Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Центроаффинные комитанты дифференциальной системы
1. Теорема Грама 30
2. Дифференциальные уравнения для центроаффинных инвариантов системы (1.1) 37
3. Свойства дифференциальных операторов Q. и О 4-І
4. О виде изобарного полинома S , для которого Q S = О 44
5. Полуинварианты системы (І.І) и их линейная независимость 49
6. Вычисление размерностей линейных пространств комитантов с помощью ЭВМ 58
ГЛАВА II. Метод построения базиса центроаффинных комитантов
7. Определение трансвектанта и его свойства 69
8. Метод трансвектантов построения минимального базиса 75
9. Использование размерности линейного пространства комитантов. Полиномиальный базис комитантов однородной кубической системы 83
10. Полиномиальный базис комитантов однородной квадратичной системы 102
11. Минимальный полиномиальный базис комитантов квадратичной системы 108
ГЛАВА III. Центроаффинно инвариантная топологическая классификация квадратичной системы при наличии центра
12. Обзор литераторы и вспомогательные предложения 117
13. Случай L, = 0 126
14. Случай 10, Ііь 0 154
15. Случай ІЩ 15 0 184
S 16. Случай ЇО 194
17. Сводка результатов 197
ГЛАВА ІV. Полная система ортогональных инвариантов
S 18. Постановка задачи 204
19. Унарные, бинарные и тернарные инварианты 209
20. Кватернарные инварианты 216
21. Минимальная полная система ортогональных инвариантов квадратичной системы. Ортого нальная эквивалентность таких систем 220
Литература 226
- Дифференциальные уравнения для центроаффинных инвариантов системы (1.1)
- Вычисление размерностей линейных пространств комитантов с помощью ЭВМ
- Использование размерности линейного пространства комитантов. Полиномиальный базис комитантов однородной кубической системы
- Минимальная полная система ортогональных инвариантов квадратичной системы. Ортого нальная эквивалентность таких систем
Введение к работе
Задача изучения топологической структуры разбиения на траектории фазового пространства автономной полиномиальной системы
является одной из основных задач качественной теории двумерных дифференциальных систем. Конечной целью качественного исследования любой дифференциальной системы вида (I) является разбиение пространства коэффициентов многочленов г(ое}ц) и Q(x>bt) на части с одинаковыми топологическими структурами в каждой точке. Отметим, что эта цель не достигнута даже в таком простом случае, когда Р(я>#) и в fag) - многоч -лены второй степени, несмотря на то, что к указаной системе приводит большое количество прикладных задач (см., например, обзор В. Коппеля [б5] ).
При качественном исследовании, система (I), как прави -ло, подвергается линейному (центроаффинному) преобразованию, с целью приведения ее к более простому виду. Если рассматривается полуалгебраически разрешимая задача [2] то соответствующие условия имеют вид равенств и неравенств между полиномами от коэффициентов преобразованной системы. При выражении этих условий через коэффициенты исходной системы (I)
встречаются значительные трудности. Поэтому возникает задача нахождения аффинно-инвариантных коэффициентных условий.
Согласно теореме Грама, если система коэффициентных условий имеет центроаффинно-инвариантный смысл для системы (I), то эти условия можно выразить через центроаффишше инварианты и комитанты системы (I). Этим и обуславливается значение комитантов и инвариантов системы (I), а также необходимость их исследования.
Алгебраическая теория инвариантов появилась в середине XIX века в Англии и заняла одно из центральных мест в математике второй половины XIX в. Фундаментальными в этом направлении стали работы Д. Гильберта [72] опубликованные в 90-х годах. Основы классической теории инвариантов изложены в книгах Г. Вейля [із] Г.Б. Гуревича [26] Дж. Грэйса и А. Юнга [70] И. Шура [80] и других авторов. В работах В.Ф. Мейера [77] и Р. Вейтценбека [81] приводится обширная библиография и дан обзор работ по этой теории.
В последнее время к теории инвариантов вновь возник интерес, в связи с применением ее к некоторым вопросам алгеб -раической геометрии, функционального анализа, дифференциальных уравнений, механики сплошной среды, кристаллографии и др. ( см., например, работы!. Дьёдонне, Дж. Керрола, Д. Мамфор-да [33] Э. Спенсера [58] Т.Э. Спрингера [59] , Д. Хаджиева [62] , А.й. Кухтенко [39] , Л.И. Седова [52] , Ф.В. Должанс-кого, В.И. Кляцкина, A.M. Обухова, М.А. Чусова [32] и др.).
Впервые применение теории инвариантов в дифференциаль -ных уравнениях нашло отражение, в работах французских математиков. Отметим здесь работы э. Лагерра [75] , Ж. Альфана [71] , Р. Лиувилля [76] , П. Аппеля [бЗ] , П. Пенлеве [79]
- б -
и др.
Инварианты дифференциальных систем при степенных и аналитических преобразованиях неизвестных изучаются в работах А.Д. Брюно [8, Э] , Л.А. Беклемишевой [5] , Г.Р. Белицкого [б] , Л.М. Мархашова [46] . Отметим еще работы Л.В. Овсянникова [47] , Н.Х. Ибрагимова [34] , Н.В. Степанова [60, 61] , В.И. Близникас, З.Ю. Лупейкис [7] , в которых рассматриваются вопросы группового и геометрического анализа дифференци -альных уравнений.
В начале 60-х годов в Кишиневе под руководством К.С. Сибирского начаты исследования полиномиальных инвариантов автономных систем дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями при различных группах линейных преобразова -ний фазового пространства. В частности, для двумерных полиномиальных систем методом символики Аронгольда изучаются центроаффинные инварианты и комитанты (см. работы [іо - II, 25, 27, 28] ) и находятся полиномиальные зависимости (сизи -гии) между ними [ЗІ, 48] , причем выражения самих инвариан -тов и комитантов получены с помощью ЭВМ [24, 35] . Найденные при этом инварианты и.комитанты используются для проведения центроаффинной классификации соответствующих систем [30, 49, 50] , а в случае системы с квадратичными нелинейностями используя центроаффинные инварианты^решается вопрос о наличии у нее одной или двух особых точек типа "центр", вопросы изохронности и цикличности [36, 55] Заметим, что вопросы применения комитантов при классификации однородной квадратичной системы рассмотрены также в работах Т. Дэйта [бб, 67].
Актуальность темы. Символическим методом Аронгольда невозможно построить минимальный полиномиальный базис центро -
-7-. аффинных комитантов системы (I) (конечность которого обеспечена известной теоремой Д. Гильберта [72] ), так как неизвестно до какой степени необходимо проводить исследование. Существующие оценки для максимальной степени базисных инвариантов (см., например, В.Л. Попов [51]) носят чисто теоретический характер и непригодны для практического применения.
Таким образом, до настоящего времени отсутствовали эф -фективные методы построения конечных полиномиальных базисов центроаффинных инвариантов системы (I). Построение такого метода является одной из задач, решаемых в диссертации.
Глобальному качественному исследованию квадратичной системы при наличии центра посвящены работы многих авторов [38, 40, 41, 43, 44, 69j, но остался открытым вопрос о коэффици -ентных условиях различения топологических классов. Решение этого вопроса также является составной частью данной работы.
Цель работы. I) Разработать метод построения минималь -ных полиномиальных базисов центроаффинных комитантов двумерных автономных дифференциальных систем с полиномиальными правыми частями; 2) используя элементы построенных минимальных полиномиальных базисов разработать применения инвариан -тов и комитантов к глобальному качественному исследованию дифференциальных систем; 3) решить представляющую самостоя -тельный интерес задачу построения минимальных полных систем ортогональных инвариантов двумерной полиномиальной системы, полностью решая тем самым вопрос об ортогональной эквивалентности двух таких дифференциальных систем.
Научная новизна. В диссертации развито новое научное направление в теории инвариантов и комитантов дифференциальйых систем, связанное с построением их полиномиальных базисов и применением для глобальной качественной характеристики систем. В ней решены следующие конкретные задачи, определяющие науч -ную новизну работы:
построены дифференциальные операторы Sc и О аннулирующие центроаффинные инварианты дифференциальных систем;
используя операторы і с и С/ разработан алгоритм вычисления с помощью ЭВМ числа линейно независимых комитантов данного типа дифференциальной системы;
с помощью трансвектантов разработан метод построения минимальных базисов центроаффинных комитантов двумерных полиномиальных систем;
используя разработанный метод получены такие базисы для однородной кубической системы и для системы с квадратичными нелинейностями;
в случае наличия у квадратичной системы центра в начале координат получено аффинно-инвариантное разбиение пространства ее коэффициентов на топологически различные классы; при этом, используя элементы построенного минимального полиномиального базиса комитантов, найдены полуалгебраические аффинно-инвариантные необходимые и достаточные условия принадлежности указанной системы .к каждому из 32 топологически различных классов;
разработан простой алгоритм построения минимальных полных систем ортогональных инвариантов двумерных полиноми -альных дифференциальных систем. Тем самым решена задача об ортогональной эквивалентности двух таких систем.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации и разработанные в ней методы могут быть использованы в теоретических исследованиях при изучении центроаффинных комитантов и ортогональных инвариантов двумерных дифференциальных систем, с целью последующего их привлечения к гло -бальному качественному исследованию соответствующих систем.
- 9 -Результаты топологической классификации квадратичной
системы при наличии центра имеют табличный характер, что позволит специалистам прикладных отраслей использовать их в своих исследованиях.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Всес. конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Кишинев, 1979), на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Московского госуниверситета, руководимом проф. В.М.Миллионщиковым (1979, 1983), на семинаре кафедры высшей математики Белорусского госуниверситета, руководимом проф. Ю.С.Богдановым (1983), на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Ленинградского госуниверситета, руководимом проф. В.А.Длиссом (1983), на семинаре по диффе -ренциальным уравнениям в Институте математики АН УССР, руководимом академиком АН УССР Ю.А.Митропольским (1983) и систематически на Кишиневском семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений, руководимом академиком АН МССР К.С.Сибирским и проф. Б.А.Щербаковым.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [12 - 23]
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 21 параграфов. Параграфы имеют сплошную нумерацию. Утверждения, определения и т. п. занумерованы двумя числами, второй из которых указывает номер параграфа. В конце работы приведен список литературы из 81 наименования.
Содержание работы. Глава I ( 1-6) посвящена разработке алгоритма нахож -дения числа линейно независимых центроаффинных комитантов данного типа для системы дифференциальных уравнений
где &jj'...j fy e ' ' - тензоры, симметричные по нижним индексам, по которым производится полное свертывание, а і некоторое конечное множество различных натуральных чисел. Обозначим через Q группу центроаффинных преобразова-
/-?>( tUi($)*o сич,*)
фазовой плоскости \\ системы (2), через & - совокуп -ность всех коэффициентов системы (2), а через 6 - сово -купность коэффициентов системы, получающейся из (2) после преобразования О, є ч (обозначим это так: ё~&(а) ).
Определение І.І. Полином KfuyXi^j) от коэффициентов системы (2) и координат векторов Х± и Х% называется комитантом системы (2) при группе Ц (или центроаффинным комитантом), если существует такая функция Af^)5 что
Mfyi,у.)-*#) ^).)
при любых о Є Ц и любых коэффициентах системы (2) и координатах векторов ОС і и Хх, Если А(<) = і9 то комитант nffijJCij^Cj) называется абсолютным, в противном случае -относительным.
В частном случае, когда комитант П не зависит от координат векторов ОС± и ССХ его принято называть инвариан -том системы (2).
В I формулируется и приводится доказательство теоре -мы Грама для системы (2).
- II -
Рассмотрим соотношения
9(a) =0 (і'*Є)> (3)
где г> - полиномы от коэффициентов системы (2). Скажем, что соотношения (3) имеют инвариантный смысл для группы Ц^ если для каждого s є Q они равносильны соотношениям
?i(a(s)) = o {і a it).
Теорема І.І (Грама). Если соотношения (3) имеют инвариантный смысл для группы U центровффинных преобразований фазовой плоскости системы (2), то они эквивалентны системе соотношений
\[і(а,х„аи)-0. (і*і<Ю>
в которой П-і - суть центроаффинные комитанты системы (2). Используя специальное тождество Капелли удалось дока -зать, что соотношение \\(О^Х1ухл) = 0 эквивалентно соотношениям
где комитанты /|; - Kl(Q,ocx) (1=4ут) не зависят от координат вектора 3.
С учетом этого, теорема Грама дает в определенном смысле основу для широкого применения при качественном исследо -вании системы (2) центроаффинных комитантов, зависящих от коэффициентов системы (2) и от координат лишь одного векто -ра ос е R,
В дальнейшем, под комитантом системы (2) будем понимать комитант, зависящий от координат лишь одного вектора ос =
Б s 2 строятся дифференциальные операторы Ъс и О ,
- 12 -аннулирующие центроаффинные инварианты системы (2).
Запишем СИСТему КОэффИЦИеНТНЫХ ТеНЗОрОВ CLjj ...и
(у е Г) системы (2) в виде
( л, - число элементов множества і ), а координаты тензора a (^ = ^2,...^)- в виде
» .
где значение нижнего индекса соответствует числу двоек ере -ди индексов jsj^...,^ У координат тензора &jjz...j >
а 2i количество нижних индексов у тензора а (я*>з>.„^1).
Лемма 1.2. Любой центроаффинный инвариант 1 системы (2) удовлетворяет уравнениям
Qhoy 01*0,
Операторы являются обобщениями соответст-
вующих операторов, введенных Кэли и Сильвестром для бинар -ных форм.
В $ 3-4- изучаются свойства дифференциальных операторов
Q « о.
Скажем, что комитант К системы (2) имеет тип
- ІЗ -
если он является однородным полиномом степени ОІі относи -тельно координат тензора а. (С* i,2,...) и степени о относительно компонент вектора ОС. При этом число ol- оС^ + +ах+"'*сЦ () назовем степенью (порядком) комитанта типа (4).
Обозначим через > - коэффициент при наивысшей степени О координаты СС вектора ее в комитанте К типа (4) (его обычно называют ведущим коэффициентом в комитанте \\ ). Ясно, что полином Ь имеет тип
fakM, ...,0^). (5)
Назовем весом координаты любого коэффициентного тензора системы (2) относительно координаты X (зсл) вектора ос разность между числом ее нижних и верхних индексов, имеющих значение единица (двойка). Весом члена полинома Ь называется сумма весов всех сомножителей этого члена. Если все члены полинома Ь типа (5) имеют один и тот же вес А относительно ее и вес О относительно си то говорят, что полином S является изобарным веса ("-;
Теорема 2 Л. Для того, чтобы ненулевой полином S типа (5) изобарный веса ( Ус) $ ) являлся ведущим коэффициен -том в некотором центроаффинном комитанте К типа (4-) системы (2), необходимо и достаточно выполнение условия
Я 5-0.
При этом показано, что полином S определяет одноз -начно все остальные коэффициенты комитанта К.'
- u -
где 0 - определенный выше дифференциальный оператор. Следуя Кэли, полином S назван полуинвариантом системы (2). В частности, при к- Q (тогда о = О ) полуинвариант S является инвариантом.
Таким образом устанавливается взаимно однозначное соответствие между полуинвариантами системы (2) и ее центроаффи-нными комитантами, причем'доказана
Лемма 1.5. Всякое полиномиальное соотношение между полуинвариантами системы (2) равносильно тому же соотношению между соответствующими им комитантами.
На основании этого предложения выявление линейно неза -висимых комитантов системы (2) сводится к нахождению линейно независимых полуинвариантов. Определению числа линейно независимых полуинвариантов данного типа (5) системы (2) и посвящен 5.
Имеет место
Теорема 1.5. Число N линейно независимых изобарных веса ("-)#) полуинвариантов данного типа (5), а следовательно, и соответствующих им комитантов системы (2), определяется равенством N" No ~No^i , где No (Nci-i) - число всевозможных членов изобарного полинома веса (^jj?) ((&**> 9"*)) типа (5).
Знание числа линейно независимых комитантов данного типа (4) для системы (2) облегчает исследование этих комитан -тов и построение полиномиальных базисов комитантов таких систем.
Определение 2.5. Множество комитантов системы (2) называется полиномиальным базисом комитантов системы (2), если любой комитант этой системы выражается в виде полинома от элементов этого множества. Полиномиальный базис называется минимальным, если при удалении'из него любого элемента, он перестает быть полиномиальным базисом.
В качестве примера проведено исследование инвариантов шестой степени для однородной кубической системы (т.е. сие -темы (2) с г-^1 ):
Доказано, что минимальный полиномиальный базис центроаффин -ных комитантов этой системы содержит один и только один инвариант шестой степени. Это доказательство занимает одну страницу. Для сравнения заметим, что это же исследование методом символики Аронгольда в работе 29 заняло 22 страницы.
Необходимо отметить, что процесс нахождения числа линейно независимых комитантов данного типа (4) становится слишком громоздким при повышении степени комитантов. В свя -зи с этим в а в разработан алгоритм решения этой задачи с помощью ЭВМ. Он был реализован в виде программы на языке 9L/i в системе ОС ЕС ЭВМ.
В этом же параграфе приведена таблица 1.6, в которой для системы (2) с / -7^2,3} приведены вычисленные на ЭВМ ЕС 1030 числа линейно независимых комитантов заданных типов (от 3-ей до II-ой степени), которые необходимы для дальней -шего исследования.
Дифференциальные уравнения для центроаффинных инвариантов системы (1.1)
Обозначим через - коэффициент при наивысшей степени О координаты СС вектора ее в комитанте К типа (4) (его обычно называют ведущим коэффициентом в комитанте \\ ). Ясно, что полином Ь имеет тип
Назовем весом координаты любого коэффициентного тензора системы (2) относительно координаты X (зсл) вектора ос разность между числом ее нижних и верхних индексов, имеющих значение единица (двойка). Весом члена полинома Ь называется сумма весов всех сомножителей этого члена. Если все члены полинома Ь типа (5) имеют один и тот же вес А относительно ее и вес О относительно си то говорят, что полином S является изобарным веса ("-; ?)
Теорема 2 Л. ДЛЯ того, чтобы ненулевой полином S типа (5) изобарный веса ( Ус) $ ) являлся ведущим коэффициен -том в некотором центроаффинном комитанте К типа (4-) системы (2), необходимо и достаточно выполнение условия Я 5-0. При этом показано, что полином S определяет одноз -начно все остальные коэффициенты комитанта К. где 0 - определенный выше дифференциальный оператор. Следуя Кэли, полином S назван полуинвариантом системы (2). В частности, при к- Q (тогда о = О ) полуинвариант S является инвариантом. Таким образом устанавливается взаимно однозначное соответствие между полуинвариантами системы (2) и ее центроаффи-нными комитантами, причем доказана Лемма 1.5. Всякое полиномиальное соотношение между полуинвариантами системы (2) равносильно тому же соотношению между соответствующими им комитантами. На основании этого предложения выявление линейно неза -висимых комитантов системы (2) сводится к нахождению линейно независимых полуинвариантов. Определению числа линейно независимых полуинвариантов данного типа (5) системы (2) и посвящен 5. Имеет место Теорема 1.5. Число N линейно независимых изобарных веса ("-)#) полуинвариантов данного типа (5), а следовательно, и соответствующих им комитантов системы (2), определяется равенством N" No No i , где No (Nci-i) - число всевозможных членов изобарного полинома веса ( jj?) (( 9" )) типа (5). Знание числа линейно независимых комитантов данного типа (4) для системы (2) облегчает исследование этих комитан -тов и построение полиномиальных базисов комитантов таких систем. Определение 2.5. Множество комитантов системы (2) называется полиномиальным базисом комитантов системы (2), если любой комитант этой системы выражается в виде полинома от элементов этого множества. Полиномиальный базис называется минимальным, если при удалении из него любого элемента, он перестает быть полиномиальным базисом. В качестве примера проведено исследование инвариантов шестой степени для однородной кубической системы (т.е. сие -темы (2) с г- 1 ): Доказано, что минимальный полиномиальный базис центроаффин -ных комитантов этой системы содержит один и только один инвариант шестой степени. Это доказательство занимает одну страницу. Для сравнения заметим, что это же исследование методом символики Аронгольда в работе 29 заняло 22 страницы. Необходимо отметить, что процесс нахождения числа линейно независимых комитантов данного типа (4) становится слишком громоздким при повышении степени комитантов. В свя -зи с этим в а в разработан алгоритм решения этой задачи с помощью ЭВМ. Он был реализован в виде программы на языке 9L/i в системе ОС ЕС ЭВМ. В этом же параграфе приведена таблица 1.6, в которой для системы (2) с / -7 2,3} приведены вычисленные на ЭВМ ЕС 1030 числа линейно независимых комитантов заданных типов (от 3-ей до II-ой степени), которые необходимы для дальней -шего исследования. Глава II (&j 7 - II) посвящена разработке метода пост - 16 роения минимальных полиномиальных базисов центроаффинных комитантов систем вида (2) и его использованию при построении таких базисов для некоторых систем. При этом обобщается соответствующий метод Гордана, разработанный им для бинарных форм. В 7, используя символику Аронгольда приводится поня -тие трансвектанта, играющее важную роль в обеспечении конечности процесса построения полиномиального базиса комитантов системы (2). Из общей теории инвариантов следует, что в символичес -кой записи Аронгольда любой центроаффинныи комитант системы (2) представим в виде линейной комбинации произведений символических факторов первого рода (типа (и, ) ) второго рода (типа [uv] ) и третьего рода (типа Cmrj ), т.е. комитантов вида где D - произведение факторов, не содержащих зе, а і ( о) - символы, введенные для обозначения некоторых коэф фициентных тензоров системы (2) (среди этих символов могут быть и одинаковые). Комитанты вида (7) будем называть прос тыми комитантами.
Вычисление размерностей линейных пространств комитантов с помощью ЭВМ
Пусть 0 - группа ортогональных преобразований фазовой плоскости системы (2) (т.е. для о V имеем 00 - Е где Я - матрица, транспонированная к ), a SO группа всех вращений плоскости вокруг начала координат. В работе К.С. Сибирского [55] разработан алгоритм построения полных систем инвариантов системы (2) при группах 0 и SO и указаны нетривиальные приложения инвариантов указанных групп в качественном исследовании систем вида (2). Решен также вопрос о выделении минимальной полной системы инвариантов группы Ь v. Однако вопрос о построении минимальной полной системы ортогональных инвариантов системы (2) остался открытым.
Заметим, что построение полных систем инвариантов групп и U для системы (2) можно легко выполнить, восполь зовавшись переходом к комплексным переменным, в которых пре - 26 -образование вращения плоскости имеет наиболее простую форму. Введением комплексной переменной ЬУ х Cx система () а исследование инвариантов системы (2) при группе 0 сводится [55J к изучению инвариантов этой группы для уравнения (II). Заметим, что при вращении фазовой плоскости (яг з на угол f каждый коэффициент Uje уравнения (II) приобре -тает лишь множитель е . Тем самым каждой из к координат tCjg вектора и ставится в соответствие координата $.- C-J- і вектора с целочисленными координатами. Введем одноиндексную нумерацию для векторов и и : 2 = (Z ,2r,. o z ) $ Ki, Ca,.--i ) к обозначим ЭС j = = / f; (Жет) наибольший общий делитель чисел К/ при Л р, ,5 , $j»$e-0, {f 4Ss ? образуют полную систему ортогональных инвариантов уравнения (II). Задача состоит в выяснении вопроса о том, какие минимальные полные системы ортогональных инвариантов уравнения (II) можно составить удалением инвариантов из полной системы (12). Определение 3.18. Полиномиальный инвариант уравнения (II) назовем унарным (бинарным, тернарным, кватернарным), если он зависит только от одной (двух, трех, четырех) из координат вектора 2. В $ 19 рассматриваются унарные, бинарные и тернарные инварианты уравнения (II). В полной системе инвариантов (12) содержатся унарные инварианты видов (U) , (р ) и ( ) и бинарные - видов / )j 0й) и )- Установлены Теорема 1,19. В минимальную полную систему ортогональ -ных инвариантов уравнения (II) должны входить все унарные инварианты. Теорема 2.19. В минимальную полную систему ортогональных инвариантов уравнения (II) должны входить все инварианты видов (і) и (г) из (12). Инварианты вида ( ) не должны входить в нее. Тернарные инварианты в (12) имеют вид (со) и (9). При этом доказано, что все инварианты вида (Ш) необходимо включить в минимальную полную систему, а условия для вклю - 28 чения в нее инвариантов вида (&) выражаются через координаты вектора . Инварианту JPt вида (9) из (12) ставится в со -ответствие число оС « Кср / Жьр , Скажем, что инвариант Jpi обладает свойством неделимости (неравенства), если числа d и L - не являются целыми (если J. -4 і ). Теорема 4.19. Пусть числа р гг фиксированы, а рф 0. Если среди трех инвариантов W из (12) имеются инварианты, обладающие свойством неделимости, то из трех инвариантов (&) в минимальную полную систему включаются они и только они. Если ни один из трех инвариантов (9) не обладает свойством неделимости, то в минимальную полную систему необходимо включить лишь любой один из инвариантов (0J) обладающих свойством неравенства, если таковой существует. В 20 исследуются тернарные инварианты уравнения (II), имеющие вид ( i) из (12). Обозначим n-zs = (dpi в/руг Jf ts)(dfi$-d sf d s$). Спра -ведлива Теорема 1.20. При ого І its и р9 -4 й$ 0 инвари-ант J4S (v7 Si J ) должен входить в минимальную полную систему ортогональных инвариантов уравнения (II) тогда и только тогда, когда
Использование размерности линейного пространства комитантов. Полиномиальный базис комитантов однородной кубической системы
Пусть л - несимметрический тензор вида (3.2), координаты которого произвольны, а полином Ь вида (1.3) изобарен веса (и, ,0) и удовлетворяет уравнению - 0. Тогда при ntg полином О = 0, а при ТІ Q он представляет собой линейную комбинацию выражений, каждое из которых получается из тензора л , если 1) при О 0 подвергнуть его полным альтернированиям по Q парам нижних индексов и полному свертыванию по и верхним и (X нижним индексам, а остальные индексы положить равными единице; 2) при QiQ подвергнуть его полному свертыванию по а+ Q парам индексов, остальные верхние индексы положить равными двойке, а нижние - единице. Доказательство проведем методом полной математической индукции по ot+S (l duS ). Покажем сначала, что утверждение теоремы верно для oi + S =2. при этом S = d = ї, а из (2.3) следует h+Q = о. При Я 0 согласно (2.3) Ю= і , Q и (1.3) примет вид S=hifii . При этом (4.3) выполнено. Если к = Q , то Рі = = 0ЇЇ S =Ai/L «К /Ід - Тогда S2S t К К А а из (4.3) находим Л, К т.е. S=AJ При ft Q из (2.3) еледует h--{ , о= і , а (1.3) принимает вид h =Лллл.11щ этом 5?оеАіД-Аа Пі и из (4.3) следует Л = ? , Т.Є.5-Л Как легко видеть, во всех трех случаях утверждение теоремы верно. Предположим теперь, что утверждение теоремы справедливо для тензоров Я , валентность s + d которых равна к-І и докажем, что оно верно и для тензоров валентности К . I) Пусть S d .Из (2.3) следует h + Q 0 . Разобьем сумму Ь на две: «bi и 3 . К bi ( Ьл ) отнесем те слагаемые, у которых первый нижний индекс равен единице (двойке). Если од= 0 , то из (1.3) следует, что = Aa...i Яц... . где отмеченные многоточиями нижние (верхние) индексы также равны единице (двойке). Легко заметить, что ЪсЪ= 0, а утвержде -ние теоремы выполнено. Пусть Ьй 0. Тогда в Sc S2 члены, у которых среди нижних индексов на первом месте двойка, должны дать в сумме нуль, т.к. у всех остальных слагаемых первый нижний индекс единица. Поэтому, зачеркнув в индексах всех членов суммы SA первую нижнюю двойку, мы получим многочлен SA , обращающийся в нулю под действием операции с . При этом для 5 имеем s-s-i d- d у a s + oi = M-i. а) Если Иъ(] 0 , то в силу предположения индукции Ьа есть линейная комбинация выражений вида содержащих Q-i единичных бивекторов 6 ив которых все верхние индексы подвергнуты операции полного свертывания. Т.к. п. 0) то среди нижних индексов существует свободная единица. Добавляя некоторые выражения S и тут же вычитая -их, мы можем и последнюю свободную двойку заальтернировать с этой единицей. После такого преобразования Ь предста -вится в виде суммы Ь+ Ь ) где S-Si bb S = Sz+o9 причем з? S = 0, a S удовлетворяет утверждению теоремы. У всех же слагаемых из о первый нижний индекс - единица. Из (4.3) mRS - О следует jc О =0. Во всех слагаемых S зачеркнем не играющую роли первую нижнюю единицу, и тогда и к S применимо предположение индукции. б) При Q4 0 из k+Q 0 следует к О .В силу предположения индукции Ъ% есть линейная комбинация выраже ний вида в которых верхние (нижние) отмеченные точками индексы свернуты или равны двойке (единице). В силу Q&0 среди верх -них индексов существует хотя бы одна свободная от свертывания двойка. Добавляя и вычитая некоторые выражения мы можем и эту двойку свернуть с нижней. После такого преобразования S C" С" О О" О" =0+ О 5 где be U = 0 и о удовлетворяет утверждению теоремы, а у всех слагаемых Ь первый нижний индекс - единица. Тогда повторяя рассуждения п. а) приходим к выводу, что утверждение теоремы в этом случае верно. в) Пусть k Q-l. Так как S2 изобарен веса (А ?-/)» то, согласно предположению индукции Sa = 0. Следовательно и Ь2= 0. Зачеркивая далее во всех слагаемых многочлена S первую нижнюю единицу (при этом а уменьшится на I) в силу того же предположения индукции и І - 0, так что S =0. г) Осталось рассмотреть случай ti-Q-lt Согласно предположению индукции 0& есть линейная комбинация выражений вида (1.4), но уже среди нижних индексов свободных единиц нет. Если о г 0 , то Jc отбудет отличной от нуля суммой слагаемых вида в которых все отмеченные многоточиями индексы также подвергнуты операции полного альтернирования или полного сверты -вания. В силу (4.3) такое же строение имеет и S2 S -bc . Зачеркивая у членов Ь первый нижний индекс, равный единице, получим многочлен ЬІ для которого be Si есть не равная нулю линейная комбинация выражений вида (4.2), что противоречит лемме 2.3. Следовательно Sx= о, откуда, как и в случае в) получаем, что S .= 0.
Пусть S=d . Из (2.3) следует k+Q O . в этом случае разбиваем сумму Ь вида (1.3) на о и S так, что у всех слагаемых в о ( Ь ) первый верхний индекс равен двойке (единице). Если относительно S провести рассужде -ния аналогичные тем что в п. 16) и 1в) проведены для Ьх , приходим к выводу, что утверждение теоремы верно и в этом случае.
Минимальная полная система ортогональных инвариантов квадратичной системы. Ортого нальная эквивалентность таких систем
Обозначим через M {4 Д] множество комитантов, получаю щееся из максимального числа линейно независимых простых ко митантов системы (I.II) типов (&idtidt) при всех возможных удалением комитантов, содержащих в качестве сомножителя хотя бы один инвариант этой системы. Тогда любой приводимый комитант представим в виде Предположим, что Zj (Sj ) тензоров X , входящих в тензорной записи простого комитанта Qj (j =1,2) имеют свернутые (за-альтернированные) индексы (причем fy+SjH, 2у#0}/= , 2 ). Среди комитантов типа (4.II) из пі" , і} выделим такие, у которых ЦІ и ( неприводимые комитанты, удовлетворяющие у словиям V W или S =S4 f (5.П) и назовем их главными приводимыми комитантами множества Согласно результатам 8 максимальное количество поли -номиально независимых комитантов системы (I.II) типов (8 , di,di) при фиксированных йі 0 ,ы4 и всех возможных 8 совпадает с максимальным числом полиномиально независимых трансвектантов вида В , где К пробегает-все элементы множества При этом, трансвектанты (6.II), для которых ff имеет вид (4.II) и хотя бы при одном j =ї,2 выполнены условия выражаются полиномиально через трансвектанты меньших степеней и трансвектанты (6.II), у которых П неприводим, или имеет вид (4.II) и при каждом J =1,2 не выполняется хотя бы одно из условий (7.II). Последним свойством могут обла -дать только те трансвектанты (6,11), у которых К является главным приводимым комитантом и rrnn p+Q-2. Обозначим через о (dltdz) ( (с,()) наибольший из порядков неприводимых (главных неприводимых) комитантов из множества \\{dtpx] если таковые содержатся в нем. Учитывая, что порядок трансвектанта (6.II) при Ж+п+р+о-і(і) равен (равен 0-2 ), где О - порядок комитанта п , приходим к вывода, что справедлива если nidfiidi] содержит как неприводимые так и главные при водимые комитанты; если Mfcff cdJ содержит главные приводимые (неприводимые) комитанты и не содержит неприводимых (главных приводимых) комитантов; если же rlidiflfli] не содержит как неприводимых так и главных приводимых комитантов, то все комитанты типов (S ,dt, ds) приводимы.
Комитанты (2.II) и (З.П) образуют мини -мальный полиномиальный базис центроаффинных комитантов системы (I.II). Доказательство. Полиномиальный базис комитантов линейной системы известен [2б].0н состоит из it , 12 $ flj.B 10 доказано, что комитанты типов (0 , 0,) из (2,11) (7f=I?) iW,, We, U Iis) и (з.іі) (Qr-K Qi- K Q -Ke, Qr« «5»К9, Q K 0»-Kf,, QrK« Gs-Ki0) образуют минимальный полиномиальный базис комиї-антов однородной квадратичной системы. Таким, образом, необходимо исследовать комитанты типа (О ,di9di) при dtdx40y 8+di+dxbH. (8.П) ми приводимыми. При этом легко заметить, что множества PHA,a j с di+di il не содержат главных приводимых комитантов, образованных из комитантов (З.П). Поэтому, согласно -лемме I.II теорема будет доказана, если покажем приводимость всех комитантов следующих типов с условием (8.II): Чтобы завершить доказательство, достаточно для каждого из этих типов согласно табл. 1«6 указать соответственно линейно независимых комитантов данного типа, составленных из комитантов (2.II) и (З.П) (при этом заметим, что типам ( , dL ta&) комитантов системы (I.II) в табл. 1.6 соответствуют типы ( , ,0 , 0)). Используя примечание 2.5 и беря для всех указанных типов L-и с учетом таол. 1.6 получаем соответственно и± = = 6,12,6,20,36,15,43,3,40,62. Ниже для каждого из типов приведем соответственно N"Nf комитантов и столько же членов (подобранных согласно примечаниям 2.5 и 2.9), доказывающих их независимость.
