводится к задаче бифуркации для полулинейной эллиптической системы. Последняя рассматривается как операторное уравнение в банаховом пространстве. На основе классического метода Ляпунова-Шмидта выведено уравнение разветвления и построена асимптотика нетривиальных ветвей решений. Важный момент состоит в том, что система эллиптических уравнений является потенциальной, что ведет к потенциальности уравнения разветвления (УР). На основе анализа уравнения разветвления получена теорема существования точек бифуркации и построена асимптотика нетривиальных ветвей искомых решений системы ВМ. Метод развивается на задачу бифуркации стационарных решений с бифуркационным направлением. Отметим, что задача о точке бифуркации в теории бесстолкновительной плазмы без учета магнитного поля изучалась Holloway [НО], Holloway, Doming [111], Hesse, Schindler [109]. По-видимому, задача о точке бифур кации в общей системе ВМ раннее не рассматривалась.
В III главе изучается стационарная самосогласованная задача магнитной изоляции для вакуумного диода при пространственно-зарядовом ограничении, описываемая сингулярно возмущенной (асимптотика Чайлд-Ленгмюра) системой Власова-Максвелла размерности 1.5. Рассматриваются два режима работы диода. Первый, когда электроны достигают анода - неизолирующий диод, и второй, когда электроны под действием магнитного поля возвращаются обратно к катоду - изолирующий диод. При этом возникает высокоэнергетический слой электронов вблизи катода, приводящий к задаче со свободной границей на потенциалы электромагнитного поля. Получены теоремы существования решений предельной задачи, описываемой сингулярной нелинейной краевой задачей. Развивается техника нижних-верхних решений для сингулярных систем без условий квазимонотонности.
В IV главе построены численные алгоритмы решения предельной задачи. Проведен анализ верхних-нижних решений, построенных в предыдущей главе, и показана их хорошая согласуемость с численными экспериментами. Так как система уравнений является сингулярной в начальной точке t = О и совпадает с определением жесткой системы ОДУ по Гиру, то мы рассматриваем комбинированный подход для решения краевой сингулярной задачи я оценки параметров. Показано, что в режиме, близкому к режиму "насыщения", решение становится неединственным, что ведет к явлению периодической бифуркации решений для гамильто-новых сингулярных систем.
Приложение (глава V) связано с темой работы, когда система ВМ записывается в гамильтоиовой форме с нелокальной функциональной скобкой Пуассона (Morrison [134]). До настоящего времени не понятно, каким образом использовать гамильтонов формализм для кинетических уравнений в реальных приложениях. Единственный способ - это аппроксимировать функциональную скобку Пуассона в системе ВМ конечномерной. В этом случае прослеживается прямая аналогия между уравнением Лиувилля и системой ВМ. Поэтому рассматриваемый материал по приближенным методам интегрирования уравнения Лиувилля для гамильтоновых интегрируемых и неинтегрируемых уравнении - это первый шаг в разработке приближенных методов решения гамильтоновой системы ВМ, например, на основе wavelet анализа.
Итак, в приложении рассматривается эффективный метод приближенного интегрирования задачи Коши для обобщенного уравнения Ли-увилля, основанный на разложении функции плотности распределения по ортогональной системе функций. Для решения данной проблемы разработан подход с использованием разложения по многочленам Эрмита и выведены оценки сходимости задачи Коши в среднем. Полученный результат является полностью применимым в современных математических пакетах с поддержкой символьно-аналитических вычислений.
Предложенный подход продемонстрирован на решении классического уравнения Лиувилля для гамильтонового уравнения Камассы-Хольма. Рассмотрено влияние диссипации (непотенциальных обобщенных сил) на решения классического уравнения Лиувилля. Показано, что данный метод обобщает приближенный метод решения классического и обобщенного уравнения Лиувилля для гауссовских пакетов.
Личный вклад автора. На защиту выносятся следующие основные результаты:
- метод построения решений для стационарной и нестационарной системы ВМ:
- теоремы существования решений нелокальных краевых задач для стационарной системы ВМ;
- теоремы существования решений нелокальной краевой задачи нестационарной системы ВМ;
- метод изучения бифуркационных решений стационарной системы ВМ;
- теоремы бифуркации решений краевой задачи стационарной системы ВМ;
- уравнение разветвления и построение асимптотики нетривиальных ветвей решений;
- постановка и исследование задачи магнитной изоляции для вакуумного диода, описываемой релятивистской системой ВМ размерности 1.5;
- теоремы существования решений сингулярной, краевой задачи магнит нои изоляции;
- метод ортогонального разложения решения обобщенного уравнения Л иу ви л ля;
- асимптотический анализ уравнения Камассы-Хольма.
Приведенные в диссертации результаты получены автором самостоятельно за исключением разделов 2 и 3 главы I и раздела 3 в приложении, которые получены совместно с Г.А.Рудых, опубликованы в работах (Рудых, Сидоров, Синицын [34, 35]; Markov, Rudykh, Sidorov, Sinitsyn, Tolstonogov [129]) и являются неразделимыми.
Отметим, что во многом круг исследуемых задач здесь был определен непосредственным сотрудничеством автора с Н.А.Сидоровым, Г.А.Рудых, Ю.А.Марковым, P.Degoiid, J.Batt, P.Markowich, G.Rein, G.Wolansky и Y.Guo.
Основные результаты диссертации опубликованы в статьях Синицын [46-48], Sinitsyn [153-155], Рудых, Сидоров, Синицын [33-36], Markov, Rudykh, Sidorov, Sinitsyn and Tolstonogov [129], Марков, Рудых, Сидоров, Синицын [20-21], Markov, Rudykh, Sidorov, Sinitsyn [130], Рудых, Синицын [37-38], Rudykh, Sinitsyn [143], Сидоров, Синицын [40-44], Sidorov, Sinitsyn [149-151], Rudykh, Dulov, Sinitsyn [143-145], Dulov, Sinitsyn [90, 91] и в монографии Sidorov, Loginov, Sinitsyn and Palale-ev [152].
Результаты диссертации докладывались на VI Всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск, 1986), Международном семинаре "Динамика нелинейных систем" (Иркутск, 1987), Международном семинаре "Nonlinear Equations in Many-Particle Systems" (C.Cercignani, J.Batt, 1993, Oberwolfach, Германия), Рабочем совещании "Fondements Mathematiques pour les Equations de Vlasov et de Boltzmann" (C.Bardos, 14-17 janivier, 1994, Ecole Normale Superieure, Париж, Франция), Международном конгрессе "Nonlinear Analysis and its Applications" (1-5 сентября, 1998, Москва), Первом Европейском Симпозиуме по прикладной кинетической теории (4-7 мая, 1998, Тулуза, Франция), Международном конгрессе ISIAM-99 (1999, Heriot University, Шот ландия), Международном семинаре "Nonlinear Equations of Many-Particle Systems" (C.Cercignani, J.Batt, 1999, Oberwolfach, Германия), Лаврентьев-ских чтениях по математике, механике и физике (18-22 сентября, 2000, Институт математики СО РАН, Новосибирск), Международном конгрессе "Nonlinear Dynamic Analysis" (NDA 2, 3-8 июня, 2002, Москва), Международной конференции "Analysis no Lineal у Metodos Aproximativos" (ХШ-ELAM, Julio 29 a Agosto 3 del 2002, Картахена, Колумбия).
Ряд важнейших результатов докладывался на семинаре кафедры математического анализа ИГУ (Н.А.Сидоров, Иркутск), семинаре по математической физике ИПМ им.М.В.Келдыша РАН (М.В.Масленников, В.В.Веденяпин, Москва), семинаре по кинетическим уравнениям Математического института Мюнхена (J.Batt, январь, 2000, Мюнхен, Германия), семинаре по математической физике Института фундаментальных исследований им.В.Паули (P.Markowich, июнь, 2000, Вена, Австрия), на семинарах по математическому моделированию университета Тулузы (P.Degond, 1998, 1999, 2001, 2003, МІР, Тулуза, Франция), на ежегодных конференциях "Ляпуновские чтения" ИДСТУ СО РАН (Иркутск).
Результаты диссертации используются в ИДСТУ СО РАН, Иркутском государственном университете, университете г.Тулузы (Франция); Математическом институте г.Мюнхена, Brown University (USA).
Автор работы благодарит всех коллег, принявших участие в обсуждениях и полезных дискуссиях. Автор признателен Е.В.Дулову за его помощь в проведении численных расчетов и общего оформления диссертации.
Слабые решения систем Власова-Пуассона и Власов а-Максвелла
Существование классических (гладких) решений системы ВП (1.31), (1.34) можно установить двумя способами. Первый способ (см. Batt [66], Horst [115], Rein [140]) состоит в редукции задачи и получении оценки убывания функции f(t,x,p) при \р\ — со. Второй заключается в непосредственном получении этого убывания (затухания), исходя из априорных оценок. Для реализации этой цели существуют два основных метода: метод P.Lions и Perthame, основанный на оценке дисперсии, и метод характеристик, развитый Pfaffelmoser [139]. Pfaffelmoser впервые доказал глобальную разрешимость задачи Копій для трехмерной системы ВП с произвольным начальным значением. Эти результаты были упрощены и улучшены Horst и Schaefter.
Для системы ВМ на настоящий момент ситуация следующая: первый шаг редукции был получен Glassey и Strauss [98], но оценки убывания по скорости р остаются открытой проблемой. Существование глобальных решений для системы ВМ размерности 2.5 (2 размерности по ж и 3 по р) было доказано Glassey и Scliaefter [101]. Существование глобальных классических решений системы ВМ размерности 3 остается открытой проблемой.
Отличительной особенностью математического анализа полупроводников является их связь с иерархией моделей переноса заряженных частиц в различных средах. Это объясняется тем, что процессы переноса имеют практический интерес для различных шкал длины и времени, порождаемых различными физическими эффектами. В частности, на очень малых шкалах, используемых в микроэлектронной технологии, важны квантовые и (или) кинетические эффекты.
Уравнение Больцмана для полупроводников моделирует течение заряженных электронов в полупроводниковых кристаллах. Оно описывает эволюцию функции распределения / = f(x,k,t) в фазовом пространстве. Здесь х є Ж3 - переменная состояния, к Є В - волновой вектор, В означает зону Брюллена, связанную с соответствующей кристаллической цепочкой. Полуклассическое уравнение Больцмаиа записывается в виде
Физические константы q и h означают, соответственно, элементарный заряд и редуцированную постоянную Планка, v(k) = {ljh)Vk {k) - скорость электрона, е(к) - энергия иУ = V(x, t) - электрический потенциал. Оператор столкновений Q{f) моделирует короткие (по шкале длины) взаимодействия электронов с кристаллическими включениями, фононами и электронами. Электростатический потенциал V является заданной функцией или замыкается самосогласованно через уравнение Пуассона где є означает проводимость полупроводника и С = С{х) моделирует заданный ионный фон. Электронная плотность определяется формулой Для моделирования сверхмалых электронных приборов необходимо учитывать квантовые эффекты. Квантовое уравнение Больцмана является кинетическим уравнением, описывающим эволюцию функции Виг-иера w = w(x, v,t)
Здесь Qh(w) - оператор столкновений, V - эффективный потенциал, удовлетворяющий уравнению Пуассона (1.49). Электронная плотность и плотность тока определяются соответственно формулами Оператор BujVjw; является псевдодифференциальным оператором специального вида,
В полуклассическом пределе h —У 0 квантовое уравнение Больцмана преобразуется к квантовому уравнению Власова которое замыкается уравнением Пуассона (1.49) на потенциал V. Система типа (1.53), (1.49) является нелинейной, нелокальной, интегро-дифференциалы-гой системой. В последние 2-3 года она привлекает внимание многих ведущих математиков как с точки зрения проблемы существования решений, так и с прикладной точки зрения (моделирования полупроводников).
Моделирование переноса электронов в наноструктурах, например, резонансных туннельных диодов, суперцепочек ведет к квантовым моделям: уравнениям Шредингера и Вигнера. Квантовые эффекты обычно проявляют себя в локальных областях приборов, а в остальной части (глобальной области) подчиняются классическим уравнениям. При этом возникает вопрос: каким образом правильно выбрать краевые условия для квантовых моделей и согласовать их с классическими кинетическими моделями, уравнениями Власова или Больцмана? Ответ заключается в построении новых комбинированных классико-квантовых моделей с краевыми условиями перехода между квантовой и классической областями. В качестве примера таких моделей рассмотрим одномерную нестационарную модель Власова-Вигнера (Ben Abdallah, Degond, Gamba [59]). Пусть a Ь - два вещественных числа, V(x) - гладкий стационарный потенциал на Ш. Тогда в классической области движение электронов описывается уравнением Власова а в квантовой зоне - уравнением матричной плотности ihpt = (Hx Hxl)p, {x,xf,t) ЄГ, (1.55) где р p(X)X\t) - матрица плотности; Н = \-jpi + V{x). Взаимодействие границ классической области и открытой квантовой системы осуществляется посредством частиц, входящих из внешней (классической области) в прошедший промежуток времени и выходящих из квантовой области в последующий момент времени. Обозначим за в = — ({а} х В _) U({6} х - -) часть границы, соответствующей входящим частицам, и g(x,p,i] - функцию распределения на границе. При этом электроны являются квантовыми в [а, 6], а в [0, a] (J[&, L] ведут себя как классические частицы. Пусть fc{x,p, t) - функция распределения в классической зоне, a fq - функция Вигнера в квантовой зоне. Тогда классическая функция распределения вычисляется посредством решения краевой задачи для уравнения
Постановка краевой задачи и задачи о точке бифуркации системы (3.8)
В силу заданных условий на Lo и Ь{ все сингулярные точки оператор-функции Ir(A) = LQ — XLJ будут фредгольмовыми. Если N(L(XQ)) = {0}, то по теореме о неявном операторе [50] для каждого 6 0 существует окрестность S точки А0 такая, что для всех X Є S шар \\U\\E 5 содержит только тривиальное решение и = 0 такое, что Ао не является точкой бифуркации. Таким образом, для отыскания точек бифуркации необходимо (но не достаточно) найти число
Точки бифуркации нелинейного уравнения (3.15) могут быть найдены только среди точек спектра линеаризированной системы (L0 - XL u = 0. (3.20)
Для изучения спектра задачи (3.20) предварительно найдем собственные значения и собственные функции матрицы L\ в (3.20) при физических допустимых параметрах. С этой целью приведем некоторые вспомогательные утверждения. Введем следующие условия:
В этом случае на основании лемм 5.1, 5.2 условия (3.12), (3.13), і), іі) и условия теоремы 5.2 будут выполнены, значит уравнение разветвления (4.6) согласно лемме 5.1 оказывается потенциальным. В теореме 5.2 имеет место случай 3). Поэтому вид функций щ(г,Х), U2(r,X) в (5.10) может быть уточнен, а именно, в случае распределения (5.11) вектор и = [и и ) в формуле (5.10) можно вычислить по формулам (5.9), (5.8). Если при этом окажется, что в формуле (5.8) вектор с отвечает неизолированному экстремуму соответствующего потенциала, то часть его координат может остаться произвольными точками некоторой сферы S С Rk, где к п (см. [39, 51]). Тогда задача (3.26) будет иметь решение, зависящее от свободных параметров. Такой случай возможен, если область D - симметричная и задача (3.26) обладает сферической симметрией. При этом свободные параметры, остающиеся в решении, имеют групповой смысл.
Доказательство. В силу предположений теоремы 1)-3), условия лемм 4.1 и 5.1 выполнены для уравнения разветвления (4.6) краевой задачи (3.8), (3.14). Уравнение (4.5) устанавливает взимно-однозначное соответствие между искомыми решениями краевой задачи и малыми решениями уравнения разветвления (4.6). Таким образом, справедливость теоремы 5.1 следует из этих лемм.
Теорема 6.1, Пусть выполнены условия А) раздела 2, B-D и условия і), іі) леммы 3.5. Пусть 1) цо - нечетно-кратное собственное число задачи (6.11); Ю fi = a(X)fi{-aiV2 + щ + У(к(\}+ф$. Тогда en = є(Ап) является точкой бифуркации краевой задачи (1.1)-(1.4) с бифуркационным направлением є = є(А).
Доказательство. Для доказательства теоремы покажем, что An является точкой бифуркации системы (6.12). Соответствующая конечномерная система разветвления имеет вид (4.6) и выписана в статье [42] для случая, когда k,di не зависят от А и о(А) = А Є К+. В этой же работе доказано, что An является точкой бифуркации, если и только если Ао - точка бифуркации системы разветвления.
В общем случае, когда значения aii(\),di(\) зависят от А, можно свести систему разветвления к виду (а(А)Х-(е(А))+мо)(е? + + ,..., )=0, = 1,...,п, (6.14) с г(, А) = о([), используя (6.13) и результаты [42]. Вектор-функция г(,А) в (6.13) является потенциальной, если выполнено условие 2) теоремы 6.1.
Так как непрерывная функция а(А)%_((А)) + fiQ равна нулю в точке Ао и монотонна в ее окрестности, то в некоторой окрестности точки (Ап,о) существует пара А , с ф 0, удовлетворяющая системе (6.14). Следовательно, An является точкой бифуркации системы (6.14).
Магнитно изолирующий диод
Так как в этом случае в 0, то эффективный потенциал является отталкивающим. Электроны, исходящие с катода с нулевой начальной скоростью, не могут достичь анода. Они отражаются обратно к катоду в некоторой (неизвестной заранее) точке диода х так, что
Заметим, что уравнения на электростатический и магнитный потенциалы зависят от расположения точек, в которых эффективный потенциал в обращается в ноль. В данном подразделе мы рассмотрим два важных частных случая: квазиламинарную модель, где G обращается в ноль только на границах электронного слоя, и ламинарную модель, в которой потенциал 0 равен нулю вдоль всего электронного слоя [0, ж ].
В квазиламинарном случае электроны покидают катод, достигают точки х и затем возвращаются к катоду. В ламинарном случае они движутся параллельно оси Y и их скоростью vx вдоль х пренебрегают. Нетрудно показать, что имеет место следующее условие
Как и в п. 3 мы положим /3 = а (0) и воспользуемся переменными г/,-у, определяемыми формулами (3.8), (3.9) на интервале [0, ж ]. Обозначим за 7 , о, ,... значения функций в точке ж (свободная граница). Из (4.2), (3.1Г) мы имеем на [0, ж ] 1 + ф = cosh/y , a = sinh/y , = /3sin.lry С другой стороны, потенциалы фу а являются аффинными функциями вне интервала
Квазиламинарная модель. В этом случае эффективный потенциал является положительным в интервале (0,ж ). Из фазового портрета следует, что токи ji+ и j на двух ветвях характеристической кривой (С+) и (С) являются постоянными и противоположно направленными.
Тогда функция распределения имеет следующий вид с условием, что функции ір, а я юс первые производные являются непрерывными в точке х . Система (4.7)-(4.10) представляет собой задачу со свободной границей с неизвестными p,a,j и х . Внутри электронного слоя (0, х ) система (4.7), (4.8) является идентичной системе (I) для случая неизолирующего диода.
Ламинарная модель. Данная модель реализуется при условии, что эффективный потенциал G обращается в нуль на всем интервале [0,ж ] и является строго отрицательным вне этого интервала. Плотности тока и заряда равны нулю вые электронного слоя. В силу (2.35) компонента импульса х обращается в нуль на кривой С; токи j и j равны нулю по всей длине диода. Но при этом ток jy{x) и плотность электронов п(х) принимают ненулевые значения на (0, х ). Действительно, если п и jy{x) обращаются в нуль, то уравнения Пуассона и Ампера на потенциалы будут линейными, что не согласуется с условием G = 0 на (0, ж ). Следовательно, электроны могут двигаться только вдоль линий, параллельных оси Y. Для вычисления плотности заряда в слое нельзя использовать соотношение jx = п vXy так как jx — vx = 0. Поэтому с использованием уравнения (2.33) модель преобразуется к виду: на интервале с условием, что функции ip, а и их первые производные были непрерывными в точке ж . Приведенная модель намного проще, чем предыдущие. В силу (4.16) 1 + р(х) = coslryH и а(х) = siuhrf(x) на [0, х ]. Из (3.11) следует 7(ж) — Р{х) и 7 — Рх - Из последнего соотношения и формул (4.5), (4.6) находим значения магнитного поля на катоде (3 и ширины слоя х .
В результате решение ламинарной модели имеет вид PL = і + л/11 7 причем 7 определяется формулой (4.5), а потенциал вь находится из (2.37). Плотность, ток вдоль у и функция распределения электронов на интервале [0, ж ] задаются формулами
Рассмотрим диод с цилиндрической симметрией в электромагнитном поле. Запишем вначале сингулярно возмущенную задачу и затем формально перейдем к предельной модели при є — 0. Диод состоит из двух соосных электродов. С катода эммитируются электроны, которые могут ускоряться электромагнитным полем как к внешнему, так и внутреннему аноду. При этом внешнее электрическое поле является радиальным Е = Е{г)ег, а магнитное поле азимутальным В (цилиндрические координаты (г,в,г)). Функция распределения f(rи самосогласованные поля могут быть записаны в виде градиентов от потенциалов
После обезразмеривания переменных сингулярная возмущенная система, соответствующая асимптотике Чайлд-Леигмюра, имеет вид где p есть радиус диода, т.е. отношение между радиусами катода и анода. Инварианты вдоль характеристик могут быть получены из (6.2) в той же форме, что и (2.29), (2.30)
Как и в разделе 2.1 они позволяют получить формальную предельную модель посредством обращения этих инвариантов в ноль для электронов, исходящих с катода с нулевой начальной скоростью. Введем эффективный потенциал w(r) = (1 + / (г))2 — (а(г))2 — 1. Аналогично случаю плоского диода значение потенциала w(r) на аноде дается условием срезки, разделяющим задачу на два случая: магнитно изолирующий диод и не изолирующий. Критическое значение потенциала есть wp = (1 + фр)2 - ар)2 -1-0.
При этом -(ж0) = 0, так как или XQ = 0 и это равенство, или ведет к отрицательности Q, для х, которые меньше и достаточно близки к XQ. ЭТО ведет к противоречию, так как если эффективный потенциал отрицателен в некоторой точке, то он остается отрицательным на всем интервале до анода. Тогда мы имеем Таким образом, для неизолирующего диода эффективный потенциал Q должен быть неотрицательным при х Є [0, jLog(p)J, j (xi) = О, что не согласуется с (5.1).
Анализ найденных нижних-верхних решений предельной задачи
Считаем, что следует упомянуть природу некоторых из шумов, ухудшающих характеристики наблюдаемого сигнала. Электрический шум может присутствовать, даже если на приборе отсутствует входной сигнал, при этом существует некоторый предел, характеризуемый отношением сигнал/шум, ниже которого сигнал не может быть зарегистрирован. Тем самым измерение характеристик усиленных слабых сигналов удовлетворительно только до этого предела, и уровень шумов должен быть снижен до минимально возможного. Внешние источники помех могут интерферировать и элементами схемы, например, в силу испускания электромагнитных полей. Типичные примеры этого - источники узкополосных излучений, как радио-передатчики, колебательные контуры, провода питания. Имеет место влияние широкополосных источников типа разрядов молний и люминесцентных ламп. Иной причиной для шумов может быть явление электромагнитной индукции от внешнего источника (электромагнитные наводки). Так как магнитное поле создается переменным током, паразитический сигнал может быть наведен на любой элемент в электронной схеме. Для избавления от таких наводок требуется экранизация и продуманное пространственное расположение подобных элементов (короткодействие электромагнитных наводок). Использование заземления всегда является хорошей рекомендацией, если только поблизости нет другого мощного заземленного источника помех.
Основными типами внутренних источников шума, возникающего в электронных приборах, являются тепловой шум и собственный шум. Тепловой шум, связанный с ростом температуры, возникает из-за случайного движения носителей тока в металле или в полупроводнике. Тепловой шум возникает путем случайного движения электронов в материалах с учетом его тепловой энергии ЗкТ/2 и имеет место даже в отсутствие внешнего электрического
Собственный шум возникает за счет случайного движения электронов в электрическом токе и из-за природы частицы электрического заряда. Так как электрический ток в диоде - это фактически движение электронов от катода к аноду, то вклад каждого электрона незримо мал. Однако, средний ток на аноде 1а является суммой всех таких "пульсов". Процесс эмиссии имеет вероятностный характер, на который влияют форма катода (электродов) и приложенный потенциал. Тем самым количество путешествующих электронов варьируется, делая этот процесс зависящим (формально) от времени, характеризуемый средним и среднеквадратичным отклонением Zg.
Наша цель — изучить неизолирующий или околоизолирующий диод, когда Sext В Детальный вывод модели был проделан в главе III, поэтому мы ограничимся здесь рассмотрением только предельной системы с соответствующими условиями Коши и краевыми условиями
Напомним, что неизвестными являются электростатический потенциал ip, магнитный потенциал а и ток jx (который не зависит от х).
Заметим, что построение и свойства данной модели сильно зависят от предположения положительности эффективного потенциала Действительно, в может обращаться в нуль в некоторых точках диода, что ведет к замкнутым траекториям и "захваченным" частицам. Потенциалы ip, а связаны с параметрами jx, /3 следующими уравнениями
Анализ этих уравнений проведен в [56], но предложенный авторами этой статьи подход не дает информации о непосредственном применении к полученным результатам численных методов. Несмотря на это, уравнения (1.6), (1.7) будут использованы для проверки полученных значений
Вектор (jX7 /?) будет рассматриваться далее как параметрический вектор, зависящий от граничных условий задачи (1.1), (1-2). Так как анализ граничных условий на потенциалы ip , а не всегда эффективен, мы будем рассматривать у/Щх) и \[вї как меру расстояния. При определении граничных условий величины (ipi7 а) или ( /?, л/в) алгебраически эквивалентны на Ш+, поэтому мы введем множество равноудаленных точек и обозначим их следующим образом [z, л/в), z = ц .
Учитывая приведенные замечания, в разделе 2 проводится анализ траекторий решений задачи (1.1)-(1.5), найденных методом нижних-верхних решений в главе III, и численными методами улучшается их аппроксимация. В разделе 3 приводятся некоторые известные и новые численные методы для решения сингулярной предельной задачи. Также обсуждаются некоторые основные моменты устойчивости численных методов в приложении к рассматриваемой задаче. В следующем разделе 4 рассматриваются результаты численных экспериментов, описывающие свойства параметрического вектора (jx,P) для различных "расстояний". Численные эксперименты показывают, что поведение параметрических кривых сильно зависит от значения 9 . Для случая 0 1 имеет место единственность, а при $ь 1 имеет место ветвление решений. Правильное численное моделирование дает точное число различных параметрических векторов, которые сходятся к единственному при заданном граничном условии ( , у/в).
