Введение к работе
Состояние вопроса я актуальность темы. Под индефинитными спектральными задачами мы понимаем спектральные задачи, в которые входят операторы являющиеся самосопряженными (или диссипативнымн и т.п.) не в смысле исходного скалярного произведения данного Гильбертова пространства, а в смысле некоторой индефинитной метрики или можно сказать индефинитного скалярного произведения введенного в этом пространстве. Теория линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой берет свое начало с работ Л.С. Понтрягина 50-х годов этого века. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах М.Г. Крейна, И.С. Иохвидова, В.Ц. Лоталова, Ю.Л. Гинзбурга, Э. Песонена, Р. Фиплипса, Г.Л. Лангера, М.А. Наймарка, Ю.Л. Шмульяна, Ж. Богиара и многих других математиков.
Мы будем рассматривать спектральные задачи вида
Ьч = ХВи. (1)
где L, В - самосопряженные операторы в данном гильбертово.! пространстве Е. Центральное место в диссертации занимает исследование вопроса о базисности но Риссу (безусловной базисности) собственных и присоединенных элементов спектральной задачи (1) в гильбертовом пространстве Fa с нормой
IHk = IPI'NU- '
Мы находим необходимые и достаточные условия в терминах теории интерполяции, отыскиваем простые и легко проверяемые достаточные условия гарантирующие безусловную базисность. Пространства такого вида возникают в приложениях, как правило, в конкретных ситуациях, это пространство является либо пространством Li(G) (G С R") с весом, либо пространством Соболев^ с весом. Мы будем предполагать, что оператор L ограничен снизу, а оператор В вообще говоря определенного знака не имеет. При этих предположениях и некоторых дополнительных услоі. шх спектральная задача вида (1) сводится к спектральной задаче для самосопряженного в некотором пространстве Крейна оператора. Задачи
вида (1) возникают при исследовании Краевых задач для уравнений смешанного типа, параболических уравнений, с меняющимся направлением времени, в теории полиномиальных операторныэ^пуч-ков и во многих других областях математической физики и анализа. Следует отметить, что вопрос о безусловной базисности очень труден и не исследован даже для простейших классов дифференциальных операторов, например, эллиптических операторов. Вопросы полноты и базисности собственных и присоединенных элементов полиномиальных операторных пучков рассматривались в многочисленных работах Келдыша М.В., Костюченко А.Г., Крей-иа М.Г., Оразова М.Б., Радзиевсхого Г.В., Маркуса А.С., Лангера Г.К., Шкаликова А.А. и многих других авторов. Мы рассматриваем простейший случа.", то есть случай лилейного пучка (1), к рассмотрению которого спектральная задача для полиномиального операторного пучка может быть сведена, причем различными способами. Второй вопрос, рассмотренный в диссертации, это есть вопрос о выделении максимальных, инвариантных, семидефинит-ных подпространств для J-диссипативиых в некотором пространстве Крейна операторов, который, как мы увидим, тесно связан с нашими результатами о базисности собственных и присоединенных элементов спектральной задачи (1). Вопрос о существовании максимальных, семидефинитных, инвариантных подпространств для J-диссипативных, J-самосопряженных операторов рассматривался в работах Азизова Т.Я., йохвидова Е.И., Лангера Г.К., Крейна М.Г., Кужеля А.В. и многих других авторов. Наши результаты получены при предположениях, отличных от вышеупомянутых работ, а наш подход к исследованию этих задач основан на методах теории интерполяции банаховых пространств. Простейшим примером задачи вида (1) является задача
Lu = \д(х)и, xGcRn, (2)
-Mr = 0, j = hP, (3)
где L - самосопряженный в Lj{G) и полуограниченный снизу дифференциальный оператор порядка 2т, определенный в области G С Ra ' границей Г, J9,— дифференциальные операторы, определенные на Г, а д{х)~ измеримая по Лебегу функция меняющая знак в обла-
сти G. В частности в качестве оператора L мы можем взять эллиптический или вырождающийся эллиптический оператор. Незнакоопределенность функции д(х) индуцирует естественное разложение
Gsff+UG-UG0, G=G\G+UG-,
где G+<") = {j6ff: д(х) > 0 (д(х) < 0)}. Пусть L^G* U G~) есть пространство измеримых в G+ U G~ функций и(х) таких, что «|ff|I/2 є Li
Ди4Лд(х)« = 0, X&GCR2,
когда д(л) есть непрерывная меняющая знак функция; было доказано существование бесконечного числа положительных и отрицательных собственных, значений, которые могут быть охарактеризованы "min-max" принципом. Асимптотическое распределение этих собственных значений было установлено в работе Плейеля. Говоря о распределении собственных значений, следует сослать і также на серию работ М.Ш. Бирмана и М.З. Соломяка на работы Ж. Флекингера и М.Л. Лапидуса и ряда других авторов. Е > лросы полноты и базисностн собственных и присоединенных элементов задачи (2)-(3) стали исследоваться сравнительно недавно. Много литературы посвящено изучению некоторых моде7 ных задач, возникающих в математической физике. Вопросами, рассмотренными в этих работах, были вопросы: плотность собственных
функций в Ljj(G+ U G~), плотность собственных функций соответствующих положительным (отрицательным) собственным значениям в L2j(G+) ( Lij(G~y). Наиболее оРщие результаты в том направлении появились недавно в работах М. Файермана. Файер-маи рассмотрев даже случай, когда L - не самосопряженный оператор. Первыми работами, посвященными вопросам базисности собственных и присоединенных функций задачи (2)-(3), были работы Р. Билса, М. Файермана, Лангера и Сегеса, Файермана и Роуча и автора. Фактически, в литературе рассматривались лишь случаи, когда L - эллиптический оператор второго порядка или когда L - обыкновенный дифференциальный оператор. Наиболее общие результаты были получены в работах автора. Результаты, полученные при исследов:лии задачи (1), мы применяем не только для исследования спектральной задачи (2)-(3) но и для исследования краевых задач для олераторно - дифференциальных уравнений смешанного типа первого и второго порядка, как наиболее часто возникающих в приложениях. Здесь мы обобщаем ряд результатов Н.В. Кислова о обобщенной разрешимости поставленных краевых задач, рассматриваем вопрос о гладкости решений и исследуем не рассмотренные ранее краевые задачи. Опишем основные области применения полученных результатов. Прежде всего - это краевые задачи для уравнений смешанного типа, теория которых разрабатывается достаточно давко в связи с многочисленными приложениями в гидродинамике, газовой динамике, физике. Количество работ посвященныг этой теме огромно. Мы можем сослаться, например, на известные монографии А.В. Еицадэс, М.М. Смирнова, Т.Д. Джураева, М.С. Салахитдинова и других авторов. В частности, в класс исследованных в диссертации уравнений входят хорошо известные уравнения Трикоми, Лаврентьева-Бицадзе и некоторые другие. В этой связи, касаясь спектральных задач непосредственно для уравнений смешанного типа, мы можем сослаться на цикл работ Моисеева В.И., изложенный в его недавно вышедшей книге, на работы Т.Ш. Кальменова и ряд других. Другая область приложений - краевые задачи для параболических уравнений с меняющимся направлением времени, в класс которых входят так называемые кинетические уравнения описывающих диффузи-
онные процессы, броуновское движение частиц, перенос нейтронов, рассеивание электронов и многие другие процессы в физике. Можно отметить, например, что в класс исследуемых дифференциально
- операторных уравнений первого порядка входит знг итепыше ко
личество уравнений, взятых из физики. Полученные для задачи
(1) результаты иогут быть легко использованы в теории полино
миальных операторных пучков, поскольку, как уже было отмечено,
спектральные задачи для таких пучков легко сводятся к спектраль
ным задачам для линейных пучков, причем различными способами.
При определенных условиях может быть исследован вопрос о базис-
ности собственных и присоединенных элементов для таких пучков,
вопрос о факторизации пучка. Мы можем сослаться, например,
на результаты А.Г. Костюченко, М.Б. Оразова, А.А. Шкалнко-
па и других авторов, которые могут быть легко использованы при
развитии исследований в ^том направлении. Полученные результа
ты также могут послужить основой при постановке и исследовании
новых краевых задач. Все результаты диссертации являются но
выми.
Цель работы — исследование вопроса о баэнсиости по Рис-су (соответственно, безусловной базнсности) собственных и присоединенных элементов спектральной задачи (1) в гильбертовом пространстве Fo; исследование вопроса о выделении максимальных, инвариантных, семидефипитных подпространств для J-диссипатив-ных в некотором пространстве Крейна. неограниченных операторов; доказательство базнсности по Рнссу (при определенных предположениях) собственных и присоединенных элементов спектральной задачи (2)-(3) в гильбертовом пространстве 2|?(С+и(7~); доказательство базисное но 1'иссу соответствующих частей собственных и присоединенных элементов (собственные и присоединенные элементы соответствующие положительным (отрицательным) соб ственньш значениям) в ,2<д(0+)> L2,S{G~) соответственно; применение лолучелных результатов к исследованию дифференциально
- операторных уравнений первого и второго порядков и к исследо
ванию краевых задач для некоторых уравнений смешанного типа,
параболических уравнений с меняющимся направлением времени.
Методикг исследований. При исследовании используются
методы функционального анализа: теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой, методы теории интерполяции банаховых пространств, методы теории дифференциальных уравнений в частных производных.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертации получены следующие основные результаты.
-
Получен ряд результатов о ограниченности и рое-лоров Рисса, которые соответствуют неограниченной компоненте спектра некоторого замкнутого неограниченного оператора. Исследован вопрос о непрерывности некоторых функционалов по параметру шкалы гильбертовых пространств.
-
При условии, что оператор L ограничен снизу и некоторых дополнительных естественных предположениях в пространстве с нормой ||м|| = |||2?|'/2ц|] исследован вопрос о базясности по Рис-су собственных и присоединенных элементов спектральной задачи (1). Найдены как необходимые и достаточные так и достаточные условия базисности, которые легко проверяются в конкретных ситуациях. Условия формулируются в терминах теории интерполяции.
-
Исследован вопрос о выделении максимальных семидефинит-ных инвариантных подпространств для J-диссипативньь. н некотором пространстве Крейна операторов.
4. В пространстве Li с весом исследован вопрос о базисности
]io Риссу собственных и присоединенных функций задачи (2)-(3),
где в качестве оператора L может быть вчят, например, самосопря
женный эллиптический или вырождающийся эллиптический опе
ратор, квазиэллиптичеехмй или вырождающийся квазнэллнптиче-
ский оператор.
5. Рассмотрен вопрос о существовании, единственности и глад
кости решений краевых задач для дифференциально - операторных
уравнений первого и второго порядка смешанного типа, для неко
торых уравнений смешанного типа и параболических уравнений с
меняющимся направлением времени.
Апробация работы. Диссертация выполнена в 1983 - 1994 гг. в їїнстит) ге математики СО РАН. Результаты се докладывались на аучных семинарах Института, на семинарах но диффереици-
алъньш уравнениям и их приложениям в МИ АН России им. В.
Л. Стсклова под руководством В.П. Михайлова , в Московском
университете: на семинаре по спектральной теории под руковод
ством А.Г. Костюченко и на семинаре В.А. И Московском
энергетическом институте на семинаре Ю.А. Дубинского, в Ин
ституте Гидродинамики СО РАН на семинарах под руководством
П.И. Плотникова и А.В. Кажихова. Основные положения дис
сертации докладывались на следующих конференциях и семина
рах: на совместных заседаниях семинара им. И.Г.Петровского и
Московского математического общества ( 1986, 1988), на Всесоюз
ной конференциях по условно-корректным задачам математической
физики и анализа (Новосибирск, 1992 гг.), на Всесоюзных школах-
семинарах по неклассическим уравнениям (Новосибирск, 1980,1981
гг.), на Всесоюзных конференциях по дифференциальным уравне
ниям и спектральной теории (Алма-Ата, 1991 г.), на Всесоюзной
конферениии по дифференциальным уравнениям и оптимальному
управлению (Ашгабат, 1986 г.), на конференции "Нелинейные гра
ничные задачи математической физики" (Донецк, 1987 г.), на меж
дународной конференции по дифференциальным уравнениям и их
приложениям (EquadifF-8) (Братислава, 1993 г.), на советско-японс
ком семинаре по обратным и некорректным задачам (Новосибирск,
1991 г.), на конференции по индустриальной и прикладной матема
тике (Новосибирск 1994 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-14]. Из совместных работ (с А.Г. Подгаевым) в диссертацию включены результаты, непосредственно принадлежащие автору. Совместная гябота с В.Н. Враговым, AM. Кожано-вым и С.Н. Глазатовым носит обзорный характер.
Объем и структура диссертации. Писсергадня изложена на 242 страницах и состоит из введения, четырех глав и списка литературы, который содержит 131 наименования.
