Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Система Максвелла в областях с коническими точками с краевыми условиями, отвечающими идеально проводящей границе 38
Введение 38
1.1. Операторный пучок 39
1.2. Глобальная энергетическая оценка 43
1.3. Комбинированная весовая оценка 49
1.4. Оператор задачи в шкале весовых пространств 53
1.5. Асимптотика решений задачи 57
1.6. Нестационарная задача в цилиндрах Q и Q 60
1.7. Формулы для функций wSfk, Wstk для задачи в конусе . 63
1.8. Связь расширенной и обычной систем Максвелла 65
Глава 2. Система Максвелла в клине и в волноводе с краевыми условиями, отвечающими идеально проводящей границе 71
Введение 71
2.1. Операторный пучок 72
2.2. О свойствах оператора A(D) 74
2.3. Оценки для задач в клине и в угле 77
2.4. Операторы задач вКивП 82
2.5. Задачи в цилиндрах Т и в Т 84
2.6. Формулы для функций wS;k, WBik для задачи в клине 86
2.7. Связь расширенной и обычной систем 90
Глава 3, Система Максвелла с неоднородными краевыми условиями 93
Введение 93
2.1. Энергетическая оценка 94
2.2. Оператор задачи 104
2.3. Весовая комбинированная оценка 106
2.4. Оператор в шкале весовых пространств 111
2.5. Асимптотика сильных решений 115
2.6. Нестационарная задача в цилиндрах Q и Q 118
2.7. Связь расширенной и обычной систем Максвелла 121
2.8. Неоднородные краевые условия Леонтовича 125
Публикации по теме диссертации 140
Список литературы 140
- Оператор задачи в шкале весовых пространств
- Формулы для функций wSfk, Wstk для задачи в конусе
- Формулы для функций wS;k, WBik для задачи в клине
- Оператор в шкале весовых пространств
Введение к работе
Мы изучаем нестационарную систему Максвелла dE/dt - rot В = -J, дВ/dt + rot Ё = -G, ( , divE = р, divB = їх в областях с ребрами и коническими точками. Рассматриваются краевые условия двух типов: [Ёхи\ = [Фхи\, {В-и)=ф (2) г7х [В х 0\+ф[Рх Ё) = [Ф х v\, (3) где v - единичный вектор внешней нормали, а через ф обозначена некоторая комплекснозначная функция (импеданс), характеризующая физические свойства границы. В работе обсуждаются разрешимость задачи в подходящих функциональных пространствах, вывод и обоснование асимптотических представлений для решений вблизи особенностей границы, формулы для коэффициентов в асимптотике. Диссертация состоит из введения и трех глав. В первых двух главах изучается нестационарная система Максвелла с однородными краевыми условиями (2). Рассматриваются модельный конус, ограниченная область с конической точкой, клин и волновод, сечение которого - ограниченная область с угловой точкой. Третья глава посвящена изучению нестационарной системы Максвелла с неоднородными краевыми условиями (2) и (3) в областях с коническими точками и ребрами.
Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей изучены достаточно подробно в работах В. А. Кондратьева, В. Г. Мазьи, Б. А. Пламеневского и других авторов. Решения эллиптических задач теряют гладкость в особых точках границы. Поэтому важным вопросом является описание свойств решений вблизи особенностей. Асимптотика решений вблизи особой точки границы представляется линейной комбинацией специальных решений однородной модельной задачи. При этом используются понятия, связанные со спектром операторных пучков (полиномов с операторными коэффициентами); асимптотические формулы для решений содержат собственные числа, собственные и присоединенные функции пучков. Эти спектральные характеристики определяются коэффициентами дифференциальных операторов и границей в окрестности особой точки. Коэффициенты в асимптотике вычисляются при помощи специальных сингулярных решений однородной сопряженной задачи и данных исходной задачи. Подчеркнем, что вид асимптотики определяется свойствами оператора задачи вблизи рассматриваемой особой точки, а коэффициенты в асимптотике зависят от данных задачи в целом.
Результаты, полученные для эллиптических операторов, позволяют исследовать некоторые другие задачи. В качестве примера укажем задачу о гармонических колебаниях электромагнитных волн в резонаторе с идеально проводящей границей, содержащей ребра и конические точки. Поведение электромагнитного поля в резонаторе описывается при помощи системы Максвелла, которая не является эллиптической. Однако, в ряде случаев изучение особенностей электрической и магнитной компонент поля вблизи ребер и конических точек сводится к такому же вопросу для скалярных эллиптических задач второго порядка. В простейшем случае, когда резонатор пустой, это задачи Дирихле и Неймана для оператора Лапласа.
Результаты об асимптотике решений вблизи особенностей границы имеют различные приложения. Приведем пример, связанный с численным анализом задачи о гармонических колебаниях электромагнитных волн. Оказывается, использование обычных конечных элементов при расчетах полей в резонаторе с входящими ребрами приводит к принципиальной ошибке: вычислительный процесс сходится, но не к решению задачи. Существуют различные методы расчетов для резонаторов с ребрами, в которых эта ошибка устранена. В одном из таких методов, в частности, используется информация о структуре асимптотического представления решения вблизи ребер.
Гиперболические задачи в негладких областях исследованы значительно меньше эллиптических. Здесь имеется широкий круг открытых вопросов. Укажем некоторые работы, в которых изучается поведение решений вблизи особенностей границы. В работе Г.Ю. Эскина [1] была получена явная формула для решения волнового уравнения в клине с ребром коразмерности 2. На гранях клина задавались однородные диср-ференциальные операторы любого порядка с постоянными коэффициентами, подчиненные равномерному условию Лопатинского. Используемый метод (редукция к задаче Римана-Гильберта) не обобщается на клин с ребром коразмерности большей, чем 2. Задачу Коши-Дирихле для волнового уравнения в областях с коническими точками исследовали В. А. Кондратьев, О. А. Олейник, И. И. Мельников в работах [2J и [3]. Предложенный ими метод состоит в следующем. Дифференцируя исследуемое уравнение по времени и привлекая неравенства для обобщенных решений, можно оценить производные решения по времени. Затем, все слагаемые исходного уравнения, содержащие производные по времени, переносятся в правую часть. Полученная задача рассматривается как эллиптическая и для нее используется известный способ построения асимптотики. Однако, указанный метод к формулам для коэффициентов в асимптотике не приводит. Впоследствии Нгуен Мань Хунг обобщил результаты, полученные в [2] и [3], на сильно гиперболические системы (см. [4]).
Б. А. Пламеневский в [5], а затем А. Ю. Кокотов и Б. А. Пламенев-ский в [6, 7] исследовали различные начально-краевые задачи для волнового уравнения и некоторого класса сильно гиперболических систем в областях с ребрами и коническими точками. Подход, развиваемый в работах этих авторов, позволяет изучить разрешимость таких задач в специальных весовых пространствах, получить и обосновать асимптотические представления для решений вблизи особенностей границы, вывести формулы для коэффициентов в асимптотике. Этот подход основан на некоторых априорных оценках решений. Выясняется, что асимптотика является линейной комбинацией специальных решений однородной модельной задачи для пространственной (эллиптической) части изучаемой системы. Гиперболический характер асимптотики проявляется в коэффициентах, зависящих от времени. Коэффициенты выражаются с помощью явных формул через данные задачи и некоторые сингулярные решения исходной гиперболической задачи.
Укажем некоторые работы, в которых исследовалась система Максвелла в негладких областях. М. Ш. Бирман и М. 3. Соломяк в [8, 9| предложили общую схему определения оператора Максвелла в негладких областях, основываясь на соображениях геометрии гильбертова пространства. Также были исследованы главные особенности решений вблизи негладких точек границы. Для этого описание особенностей сводилось к подобному же вопросу для решений скалярных эллиптических уравнений второго порядка. М. Костабель и М. Дож (М. Costabel and М. Dauge, [10]) исследовали поведение решений вблизи ребер, конических точек, экранов и многогранных углов в задаче о гармонических колебаниях электромагнитных волн в резонаторе с идеально проводящей границей. Использовался аппарат преобразования Меллина. Для асимптотических представлений решений вблизи особенностей были получены явные выражения в терминах сингулярных решений задач Дирихле и
Неймана для оператора Лапласа.
Для исследования нестационарной системы Максвелла мы модифицируем подход, предложенный в работах [5, 6]. Напомним, что при таком подходе для получения асимптотических представлений решений использовались результаты для эллиптических краевых задач. Однако, пространственная часть системы Максвелла не является эллиптической. В силу этого обстоятельства нам приходится рассматривать расширенную систему Максвелла дЕ/ді -mtB + Vh= -J, дВ/dt + rot E + Vq=-G> ( dh/dt + divE = p, ( } dq/0t + divB = fi, пространственная часть которой является эллиптической (см., например, [8] или [11])- Систему (4) для краткости запишем в виде du/dt + А{д)и = /, (5) где и = {Ё, В, h> q)T, f = (-J, -G, p, fi)Tud= {дХі1дХ2, дХі). Наряду с расширенной системой уравнений рассматриваются также расширенные краевые условия [Ё х и\ = [Ф х и\, {В v) = ф, h = Я (6) v х [В х v\ + ф[Р х Ё] = [Ф х v\, h = Я, q = Q. (7)
Пространственная часть системы (4) вместе с краевыми условиями (6) или (7) образует эллиптическую краевую задачу.
Остановимся более подробно на методе исследования. Опишем применяемую технику на примере задачи (4) с однородными краевыми условиями (6) в конусе /С, гладком вне вершины. С помощью преобразования Фурье ^_>т, задаваемого формулой «(г) - (Я*_^и)(т) = J e-itTu(t)dt, где г — и — г"7 {а Є IR, 7 > 0)і приходим к задаче с параметром. При фиксированном т задача эллиптическая, но зависимость от параметра "гиперболическая". В основе метода исследования лежат две априорные оценки. Первая оценка получается исходя из простых энергетических соображений, где в качестве энергии задачи рассматривается выражение J(\E(x, t)\2 + \В(х, t)\2 + \h(x, t)\2 + \q{x4 t)\2)dx, к
Отметим, что если h = 0, q = 0, то это обычная формула для энергии электромагнитного поля. Полученная оценка называется глобальной энергетической и имеет вид
72 / \v{x)\2dx <с І \{т + A(Dx))v{x)\2dx, где постоянная с не зависит от параметра т. С помощью этой оценки доказывается существование и единственность "энергетических"решений задачи. Доказывая глобальную энергетическую оценку для расширенной системы Максвелла, мы сталкиваемся с необходимостью рассматривать симметричную пространственную часть A(D). Из-за этого приходится специальным образом фиксировать асимптотику функций из области определения оператора A(D) вблизи особенностей границы. Отсюда для A(D) появляется семейство самосопряженных расширений. Выбор самосопряженного расширения влияет на возможность возвращения к исходной, нерасширенной системе Максвелла. В частности, в ограниченной области с конической точкой переход к исходной системе Максвелла возможен только для одного самосопряженного расширения. Для того, чтобы осуществить этот переход, достаточно взять правую часть расширенной системы в виде (—Jt —G, р, р.), где функции J, G, р, /j, подчинены условиям div J + др/dt = 0, div G ~\- дрь/dt — 0 и краевому условию (G п) — 0. Тогда компоненты h и q аннулируются и решение расширенной системы удовлетворяет обычной системе Максвелла. Оказывается, что такое выделенное самосопряженное расширение совпадает с оператором Максвелла, который изучался в работе [8]. Для исследования поведения "энергетических"решений вблизи особенностей границы используется более информативная априорная оценка. Для ее доказательства область разбивается на зоны. В окрестности конической точки диаметра с/|т| применяется весовая эллиптическая оценка. Вдали от вершины конуса используется локализованная глобальная энергетическая оценка. Затем полученные неравенства склеиваются в промежуточной зоне при некоторой дополнительной гладкости правой части по времени. Полученная априорная оценка называется весовой комбинированной и имеет вид 72||г;;Я0(Х:,1т|)||2 + ||хМ«;Я^(/С, |r|)f < < с{ / \(т + A(Dx))v{x)\2r2/3{x)dx+ к, + (к!2(1-^}/72) /|(r + A(Dx))v(x)\2dx], где постоянная с не зависит от параметра т. Через г(х) обозначено расстояние до вершины конуса, х - срезающая функция, такая, что х = 1 при г < 1 и х — 0 при г > 2, Х|т|(г) = х(Иг)- Функциональные пространства Ня(К, \т\) определены ниже. Такая оценка доказана для всех 0 < 1, 0 {/?fc}fe>b гДе {/5fc}fe>i некоторая последовательность, такая, что 1/2 > /Зі > / > / — — оо. Задаче с параметром в конусе /С отвечает замкнутый оператор в паре пространств, "подсказанных"второй априорной оценкой. Ядро и коядро этого оператора тривиальны для 0 Є ]0і, 1]. При убывании 0 размерность коядра увеличивается (когда 0 переходит через 0k), но остается конечной. Элементы базиса коядра однозначно определяются своей асимптотикой вблизи вершины конуса. Все это вместе с известными результатами об асимптотике решений эллиптических задач позволяет получить асимптотику решений задачи с параметром вблизи вершины конуса, включая формулы для коэффициентов в асимптотике и оценки для коэффициентов и остатка. Подчеркнем, что на каждом шаге аккуратно учитывается зависимость от параметра. Обратное преобразование Фурье переводит эти результаты для задачи со времени в цилиндре )С хШ.
Обсудим асимптотику решений нестационарной задачи вблизи конической точки. Приведем 4>ормулировку соответствующего результата в упрощенном виде. Именно, если правая часть задачи убывает вблизи конической точки с некоторой заданной скоростью, то для решения имеет место представление вида u(x,t) = У jCj(t)uj(x) + R(x,t), з где uj - специальные решения однородной модельной задачи для пространственной части исходной системы, через R обозначен остаток. Таким образом, асимптотика имеет "эллиптический,,вид, а ее "гиперболи- ческий"характер проявляется в коэффициентах Cj, зависящих от времени. Для них справедливы формулы cj{t) ~ I dx I ds {f(x,t — s) Wj(x,s)), к. т. где / - правая часть системы, a Wj - некоторые сингулярные решения однородной сопряженной задачи в цилиндре /CxR, выделенные своей асимптотикой вблизи вершины конуса. Для модельных областей (клина и конуса) эти функции можно вычислить явно и с их помощью проследить на уровне коэффициентов в асимптотике некоторые эффекты, связанные с конечной скоростью распространения возмущений. Например, если сингулярный носитель правой части / ограничен по пространственным переменным и ограничен сверху по времени, то для коэффициентов в асимптотике имеет место эффект "заднего фронта": функции Cj становятся гладкими после прохождения заднего фронта возмущения, идущего от сингулярного носителя / через вершину конуса. Из формул для коэффициентов можно получить и обычный передний фронт: коэ4>-фициенты Cj равны нулю до подхода возмущения от носителя правой части.
Теперь остановимся более подробно на задаче с неоднородными краевыми условиями. Схема исследования, по существу, такая же, как и в случае однородной задачи. Доказываются энергетическая и весовая комбинированная оценки. С их помощью исследуется оператор задачи в шкале весовых пространств: доказываются результаты о разрешимости, выводятся и обосновываются асимптотические представления решений вблизи ребер. Однако, здесь дополнительная трудность состоит в доказательстве энергетической оценки, в отличие от однородной задачи, где она получается из простых энергетических соображений.
В областях с гладкой границей в случае неоднородных краевых задач для гиперболических систем, подчиненных равномерному условию Лопатинского, существует общий метод доказательства априорных энергетических оценок. Для операторов высшего порядка такие оценки были впервые даны Агмоном (S. Agmon, [23]). Уточненные результаты получила Сакамото (R. Sakamoto, [24]), а гиперболические системы изучил Крайс (Н. О. Kreiss, [25]). Сначала доказываются оценки в модельных областях - полупространстве К и пространстве Жп. Для произвольных областей с гладкой границей используется локализация и распрямление к модельным областям. Однако данный метод не обобщается на области с ребрами и коническими точками. Проблемы связаны с исследовани- ем модельной задачи в конусе. Кроме того, условию Лопатинского не подчиняются некоторые задачи, важные с точки зрения приложений, например, задачи Неймана для волнового уравнения и системы Ламе динамической теории упругости.
Для различных начально-краевых задач, связанных со скалярными гиперболическими уравнениями второго порядка, Гординг и Хермандер (L. Garding, L. Hormander) предложили более простой способ доказательства энергетических оценок, не использующий условия Лопатинского. Этот способ состоит в умножении уравнения на некоторую специально подобранную линейную комбинацию производных первого порядка от решения и последующем интегрировании по частям. Задача с косой производной для волнового уравнения изучалась Гордингом с помощью такого подхода в работе [26]. Хермандер (см. [27]) получил энергетические оценки и исследовал неоднородную задачу Коши - Дирихле для скалярного гиперболического уравнения второго порядка общего вида.
Подход Гординга - Хермандера на случай гиперболических систем в негладких областях обобщили Б. А. Пламеневский и А. Ю. Кокотов в работе [6]. Авторы исследовали неоднородную задачу Коши - Дирихле для некоторого класса гиперболических систем второго порядка в областях с коническими точками и ребрами. В частности, были доказаны энергетические оценки, с помощью которых затем изучались свойства оператора краевой задачи. Предложенное доказательство оценки справедливо для конусов, подчиненных специальному условию. Именно, конус К, удовлетворяет этому условию, если найдется постоянный вектор / Є 3Rn, такой, что {/ V) > со > О, где v - единичная внешняя нормаль к <Э/С. Были также получены контрпримеры, показывающие, что соответствующие энергетические оценки могут нарушаться для конусов, которые не подчиняются этому условию. Чтобы доказать энергетическую оценку для неоднородной краевой задачи, связанной с нестационарной расширенной системой Максвелла, модифицируется подход Гординга - Хермандера на случай систем первого порядка и привлекаются некоторые структурные особенности пространственной части задачи. Для функции v — («, и, h, q) доказанная оценка имеет вид ^\\v-L2{K)f+{^i\r\)\\Tv-L2{dK)f < с{\\(т + A(Dx))v; L2{K)f + \т\ . ЦІЧ,; 2(гЭ/С)Ц2}, где Tv = (и х и, {v ?), /г) - вектор краевых условий (6), Tv — (v х v, (и V), q) - вектор, дополнительный к Tv. Предложенное доказательство справедливо для конусов, подчиненных приведенному выше дополнительному условию. После того как доказана такая энергетическая оценка, молено использовать ту лее схему, что и при изучении однородной задачи. Только теперь эта схема наполняется новыми оценками. Существенное отличие от однородного случая состоит в том, что не возникает семейства операторов задачи, а имеется лишь один оператор, и для него возможен переход к обычной системе Максвелла. Именно, если для правой части системы (4) и краевых условий (6) справедливы равенства div J + др/dt — 0, div G + djxjdt = 0 в конусе К и h = 0, Div (Ф х и) — (G v) — dip/dt — 0 на д)С, где Div - поверхностная дивергенция, то в решении аннулируются дополнительные компоненты h, q и оно удовлетворяет обычной системе Максвелла.
Методы, предложенные во второй и третьей главах для изучения однородной задачи в клине и неоднородной задачи в конусе позволяют исследовать систему Максвелла с неоднородными краевыми условиями в клине. Однако, этот материал выходит за рамки данной работы.
Основные результаты
Предварительные сведения
Опишем области, в которых изучается задача и определим функциональные пространства в этих областях. Пусть /С - конус в М3 с вершиной в начале координат О. Предполагаем, что КГ)$2 — односвязная область на сфере 52. Пусть G сШ3 - ограниченная область с одной конической точкой - О, причем некоторой окрестности О область G совпадает с конусом К,. Вне точки О границы конуса /С и области G гладкие. Введем функциональные пространства. Пусть s Є N, 0 Є Е, г — (х\ + х\ + х%)1//2. Через Н@{їС) обозначим пополнение множества С^{К \ О) по норме
11«; WII = (Е/^+|а|"5)!^>^)12^)1/2' где a = (alt02,0:3) - мультииндекс, x = (xi,x2fXz), dx = dxidx2dx$, D% = DD%D%I и DXk = -~ід/дхк. Пространство Щ(!С,д) при q > О наделяем нормой а 1/2 \\щЩк^^^^\\щщ-к(к)\р) -
Аналогично, заменив К на G, определим пространства Щ{С) и H^(G, q). В цилиндре Q = К хЖ введем функциональное пространство #|(Q), пополнив множество С((К \ О) х Щ по норме \\щщ(я)\\ = (EN
Пространство Hp(Q,q) при q > О наделим нормой
Заменив /С на G, аналогично определим пространства H^(Q) и i7^(Q,g) в цилиндре Q = G х R. Наконец, через V^(Q,j) и V|(Q77) ПРИ 7 > О обозначим пространства, в которых норма задается равенствами
IK V?(Q, 7)11 = |K;tfJ(Q, 7)11
IK VJ(Q,7)11 = lk7;4(Q,7)11, где ги7 = e~"(tw.
Пусть К — {(r, ^) : г>0, |0| < а} - угол на плоскости К раствора 2а, (г,^) - полярные координаты, D = КхМ- клин с ребром М = ОхМиТ- цилиндр DxE. Пусть fi С Ж2 - ограниченная область с угловой точкой О. Предположим, что в некоторой окрестности точки О область П совпадает с углом К. Вне точки О граница области П гладкая. Через Е обозначим волновод flxlc ребром Ох1,а через Т - цилиндр Е х Ж. Функциональные пространства i/J, Уд в областях Ш>, Т и Е, Т определяются аналогично соответствующим пространствам для /С, Q, с той лишь разницей, что через г обозначается расстояние до ребра О хШ: г = {х\ + х22)1!2. Введем функциональные пространства в угле К. Через Щ(Щ обозначим пополнение множества С%(К \ О) по норме /Г \ х12 ||«;Я|(К)|| = {Ela]<J г2^+^-в^и(хъх2)\^х^х2) .
Пространство H^(K,q) при q > 0 наделяем нормой s 1/2 \\щЩ(К,д)\\ = (J2^\u> ЯГ"(К)1!2)
Нам также потребуются функциональные пространства Ер(К), которые получаются пополнением множества С^(К \ О) по норме ||«;4(К)Н = (Е 11^(1+ rW-')Z>«u;2(K)||2)
Отметим, что нормы j|-;^(K)|| и ||-;Я^(К, 1)Ц эквивалентны. Однако в [19] при изучении задач в областях с ребрами использовалось обозначение ^(К). Поэтому, для удобства ссылок, мы ввели пространства Е10(К). Справедливо следующее предложение (см. [19], лемма 6.1.2)
Предложение 0.0.1 Норма \\w; Н1р(Щ\\ и норма (/|ЄІ2(^Ь2ІІ^(-,0;4(К)ІІ2^) эквивалентны. Здесь W(,) — (^-+^)(1^1 1С, ^)» С = (|кь [fta).
Сформулируем в виде предложения некоторые свойства расширенной системы Максвелла.
Предложение 0-0-2 1) Оператор А(д) эллиптический, но не сильно эллиптический.
2а) В области У С Ж.3 с гладкой границей справедлива формула Грина: і' (A(d)UuU2}ddV + [(lb, A(d)U2)8dV - V r V r 8) = / (VUuT^hdS + / {T0UuTU2)5dS, av dv где Ы\Мг Є C(V), a { , )*. - скалярное произведение в Ck. Через ТЫ и TGU обозначили векторы с компонентами ТЫ — {Р х и, {v v), h)T и TqU = (v, g, (V u))T, где U — (и, v, h, q)T.
2b) Система A(d)U — Тс краевыми условиями ТЫ = Н образует эллиптическую краевую задачу, самосопряженную относительно формулы Грина (8). За) В области V С Ж3 справедлива формула Грина: f {A{d)UM)BdV + f(UuA{d)U2)gdV = V f V f (9) = / <ГМ,7ЭД5<*5+ J {T2Uur2U2),dS, dV 8V где T-JA = {v x [v x v\ + ф[и x u\, h, q)T ^TJA = ((1/ и x [v X u\, {v - и), (и v))T, Y2U = {-v x [г; x v\ + -ф[Р x tf|, ft, g)r u T2W = ((1/0) i>x [и x i/], (t?-w), (v-v))T.
3b) Задачи {А(д),1\} u {А(с?),Г2}, сопряженные друг другу относительно формулы Грина (9), являются эллиптическими.
Оператор задачи в шкале весовых пространств
Далее, для определенности, рассматриваем задачу в ограниченной области G. Однако все результаты останутся справедливы и для задачи в конусе К. В конце параграфа мы приведем соответствующие формулировки.
Свяжем с задачей (22), (23) неограниченный оператор в пространстве L2(G) v и-» M(r)v :— M{DX, r)v . За область определения Т М(т) возьмем линеал D{G) (см. Определение 1.2.4). Нетрудно увидеть, что оператор М(т) допускает замыкание. Действительно, пусть {vk} С VM(T), Vk — О и M{r)vk — /, сходимость в L G). Тогда (M(T)VIC,W) — {vk,M(r)w) для любой функции w из C(G). Переходя к пределу, получаем (f,tv) = О, откуда f = 0. Далее рассматриваем только замкнутый оператор, сохранив за ним и за его областью определения обозначения М(т) и Т М(т). Ясно, что для замкнутого оператора М(т) справедлива оценка где v - любая функция из Т М(т). Непосредственно из оценки (35) вытекает следующий факт. Предложение 1.2.6 КегМ(-г) = 0, образ оператора 71М{т) замкнут в L2(G). Предложение 1.2.7 ТІМ {г) — L2(G). Доказательство. Достаточно проверить, что КегМ(г) = {0}. Пусть w Є КегМ(т) . Тогда, согласно локальным свойствам решений эллиптических задач(см. [19]), w Є С( 7 \0)иш удовлетворяет однородной задаче, формально сопряженной относительно формулы Грина (8) : При этом в окрестности точки О функция w допускает асимптотику вида Через х обозначили срезку, равную единице в окрестности О, VS T - это отрезок первых Т слагаемых формального ряда (где Фо = Фд,-к) удовлетворяющего задаче (36), (37). Подробности можно найти, например, в [6] или [19]. Поскольку w Є Т М(т} с L2(G), то в асимптотическую формулу для w допускаются лишь такие У3,к,т, что x s,k,T L2(G). Но это не единственное ограничение на слагаемые из асимптотики. Выясним, какие функции хУв,к,т на самом деле входят в область определения оператора М{т) . Нетрудно увидеть, что для Afc, у которых Im \к 1/2, соответствующие хиз,к принадлежат Т М(т) . Теперь рассмотрим собственные числа пучка 21 из полосы Im А Є] 1/2, 3/2[. В Т М(т) входят слагаемые вида x{ Xs,kUs,k + Ps,kUs-k), где aS)k, Ра,к- фиксированные коэффициенты, подчиненные условиям Re aSik/3s,k = О, st&l + \&s,k\ 0. Ввиду соотношения (32) справедливо равенство Для включения x(c u3fk + d иа,-к) Є VM(T) необходимо потребовать, чтобы выполнялось условие as d + &,fcC = 0. Вместе с равенством Re aSfkP3,k — 0 это приводит к формуле при aSjk 4" 0- Если же аа = 0, то / ф 0. Тогда из равенства 0вкс = 0 получаем, что с = 0. Таким образом, мы получили, что в Т М(т) допускаются те же комбинации функций x s,fc что и в D(G). Тогда функции VS ,T- отвечающие собственным числам пучка 21 из полосы Іга А є] 1/2, 3/2[, входят в асимсптотику w не произвольно, а в виде комбинаций aStk Уа,-к,т + Ра,к Уз,к,т- Для того, чтобы доказать, что w = 0, осталось воспользоваться Замечанием 1.2.3 и Предложением 1.2.5. Обсудим полученные результаты. Мы доказали, что оператор М(т), заданный на линеале D(G), допускает замыкание. Параметр принимает значения г = а — ij, иЄІ, 7 0. Соответствующий замкнутый оператор имеет тривиальное ядро и его образ совпадает со всем пространством i/2(G). Обратный оператор ограничен ввиду оценки (34). Те же результаты справедливы для оператора М(т). Оператор A(DX), заданный на линеале D(G), симметричен. Из перечисленных фактов вытекает, что у замкнутого оператора A — A(DX) существует резольвента (А — А)"1 для всех Л С\Е и А самосопряжен. Отметим, что для линеала D(G) можно выбирать различные наборы констант {as,k,0s,k}, подчиненных условиям Re aSjk0Sik = 0 и \a8ik\ + \0а,к\ 0- При этом получаются различные самосопряженные операторы А - самосопряженные расширения дифференциального выражения A(DX). В дальнейшем, если нет специальных указаний, в качестве А выбирается любое из таких расширений. Определение 1.2.8 Сильным решением задачи (22), (23) с правой частью f є L2(G) назовем решение уравнения (г + А)и /. Сформулируем теорему, объединяющую результаты, доказанные в этом параграфе. Теорема 1.2.9 Для всякой функции f из L2(G) и любых значений параметра г — а — г 7 (с Є 3R, 7 0) существует единственное сильное решение v задачи (22), (23) с правой частью f. Для решения справедлива оценка Замечание 1.2.10 Теорема 1.2.9 справедлива для задачи (22), (23) в конусе /С. Замечание 1.2.11 Теорема 1.2.9 справедлива для задачи (22), (23) в конусе К- и в ограниченной области G с заменой тнат. Завершая параграф, обсудим смысл условия [a3)fc + \j38,k\ 0 (см. Определение 1.2.4). Пусть для некоторых SQ, / справедливо равенство laeo,fcol + IA 0lfcol 0. Ясно, что оценка (34) справедлива для функций из такого линеала, который обозначим через Di(G). Однако образ соответствующего замкнутого оператора не совпадает со всем пространством Z/2(G). Дело в том, что в Т М{т) входит линейная комбинация x(auS00 + /?uS0)_fc0) с произвольными коэффициентами а,/?, не связанными соотношением Re а/3 = 0. Поэтому в доказательстве Предложения 1.2.7 к функции w из ядра оператора М(т) нельзя применить оценку (34) и показать, что w = 0. У оператора М(т) в этом случае имеется нетривиальное ядро размерности 1. Построим элемент, принадлежащий ядру. Пусть / = M(Dx,r)xu30ika. Нам понадобится оператор М0(т), полученный замыканием оператора M(Dx,r), заданного на линеале D0(G),B котором aSOjfc0 = 0, PSOlk0 — 1 остальные aSik, 0s,k - такие же, как в линеале Di(G). Пусть v - решение уравнения M0(r)v = f. Ясно, что функция w = v — xus0,jt0 - искомый элемент ядра оператора М(т) , Покажем, что остальные элементы ядра отличаются от w постоянным множителем. Пусть w КегМ(т) , w ф w. В асимптотику функции w вблизи О входит слагаемое Х(СМ«0,АЩ + иаа,-ка) с некоторыми с, d. Тогда w = w + cw принадлежит VMQ(T), HO M$(T)W — 0, откуда w 0.
Формулы для функций wSfk, Wstk для задачи в конусе
Доказательство. В доказательстве этой теоремы нам потребуются операторы М(т, G) и M(r,G), полученные замыканием дифференциальных выражений M{DX, т) и M(DX,T) на линеале D(G), в котором коэффициенты выбраны специальным образом : а3 = О, /Зе = 1 (эти операторы уже использовались при доказательстве Теоремы 1.4.3). Через {ги ь} обозначаем базис в Кег Mp{r,G) , построенный в доказательстве Теоремы 1.4.3 с помощью оператора M(r,G). Мы ввели указание на область G в обозначениях, потому что нам потребуются аналоги этих операторов для задачи (25), (26) в конусе К. Для них мы будем использовать обозначения М(0, К) и М(#, К). Коэффициенты {а3 , fiSjk} в линеале D(K) такие же, как и у D(G). Через {WSjfc} обозначаем базис в Кег Мр(в, /С) , который строится с помощью оператора М(в,К) также, как и базис {u e,ft} в Кег Мр(т, G) с помощью М(т, G). Через Ыв$ обозначим формальный ряд, аналогичный (46), удовлетворяющий задаче (25), (26).
Заметим, что коэффициенты {aStk, ps,k} выбраны указанным образом ради удобства. Можно взять произвольный набор, подчиненный условиям Re cxs,k0s,k = 0, \a ,k\ + \Ps,k\ О.Тогда изменятся операторы M(r,G), M(r,G), будет построен другой базис {ws,k} в КегіЦз(г, G) . Для собственных чисел пучка 21 из полосы Im А є]1, 3/2 [ в формулу (47) войдут слагаемые c„,k(ota,kUaik,T + &,Л- ,г)- Формулы для коэффициентов cS)fc и оценки, указанные в формулировке теоремы, не изменятся.
Пусть и - решение уравнения M{r,G)u = f и h :— M(T,G)\U. Через U обозначим решение уравнения M(6,K)U = Н, где H{rf) = (1/т)Л(т7/т), V = \т\х. Сильное решение единственно, значит U(rf) — x{v/\T\)u{v/\T\)- В силу свойств решений эллиптических задач в областях с особенностями, вблизи вершины О функция U допускает представление вида В сумму входят функции USik,T, отвечающие Собственным числам пучка 31 из полосы Im А Є \0m + 1/2, 1[, Т достаточно велико, чтобы выполнялись включения хг1 к+Т+1 т+1 Є Hp(JC). Коэффициенты dSik вычисляются по формулам dStk = г ( Н, WSik ) . Функция QV принадлежит пространству Щ(К). Уточним свойства функции V. Для этого рассмотрим уравнение M{B,K,)V = Я, где Н = Н M(D4I0)(Crf,,jfcWe,fe,T), сумма та же, что и в (48). Поскольку (#, W k) = 0, то, согласно Теореме 1.4.3 и Замечанию 1.4.4, справедливо включение V Є Т Н${)С, 1). Но М(в, K)V = Я, откуда V = V и V Є VH0{)C, 1). Оценим коэффициенты ds,fc через норму /. Так как dStk = і(Я, У )К, то справедливы неравенства где постоянная с не зависит от т. Поскольку U(T]) = x{r)u{x)i то вблизи точки О для функции и справедливо представление U, ,T{\T\X) = Е(Мг) л (т/т) Ф,(0,0 = = \т\гХкия!к,т(г,д,ф,т), для и окончательно получаем и{х, т) = С{\т\г) 2 c ,kUs,k,T{x, г) + w(x, т), где c9jk = \т\г hds . Нетрудно убедиться, что выполняется включение XW Є Нр{К) и справедлива формула cS;fc — i{f,wBtkj . Используя неравенство для d8jk, оценим с8 : \cSik\ c\rf+1/2-lm \\nH0(G,\r\)\\. Уточним свойства остатка w. Так как M(r,G)w = /, где /= / - M{DX,r)(CiT\ 2cs,kUs,k,T) и (/,wSifcJ = 0, то по Теореме 1.4.3 справедливы включение w Є VHp(G, \т\) и оценка №;ЪНр(С,\т\)\\ с{\\/;КН0{С,\т\)\\ + lM(X?„T)(CrEc.,ft ,ib,r);W (G,T)}. Последнее слагаемое оцениваем, используя неравенство для cSik и явный вид выражения M(Dx,T)US;k,T- В результате получим \\w;VH0(G, r)- c(\r\/7)\\f;nH0{G, \т\)\\. Замечание 1.5.2 Теорема 1.5.1 справедлива для задачи (22), (23) в конусе К, для любого 7 0. 1.6 Нестационарная задача в цилиндрах Q и Q. Применив обратное преобразование Фурье T 2,t, перейдем от задачи (22), (23) к задаче (4) с однородными краевыми условиями (6). Определение 1.6.1 Пусть функция f (Q, 7) и и(х,т)- сильное решение задачи (22), (23) в области G с правой частью —if, где f(x, г) = Tt- rf(x,t). Функцию и, заданную равенством u(x,t) = Т 1,±и{х,т), назовем сильным решением задачи (4) с однородными краевыми условиями (6) в цилиндре Q с правой частью /. Из Теоремы 1.2.9 вытекает следующий результат. Теорема 1.6.2 ДЛЯ всякой функции f Є Vo(Q,y) при любом у О существует сильное решение v задачи (4) с правой частью f с однородными краевыми условиями (6). Для сильного решения справедлива оценка Зафиксируем срезку % е C(G), равную 1 вблизи угловой точки О и нулю вне окрестности, где G совпадает с К. Положим Определение 1.6.3 Пусть f 7ZVj3(Q,j) и ії(х,т)— сильное [3—решение задачи (22), (23) в области G с правой частью f, где f(x,r) — Tt .Tf{x,i). Функцию и, заданную равенством u(x,t) — jF l tu{x,r)? назовем сильным /3—решени-ем задачи (4) с однородными краевыми условиями (6) в цилиндре Q с правой частью /. Следующий факт вытекает из Теоремы 1.4.3. Теорема 1.6.4 1) Пусть (З Є [/Зі, 1] и прямая Im A = j3 + 1/2 не со-держит собственных чисел пучка 21. Пусть 7 7о для достаточно большого 7о Тогда существует единственное сильное /3—решение v задачи (4) с однородными краевыми условиями (6) для любой правой части f Є "КУ p{Q,,i). Для решения справедлива оценка 2) Пусть 0 є]0т+і, Рт[. Сильное р—решение задачи (4) с однородными краевыми условиями (6) с правой частью / Є TZVpiQil) существует (и единственно), если при всех значениях параметра т — a—ij (а Є Ж, у 0) выполнены Sm условий (f(-,r),wStk(-,r))G = 0,где { s V -i -m _ а зис в КегМр(т) . Если решение существует, то для него выполняется оценка из пункта 1) теоремы. Наконец, сформулируем теорему, которая получается из Теоремы 1.5.1 с помощью обратного преобразования Фурье. Возьмем в качестве пространственной части системы (4) оператор Д который получается замыканием дифференциального выражения A(DX), заданного на линеале D(G), в котором aSjk = 0.
Формулы для функций wS;k, WBik для задачи в клине
Оператор A(DXl,DX2,0) с областью определения (К) симметричен. Тогда из Предложения 2.4.1 следует, что замыкание А оператора A(DXl,DX2,Q) - самосопряженный оператор. Если 2а 7г, то в линеал D{K) входят две функции x(otsVs,i + /?eUj,-i) (s = 1,2), где ая,/Зя - фиксированные коэффициенты, подчиненные условиям Re asfts — 0, \ад\ + /?s 0. Таким образом, при 2а 7г выбором параметров {as, (3s}s=i,2 можно задавать различные самосопряженные расширения дифференциального выражения A(DX1,DX2,0), В дальнейшем, если нет специальных указаний, рассматривается произвольное самосопряженное расширение.
Перейдем к оператору задачи в шкале весовых пространств. С задачей (49), (50) свяжем неограниченный оператор v - Мр(} т) := M(DXI,DX2,,T) с областью определения Dp(K), действующий из Т Н/з(К,,,т) в 1ZHp(K,,т). Оператор ІЦз(,г) также допускает замыкание. Через Мр( т) и DMp(,r) далее будем обозначать замкнутый оператор и его область определения. Пусть 1/2 / / ... - все такие числа из интервала ] — со, 1/2[, что прямая Im А — /3 содержит собственное число пучка 23. Через Sm обозначим сумму кратностей собственных значений пучка 23 из полосы Im А є [f3m, /]. Определим сильные и /?-сильные решения и сформулируем теоремы о разрешимости.
Определение 2.4.2 Сильным решением задачи (49), (50) с правой частью f Є 1 2(Щ назовем решение уравнения M(,T)V — f. Определение 2.4.3 Сильным р-решением задачи (49), (50) с правой частью f Є 72-(К, , т) назовем решение уравнения Mp( ,r)v — f. Из Предложения 2.4.1 вытекает следующий результат Теорема 2.4.4 Для всякой функции f из іг( ) и любых значений параметров г = а — гу (сг Є К, 7 0) и , Є R существует единственное сильное решение v задачи (49), (50) с правой частью /. Справедлива оценка Доказательство следующего утверждения с незначительными изменениями повторяет доказательство Теоремы 1.4.3. Теорема 2.4.5 Предположим, что а ж, А) Пусть j3 є]/Зі, min{l,7r/2a}[. Тогда для любой функции f Є 7Я/?(К,,г) существует единственное сильное (5-решение v задачи (49), (50) в угле К с правой частью /. Для решения v справедлива оценка Б) Пусть Р ]Д+1, /Зт[. Сильное Р-решение задачи (49), (50) с правой частью f Є КЯ (К, , т) существует и единственно, если выполнены Sm условий (/,wSTfc)K = 0, где {tue, }C-l..,-m " базис в Кег Щ{ ТУ- Для решения справедлива оценка из п. А) теоремы. Замечание 2.4.6 Теорема 2.4-4 справедлива для задачи (49), (50) в области Q. Теорема 2.4-5 справедлива для задачи (49), (50) в области И при дополнительном условии: 7 7о с достаточно большим JQ. Сформулируем аналог Теоремы 2.4.5 для угла К раствора 2тг. В этом случае отсутствует интервал однозначной разрешимости. Так как j3 min{l,7r/2a} = 1/2, то сразу имеется двумерное коядро, элементы u i,_o, 2,-0 которого вблизи вершины угла IK имеют асимптотику вида гив,_о Q svs,+o + bsvs-o, s = 1,2, с некоторыми коэффициентами а8, Ь3. Замечание 2.4.7 Предположим, что а. — 7г. Пусть /З Є ]/?m+i, /?m[. Сильное р-решение задачи (49), (50) с правой частью f Є 1ЇНр(К,,т) существует и единственно, если выполнены Sm 4 2 условии (/, Ws K — 0, где {ws,kYjZlo -т " базис в Кег М .т) . Для решения справедлива оценка из п.А) Теоремы 2-4.5, Применив обратное преобразование Фурье 7 1Т\_,/Х л перейдем к задаче (4), (6) Б цилиндре Т (или Т). Определение 2.5.1 Пусть / Є VQ(T, 7) « и(х]_,х2,І,т) - силь-ное решение задачи (49), (50) в угле К с правой частью —if, где /(хьх 2,, г) = (13,4) ( )/( 1, 2, 3 )- Фї/нкч«№ гх, заданную равенством u{xr,X2,xz}t) — F7 T) r tS{x\,X2,,iT), назовем сильным решением задачи (4) с однородными краевыми условиями (6) в цилиндре Т с правой частью /. Из Теоремы 2.4.4 получается следующий результат. Теорема 2.5.2 Для всякой функции f Є У0(Т,7) при любом 7 0 существует сильное решение v задачи (4) с однородными краевыми условиями (6) с правой частью /. Для сильного решения справедлива оценка Зафиксируем срезку х Є С(К), равную 1 вблизи угловой точки О. Положим Xu(xi,X2lX3lt) = т (Х(тгі, \T\x2) f rU{Xi,X2lX3,f)t №и(хи х2, яз, t) = F T Tt rUiXu x2, x3) If), Pf u(x1,X2, X3, t) = (&)r) {x3ft)Ptl {xzf,t ) {i,T)U{xuX2, X3, t ). Здесь оператор Л - тот же самый, что и в первой главе, а X отличается тем, что срезка не зависит от х$. Введем пространства W (T,j), 7lVp(T,y) с нормами iW;W,(Tl7) = (72lk (T?7)2 + Xu; (Tl7)2)1/2, !/;7г (т,7)Ц = (11/: ( 7)1 + (1/7 11 - ( 7)112)172. Определение 2.5.3 Пусть / Є TZVp(T,j) и ЇЇ(ХІ,Х2,,Т) - сильное 0—решение задачи (49), (50) в угле К с правой частью, определяемой ра-венством —if, где f(xi,x2,,r) = Jr(X3it) fT)f(xi,X2 x3tt). Функцию и, заданную равенством u(xi,x2,x3,t) = FutT) fatifi(xi,X2,,T)} назовем сильным /?—решением задачи (4) с однородными краевыми условиями (6) в цилиндре Т с правой частью /. Следующий факт вытекает из Теоремы 2.4.5. Л) Пусть 0 є]/?ь min{l, тг/2а}[. Тогда для любой функции / Є 72.V (Т, 7) существует единственное сильное 0—решение v задачи (4) с однородными краевыми условиями (6) с правой частью f. Для решения справедлива оценка ;2 (Тл) с/;7г (Т,7). В) Пусть 0 Є]Дв+і, /Зт[. Сильное 0 решение задачи (4) с однородными краевыми условиями (6) с правой частью f є TZVp(T f) существует и единственно, если при всех значениях параметров (еІ«тІ- 7 выполнены Sm условий (Д-,,т),и) (-,,т))к = 0, где {г ЛЕ-!,..,- -базис в Кег Мр(,т) . Если решение существует, то для него выполняется оценка из пункта А) теоремы.
Оператор в шкале весовых пространств
Положим u(xtt) = x{t)v{x)t где лг Є e_7 5(R) П 5(R) и v Є ( (П С8). Применив преобразование Фурье _ т, равенство Парсеваля и воспользовавшись произвольностью функции х, придем к неравенству (133)
Замечание 3.8.6 Аналог Предложения 3.8.5 справедлив для задачи (123), (124) пРи замене г на т. При этом в оценке (133) надо заменить Тъ Г\ наТ2, Г2. Рассмотрим задачу (120), (121) в области G и сформулируем результат, аналогичный Предложению 3.8.5. Напомним, что GcM3- область, совпадающая с допустимым конусом /С в некоторой окрестности конической точки О. Определение 3.8.7 Обозначим через V(G) линеал, натянутый на функции w Є C(G \ О), такие, что w Є L2{G), W\QG Є L2(dG) и A{Dx)w e L2{G). Предложение 3.8.8 Для всех v Є T [G) имеет место оценка где т = а — іу, а ЄШ, 7 7о с достаточно большим 7о- Постоянная с не зависит от г и от v. Доказательство этого факта аналогично проверке Предложения 3.1.6. Сильные решения для задачи (120), (121) определяются аналогично тому, как это делалось для задачи (75), (76). Сформулируем теорему о сильных решениях. Теорема 3.8.9 Пусть 7 7о с достаточно большим 7о- Тогда для всякой пары {f,g} L2(G) х L2,T( /C) и любых значений параметра г — о- — гу (с К, 7 7о) существует единственное сильное решение задачи (120), (121) в области G с правой частью {/,5}- Для решения справедлива оценка 7 ; 2( 7) с{/; L2(G)j2+7-]s; L2{dG)\\2}, где постоянная с не зависит от TUV. Перейдем к теоремам о сильных /3—решениях и поведении сильных решений вблизи конических точек. Введем линеал. Определение 3.8.10 Через T p{G) при 0 1 обозначим линеал, натянутый на функции w є C(G \ О, С8) Л H (G, т), такие, что w\aa Є L2{dG) П Hl/2{dG) и A{Dx)w Є L2{G) n Щ{0). Для функций из этого линеала справедлива весовая комбинированная оценка. Предложение 3.8.11 Пусть 0 1 и прямая Im А = 0 + 1/2 не содержит собственных значений пучка С Пусть также 7 7о для достаточно большого 7о- Тогда для всех v Є T)@{G) справедлива оценка где Хт(г) = x(lrlr)) X Є C (G) - некоторая фиксированная срезка, равная 1 в окрестности конической точки, где область G совпадает с конусом К, и нулю вне этой окрестности. Постоянная с не зависит ни от v, ни от т. Через " HimPip(G, \т\) обозначим пополнение множества C(G \ О,С8) х C%(G\0 C5) по норме, квадрат которой определяется правой частью оценки (137). Введем подпространство в Пусть l/2 fa (32 - все такие числа из интервала ] — сю, 1/2[, что прямая Im A = /?fc + 1/2 содержит хотя бы одно собственное значение пучка . Обозначим через Sm сумму кратностей всех собственных значений пучка из полосы Im А Є [ftm +1/2, / + 1/2]. Сильные /3—решения для задачи (120), (121) определяются аналогично тому, как это делалось для задачи (75), (76). Сформулируем теорему о сильных /?—решениях. Теорема 3.8.12 А) Пусть /? Є [/?і, 1] и пусть прямая 1га А = (5 + 1/2 не содержит собственных значений пучка С Тогда для всякой пары {ft я} Є TS impA KG, \т\) существует единственное сильное р-решение v задачи (120), (121) с правой частью {f,g}. Для решения справедлива оценка \\v;VH0(G,\r\)\\ с\\{/,д};11НітрЛТ(С,\г\)\\. Постоянная с не зависит от v и т. В) Предположим, что 0 Є]Рт+і,Рт[. Сильное 0-решение задачи (120), (121) с правой частью {f,g} Є TSJ mp rf/C, т) существует, если выполнены Sm условий {!,Ыз,к)с + І9, (l/«)?iu;,,fc)aG = где {wSii„(l/i)TiwSik}8i _Z i -т базис в ядре сопряженного оператора. Функции wStk удовлетворяют однородной задаче (123), (124)- Решение удовлетворяет оценке из п.А). Наконец, сформулируем теорему об асимптотике сильных решений вблизи конической точки. Теорема 3.8.13 Предположим, что {f,g} Є T nimp fT{G, \r\), 0 є ]flm+i, Pm[ и 7 7o с достаточно большим 7о- Тогда сильное решение и задачи (120), (121) в области G с правой частью {/, д] допускает представление
Через Us,k,N обозначена сумма первых N слагаемых формального ряда, аналогичного (108) и удовлетворяющего однородной задаче (120), (121); w Є VHp(G, \т\); хмО") = х(Ит-), где х срезка, равная единице вблизи точки О и нулю вне окрестности, где область G совпадает с конусом К. В сумму входят слагаемые, отвечающие собственным числам пучка из полосы Im А Є [0т + 1/2, / + 1/2], при этом N в каждом слагаемом выбирается достаточно большим, чтобы выполнялись включения
