Введение к работе
Актуальность теш. Уравнения математической физики о опа-тораки Бесселя относятся к классу пірсг.хдаюіцихся дн][іфер<.':іц«-ьних уравнений, для которых теория краешх задач в настоящее емя является орнім из заршейшх разделов теории днфференца-ьилх уравнений о частными произподньын. Это объясняется кок утреннкш потребностями теоретического обобщения класепчес-х upasкох задач для уравнений математической физики, так и ііпслад!2іі значекнзм, поскольку гиркіуіаюпреся діг5ферешіи~іг.:п>!е іавклшіп с частными производными связекы с задачами" газовоЛ ;на!.!И!Ш, теория упругости и нногимн другим вопросами ьсхашки.
Перше исследования по киро;:;даю:л;п;ся уравнениям пршадлежат ЗЛлору, С.Цуассону и Г.Дарбу.
В двадцатые годи нашего столетия З.Траксми для уравнения іеїланного типа
шал систематическое исследование краевой задач:!, нагнсаємоп їйчас его именем.
Урашекие (Т) заменой переменных преобразуется a ypawis— :е с оператором Бзсселя: Uf t (Зі)"' tt t J^ftf- Клл. '-' О. злее теория ураі'НЗіьй снизанного типа развивалась Е.Хольмгре-:м, С.Геллерсгедтом, З.И.ірьнклем, П.йзрменои и Р.Бздэрои, .Н.Векуа, К.П.Бабэнко, М.А. Лаврентьева и А.З.Енцадзо, Л.З.Ов-ізявікошм, В.Л.Аахайловпм а ыногиш математиками.
Новым этапом в развитие теории краевых задач для оллията-зских уравнении, внроігда&.чхоя на границе области, пишась абота М.В.Келдша (І9БІ г.). где замечено, что краевые задачи, орроктно поставленное для строго эллиптических уравнений, зо-осэ гог.орп, становятся некорректлг,з.'.и для кроілдотпгдхся на гра-:л;е області: эллиптических уравнений, и к а постановку задач уг.естынно качннй::? влиять гладела ко5І>ІіЗДіеііга. Таи г.<з показно, что линия п:ро;.\гіекш в некоторых случаях ды гла быть зободноП от краевых условий, если реазикя задачи паруся з
классе ограниченных функций. Для вырождающихся гиперболических уравнений второго порядка И.С.Березин (1949 г.) привел пример некорректной постановки классической задачи Кош. Затем теория краевых задач для различных вырождаквдкся как эллиптических, так и гиперболических уравнений развивалась и обобщалась в работах целого ряда известных математиков,.в том числе М.И.Вишика, Л.Д.Кудрявцева, С.А.Терсенова, И.А.Киприянова, С.М.Никольского, П.И.Лизоркина, О.А.Олейник, А.Б.Нерсесяна, А.Вайнштейна, М.Прот-тера, Чи Мкнь-ю, Р.Конти, Г.йикера, Г.Д.Каратопраклиева, '.ЇМ. Смирнова, М.С.Салахигдинова, Т.Д.Даотзаева, А.М.Нахушева, Н.Р. Раджабова, О.Т.Барановского, В.Н.Врагова, Н.И.Попиванова и многих других.
Большинство публикаций по вырождающимся дифференциальным уравнениям с операторами Бесселя посвящены в основном, первой краевой задаче или смешанной задаче, аналогичной задаче Холь-ыгрена для уравнений эллиптического типа или задаче Кош для гиперболических уравнений с одним оператором Бессзля (например, в работах А.ВаЯнатейна, Л.Д.Кудрявцева, И.А.Куприянова, С.Л.Тер-^ сенова, Н.Р.Раджабова, О.'Т.Барановского, В.В.Катрахова.и др.).
Не рассматривались вопросы корректной постановки задач Коши, Коши-Гурса^ Гурса и смепанной задачи для гиперболических уравнений с операторами Бесселя по двум и болео переменным без ограничения на параметры в операторах Бесселя и краевых задач для эллиптических уравнений с операторами Бесселя, обобщающие условия Дирихле и Неймана, а на пшерликиях, гипертечках и т.д. вырождения - краевые условия, позволяющие распирать класс допустимих решений. (В дальнейшем краевые задачи, отличные от классических постановок, будем называть сингулярными).
Одной из причин такого положения, по-видимому, было отсутствие подходящего метода, специально предназначенного для изучения сингулярных кргэвых задач для уравнений математической физики с операторами Бесселя^ '
В 1951 г. М.Проттером рассматривалась одна краевая задача (назовем задачей Дарбу) для волнового уравнения в пространстве, а в 1957 г. Тонг Кванг-чангом бали приведены прїімерьі нетривиальных решений этой однородной.задачи. Поэтому краевые задачи для
еолногого урйБксш'п, корректно постааіеншз на плоскости, в о 0( roDopn, пер-їигакг быть таковыми в пространстве. В сияпп и ртнм позникаєг проблема рияонєімя природи некорректности задачи Дарбу для гиперболических уравнений в пространство и проблема выявления достаточных условий єдикстезкности рза'лпи задачи Дарбу-Проттера.
Полые работы является постановка и наследование :. \н гуд нр~ ішх задач Kouui, Ксшк-Гурса, Гурса и смеїданнсй задали для гиперболических уравнений с операторами Бесселя, различна: крао-пж задач (обобщающе классические) длч эллиптических уравнения с опэраторши Боосоля, выяснение природі некорректной постановки задачи Дарбу для гиперболических и ультрагиперболнчес-ких (с оператора,ми Бесселп пли без них) уравнении е пространстве, иахойдегн:о нетрнвпалышх рескгкиЯ однородных краевых задач для таких урашеїглй н корректная постановка к исследование задачи Дарбу-Протгера для полкового уравнения а ггрои транс? Бе.
Сбдая методика исследований всех (рг-ссуи/григаемы/: в диссертации) задач есногана на хлассичзакнх катодну; ?«н?*)гралои энерпш и представлении решений, теорий потенциала, сЬзричсс-ких функций, тригонометрических рядоз йурье л принципа экстремума для гиперболических уравнений.
. Научная потаена. 3 'работе достигнути следуйте основные результаты и зае они яачтатсп ноесяі:
-
Установлена ijertJTopue свойства peasira-l дшгайшх уравнений с лийзренцяалыедя операторами Ессоєлз, позволчзгцие иссло--довать сингулярные краеша задачи длп таких уравнен:**.
-
Корректно поставлены к ксследогзш еяедусадм сянгу кр-, іше:
а) зачача Коші для уравнений ЗЯлера-Пуассока-Дарбу и Q
кратки.» дифференциальным оператором Эйлзра-Пуаоосиа-Дарбу з
полупространстве; при этом з нательных условиях, з зависимее..!
от параметра з операторе Взссеяа, isoryr- псодить к нормальные
производило порядка на ниже порідка. дї;5ферзпітиалшого урасно-
ния; получена оценки решений,
б) задачи Коли, Ксшн-Гурса и Гуреа для .г.кнчАтах гипербо
лических ур ас: к? ний второго порядка с дгтая операторами Бессела
и характеристическом трзутольнике; при этом для корректности
задачи Коши-Гурса и Гурса существенны дополнительные условия на граничной точке вырождения порядка урашенип,
в) смешанные краевые задачи для линейного гиперболичес
кого уравнения второго порядка с операторами Бесселп по каждой
порсмошюЯ на части пространства с полоаїтзльньш координатами,
г) задача Коей в полупространстве для линейного гиперболи
ческого уравнения второго порядка с операторами Бесселя по каж
дой переменной,
д) первая краевая задача на части шара, граница которой
представлена в виде объединения различных многообразий без кра
для линейного эллиптического уравнения второго порядка с опера
торами Бесселя в классе функций, допуска;ол?іх особенности на гр
нице сплести; при этом порядок особенности зависит от параметр
в операторах Бесселя и размерности многообразия, содержащего
граїшчну» точку; дается обобщенная интегральная формула Дуассо
получена оценка рошений,
є) смепанная краевая задача на части сара для линейного э лилтического уравнения второго порядка с операторами Бесселя, когда на граничных гиперповерхностях без края задаются условия типа условий Дирихле или Неймана, а на граничных многообразий* меньших размерностей - дополнительные услоЕкя, зависящие от параметров в операторах Бесселя;
ж) первая краевая задача в иарэ для линейного эллиптического уравнения второго порядка с операторами Бесселя в класса кусочно-непрерывных.и неограниченных Функций.
-
Указан изтод нахонденип люгЧно-независимпх нетривная ных решений однородной задачи Дарбу для гиперболических и уки рагкперболичеоких уравнений с операторами Бесоеля"; найдена ев таких решений ос специальны?.»! функциями.
-
Корректно поставлены и исследованы задачи Дарбу-Протт ра для волнового уравнения в пространстве и получены оцени: реиений.
ТооЕо'"чческая и практическая ценность. Полученные разуль таты носят тооретичеохий характер. Они могут быть использован для дальнейшего развития теории краевых задач для дифференциальных уравнений, содержащих операторы Боссэля по разным пере менным, а также при решении прикладных задач, приводящих к реиннию таких уравнений.
Агробачия работы. Материалы диссертации докладывались на семинарах член-корр. АН CCCF А.В.Еицадзе, академиков С.К.Никольского и С.Л.Соболева и член-корр. АН СССР Л.Д.Кудрявцева (КИ АН СССР), профессоров С.А.Терсенсва, Т.Л.Зеленяка, В.Н.Врагова кШ СО АН СССР, НГ7), академиков АН .Узбекистана М.С.Салахитдинова, Т.Д.Джураева (И АН Узбекистана), члонов-корресподентов АН Казахстана Н.К.Блиева, М.О.Отелбаева, Т.Ш.Кальменова (ШК АН Казахстана, КазП/), член-корр. АН Таджикистана Н.Р.Рпджабова (Тадж.Гі), член-корр. АН СССР В.П.Ко-робейкикова и профессора С.М.Бвлонооова (Ш ДВО АН СССР.ДВГУ), профессоров МЛІ.Смирнова (ЯГї), Е.И.Моисеева (МГУ), Л.И.Чиб-риковой и В.ИЛегалова (ЯГУ), В.Д.Стеганова (ИШ ДВО АН СССР, ХПИ) и др.
Некоторые результаты диссертации докладывались в школе молодых ученій Сибири и Дальнего Востока по современным проблемам математики (Новосибирск, IS8Q и 1983), Дальневосточной математической школе (1980, Т982, 1934,- 1986, 1988), школе семинаре по уравнениям неклассического ткла (Нозосибирск, 1980, 1981, 1989), Волжском зональном совещании-семинаре по дифференциальным уравнениям (Куйбьпев, 1984), Всесоюзном семинаре по аналитическим методам исследования эллиптических уравнений (Уфа, 1984), школе-семинаре по применению методов функционального анализа в уравнениях математической физики (Улан-Удэ, 1935), Уральской региональной конференции "Оункционально-диф-ференциальные уравнения" (Уфа, 1986), 3-й школе-семинаре "Математические проблемы экологии" (Чита, 1990), Всесоюзной.конференции "Интегральные уравнения и краевые задачи математической фивики" (Владивосток, 1990), 10-м Чехословацко-советсксм совещании "Применение функциональных методов .и методов теории функций к задачам математической физики" (Старая Тура, ЧС$Р, 1968).
Публикации. Основные результаты диссертации бпубликованы . в работах автора [1-27].
' Структура диссертации. Диссертация объемом. 254 стр. маш. пио. текста состоит из введения, и пяти глав, разбитых на параграфы. Некоторые параграфы.в свою очередь, разбиты на пункты. Нумерация теорем,, леи», свойств, формул и т.д. внутренняя для каждой главы. Библиография содержит 161 наименование. .
Похожие диссертации на Сингулярные краевые задачи для уравнений математической физики с операторами Бесселя
