Введение к работе
Актуальность темы
Работа посвящена теории эволюционных уравнений с нелинейными ак-кретивными операторами и её приложений к разрешимости начальных и начально - краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Эволюционные уравнения с аккретивными операторами составляют раздел современного нелинейного функционального анализа и естественным образом возникают в процессе изучения разрешимости абстрактной начальной задачи Коши. Основным методом исследования является метод нелинейных полугрупп операторов. Указанный метод позволяет расширить класс рассматриваемых монотонных нелинейных уравнений на случай банаховых пространств.
В качестве приложения абстрактных результатов рассматриваются начальные и начально - краевые задачи для системы уравнений модели хемотаксиса.
Нелинейные абстрактные эволюционные уравнения и их приложений к конкретным задачам для дифференциальных уравнений в частных производных рассматривались в работах М.А.Красносельского, М.И.Вишика, Ф.Е.Браудера, Г.Танабе, П.Е.Соболевского, Х.Брезиса, Ж.Л.Лионса, А.Яги, А.Г.Карсатоса, И.Г.Лаптева, М.Илолова, А.М.Самойленко, М.Крендалла и др. Метод нелинейных полугрупп операторов для эволюционных уравнений в банаховом пространстве впервые рассматривается в работе Т.Като1.
В настоящей работе вводятся новые классы эволюционных уравнений обобщающее уравнений изученные ранее вышеназванными авторами и позволяет найти качественно новых приложений. Для простейшей модели хемотаксиса найдены глобальные решения соответствующей системы уравнений. В случае нелинейной диффузии установлены условия существования решений с обострением (blow-up). Отдельно изучается явление коллапса решений для модели хемотаксиса. Для задач Дирихле и Неймана системы Келлера-Сиджела в одномерном случае построены разностные схемы и найдены условия монотонности, устойчивости и единственности решений.
Kato Т. Nonlinear semigroups and evolution equations // J.Math.Soc.Japan, 1976, 19, p.508-520.
Цель работы
Исследование существования, единственности и непрерывной зависимости от начальных данных решений эволюционных уравнений с нелинейными аккретивными операторами в банаховом пространстве.
Исследование автомодельных решений и решения типа бегущей волны простейшей модели хемотаксиса - системы дифференциальных уравнений в частных производных Келлера-Сиджела.
Исследование монотонности, устойчивости и единственности решений разностных схем для задач Дирихле и Неймана системы уравнений Келлера-Сиджела в одномерном случае.
Метод исследования
Основными методами являются метод нелинейных полугрупп операторов Т.Като, метод М.И.Вишика разрешимости краевых задач для квазилинейных парболических уравнений высших порядков и систем таких уравнений. При доказательстве устойчивости, монотонности и единственности решений разностных схем применяется принцип максимума для разностных схем.
Научная новизна исследований
Доказаны теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости от начальных данных решений квазилинейных эволюционных уравнений с аккретивными операторами в банаховом пространстве.
Установлены условия возникновения автомодельных решений и решений типа бегущей волны системы уравнений Келлера-Сиджела. Найдены условия при выполнении которых решения системы Келера-Сиджела уходят на бесконечность за конечное время. Доказаны теоремы о хемотаксическом коллапсе.
Доказаны теоремы устойчивости, монотонности и единственности решений разностных схем для задач Дирихле и Неймана системы Келлера-Сиджела в одномерном случае.
Практическая ценность
Результаты полученные в диссертационой работе носят теоретический характер. Они могут послужить основой для дальнейших теоретических исследований в теории нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, в теории краевых задач для квазилинейных параболических уравнений высших порядков.
Практическая ценность работы оперделяется практической значимостью системы уравнений Келлера-Сиджела в решений задач биологии и астрофизики.
Апробация работы
Основные результаты диссертации обсуждались на международной научной конференции, посвященной 70-летию академика В.А.Садовничий (Москва, МГУ, 30 марта - 02 апреля 2010г.), на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А.Д.Джураева (Душанбе, 16-17 октября 2007 г.), на международной научной конференции "Современные проблемы математического анализа и их приложений посвященной 60-летию академика АН РТ К.Х.Бойматова (Душанбе, 23-24 июня 2010 г.), на международной научной конференции "Современные проблемы математики и ее приложения посвященной 70-летию чл.корр. АН РТ Э.М.Мухаммадиева (Душанбе, 28-30 июня 2011г.), на научно - исследовательских семинарах отдела прикладной математики и механики ИМ АН Республики Таджикистан (руководитель семинара: доктор физ.-мат. наук, академик АН РТ, профессор Илолов М.) в 2008-2012 гг.; общеинститутском семинаре Института математики АН Республики Таджикистан (руководитель семинара: доктор физ.-мат. наук, член-корреспондент АН РТ, профессор Рахмонов З.Х.) в 2011 г.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7]. В совместных работах [1-3], [5], М.Илолову принадлежат постановка задач и выбор метода доказательства.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 70 наименований, занимает 110 страниц машинописного текста и набрана на LATEX'e. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.
Похожие диссертации на Об одном классе квазилинейных эволюционных уравнений и их приложениях
