Введение к работе
Актуальность темы. Современное развитие науки и техники
невозможно без построения и анализа математических моделей изучаемого явления. Большое количество таких моделей включает как важную составляющую так называемую обратнуїз задачу. Она заключается в том, что мы принимаем некоторую гипотезу о структуре модели и, сравнивая экспериментальные данные с результатами обсчета модели, кожей сделать вывод об адекватности модели изучаемому явление и определить неизвестные параметры модели.
Важной особенностью обратных задач является их некорректность. Систематическое изучение некорректно поставленных задач началось с фундаментальных работ А. Н. Тихонова, в которых был сформулирован принцип устойчивого решения обратных задач на компактных множествах и предложен метод регуляризации для решения операторных уравнении I рода.
К некорректно поставленным задачам относятся многочисленные задачи обработки результатов эсперимента, обратные задачи математической физики и т. д.
Современные методы решения некорректно поставленных задач созданы, в основном, трудами А. Н. Тихонова. М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова и получили дальнейшее развитие в работах В. Я. Арсеннна, А. Б. Бакушинского, В. В. Васина, В. А. Винокурова, D. Л. Гапоненко, А. В. Гончарского, А. С. Леонова, В. А. Морозова, В. Г. Романова, В. П. Тананы, А. Г. Ягопы и др.
- г -
Обратные задачи для линейных параболических уравнений изучались Н. Я. Бе-энощенко, Б. М. Будаком, В. Г. Васильевым, В. Б., Гласко, А. Д. йокендеровым, К. Г. Реэницкой, А. И. Прилеп-ко, В. Г. Романовым и др.
Математическая постановка многих обратных задач состоит в следуїздем. Требуется оценить неизвестную функцию, которая либо является коэффициентом дифференциального уравнения, либо входит в краевые я начальные условия, по дополнительной информации о решении рассматриваемой задачи. Отличительной чертой обратной задачи, связанной с исследованием математических моделей' реальных процессов является то, что характер дополнительной информации определяется возможностями эксперимента.
Другим фактором, который необходимо учитывать при решении обратных задач такого типа, является наличие погрешности во входных данных. Поэтому принципиальное значение приобретают вопросы исследования обратных задач, постановка которых определяется характером таких данных и разработка устойчивых методов их решения.
В данной работе рассматриваются обратные задачи, возникающие при анализе моделей теплопереноса, диффузии. В силу сказанного выше, исследование этих обратных задач и разработка устойчивых методов их решения актуальны для дальнейшего развития методов математического моделирования к их применения.
Цель работы состоит в исследовании обратных задач для
параболических уравнений. Работа позволяет выделить класс
уравнений, обеспечивающий единственность решения обратной задача и ее устойчивость. Научная новизна, теоретическое и прикладное значение.
Обратная задача теплопроводности лежит в основе многих математичэских моделей .реальных процессов. Для изучения этих процессов важное значение имеют методи определения характеристик среды ( например, коэффициента теплоемкости ), основанные на решения обратных задач в рамках рассматриваемой математической модели.
В настоящей работе исследуются обратные задачи для параболического уравнения в случае, когда источник, имещий вид дельта - функции и точка измерения находятся в разных местах. Впервые получена теорема единственности для такого случая. Построено множество корректности. Все результаты строго доказаны.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах кафедры Прикладной математики МГТУ, кафедры Математической физики факультета ВМК МГУ, кафедры Дифференциальных уравнений и функционального анализа УДН. на Всесоюзной конференциях по некорректно поставленным задачам С Фрунзе, 1979 г. ), на Всесоюзной школе - семинаре 'Теория и методы решения некорректно поставленных задач" С Самарканд, 1983 г. ) и на 2-й Международной Научно - Технической конфе-ренции "Актуальные проблемы фундаментальных наук", С Москва, 1994 г. ).
Публикации. По результатам работы опубликованы 7 работ.
- 4 -Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и заключения. Объем диссертации 87 страниц. Библиография содержит 26 наименований.
