Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Задача Коши для уравнения Гамильтона-Якоби 27
1. Уравнения Гамильтона-Якоби. Основные понятия 27
1.1. Классическое решение задачи Коши и классический метод характеристик Коши для уравнения Гамильтона-Якоби. 28
1.2. Вязкостное решение уравнения Гамильтона-Якоби 32
2. Обобщение и релаксация классического метода характеристик для уравнения Гамильтона-Якоби 34
2.1. Обобщенные характеристики и непрерывное минимаксное решение уравнения Гамильтона-Якоби 34
2.2. Теоремы существования и единственности непрерывного минимаксного решения в задаче Коши для уравнения Гамильтона-Якоби 37
2.3. Дифференцируемость по направлению, суб- и супер-дифференциалы негладких функций 38
2.4. Свойства инвариантности множеств относительно дифференциальных включений 40
2.5. Эквивалентные определения минимаксного решения .41
ГЛАВА II. Классический и обобщенный методы характеристик в задачах оптимального управления 45
3. Постановка задачи оптимального управления 45
3.1. Программная задача оптимального управления 45
3.2. Основные предположения 46
3.3. Обобщенные программные управления 47
4. Функция цены в задаче оптимального управления 49
4.1. Принцип оптимальности 49
4.2. Репрезентативная формула функции цены в задаче оптимального управления 50
4.3. Свойства гладкости функции цены 52
5. Функция цены и минимаксное решение уравнения Гамильтона- Якоби-Беллмана 54
5.1. Предварительные сведения 54
5.2. Обобщенное уравнение Беллмана и его минимаксное решение 55
6. Принцип максимума Понтрягина и классические характеристики Коши для уравнения Беллмана 59
6.1. Случай дифференцируемых входных данных 59
6.2. Предварительные конструкции 61
6.3. Необходимые условия оптимальности 66
6.4. Связь принципа максимума Понтрягина с методом характеристик Коши для уравнения Беллмана 74
7. Необходимые и достаточные условия оптимальности 79
7.1. Принцип максимума Понтрягина и супердифференциал функции цены 79
7.2. Необходимые и достаточные условия оптимальности в случае невыпуклой вектограммы и обобщенных управлений. 82
7.3. Репрезентативная формула минимаксного решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана в терминах классических характеристик Коши 88
8. Метод динамического программирования и оптимальный синтез в позиционной задаче оптимального управления 98
8.1. Формализации позиционной задачи управления 98
8.2. Классический метод динамического программирования и непрерывный оптимальный синтез 101
8.3. Необходимые и достаточные условия оптимальности разрывного синтеза 103
ГЛАВА III. Обобщение метода характеристик в теории минимаксных решений сингулярно возмущенных уравнений Гамильтона-Якоби 117
9. Сингулярно возмущенные уравнения Гамильтона-Якоби. 118
9.1. Постановка задачи Коши Рє для сингулярно возмущенного уравнения Гамильтона-Якоби 118
9.2 Минимаксное решение в задаче Рє 119
10. Формулировка и обсуждение основного результата 123
10.1. Достаточные условия сходимости 123
10.2. Комментарии 127
11. Доказательство основного результата 131
11.1. Вспомогательные сведения 131
11.2. Доказательство теоремы III.1 131
12. Пример 144
ГЛАВА IV. Приложения обобщенного метода характеристик для дифференциальных игр с быстрыми и медленными движениями . 147
13. Позиционная игровая задача управления Ge 148
14. Предварительные сведения 151
14.1. Функция цены дифференциальной игры G 151
14.2. Характеристические комплексы в задаче Коши Рє. 154
15. Основные предположения и формулировка результата 156
16. Достаточные условия сходимости функций цены сингулярно возмущенных игр 162
16.1. Свойства множеств У+, Yt 162
16.2. Доказательство основного результата 165
17. Пример 175
ГЛАВА V. Обобщение метода характеристик в теории минимаксных решений параболических уравнений 178
18. Функция цены стохастической дифференциальной игры и ее свойства. Обобщенные стохастические производные 181
18.1. Формализация позиционной стохастической дифференциальной игры 181
18.2. Обобщенные программные управления и порождаемые ими случайные процессы 184
18.3. Некоторые свойства обобщенных программных управлений и порождаемых ими случайных процессов 194
18.4. Свойства стабильности непрерывных функций 204
18.5. Обобщенные стохастические производные 205
19. Параболическое уравнение Гамильтона-Якоби-Айзекса и его минимаксное решение в терминах обобщенных стохастических производных 208
19.1. Основное уравнение для функции цены стохастической дифференциальной игры 208
19.2. Минимаксное решение краевой задачи (19.1)-(19.2). 209
19.3. Инфинитезимальная форма условий стабильности. 210
20. Обобщенные стохастические производные для функций не скольких переменных, дифференцируемых по части переменных 221
20.1. Класс функций, дифференцируемых по части переменных. Формулы стохастических производных 221
20.2. Доказательство формул для стохастических производных. 223
20.3. Применение формул для стохастических производных. 233
Литература 236
- Обобщение и релаксация классического метода характеристик для уравнения Гамильтона-Якоби
- Функция цены и минимаксное решение уравнения Гамильтона- Якоби-Беллмана
- Метод динамического программирования и оптимальный синтез в позиционной задаче оптимального управления
- Формулировка и обсуждение основного результата
Введение к работе
Актуальность темы. Объектом исследования диссертации являются обобщевые решения краевой задачи Коши для уравнений в частных производных первого порядка типа Гамильтона Якоби и квазилинейного параболического уравнения Айзекса. Решения рассматриваемой краевой задачи в заданный конечный момент времени должны совпадать с заданной краевой функцией.
Уравнения в частных производных первого порядка возникают при решении большого числа прикладных (инженерных, управленческих, навигационных, экономических, химических, биологических) и теоретических задач. Так, хорошо известны: в теоретической механике - уравнение Гамильтона-Якоби; в теории оптимального управления - уравнение Беллмана; в теории дифференциальных игр - уравнение Айзекса; в геометрической оптике -уравнение эйконала; в газовой динамике - уравнение Хопфа и т.д..
Классическим методом решения краевых задач для этих уравнений является метод характеристик, предложенный О.Коши в первой половине XIX века. Этот метод сводит интегрирование уравнений в частных производных первого порядка к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которой называются характеристиками. Метод Кошиl-2 основан на том, что график классического решения краевой задачи для уравнения в частных производных первого порядка инвариантен относительно характеристик.
Ограниченность применения этого метода объясняется тем, что в случае нелинейного уравнения в частных производных первого порядка, классическое (гладкое) решение существует, как правило, лишь локально. В то же время, в приложениях изучаются негладкие (недифференцнруемые на множестве меры нуль) или разрывные функции, имеющие, например, следующий содержательный смысл: времени оптимального быстродействия, оптимального расстояния до цели в заданный момент времени; негладкого фронта
1Курыгт Р. Уршлешш с ч&сткымн провзводлыин. М.: Map, 1964, T.2 Пстрорскяй И,Г Лс&цин гю теория ооі^повсятп ^щффср<шрщль^ых урлвввдий М.; H&jea. 1064.
С Петербург
мю,рк
распространения световой волны в неоднородной среде; и т.д Эти не
гладкие функции определены глобально, удовлетворяют краевому условию,
а в точках дифференцируемое удовлетворяют соответствующему уравне
нию в частных производных первого порядка. Они могут рассматриваться
как обобщенные решения краевой задачи.
Потребность введения корректного понятия обобщенного решения уравнения Гамильтона-Якоби и других типов уравнений в частных производных стимулировала активные исследования в 50-е-70-е годы XX века. Задачи, связанные с изучением слабої решений уравнений в частных производных, исследовались в работах Н.С. Бахвалова, L.C. Evans, W.H. Fleming, И.М. Гель-фанда, С.К. Годунова, E.Hopf, О.А. Ладыженской, P. Lax, О.А. Олейннк, Б.Л. Рождественского, А.А. Самарского, С.Л. Соболева, А.Н, Тихонова и многих других известных математиков. Эти исследования опирались, в основном, на интегральные методы и интегральные свойства обобщенных решений. Среди исследований этого периода отметим результаты С.Н. Кру-жкова, которые были получены для уравнения Гамилътона-Якоби-Беллмана, В его работах были заложены основы систематического применения субдифференциального аппарата выпуклого анализа для исследования негладких решений уравнений в частных производных. Ф. Кларком для исследования обобщенного решения уравнения Беллмана было предложено использование другого аппарата негладкого анализа - обобщенных производных по направлению. Дальнейшее развитие выпуклого и негладкого анализа позволило применять к исследованию обобщенных решений уравнений в частных производных новые результаты и методы, основанные на обобщениях понятия дифференцируемости.
Развивая и применяя технику использования суб- и супердиффереипиа-лов негладких функций, М. Крэндалл и П.Л. Лионе 3 ввели понятие вязкостного решения (viscosity solution), существование которого доказывалось с помощью метода исчезающей вязкости. В рамках этой теории, имеющей многочисленных последователей, доказаны теоремы существования и един-
^СіьшІаП, M,G. «ad P. L. Lima Vbconty sohithHU of Huniltioa-Jacubi equations. Tfini. Amex. Math, Soc, 1983, 2TT, 1-4Ї.
ственности для различных типов уравнении первого порядка, эллиптических и параболических уравнений и различных типов краевых задач. Большое внимание уделяется вопросам разработки конструктивных и численных методов построения вязкостных решений, что вызвано потребностью приложения теоретических результатов к решению различных прикладных задач. Важную роль в этих исследованиях играют О. Alvarez, Ъ. Artstein, М. Bardl, G. Barles, E.N. Barron, I. Capuzzo-Dolcetta, P.D. Christofides, M.G. Crandall, L.C. Evans, M. Falcone, W.H. Fleming, V.G. Gaitsgory, H. Ishii, R. Jensen, S. Koike, P.L. Lions, B. Perthame, H.M. Soner, P.E. Souganidis, X.Y. Zhou.
Другая известная концепция обобщенного решения на базе идемпотснтно-го анализа, предложена в работах ВЛ. Маслова * и его учеников. С помощью этого подхода, линеаризующего выпуклые задачи, исследуются уравнения Гамильтона-Якоби с выпуклым гамильтонианом и их приложения к задачам математической физики.
Исследования данной диссертации проводятся в рамках теории минимаксных решений, предложенной А.И. Субботиным s> е. Концепция обобщенного, минимаксного решения имеет свои истоки в теории позиционных дифференциальных игр, развитой в школе Н.Н. Красовского т*8 и базирующейся на минимаксных оценках и операциях. Фундаментальный вклад в труды этой школы по теории позиционного управления, наблюдения, оценивания и реконструкции внесли работы Ю.С. Осипова, А.Б. Куржанского, А.И. Субботина, А.В. Кряжимского, В.Е. Третьякова, А.Г. Ченцова. Активная роль в этих исследованиях принадлежит также Э.Г. Альбрехту, Б.И. Ананьеву, В.Д. Батухтину, Ю.И, Бердышеву, С.А. Брыкалову, ВЛ. Гасилову, М.И. Гусеву, Х.Г. Гусейнову, С.Н. Завалищину, А.Я. Кацу, А.В. Киму, А,Ф. Клейменову, А.И. Короткому, А.Н. Красовскому, В.И. Максимову, О.И. Никонову,
*Копозд#ызов ВН., В Пг Маслов. Идпвдотсвттали аяаящ* ш его приыенеявд и оагим&лыгои управлении. М.; Н«уха, 199*.
'Субботин А.И Обобщенна основного )фынетГ1Г*»е<фняд&фф^рсн1фаль«<ьы игр. Доклады АН СССР,
1980, 354, №2, стр.293-297.
*Субботан А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якобн, М - Наужд, 1991.
'Краыжкий Н.Н. Игровые зада4» встрече движений. М.: Наука, 1970.
"Красовскцй НН+, A.JI. Субботин. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
I
В.Г. Пименову, А.Н. Сесекину, И.Ф. Сивергиной, A.M. Тарасьеву, В.Н. Ушакову, Т.Ф. Филипповой, Г.И. Шишкину, А.Ф. Шорикову, В.С- Пацко и их ученикам.
На базе обнаруженного в теории позиционных дифференциальных игр факта инвариантности надграфика и подграфика функции цены игры относительно так называемых "уравнений в контингенциях" Н.Н. Красовским и А.И. Субботиным быи введены фундаментальные понятия теории игр: понятия и-стабильности я v-стабильности вещественных функций. Этот факт и эти понятия, а также связь функции иены игры с обобщенными решениями уравнением Айзекса, — послужили прообразами формализации минимаксного решения уравнения в частных производных первого порядка. Понятие минимаксного решения можно определить различными способами 9, в том числе в инфинитезимальной форме, при помощи средств негладкого анализа: производных по направлениям, конусов касательных направлений, суб- " су пер-дифференциалов и т.д. Все эти определения описывают свойство слабой инвариантности графика минимаксного решения относительно обобщенных характеристик, т.е. решений специальных, характеристических дифференциальных включений. В рамках теории минимаксных решений доказаны теоремы существования и единственности, корректности и содержательности понятия минимаксного решения для различных типов краевых задач уравнений в частных производных первого порядка. Развиты конструктивные я численные (в том числе сеточные) методы решения зтих задач. Активное участие в исследованиях минимаксных решений и их приложениях в последние годы принимали: С.А. Брыкалов, XX. Гусейнов, А.М. Та-расьев, В.Н. Ушаков, B.C. Пацко, СИ. Кумков, Н.Ю. Лукоянов, В.А. Вахру-щев, В,Я. Джафаров, СВ. Григорьева, А.С. Лахтин, А.А. Незнахин, Н.Л. Пацко, Т.Н. Решетова, В,Л. Турова, А.А. Успенский, А.П. Хрипунов, Л.Г. Шагалова, А.Г. Иванов, Л.В. Камнева, С.С Кумков. Важным результатом теории минимаксных решений уравнений в частных производных первого порядка является доказательство нетривиального факта эквивалентности
^Subbottn, A L Generalized Sntutiong of FiiBt-Order PDEv The Dynamic*! Optimization Peripeetive
Birkbmuer: Bolton, 1Й91.
понятий минимаксного я вязкостного решении.
Определение минимаксного решения можно трактовать, как релаксацию и обобщение классического метода характеристик Коши. Данная диссертация посвящена дальнейшему развитию и новым приложениям теории минимаксных решений к задачам оптимального управления и дифференциальным играм. Поэтому метод характеристик является ключевым вынесен в заголовок диссертации.
Обобщения метода характеристик играют все большую роль в современных исследованиях задач динамической оптимизации и краевых задач для соответствующих уравнений в частных производных. Новые подходы предложены в работах Л.P. Aubin, F.H. Clarke, Н. Frankowska, G.Haddad, А.Б Куржанского, Ю.С. Леднева, А.А. Меликяна, Л.Ф. Зеликиной и многих других исследователей.
Особое место в задачах оптимального управления и дифференциальных играх занимает обобщенное решение уравнения Гамильтона-Якоби-Белл-мана Айэекса, которое совпадает с функцией цены. Эта функция каждой точке фазового пространства задами ставит в соответствие оптимальный результат, достижимый из нее, как из начальной. Кроме того, она играет ключевую роль в построении оптимальных и почти оптимальных позиционных способов управления Исследования функции цепы имеют источником работы Р. Айзскса10 и Р. Беллмана п Большое внимание этим исследованиям уделялось также в работах школы Л.С. Понтрягина 12.
В диссертации исследуется функция Беллмана (функция цены) для задачи оптимального управления с фупкционалом типа Больца как минимаксное решение уравнения Беллмана. Эта задача привлекает большое внимание теоретиков и прикладников. Среди исследований этой задачи, использующих для ее изучения функцию Беллмана, отметим наиболее близкие к проблематике диссертации работы Р.Ф. Габасова, Ф.М. Кирилловой, С.Н. Кружко-
1№ Айзеке Р. Днфференцн&льпые игры. М.: Міф, 1957.
1]Белшмгш Р. Дкваикческое црргр&нннравыпге, М Иэд во иностр. литературы., 1&ФР 11Понтрагик Л.С, БщгггаежнА ВТ., Гшкрелвдэе Р.В., Е.Ф. Мищенко. Математическая теорнж оптктдьвых процессов. М: Наука, 1961.
ва, Л.И. Розоноэра, М.М. Хрусталева, В.А. Вязгина, В.Ф. Кротова, M.Bardi, E.N. Barron, L.D. Berkovitz, P. Cannarsa, F.H, Clarke, H.Frankowska, R. Jensen, G. Leitman, P.L. Lions, S. Mirica, R.T.Rockafellar, R. Vinter.
Теория минимаксных решений уравнения Беллмана используется в диссертации для обоснования метода динамического программирования в случае негладкой функции Беллмана и построения оптимального синтеза в рассматриваемой задаче оптимального управления; для получения необходимых и достаточных условий оптимальности, дополняющих принцип максимума Понтряпша, и для описания взаимосвязи классических результатов: метода динамического программирования Беллмана, принципа максимума Понтря-гина и метода характеристик Копій. Еще один аспект исследований диссертации: получение формулы локально-липшицевого решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана в терминах классических характеристик.
Новым направлением в теории минимаксных решений, получившим свое развитие в диссертации, является исследование возможности сингулярной аппроксимации минимаксного решения невоэму ще иного уравнения Гамильтона Якоби с помощью минимаксных решений уравнений Гамильтона Якоби, рассматриваемых в расширенном фазовом пространстве и сингулярно возмущенных по части импульсных переменных, а также получение достаточных условий сингулярпой аппроксимации и приложение этих результатов к построению асимптотик сингулярно возмущенных дифференциальных игр. Начало этим исследованиям положили работы А.Н. Тихонова 13, они близки также результатам Е.Ф. Мищенко и Л.С. Понтряпша, связанным с математическим описанием динамических процессов для систем с быстрыми и медленными движениями. Это направление исследований и приложений имеет многочисленных последователей. Среди работ, наиболее близких к исследованиям диссертации, отметим работы А.В. Васильевой, А.Ф. Бутузова, В.Г. Гайцгори, М.Г. Дмитриева, А. Фрадкова, Z. Artstein, V. Bardi, E.N. Barron, A. Bensousaan, L.C. Evans, P. Donchev, R. Jensen, P.V. Kokotovitc, V. Ve-liov.
"Тихонов А.Н. Системы дафферендкальных уровпсвнА, содерш&вше идинй парлиетр перед производными. Матсм. сборник. 1952. T.31. No Я. С.67&-58в.
Еще одним направлением исследований минимаксных решений является развитие теории этих решений для уравнений в частных производных порядка выше цервого и, в частности, для квазилинейного параболического уравнения Гамильтона-Якоби-Азекеа, обобщенным решением которого является функция цены диффузионной дифференциальной игры с частично вырожденным шумом, В работах Н.Н. Красовского, В.Е. Третьякова, А.Н. Красовского 14 доказано существование функции цены такой игры, введены понятия и обоснованы свойства и-стабилъности и v-стабилъности этой функции. Интерес к этому обобщенному решению квазилинейного параболического уравнения Айзекса объясняется теми же причинами, что и в упомянутом выше детерминированном случае. Понятие обобщенного вязкостного решения квазилинейного параболического уравнения Гамильтона-Якоби-Азекса было введено Р.Л. Лионсом с помощью понятий суб- и суперструй, включающих понятия суб- и супердифференциалов и матриц коэффициентов вторых производных в аппроксимациях оператора Лапласа. Исследованиями обобщенных решений и совпадающих с ними функций цены соответствующих стохастических дифференциальных игр занимались: О.А.Олейник, А.М.Ильин, С,Н.Кружков, О.А.Ладыженская, W.H. Fleming, F.Fridman, M.G. Crandall, L.C. Evans, P.L. Lions, H. Ishii, H.M. Soner и многие другие исследователи. Развитие концепции минимаксного решения квазилинейного параболического уравнения Гамильтона-Якоби-Азекса в инфинитезямальной форме метода обобщенных характеристик, а именно, с помощью аппарата обобщенных стохастических производных относительно множества направлений сноса и матрицы диффузии - является началом нового перспективного направления в теории минимксных решений и их приложений. Интерес представляет также развитие самого аппарата обобщенных стохастических производных для отдельных классов негладких функций и применение этих результатов в теории диффузионных игр специальных типов.
Цель работы. Целью работы является дальнейшее развитие теории минимаксных решений для новых типов уравнений: сингулярно возмущен-
14Красоіюнй Н Н., В.Е Третьяжо*. Седловая точи стохвсгичесдоА дшЬференцнвдькоА игры. Доел. АН СССР, 1«0. Т.254. No.3. С.534-53Є.
ного уравнения Гамильтона-Якоби и квазилинейного параболического уравнения Айзекса, а также обоснование приложений теории минимаксных решений этих уравнений и уравнения Беллмана к задачам оптимального управления и дифференциальным играм.
Методы исследования. При исследовании минимаксных решений используются методы и аппарат теории дифференциальных включений, негладкого анализа, динамической оптимизации и позиционных дифференциальных игр, а также методы теории случайных процессов.
Научная новизна. Полученные результаты являются новыми. В работе для минимаксных решений уравнения Беллмана: получена репрезентативная формула минимаксного решения, как огибающей гладкого семейства функций; предложен вывод принципа максимума Понтрягина с помощью свойств дифференцируемости по параметру обыкновенных дифференциальных уравнений; доказано совпадение экстремалей и коэкстремалей принципа максимума Понтрягина с классическими характеристиками Коти для уравнения Беллмана; получено условие первого порядка, дополняющее принцип максимума Понтрягина до необходимых и достаточных условий оптимальности; обоснован метод динамического программирования и структура оптимального синтеза - оптимального управления по принципу обратной связи; получена формула минимаксного решения краевой задачи Копій для нелинейного уравнения типа Беллмана на базе классических характеристик этого уравнения.
Для минимаксных решений сингулярно возмущенных уравнений Гамнль-тона-Якоби, которые содержат малый параметр сингулярности в знаменателе коэффициентов перед частью импульсных переменных, выявлены быстрые и медленные компоненты обобщенных характеристик, определяющих минимаксные решения. Предложены достаточные условия сходимости минимаксных решений сингулярно возмущенных уравнений Гамнльтона-Якоби при стремлении параметра сингулярности к нулю, и описана структура предельных невозмущеяных задач. Ключевым в этих условиях является условие существования компактных аттракторов в подпространстве быстрых компонент обобщенных характеристик. Эти условия можно рассматривать как
развитие и обобщение техники редукции Тихонова, предложенной для сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученные результаты использованы в диссертации при исследовании вопросов сходимости цены игры в дифференциальных играх с быстрыми и медленными движениями и проиллюстрированы модельными примерами.
Для диффузионного управляемого процесса определены обобщенные стохастические производные липпгацевых скалярных функций относительно множества направлений сноса и матрицы диффузии. Для случая вырожденного шума введено понятие обобщенного минимаксного решения соответствующего квазилинейного параболического уравнения Айзекса. Это определение содержит пару дифференциальных неравенств для обобщенных стохастических производных минимаксного решения, что можно трактовать как одну из форм метода обобщенных характеристик. По аналогии с детерминированным случаем, для единственного минимаксного решения, совпадающего с функцией цены соответствующей стохастической дифференциальной игры, введенное определение является инфинитезимальной формой условий и-стабилънбсти и v-стабильности. Получены формулы стохастических производных для класса функций, дифференцируемых по части переменных, и приведены соответствующие уточнения вида квазилинейного параболического уравнения Айэекса для стохастических дифференциальных игр, функции цены которых лежат в указанном классе.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты открывают перспективы дальнейшего развития теории минимаксных решений для новых типов уравнений и краевых задач. Эти результаты могут также быть положены в основу анализа конкретных задач управления, они могут служить базой и обоснованием алгоритмов построения управлений, разрешающих эти задачи.
Апробация работы. Результаты работы обсуждались па семинарах Института математики и механики Уральского отделения РАН, семинарах проекта "Теория систем и принятия решений", Международного института системного анализа (IIASA, Laxcnburg, Austria, 1987, 1999); семинарах ис-
следовательской программы "Schwerpunktprogram der Deutschen Forschungs-gemeinscbaft " института Institut fur Angewandte Matematik und Statistik der Universi"tat der Wtirzburg, (Universitat der Wfirzburg, Germany, 1992); семинарах "Optimization and Control11 научно-исследовательского центра Centre de Recherches Mathematiques, Universite de Montreal, (Universite de Montreal, Canada, 1994); школексеминаре "Nonlinear Analysis, Differential Equations, and Control", NATO Advanced Study Institute, Universite de Montreal, (Universite de Montreal, Canada, 1998); на многих всесоюзных, всероссийских и международных конференциях по теории дифференциальных уравнений, динамической оптимизации и их приложениям к задачам механики, оптимальному управлению и дифференциальным играм. Результаты диссертации были представлены в докладах на V и VII Всесоюзных и VIII Всероссийском съездах по теоретической и прикладной механике, (Алма-Ата, 1981; Москва, 1991; Пермь, 2001); V, VI и VII Всесоюзных конференциях по оптимальному управлению в механических системах (Москва, 1982; Казань, 1985; Свердловск, 1990); IV Всесоюзной четаевской конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Звенигород, 1982); Международной конференции "Стохастическая оптимизация" (Киев, 1984); VI Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений, (Иркутск, 1986); Международном советско-польском семинаре "Математические методы оптимального управления и их приложения", (Минск, 1989); International IFAC Conference "Nonsmooth and Discontinuous Problems of Control and Optimization," (Челябинск, 1998); международной конференции посвященной 90-летию Л.С. Понтрягина, (Москва, 1998); "Nonlinear PDE: an International Conference in memory of S.N.Kruzh-kov", (Besansson, France, 1999); H-th IFAC Workshop "Control and Applications of Optimization" (Санкт-Петербург, 2000); международной конференции "Дифференциальные уравнения и Динамические системы." (Суздаль, 2000); International Workshop "Singular Perturbations in Dynamical Systems, Control and Optimization,"(Adelaide, Australia, 2000); IX, X International Symposium "Dynamic Games and Applications", (Adelaide, Australia, 2000, Санкт-
Петербург, 2002) и др..
Публикации. Основной материал диссертации опубликован в работах
[іНзо].
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, разбитых на двадцать параграфов, и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 264 страницы, библиографический список включает 315 наименований.
Обобщение и релаксация классического метода характеристик для уравнения Гамильтона-Якоби
Пару (, М) будем называть характеристическим комплексом (или, для краткости, комплексом), если выполнены указанные ниже требования. 1. Для любых (t, х) e[0,T]xRn и s Є S множество M(t, х, s) С RnxR — непусто, выпукло и компактно. Для любых (t, х, s) Є [О, ТТ х Rn х S и (f,g) Є M(t, х, s) справедливы оценки где величина Х(х) определена в условии (1.10,) Для любого s Є S функция t н» m(,s) суммируема на [0,Т], а многозначное отображение (, х) ь- M(t, х, s) полунепрерывно сверху. 2а. Для любых (t, х) Є [О, Т] х Rn и р Є i?n справедливы равенства: 2b. Справедливо соотношение Совокупность комплексов (S, М) обозначим символом С(Н). Замечание 1.1. Заметим, что указанным условиям удовлетворяет, например, пара (S,M), где S = Rn, и при всех s Є Rn, (t,x) Є cl UT: M(t,x,s) = {(f,g) GRnxR: \\f\\ A(ar), g = (f,s) - H(ttxts)}. Здесь X(x) = (1 + ll ll) — величина из условия Липшица (1.10.) Выберем произвольно комплекс (5, М) Є С(Н) и s Є S. Символом Sol (to, XQ, ZO, S) обозначим множество абсолютно непрерывных функций: удовлетворяющих условию (х(to),z(to)) = {XO,ZQ) и дифференциальному включению Определение 1.3. Минимаксным решением уравнения (1.1) называется непрер Дифференциальное включение (2.4) называется характеристическим, а его решения называются обобщенными характеристиками Коши. Известно [297], что это определение не зависит от выбора конкретного комплекса (S, М) Є С(Н). Это свойство разнообразия (и/или унификации) характеристических комплексов, сопряженных с данным гамильтонианом, играет важную роль в исследованиях и при конструировании минимаксных решений. Оно, в частности, используется в главе IV, при определении эффективных достаточных условий сходимости минимаксных решений сингулярно возмущенного уравнения Айзекса. Аналогично, Определение 1.4. Пару (S+, М+) будем называть верхним характеристическим комплексом (или, для краткости, верхним комплексом), если выполнены указанные выше требования 1 и 2а. Пару (S-yM-) будем называть ниоіспим характеристическим комплексом (или, для краткости, нижним комплексом), если выполнены указанные выше требования 1 и 2Ь. Символом Sol +( о з о» о» 5ч-) обозначим множество абсолютно непрерывных функций удовлетворяющих условию {x+(to),z+(to)) — ( о о) и дифференциальному включению: где s+ Є S+, {S+, M+) — верхний характеристический комплекс. Символом Sol -(to,XQ,ZQ, s_) обозначим множество абсолютно непрерывных функций удовлетворяющих условию {x (tQ),z (to)) = (XQ,ZQ) и дифференциальному включению: где s_ Є 5_, (5_,М_) — нижний характеристический комплекс. Определение 1.5. Верхним минимаксным решением уравнения (1.1) называется полунепрерывная снизу функция [О, Т] X Rn Э (t, х) ь- V (t, х) Є R, удовлетворяющая следующему условию: (і) для любых (to, XQ, ZQ) Є ері V, s+ Є S+ и г Є [to, Т] существует траектория такая, что (г, x+(r),z+(r)) Є ері V; нижним минимаксным решением уравнения (1.1) называется полунепрерывная сверху функция [0,Т] х Rn Э (t,x) н- V (t,x) Є Я, удовлетворяющая следующему условию : (іі) для любых ( о яо» (Г) є hypo V , s_ Є S- и те [ о»21 существует траектория такая, что (T,X (T),Z (T)) Є hypo V. Определение 1.6. Минимаксным решением уравнения (1.1) называется непрерывная функция [0,Т] х Rn Э {t,x) н- V [t,x) Є R, которая ывная функция [О, Т] х Rn Э (t, х) н- V(t, х) Є R, удовлетворяющая следующему условию: для любых (to, #о ZQ) Є gr u, s Є S и r Є [to,T] существует траектория Дифференциальное включение (2.4) называется характеристическим, а его решения называются обобщенными характеристиками Коши.
Известно [297], что это определение не зависит от выбора конкретного комплекса (S, М) Є С(Н). Это свойство разнообразия (и/или унификации) характеристических комплексов, сопряженных с данным гамильтонианом, играет важную роль в исследованиях и при конструировании минимаксных решений. Оно, в частности, используется в главе IV, при определении эффективных достаточных условий сходимости минимаксных решений сингулярно возмущенного уравнения Айзекса. Аналогично, Определение 1.4. Пару (S+, М+) будем называть верхним характеристическим комплексом (или, для краткости, верхним комплексом), если выполнены указанные выше требования 1 и 2а. Пару (S-yM-) будем называть ниоіспим характеристическим комплексом (или, для краткости, нижним комплексом), если выполнены указанные выше требования 1 и 2Ь. Символом Sol +( о з о» о» 5ч-) обозначим множество абсолютно непрерывных функций удовлетворяющих условию {x+(to),z+(to)) — ( о о) и дифференциальному включению: где s+ Є S+, {S+, M+) — верхний характеристический комплекс. Символом Sol -(to,XQ,ZQ, s_) обозначим множество абсолютно непрерывных функций удовлетворяющих условию {x (tQ),z (to)) = (XQ,ZQ) и дифференциальному включению: где s_ Є 5_, (5_,М_) — нижний характеристический комплекс. Определение 1.5. Верхним минимаксным решением уравнения (1.1) называется полунепрерывная снизу функция [О, Т] X Rn Э (t, х) ь- V (t, х) Є R, удовлетворяющая следующему условию: (і) для любых (to, XQ, ZQ) Є ері V, s+ Є S+ и г Є [to, Т] существует траектория такая, что (г, x+(r),z+(r)) Є ері V; нижним минимаксным решением уравнения (1.1) называется полунепрерывная сверху функция [0,Т] х Rn Э (t,x) н- V (t,x) Є Я, удовлетворяющая следующему условию : (іі) для любых ( о яо» (Г) є hypo V , s_ Є S- и те [ о»21 существует траектория такая, что (T,X (T),Z (T)) Є hypo V. Определение 1.6. Минимаксным решением уравнения (1.1) называется непрерывная функция [0,Т] х Rn Э {t,x) н- V [t,x) Є R, которая одновременно является верхним и нижним минимаксным решением уравнения (1.1). Здесь В рамках теории минимаксных решений доказаны следующие утверждения [297].
Функция цены и минимаксное решение уравнения Гамильтона- Якоби-Беллмана
Хорошо известно, [230] что функция цены V(t, х) задачи ОСР удовлетворяет в точках дифференцируемости (в регулярных точках) уравнению Беллмана: а также следующему краевому условию Здесь DxV(t,x)= (dV(t,x)/dxi,...,dV(t,x)/dxn), а символ (,) означает скалярное произведение. Задача ОСР рассматривается в предположении выполнения условий А.1 - А.З, при которых функция цены, как показано выше, почти всюду дифференцируема в области Пу = (0,Т) х Rn, и, значит, она удовлетворяет уравнению Беллмана почти всюду в Пр. Задачу ОСР можно трактовать также как дифференциальную игру с фиктивным вторым игроком v, управление которого принимает единственное допустимое значение {0} Є Rn, а уравнения движения системы (3.1) имеют вид При этом функционал платы остается прежним, т.е. вида (3.2). Известно, что для любой начальной точки (to, хо) Є сі Пг существует цена позиционной дифференциальной игры (5.3)-(3.2) [75]. Из определения динамики (3.1) и (5.3) следует, что цена этой игры совпадает также с ценой в позиционной задаче ОСР, и совпадает с ценой в программной задаче V(O,XQ) (3-3). Используя эти свойства, привлекаем из теории позиционных дифференциальных игр [75, 269] следующий факт относительно функции цены V(t, х) в задаче ОСР. Утверждение II.3. Для того, чтобы локально липшицевая функция [О, Т] х Rn Э (t, х) У-4 V (t, х) Є R, совпадала с функцией цепы в задаче ОСР, необходимо и достаточно выполнение во всех точках (t,x) Є (0,Т) х Яп условий: Следующий известный факт теории обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби [244, 254, 297] связывает функцию цены V(t, х) (3.3) в задаче оптимального управления ОСР и обобщенное (минимаксное и/или вязкостное) решение V {t)X) задачи Коши (5.2) для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (5.1). Утверждение II.4. Если в задаче ОСР выполнены условия А.1-А.З, то существует и единственно минимаксное (и/или вязкостное) решение сі ИТ — [О, Г] х Rn Э ( , ж) ь- V (t,x) Є R в соответствующей задаче Коши (5.2) для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (5.1), и оно совпадает с функцией цены V(t,x) в исходной задаче ОСР. Докажем следующую теорему (см. аналогичное утверждение в [159, 307]). Теорема ІІ.4. Для того, чтобы локально липшицевая функция сі Пт Э (і, х) н- V (t, х) Є R, совпадала с функцией цены V(t, х) в задаче ОСР, необходимо и достаточно: выполнение во всех точках (t,x) Є Пг = (0,Т) X Rn пары равенств Необходимость условий (5.7)-(5.8). Согласно постановке задачи ОСР, для любой точки (to, XQ) Є Пу и любого допустимого обобщенного управления fJ (-\du) Є Mt0, в паре с порождаемой им траекторией #() = x(-;to,xo,fj,( \du)), справедливо Используя (5.9), и определения c V o» ))/(1,/), получим, что в точке (to,a;o), для произвольного вектора р выполняются неравенства Как нетрудно заметить, вдоль любой оптимальной траектории х(-) = x(-;to,xo,ii0) Є Sol(to, XQ) выполняются равенства Условия (5.11) и (5.12) влекут за собой выполнение равенств в произвольной точке (to, #о) Є (0?T)xRn. Тем самым необходимость выполнения условия (5.7) доказана. Справедливость выполнения для функции цены краевого условия (5.8) следует из ее определения.
Достаточность условий (5.7)-(5.8). Если для локально липшицевой функции V(t, х) выполняются условия (5.7)-(5.8), то при всех (t, х) Є Пт, согласно определениям E(t,x) и d±V (t,x)/(l, /), выполняются также условия (5.4), т.к. Согласно утверждению II.3, эти условия являются достаточными для совпадения функции V (t, х) с функцией V(t, х) цены в задаче ОСР. Теорема II.4 доказана. Замечание И.2. Равенства (5.7), в силу (J .ll), обращаются в уравнение Беллмана (5.1) в тех точках (t,x), где функция цены дифференцируема, так что эти равенства можно рассматривать как обобщение уравнения Беллмана. В силу теоремы II.4 и утверждения II. 4, минимаксное (и/или вязкостное) решение сі Пт Э (t,x) - V (t,x) Є R задачи Коши (5.2), для уравнения Беллмана (5.1) во всех точках {t,x) Є Пт = (0,Т) х Rn удовлетворяет обобщенному уравнению Беллмана (5.7). Замечание II.3. Таким образом, в настоящей разделе приведено обоснование метода динамического программирования в задаче оптимального управления ОСР с локалъно-липшицевой динамикой (3.1) и локалъно-липшицевой функцией цепы V(t, х) (3.3). Получено обобщение уравнения Беллмана в терминах полупроизводных Дини cfiV fyjX)/ ,/) по направлениям (1,/) Є Rn+1, причем соотношения (5.7)-(5.8) выполняются во всех точках (t,x) Є Гг. Последнее обстоятельство позволяет использовать соотношения (5.7)-(5.8) для построения в задаче ОСР сптималъного синтеза или, другими словами, оптимального управления по принципу обратной связи (см. далее 8 и [307]). Теорема II.4 доказана без предположения о существовании непрерывных частных производных по (t, х) у функций f(t,x,u) и g(t,x,u), которые использовались в работе [159], или о существовании непрерывных вторых производных у этих функций, что предполагалось в работах [200, 201]. Не предполагалось также наличие дополнительного свойства "полувыпуклости"функций f(tfx,u) и g(t,x, к), использующееся в работе [235]. Упомянутые усиленные предположения обеспечивали свойство дифференцируемости функции цены V(t, х) по всем направлениям (1, /) Є Rx Rn. Результаты, полученные в данном разделе, обоснованы для более общего случая локально-липшицевых входных данных задачи оптимального управления. ОСР и, как следствие, для более "негладкой"локально лип-шицевой функции цены, не обладающей, вообще говоря, свойством дифференцируемости по любому направлению (1,/) Rn+1.
Метод динамического программирования и оптимальный синтез в позиционной задаче оптимального управления
Одним из основных подходов к исследованию и решению задачи ОСР является позиционный подход, целью которого является построение оптимального управления по принципу обратной связи (в других терминах - оптимального синтеза, оптимальной позиционной стратегии, optimal feedback), т.е. функции [0, T]xRn Э (t,x) ь- U(t,x) Є Р. Причем допускается возможность разрывных обратных связей [230, 139, 269]. Для определения понятия движения системы (3.1) под воздействием разрывного закона управления по принципу обратной связи, известны: формализация, использующая решения дифференциальных включений, построенных по разрывной правой части уравнения динамики [197, 215]; формализация, использующая пределы пошаговых движений (т.е. ломаных Эйлера с дискретной обратной связью) [73, 256, 75]; формализация на базе многозначных позиционных стратегий [233]; и другие. В рамках этих формализации разрывная обратная связь порождает множества движений, и возникает необходимость вводить понятие гарантированного результата, как наихудшего значения функционала на множестве движений, порождаемых обратной связью. Замечание 1.10 Заметим, что множество движений, полученных как пределы ломаных Эйлера, оказывается наименьшим, а соответствующий гарантированный результат - наилучшим из всех упомянутых выше. Это обстоятельство является обоснованием для применения такой формализации в дальнейших построениях. Напомним формализацию позиционной задачи ОСР, предложенную и используемую в теории позиционных дифференциальных игр [73, 75]. Рассмотрим обратную связь (feedback): Пусть Д := {to — то ... т,- ... тдг+і = Т} - разбиение отрезка [to,T] с диаметром diam Д := тах{(ті+і — п) : 0 і N}. Определение ІІ.З. Ломаной Эйлера #д(-) = #д (;()» #о U) : [to, Т] — Rn отвечающей обратной связи U(t,x) и разбиению Д, называется траектория системы (3.1), порождаемая на каждом под-интервале разбиения [TJ, т,+і), і — 0,1,..., N — 1, постоянным управлением щ = U(T{, #д(тг)), т.е. При этом выполнено начальное условие гсд(іо) = XQ, и определена дискретная реализация обратной связи U(t,x), т.е. /д[] = «г- при t Є [TJ,TJ+I), І = 0,1,...,JV — 1 . Соответствующее значение функционала / 0)1о(а;д(-),/д[ ]) вычисляется следующим образом
системы (3.1), стартующим из начальной точки (to,xo) и отвечающим обратной связи U(t,x), называется равномерный предел ломаных Эйлера #д(-) при diam Д — 0. Множество всех движений x(t) системы (3.1), отвечающих обратной связи U(t,x) и начальной точке (to, хо), будет обозначаться ниже символом Sol (to,XQ,U).
Замечание 11.11 Из конструкции движений х(-) Є Sol (to, о, U), компактности мноэюества М и предполооюепий А.1-А.З вытекает, что всякое движение #() Є Sol (to,XQ,U) совпадает с некоторой траекторией системы (3.1), порождаемой обобщенным управлением fi(-\du) : [to,T] - rpm (Р). Определение II.5 Гарантированным результатом Г(о, #о» U) для обратной связи U(t, х) в задаче ОСР из начальной точки (to, XQ) Є Пг называется величина, которая определяется соотношением где предел вычисляется по всем возможным сходящимся последовательностям ломаных Эйлера #д(-) = д(-; о,#о, ) в паре с дискретными реализациями /д[-], порождающими эти ломаные; а супремум вычисляется по всем пределам х(-) ломаных Эйлера в паре с обобщенными программными управлениями /І(-), порождающими эти предельные движения. Пусть є О - малый параметр. Определение ІІ.6 Обратная связь IIе : [0, T]xRn — Р называется є-оптимальной для начальной точки (to, XQ) 6 сі П/г, если для нее выполняются следующие соотношения где Жд(-) = x ( ;tQ,XQ,U), а /д[-] - соответствующая дискретная реализация этой обратной связи. Определение II.7 Обратная связь U0 : [О, Т] х Rn — Р называется оптимальной для начальной точки (to, 2) = с г, если для нее вы где Жд(-) = жд(-; 0) о, У0)» & д[ ] соответствующая дискретная реализация этой обратной связи. Определение II.8 Обратная связь U0 : [0, Т]хRn — Р называется универсальной оптимальной в области D С сі Пт, если для нее равенства выполняются для всех начальных точек (to, #о) Є Здесь Хд(-) = #д(-;о»#о 0) а С/д[-] - соответствующая дискретная реализация этой обратной связи. Напомним следующий результат теории позиционного управления [269]. Утверждение II.5 В задаче ОСР при условиях А.1-А.З для всех (to,xo) Є [0,Т] х Rn оптимальный программный и оптимальный гарантированный позиционный результаты совпадают, т.е. выполняются соотношения
Формулировка и обсуждение основного результата
Задачи Коши Р и Р рассматриваются при следующих предположениях. Ае.1 Функции сг(-) : Rn — R -непрерывны и ограничены, и 7є{х) — a(x) когда є - 0. Ає.2 Гамильтонианы H{t, х, у,р, q) непрерывны в области [0, Т] х Rn х Rk х Rn х Rk и удовлетворяют оценкам Ає.З Для гамильтонианов Нє имеют место следующие условия Липшица относительно импульсных переменных (р, q) при любых (t, х, у) Є [0,Т] х Rn х Дп, (р , д ), (Р" 9") Є Rn х Rk и Лє(ж,з/) = //(1 + ж + \\у\\), где /хє 0 - константы (см. пп.9.2, условие 1). А.4 Для гамильтонианов Нє выполняются следующие локальные условия Липшица по фазовым переменным (х, у) где {t\x\y ), (t",x",y") Є В С [0,Т] х Rn х Rk, множество В -произвольный компакт, U = ЬЄ(В) Є (0, со) - константы. Известно [152, 297], что условия Ає.1 — Ае.4 гарантируют существование, единственность и эквивалентность минимаксных и вязкостных решений ue(t, х, у) в задаче Р при любом є 0. Аналогичные условия (при q = 0) используются в невозмущенной задаче Р. Чтобы обеспечить сходимость минимаксных решений u(t,x,y) при є — 0, добавим следующие требования к исходным данным задачи. Ае.5 Для любого є 0 существуют верхний и нижний характеристические комплексы (5+,М+) и (5_,М.), у которых: - множества параметров S+ и 5_ не зависят от є, а - многозначные отображения (t, х, у) н- М+(, х, у, s+) и (і, х, у) н- Mi(t, x,yt S-) липшиц-непрерывны в метрике Хаусдорфа: где (t ,z ,i/) {t",x",y") В С [0,Т] х Я" х Rk, множество В - произвольный компакт, те = г(В) Є (0,оо) - константы. Символ dist (М1,М2) обозначает хаусдорфово расстояние между множествами М1 и М2 . Предполагается, что множества М+, Mf. непрерывно продолжимы на отрезок є Є [0,1]. Введем в рассмотрение следующие конструкции. Пусть: где символом proj yM± обозначается проекция множества М± С Rn х Rk х і? на подпространство Я 1 быстрых переменных /. Предположим, что выполнены также следующие условия. Ає.6 Для любых (t, х) Є [0, Т] х Rn, s± Є 5± множества Y± непусты, замкнуты и ограничены, т.е. где хє константы, хє Є (0, //]. Множества У±, непрерывно зависят от параметра є Є [0,1]. Ає.7 Для любых (t ,x ), {t",x") Є [0,Т]хДп, s± Є 5±, имеют место следующие условия Липшица dist (У( , я/, s±), Yl(t", х\ а±)) К {\ 1 - t" + - х"\\) (10.8) где Кє - константы, Ке Є (0, If]. Ає.8 Существуют такие множества параметров {s±} = S ± С S±, что для любого компакта D С [0, Г]хЛп и компактов D0 С .ftfc, Д) С .ftfc, стесненных требованиями можно указать величины Сє = C(D,D,Do) 0 и 5(є) 0, удовлетворяющие условиям: 5(є) 4- 0, когда 4- 0 ; при любых (to,xo,yQ) є D1 х (Z)0 U )), Vs± б5± и при всех таких (я4( )і S4( )i z±( )) е So1 ( 0i 0, У0І ZQ, S±), для которых справедливы следующие, играющие ключевую роль, соотношения: Ає.9
Все константы в Ає.1 — Ає.8 и регулярные составляющие гамильтонианов — H(t,x,y,p,Q), зависящие от малого параметра, — непрерывно зависят от є и непрерывно продолжимы на отрезок [0,1]. Введем в рассмотрение "верхний"/ , и "нижний"#1 гамильтонианы где символами proj хгМ± обозначены проекции множеств MJ. из пространства переменных (ж, у, z) Є RnxRkxR на подпространство Rn х R переменных (x,z). АЄ.Ю Пусть для любых (t,x,p) Є [0,T] х Rn х Rn, є Є (0,1], имеют место следующие неравенства где а(є) 4- 0, когда є і 0. Обозначим символом H(t,x,p) следующий предел который будет играть роль гамильтониана в предельной невозмущенной задаче Р (асимптотике): Ає.11 Предположим, что для любых (t,x) Є [0,Т] х Rn s+ Є 5+, s_ Є S _ справедливо также условие: Основной результат данной главы - достаточные условия сходимости ite(t,x,y) к u(t,x) при є — 0 - может быть представлен в виде следующего утверждения. Теорема III. 1. Пусть в сингулярно возмущенной задаче Коши Ре (9.3) — (9.4), є Є (0,1] выполняются условия Ає.1 — Ає.11. Тогда минимаксные решения ue(t,x,y) этой задачи сходятся к минимаксному решению u(t,x) невозмущенной задачи Коши Р (10.17) - (10.18) при є - О Эта сходимость равномерна на любых компактах D Є [0,Т] х Rn, DQ{JD0G Rk. Следует сделать следующие замечания по поводу достаточных условий Ae.l — AMI. Замечание III.3. Предположение о существовании липшиц-пепрерывных многозначных отображений (t, х, у) н- M(t, х,у, s ), определяющих характеристические комплексы из условия Ае,5, не является экзотическим при выполнении стандартных требований А.3 и А.4; (Можно отказаться от требования липшиц непрерывной зависимости по t входных данных задачи, и не требовать липшицевости по t от Ме и Ye). Нетрудно проверить, что примером таких комплексов могут быть пары, состоящие из множества параметров
