Введение к работе
Актуальность темы. Лзтод фиктивных областей (;*ФО) является одііиіі из методов решения краозых задач математической физики. Этот іівтод кироко известен в советсі:о!і литература. Его описание, обоснованно и библиография инеатся в известной учебника Г.іі. барчука . Подробны* обзор результатов и болзе полную библиографию метода до ISo2 года составили О.Д. Зойце-ховскип, ІІ.Л. Гаврилюк и В.л. Макаров . В этой работа г.л-ется классификация вариантов ^0, основанная на хронологическом принципе. Выделено четыре схеїіьі іІОО (В.л. Саудьев, а.»".. Лебедев, л.А. Рухозоц, В.Д. Кояченоз). Недавно о УФО вияунона монографія о.h. Вабпцэвича .
Пусть _5с - ограниченная область /С о достаточно гладкой границей (свидания об условиях гладкости исходных данных в разных работах шано найти в обзоре ), jc0 ~
-арчук Г.й. Методы вычислительной математики, і.: Наука, ІУси, 536 с.
Боіїцеховокий С.А., Гаврилюк '».!., Макаров З.Л.- 0 іізтоде фиктивных областей для резэния задач математической дизики в областях слоаной форщ и его реализация. I.// шчисл. и прикл. иатаи./ Киев: Вища икола, 1S33. Н±'Л. С. 23 - ЗА-.
Зойцеховский С.А., Гаврмлак ., Макаров Ъ.л. О иатоде ^активных областей для решения задач математической уазики в областях 'сложной формы и его реализация. іі./V Вычисл. и прикл. натек./ Киев: Вица школа, 1964. !й 52. С. 3- 10.
Забицевич Б.Н. ііетод фиктивных областоіі в задачах математической физики.- іі.: іізд—во ьіоси. ун-та, IS>9I. - 156 о.
параллелепипед с ребрами, параллельными осям координат, такой,
что Sc^So . Оооаиачак $?i=$?0\5f .
Пусть - сильно эллиптический оператор второго порядка. Рассмотрим в j первую или вторуй однородную краевую за-
дачу и=? . ^|й? = и» К^- |Э5? = ^
Вариа.чты liwO для этих задач строятся так: в 5? решают вспомогательную однородную краевую задачу Дирихле U~F* где 'р - продолженная нулем вне 5с функция $ . Для задачи Дирихле полагаат ^ = в _? , JT- = Д ( В.1С. Саульов) или оператор Д определен в ^?0 " & = & +&Р- в Jt0 . -Дв / -характеристическая функция области $р. ( й»^« Лебедев), " -
большой полокителышй параметр. Для задачи Неймана с определяется так sse, как в первом варианте МО для задачи Дирихле, но с малым положительным ( В.Д. Копченов). "На граница (^ предполагаются обычные условия согдасова-
' кия. Основным результатом теории іігО явдяеюя доказаіальсіво
сходимости реианиіі ІІ вспомогательных задач к решения Ц0
исходной краевой задачи и получение оценок скорости сходи
мости типе | U. - /4з.|[ ц*Ю\ ^ СЄ ' Д^я краевых
задач второго и четвертого порядка и некоторых вариационных
неравенств подобные оценки доказывалась при различных усло
виях гладкости исходных данных в многочисленных работах
(А.Н.Бугров, Ц.И.Гаврилок, В.Л.иакаров, А.Н.Ковалэв, В.Д.
Копченов, В.Д.Ривкпнд, С.А.Войцаховский, В.Н.Новиченко,
В.Г.Осмо'ловский, "В.л.Цербак, В.С.Сакенвк, Б.Н.Ьабицевич и другие)» Доказательства этих оцаиок зависят как or исходной краевой задачи (от гладкости исходных данных, от порядка уравнения, вида его нелинейности и односвягности jc ).
таг и от варианта MSO. Поэтому при построении метода возникала необходимость обоснования оценки скорости сходимости для каждой конкретной задачи.
В диссертации М50 рассматривается как метод регуляризации некорректной задачи в банаховом пространстве В . Рассмотрим в о уравнений и задачу "штрафа" :
Fu = О , F : в-~в*. (i\
Fu+ .Ли = О , Р,Л: &-+&*> >о (2-)
Для операторов монотошюго типа такие задачи хорошо изучены ' . в монографии Я.-Л.Лионса .В диссертации этот класс операторов несколько расширен. Для него доказаны нэкоторда -ноко-врцитивныэ условия разрешимости уравнения (I) и сходи-«ста аппроксимации (2) . Выделены достаточкш условия получение оценок скороати сходимости и условия, при которых уравнение (2) является реализацией конкретных схем ШЮ. Предложенная схема является обобщением ^эарианта МЮ В.И.Лебедева. %кой подход к проблеме М60 позволяет доказывать разрешимость, сходимость и оценки скорости сходимости в 'рамках теории операторов монотонного типа. Поэтому доказательства не зависят от конкретного вида уравнения, ого порядка, характера его нелинейности, выбора варианта М50, односвязности области и требуют более слабых предположений гладкости данных исходной краевой задачи.
Лионе К.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972..587 с.
В СВЯЗИ С ЭТИМ ІірбДЛОіеіШОе ИССЛЭДОВаИИе ЯВДЯвІСЯ 8KIJ-
адьным и может иметь практические приложения.
Цаль работы. Выделить различные условия, характеризующие МФО в абстрактов форме в виде уравнения "штрафа" в банаховой пространства, которые достаточны, соответственно, для доказательства разрешшооти, сходимости и оценок скорооти сходимости метода фиктивных областей.
Методика исследования. Схема МФО рассматривается пав ва-дача "штрафа" для некоторого уравнения. Ьта задача затем изучается методами теории операторов монотонного типа.
Научная новизна н практическая ценность. В диссертации введены условия ( Jill ). Эти условия слабев условии (*>) И«В.Скрыпника, свойстве (ъ41) Х.-І.Лионса, псевдомонотснноотв Х.Брезиса, полуограниченной вариации Ю.А.Дубинокого и полуыо-нотоннооти и.Ц.Вайнберга. Получены иекозрцитивные условия раз-решимости и сходимости задач "штрафа" для уравнение с операторами типа (Jlli) . Для уравнений о монотонными операторами приводятся условия достаточные для получения оценок окорооти оходимооти задач "штрафа" и доказаны такие оценки при различных ограничениях роста на операторы. Изучаются условия, при которых задача "штрафе" в банаховом пространства является реализацией схем МФО, подучены оценки скороон; сходимости для таких схем. Иссдедуютоя конкретные схемы мфО для уравнений адлиптичеокого типа с различными .краевыми условиями, вариационных неравенств, а также некоторые задачи "штрафа".
Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались . на семинаре акад. АН СССР В.С.Владимирова в математическом институте им. В.А.Стеклова АН СССР, иа семинара проф. В.П.Михайлова в Натематическом институте им. В.А.Стеклова АН СССР,
на овиииаре проф. В.А.Трэногина в Московской институте стали и сплавов, на семинаре проф. Ю.А.Дубинокого в Московском энергетической институте, на научных конференциях Ыосковокого физико-технического института в 19а?, 1ЭЬ8, 19Ь9 г.г.
Публикации. Результаты работы опубликованы в трех статьях
t.i-3].
Объем работы. Диооартация состоит из введения, двенадцати параграфов, списка литературы из 103 названий и изложена на 125 страницах иатинописного текста.
