Содержание к диссертации
Введение
1. Краевая задача смешанного типа для уравнения второго порядка 34
1.1. 1.2. Нижние и верхние функции и <5 -ограниченность 43 1.3. Обобщенная разрешимость краевой задачи сме шанного типа 51 1.4. Разрешимость краевой задачи для уравнения с несуммируемой особенностью 58 1.5. Об одной краевой задаче, возникшей в теории химического реактора 62 2. Краевые задачи для системы уравнений второго порядка 71 2.1. Априорные оценки решений 72 2.2. Априорные оценки производных ограниченных решений 77 2.3. Разрешимость одной краевой задачи для системы уравнений с несуммируемой особенностью 84 2.4. Нижние и верхние функции и разрешимость смешанной краевой задачи 91 3. Краевая задача для системы уравнений с раз деленными краевыми условиями 98 3.1. Разрешимость краевой задачи с разделенными краевыми условиями 99 3.2. Связь разрешимости краевой задачи с соответ ствующей задачей в вариациях 102 3.3. Система с квадратичными нелинейностями 106 Литература 115 Введение к работе В диссертации исследуется разрешимость некоторых классов двухточечных краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти классы обобщают многочисленные, возникшие из широкого круга приложений и, судя по литературе, активно изучаемые краевые задачи. 0.1. Теория нелинейных краевых задач, одно из актуальнейших направлений математического анализа, проистекает из классических работ С.Н.Бернштейна (см.[II] с.191-210). 0 современном состоянии этой теории можно получить представление из большого числа монографий, вышедших за последние два десятилетия. Назовем следующие работы, каждая из которых содержит глубокие, не дублирующиеся результаты по упомянутому направлению: Ю.А.Клоков [25], П.Бейли, Л.Шемпайн [66], В,В.Гудков, Ю.А.Клоков, А.Я.Лепин, В.Д.Пономарев [17], С.Бернфелд, В.Лак-шмикантам \_60], И.Т.Кигурадзе [19], Н.И.Васильев, Ю.А.Клоков [14], Ж.Моэн [104]. К этому списку следует добавить и главу, посвященную краевым задачам, книги М.А.Красносельского, А.И.Перова, А.И.Поволоцкого, П.П.Забрейко [29]. Несмотря на достаточно хорошее развитие общей теории, применение общих . результатов к широкому классу прикладных задач затруднительно даже в случае дифференциального уравнения второго порядка. Классы краевых задач, возникшие из приложений и требующие подход, свойственный лишь этим задачам, рассматриваются уже в хорошо известных руководствах по теории обыкновенных дифференциальных уравнений Дж.Сансоне [46] и Ф.Хартмана [49]. Исследование задач такого типа встречается, например, в работах М.М.Адъютова, Ю.А.Клокова, А.П.Михайлова [I], И.В. -7-. Амирханова, Е.П.Жидкова[5,б], А.Д.Мышкиса, Г.В.Щербины [36], Дж.Гарнера, Р.Келлога [82,83], М.Ивано[90], Дж.МакЛе-ода [109] и в многих других. Кратко обрисуем положение дел по наличию методов, применяемых для исследования разрешимости краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Широкий класс методов базируется на теоремах типа Кнезера-Хукухара о связности сечения интегральной воронки (см., например, М.Ф.Бокштейн [12]). Хорошее представление об этих методах можно получить из библиографии, приведенной в монографии С.Бернфелда, В.Лакшми-кантама[б8]. Весьма общие теоремы разрешимости нелинейных краевых задач удается получить применением современных топологических методов. Например, в работе А.Мухамадиева, Ю.В. Покорного [35], пользуясь понятием топологической степени отображения, получена теорема существования нескольких неподвижных точек отображения, что позволяет установить наличие нескольких решений краевой задачи. Сильные результаты разрешимости краевых задач, используя аппарат дифференциальных неравенств и функции Грина краевой задачи, получены в работах Н.В.Азбелева и его учеников (например, [2]). Использование оценок функции Грина дало возможность Ю.В.Покорному [41] получить интересные условия разрешимости задачи Валле-Пуссе-на, которые являются новыми и в случае двухточечной краевой задачи. Как известно, для линейных краевых задач из единственности решения следует его существование. Это обстоятельство послужило отправным пунктом для получения аналогичных результатов для нелинейных дифференциальных уравнений (см. Н.И.Васильев, Ю.А.Клоков [14]). Нередко для установления разрешимости той или иной краевой задачи применяется вариационный метод (Р.Дризкол [75]). Одним из наиболее мощных ме- тодов, применяемых при изучении нелинейных краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений, является метод априорных оценок. Этот метод получил свое развитие, основываясь на результатах Дж.Скорца-Драгони и Р.Конти (см.Дж.Сансо-не [4б], Ф.Хартман [49J), которые позволяют установить разрешимость задачи Дирихле для уравнения второго порядка и системы уравнений первого порядка, разрешенных относительно старшей производной, с непрерывными и ограниченными правыми частями. Значительное обобщение условий, обеспечивающих априорные оценки решений и производных ограниченных решений краевых задач, дают так называемые односторонние оценки правой части уравнения. Результаты такого вида содержатся в монографии И.Т.Кигурадзе [I9J. Метод априорных оценок является основным и в настоящей диссертации, а суть метода хорошо иллюстрируется теоремами 2.2.7 и 3.1.3 диссертации. 0.2. Не претендуя на исчерпывающий обзор изучаемых в литературе прикладных задач, кратко осветим имеющиеся результаты по двухточечным краевым задачам, встречающимся в приложениях, для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, многие из которых уже стали классическими. 0.2.1. Для уравнения я?"^ ^ґґаг; -яг '* я? = ^ ^ С0»1) возникшего из радиотехники, А.Льенар [ 101 ~] указал достаточные условия существования периодического решения. В последующих многочисленных работах изучались различные обобщения уравнения Льенара вида с целью получения наиболее широких достаточных условий, при которых это уравнение имеет единственное периодическое решение. С уравнением Льенара тесно связано так называемое уравнение Релея 3*r" + ^Csv; ^ s Например, важным специальным случаем уравнения (0.1) является уравнение Ван дер Поля являющееся математической моделью лампового генератора на триоде в случае кубической характеристики лампы. Если положить то последнее уравнение преобразуется в специальный случай уравнения Релея Используя имеющуюся связь уравнений (0.1) и (0.2), в работе М.А.Аматова [_4l, анализом фазовой плоскости для соответствующей системы уравнений первого порядка, выведены условия существования бесконечного множества периодических решений уравнения (0.1). При изучении вынужденных колебаний маятника получается уравнение Дуффинга, которое, следуя В.Лауду [Д02], запишем в следующей форме где jf предполагается четной функцией,^? - нечетной функцией, аЄ - нечетной и периодической функцией. В силу этих свойств, исследование существования периодического решения этого уравнения сводится к двухточечной краевой задаче. Упомянутые в этом пункте классы уравнений могут и комбинироваться. В качестве примера приведем уравнение у/ - ^ % . і / которое получено А.Хорватсом [_83при изучении воздушных компрессоров и насосов. Если 0.2.2. Из исследований в астрофизике свое развитие получило уравнение Эмдена-Фаулера Ґ2?^'/' + ^^^= & , (0.3) где ^f<*- G ^, У~Є Ґ& + ^=-) ж f ?> & . Наряду с уравнением (0.3) рассматривается и более общее урав / /* которое нашло свое применение в многочисленных областях естествознания (например, в механике жидкостей, газовой динамике, релятивистской механике, ядерной физике, теории химического реактора). Обширную библиографию, посвященную обобщен- - II - ному уравнению Эмдена-Фаулера, можно найти в статье Дж.Уонга [138]. Заменой переменных — -/- + vS = и. — *^яг — -h + это уравнение преобразуется к виду где «^ Є Вместо последнего уравнения обычно рассматривается уравнение ^"^ ^ґіО/с^/^^^ яг =г ^ (0.4) при «^ Є . Отметим ряд работ, в которых изучаются вопросы колеблемости и асимптотическое поведение решений уравнения (0.4) - Л.А.Беклемишева [9], И.Т.Кигурадзе [21,22], А.В.Костин [28], Т.В.Степанова [47], Т.А.Чантурия [57]. В работе Г.Густафсона и К.Шмита [85], применением теорем о неподвижных точках отображений на конусах получен следующий результат. Пусть функция ^ ^ С С і , + с=*~=>у, L &, + <=*=>) ) имеет, быть может, лишь изолированные нули /"& (**% -* *=^=>J - L<. - и /*j* 'Z , тогда на любом конечном интервале положительной полуоси однородная задача Дирихле для уравнения (0.4) имеет нетривиальное решение. Случай неоднородных краевых условий приводит к достаточно громоздким условиям разрешимости соответствующих краевых задач. В этом можно убедиться, например, из результата Д.Улриха [.І32І1 для весьма частного случая уравнения (0.4). Единственность даже положительного решения однородной задачи Дирихле, как это видно из работы К.Кофмана [723» получается при очень жестких ограничениях на функцию <%,. Для приложений важны также решения краевых задач, имеющие определенное количество нулей. Многие из известных нам результатов существования таких решений получены применением методики из работы И.Колоднера [_9б]» в которой изучается вращение тяжелой струны с одним незакрепленным концом, что приводит к краевой задаче В физике часто возникают также и краевые задачи для рассматриваемых в этом пункте уравнений с условиями на бесконечность. Из исследований краевых задач такого вида приведем работу А.Даса и К.Кофмана [Ч3]9 в которой изучена возникшая в квантовой механике краевая задача где с* ^ ^ неизвестный, отличный от нуля параметр, у& -конкретно выписанная функция. Эта задача демонстрирует типич- - ІЗ - ный для прикладных задач случай, когда присутствующий в уравнении параметр определяется дополнительным краевым условием. Важным и широко изучаемым специальным случаем уравнения (0.3) является уравнение Томаса-Ферми _ Х- -s_ которое возникает в ядерной физике. Легко видеть, что частным решением этого уравнения является яг— -/^г^т/ , однако физический интерес представляют решения уравнения (0.5), удовлетворяющие одному из следующих трех краевых условий: s^r C&J = Y ; яг <г+ <=>*=*; = <т?^ яг с&) = <ґ v агс;-= /"яг'г^;, где ^ Ґ* ґ^' ~* ^"^V . В.Шеда в своей недавней работе [12б], пользуясь методикой априорных оценок и результатами монографии Н.И.Васильева и Ю.А.Клокова [_І4], в достаточно полной мере изучил вопросы существования и единственности для классов краевых задач, включающих и упомянутые три задачи для уравнения Томаса-Ферми. Р.И.Анищенко в серии работ, основные из которых указаны в списке литературы статьи Q7~/, рассматривает краевую задачу ССҐ<ї>;= <Ъ, Ac*r'rs*J = ЯГГ^-S- ^ где <«, /" Є Ґ&, * =^s=y,y' ", *&- & ^ и дифференциальное уравнение обобщает так называемое уравнение Томаса-Ферми-Дирака которое возникает в статистической теории атома. Автором изучается разрешимость этой задачи в зависимости от параметров <гх г. Л, j,. 0.2.3. Если^у^ & , то уравнение (0.3) при z^=^ имеет особенность, которая является несуммируемой. Краевые задачи вида сгг"^ -^-зг = y/sr/ ^ (0.6) jrV^/= <&^ srГ-^М ^гcxr^J -^ У'у (0.7) где С Є (--7^ -t *=**=>); ^/б >? , возникают в многочисленных приложениях. Перечислим некоторые работы, в которых для упомянутой краевой задачи изучаются вопросы существования решения и оценки количества имеющихся решений в зависимости от параметров, которые, быть может, входят в правую часть дифференциального уравнения. Дж.Тейлор ЦІЗО] рассматривает задачу из электродинамики приу^г-У= <^< + , Д.Джозеф и Т.Лунд-грен [93], возникшую при изучении явления воспламенения вме-си газов задачу, в которой ^ґ-аг)^ А (4+ ^c^J С.Партер ^П5Ц - задачу из теории химического реактора, имея ^/y^J =/^^-2^/ С— ———/ Отметим, что краевая задача (0.6)-(0.7) с уг^)= \е*у& С*г), *= методом анализа фазовой плоскости, подробно исследована уже в более ранней работе И.М.Гельфанда [_ 163. В этом случае правая часть уравнения (0.6) получается из правой части, рассматриваемой в упомянутой работе Д.Джозефа и Т.Лундгрена ^93], пре- - 15 -ДеЛЬНЫМ ПереХОДОМ TiOs& , если /^= с< Естественным обобщением уравнения (0.6) является уравнение Краевые задачи (0.8),(0.7) встречаются, например, в работах А.Каллегари, Э.Рейсса и Х.Келлера L 71~| при изучении деформации эластичной мембраны, Д.Джозефа [92] при исследовании теплообмена в проводниках. Одним из методов доказательства разрешимости краевой задачи (0.8),(0.7) является преобразование в интегро-дифференциальное уравнение типа Гаммерштейна и применение теорем о неподвижной точке отображений в функциональных пространствах. Такой подход в наиболее общем виде при С С&, + ==-=^ для случая квазилинейной правой части уравнения (0.8) реализован Г.де Фигуэйредо [.81]. Специальный квазилинейный случай уравнения (0.8) при с є С- -/, -/- ==-==у\, пользуясь методом монотонных итераций, разобран Р.Дикки [_ 74]. Однако легко сообразить, что методика априорных оценок (см., например, Н.И.Васильев и Ю.А.Клоков [Д4]) дает для этой краевой задачи более сильные результаты существования. В приложениях для уравнений (0.6),(0.8) встречаются и краевые задачи с условиями на бесконечность. Существование положительных или имеющих определенное количество нулей решений уравнения (0.6) при <Г=^ S?df ґ<& + —=/ У^^^^ ^^- ^, удовлетворяющих краевым условиям &г'ґ&;~ ^ j*~r+ <=**=>; = & ^ (0.9) изучаются, например, Е.П.Жидковым и В.П.Шириковым С18], В.П. - lb - Шириковым [603, Г.В.Щербиной [62]. При изучении течения жидкости, если число Рейнольдса мало, возникает уравнение (0.8), в котором ys*i*г, яг';=<=*зг^ -+ /&&Г' , с краевыми условиями czrf&J — ^ ее С+ >=><=>}= у< . Некоторые результаты разрешимости этой краевой задачи содержатся в работах К.Тама [ 1293 и А.МакГиливрея СІ05І. С упомянутыми в этом пункте краевыми задачами тесно связаны и другие задачи. Например, задача, рассмотренная С.Партером [Л 153, родственна задаче Одним из последних исследований этой краевой задачи на предмет оценки количества решений в зависимости от входящих в уравнение параметров является работа Л.Уильямса и Р.Леггета [іЗбЗ. И.В.Амирханов и Е.П.Жидков в работах [5,б] изучают существование положительных или имеющих определенное количество нулей решений краевой задачи у- <^v*^>; = ^ J?< /^ ^ ^ J » которая заменой переменного получается при с = ^. из задачи вида (0.8)-(0.9). Широкий класс задач, возникающих в приложениях, охватывается случаем, когда в уравнении (0.4) имеем Ґё- С-^==^ Так, например, С.Талиаферро в статье [127 3 показал, что краевая задача, возникшая из гидродинамики разрешима тогда и только тогда, когда сходится интеграл Более общие задачи такого типа изучались Н.В.Азбелевым, Р.К. Рагимхановым, Л.Н.Фадеевой в работе L2], важный частный случай которых подробнее рассмотрен в монографии Н.И.Васильева и Ю.А.Клокова [14]. Задачи, имеющие различные приложения, для уравнений вида с краевыми условиями на конечном интервале или полуоси рассматриваются и в работах М.М.Адъютова, Ю.А.Клокова, А.П.Михайлова [I]» Е.Г.Некряча [37], П.А.Осипенко [38], Н.Андерсона и А.Артурса [64], А.Азиса и Т.На [_65], С.Лунинга и У.Перри [103"], У.Стейнметца [122]. Отметим также интересные исследования Г.В.Щербины [633, А.Д.Мышкиса и Г.В.Щербины [36J краевых задач на полуоси из теории капиллярных явлений с правой частью дифференциального уравнения существенно не удовлетворяющей условиям Бернштейна, а именно, имеющей кубический рост по производной решения. 0.2.4. Рассматривая процессы химического реактора при наличии нескольких химических компонент возникают краевые задачи, обобщающие задачи, упомянутые в предыдущем пункте. Так, например, в работах Н.Фергусона и Б.Финлайсона [803» Г.Стояка [.125] встречаются краевая задача вида / rcS&;ar')=^*Ojf&,*,.... *z)^ (0.10) СК\'ґ&>=:(O.II) где --,#; "?-, -*v & ^s функции ^ , которые характеризуют диффузию с -той химической компоненты в реакторе, такие, что, быть может, <яҐ&) = &. В статьях П.Рентропа [_120] и Г.Тостона [_131] при изучении механической задачи об изгибе тонкой оболочки также возникает краевая задача (0.10)-(0.11), где ,*7= ^ <&ґ. ґ^- -^ и функции jf- имеют квадратическую нелинейность. Аналогичную задачу, имея a/^/J- 77 и краевые условия sir. ґ&^= *7 сет. &-<**=>J = при исследовании движения электрона в полярном кристалле, получает К.Балла [.83. Н.де Бруйн [_70J Дл* краевой задачи устанавливает область (^,^/ -плоскости, в которой существует решение, компонента .яг которого неотрицательна. В работах М.Рентропа [ 119,120Dвстречаются краевая задача для нахождения решений специального вида уравнения Гинзбурга-Ландау из теории сверхпроводимости 5С -/ -^г-яг - = * *г ґхг- /^-5// ^ где ^, У - скалярные функции аргумента /V ^С ^Г ^ параметры. А.М.Вайнберг [ІЗД при рассмотрении кинетики процесса абсорбции осложненной необратимой химической реакции, получает краевую задачу для системы двух уравнения второго порядка с условиями <=x?i /S Є L&, + <=**=>) . Авторы упомянутых исследований, как правило, интересуются лишь численными методами решения поставленных задач, оставляя доказательство существования и единственности в стороне. Достаточные условия разрешимости и единственности решения для краевой задачи, обобщающей СОЛО) -СОЛІ), методом априорных оценок получены Н.И.Васильевым и А.И.Ломакиной [15]. А.В.Финкельштейном [48], применением принципа Шаудера и теоремы о неявной функции, получены достаточные условия существования и единственности краевой задачи из теории химического реактора, когда в уравнении (ОЛО)^ґ^у — ^ , однако, в силу наличия рециркулирующих потоков в реакторе, краевые условия имеют вид 0.2.5. Заканчивая обзор, в качестве иллюстрации проследим более детально имеющиеся результаты существования для одного класса прикладных краевых задач. Пусть в пространстве, снабженном цилиндрической системой координат ^^f/^ *Sj , в плоскости 7^ = <& помещен бесконечный диск, вращающийся около оси/""=г? с постоянной угловой скоростью ^<4 , а полупространство / > & заполнено вязкой жидкостью. Установившееся движение этой жидкости в качестве примера случая, когда возможно получить явное решение соответствующей системы уравнений Навье-Стокса, рассмотрел Т.фон Карман в работе [941. При предположении, что компонента скорости движения точки жидкости в направлении оси ^ не зависит от расстояния до оси вращения, система уравнений Навье-Стокса приводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая после преобразования принимает следующий вид: А" + У*'=УХ . (0Л2) Если-^^ ^r, ^ "" соответствующие координатам составляю У~"* , У*^, А^^^^ %-с^^ (0.13) <=г /Є и случаи <=* > ^ ez. ^ о соответствуют отсосу или притоку жидкости через вращающийся диск, свойства жидкости (коэффициент вязкости) учтены в коэффициентах пропорциональности. С математической точки зрения ограничение (0.13) не существенно, поэтому в последующем краевая задача (0.12) рассматривалась без этого ограничения. Дж.Уотсон 1343 показал, что для любых ^р, у %^=> найдется число ^ = ^ (^ ^^ ) такое, что для ^ ^ ^ краевая задача (0.12) разрешима. Дж. МакЛеод установил разрешимость краевой задачи (0.12) при любых *г в случаях \^^ ^ LI061, ^^^ L I07J. Во втором случае существенным оказалось обстоятельство, что при <&* = j^ решение краевой задачи (0.12) единственно. Дж. МакЛеод в статье [1083 доказал, что краевая задача (0.12) не имеет решения, если ^=-^ <& <= & ив работе [107J выдвинул гипотезу, что это единственный случай отсутствия решения. Вопрос о справедливости этой гипотезы, насколько известно диссертанту, и в настоящее время является открытым. Также не решен вопрос о количестве решений этой краевой задачи в общем случае. Из результата А.Элкрата 78 J следует, что если *р = & — & , то задача (0.12) имеет бесконечное множество решений. Наконец, отметим, что в работах СДастинг-са L87J и Ф.Хартмана [86Д методами, отличными от тех, которые применены Дж.МакЛеодом, устанавливается разрешимость некоторых краевых задач из теории пограничного слоя, которые являются обобщениями частных случаев краевой задачи (0.12). Г.Бетчелор \Jbl~\ и К.Стюартсон [_1233 впервые рассмотрели гидродинамическую задачу, сформулированную Т.фон Карманом на конечном интервале, то есть для случая, когда жидкость заполняет полосу между двумя плоскопараллельными дисками, вращающимися около общей оси. При предположении, что диски находятся в плоскостях ^— <& т^~ ^ и вращаются, соответственно, с угловыми скоростями ^о и ^у » получается краевая задача (0.14) А' + у^'-уї ^ (0.15) yr*;=yr*;=y^;=y's*>; = & где ^ -~ ^, ^ ^ ^ ^ , а /f - неопределенная постоянная, возникающая из уравнения давления. В упомянутых статьях обсуждается вопрос о возможном поведении решений краевой задачи (0.14)-(0.15) при маленькой кинематической вязкости. Г.Бетчелор считал, что жидкость распределится в двух основ-ных слоях с тонким слоем перехода, и основные слои будут вращаться с угловыми скоростями, близкими к скоростям дисков... К.Стюартсон предполагал, что основная масса жидкости будет мало возмущена. В последующем многочисленные авторы пытались подтвердить упомянутые точки зрения. Отметим, например, работы К.Пирсона ЦП7], Г.Ланса и М.Роджерса ЦЮОЗ» Г.Меллора, П.Чепла и В.Стокса [П2], М.Холодниока, М.Кубичека и В.Хла-вачека [881. В последних двух работах показано, что краевая задача (0.14)-(0.15), возможно, может иметь несколько решений, в том числе и такие, поведение которых соответствует предположениям Г.Бетчелора и К.Стюартсона. Интересные наблюдения о возможности появления новых решений краевой задачи (0.14)-(0.15) при уменьшении кинематической вязкости, содержатся в работе Х.Расмуссена [1181. Из огромного количества работ, посвященных краевой задаче (0.14)-(0.15), которую, следуя А.Элкрату [771, будем называть задачей фон Кармана-Бетчелора, лишь в некоторых имеются ~ 23 - строгие доказательства разрешимости краевой задачи в зависимости от значений параметров <% <% , Если первое из уравнений (0.14) продифференцировать, то получаем систему уравнений шестого порядка у'^уУ^**'-* у- ss' s's (0Лб) <4 -*У^ - У<4 = ^ Заметим, что если 'р = <&. , то краевая задача (0.16),(0.15) тлеет тривиальное решение. Используя это обстоятельство, С.Хастингс [_87] и А.Элкрат \ЧЬ~\ доказали разрешимость задачи фон Кармана-Бетчелора для значений Ф0 , ^ » принадлежащих некоторой окрестности прямой ^ = <2s . Если в системе (0.16) положить /^= jf //— «5/2 , то получаем и при фиксированных ^ х ^ уменьшение числа <5 соо твет-ствует уменьшению кинематической вязкости. Система (0.17) удобна для исследования методикой малого параметра. Этим методом при <я, = - <Я, , существенно используя краевые условия и предполагаемую симметрию решения относительно точки С^г, &) разрешимость задачи фон Кармана-Бетчелора установлена в работе Дж.МакЛеода и С.Партера [ПОЗ. Интересно заметить, что в этой работе доказано существование решения, которое имеет свойства, предвиденные К.Стюартсоном. Наконец, в работе Дж. МакЛеода и С.Партера [III] установлено, что при достаточно малой кинематической вязкости в случае <& <% ^ ^ задача фон Кармана-Бетчелора не имеет решения, компонента ^ кото- рого монотонна. Изучению асимптотического поведения решений системы (0.17) при <<-ы ? посвящены статьи Х.Крейса и С. Партера (_ 98,99 Д. Если в условиях (0.15) функция^/' на концах интервала принимает ненулевые значения, то, согласно сказанному ранее, это соответствует случаю, когда через диски имеется приток или отсос жидкости. Интересный результат для краевых задач такого типа получил А.Элкрат С783. Он рассматривал краевые условия (0.18) и показал, что краевая задача (0.16),(0.18) имеет решение при любых ^ Є ^, **< є ^ * <=**=*/ и компонента ^ этого решения монотонна. Сопоставляя этот факт с уже упомянутым результатом Дж.МакЛеода и С.Партера ЦПІД, заключаем, что предельным переходом, устремив в условиях (0.18) с< к нулю, получить разрешимость задачи фон Кармана-Бетчелора невозможно. Пусть теперь компонента скорости движения точки жидкости Доказано, что при отсутствии магнитного поля C^s—cp) эта краевая задача не имеет решения, если <г= -/" . В этом случае попытки получить решения численными методами терпели неудачу для <г*^^?*йг*<^ -/3 . Однако, как показали К.Стюартсон и Б.Тройч \_ 1242, при любом s > & нахождение этих решений возможно и в случае a~gfd?_ -^-7^ у J .В работе С.Кхари [95] изучался аналог краевой задачи (0.14)-(0.15) для случая, когда оба диска неподвижны, но имеется наличие магнитного поля и приток либо отсос жидкости через диски. При этих предположениях краевая задача принимает вид где <я, <& ^/ S<= LP, -+^^), В статье М.Ява [91J задача фон Кармана-Бетчелора распространяется на случай наличия теплообмена между слоями жидкости. При этом получается система дифференциальных уравнений девятого порядка с одним неизвестным параметром и десятью краевыми условиями. В последнее время появились и работы с другими обобщениями задачи фон Кармана-Бетчелора. Например, Д.Кнайт [_971 рассматривает случай, когда диски вращаются вокруг несовпадающих параллельных осей, Р.Верма и Г.Сингх [1333 уделяют внимание случаю, когда один из дисков изменяет скорость вращения по периодическому закону. 0.3. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Текст в каждой из трех глав разбит на параграфы, которые в свою очередь, так же как и введение, разбиты на пункты. В каждом пункте содержатся не более одного утверждения типа теоремы, леммы, следствия, замечания. При ссылках на эти утверждения указывается пункт, в котором соответствующее утверждение содержится. Формулы нумеруются, независимо в каждой из глав, и формула с номером {'V/'J является /-той формулой -того параграфа главы. . 0.3.1. Первая глава диссертации посвящена двухточечным краевым задачам для дифференциального уравнения sr"= А <<И -^ а?У, (0Л9) где я Є &*л-**с &* ^\ ^У . Естественным условием в таких задачах является равенство нулю производной неизвестной функции на левом конце интервала jf . Для формулировки условий разрешимости этих задач существенную роль играет введенное нами в первом параграфе главы понятие С точки зрения метода априорных оценок, условия разрешимости краевой задачи для уравнения второго порядка могут быть разделены на две группы. Условия типа обеспечивают априорную оценку решения, условия типа <& - априорную оценку производной ограниченного решения. Условия типа /? привели к так называемым нижним и верхним функциям, понятие о которых восходит к работе М.Нагумо [1131. Во втором параграфе главы вводятся определения этих функций и исследуется влияние -ограниченности производных решений на свойства этих функций. Нами используемые определения нижних и верхних функций впервые встречаются в работе И.Т.Кигурадзе [_23], а свойства таких классов функций изучены В.Д.Пономаревым [433. Для прикладных задач нижние и верхние функции с производными, терпящими разрыв, впервые применялись М.Ивано (J-Ю]. Построение таких функций.в каждом подинтервале, где производные непрерывны, возможно, если воспользоваться методикой, указанной в монографии В.В.Гудкова, Ю.А.Клокова, А.Я.Лепина, В.Д. Пономарева [171. Определения обобщенных нижних и верхних функций, а также обобщенного решения заимствованы из работы Л.А.Лепина І32], свойства этих функций исследованы в работах Л.А.Лепина [32-34]. В третьем параграфе для краевой задачи дифференциального уравнения (0.19) с условиями ^'Г^У= ^ ^ґ^гГ^ se-'ffjj = & (0.20) сформулированы условия обобщенной разрешимости, обеспечивающие оценку решения нижней и верхней функциями, а также предел производной решения на левом конце интервала^". Если дополнительно выполняются и некоторые условия типа «^ , то обобщенное решение будет решением в обычном смысле. Интересные условия типа <& в терминах решений дифференциального уравне- ния даны К.Шредером С121]. Они удобны тем, что включают в себя различные разновидности обобщения классических условий типа > из работ С.Н.Бернштейна СИЗ» М.Нагумо [^1131, встречающиеся в современной литературе. В четвертом параграфе главы, пользуясь условиями ^3 упомянутого вида, мы приводим теорему 1.4.2 разрешимости краевой задачи (0.19)-(0.20). Эта теорема успешно применяема к краевым задачам, указанным в пунктах 0.2.2 и 0.2.3. В имеющихся монографиях содержатся различные условия единственности краевых задач. В литературе встречаются и условия единственности для краевых задач, к которым применимы результаты диссертации (например, К.Там CI283). Однако, как правило, в настоящее времявисследуемых прикладных краевых задачах 'имеет место неединственность решения. В конце четвертого параграфа приводятся утверждения, позволяющие установить оценку снизу количества решений краевой задачи. Методика оценки снизу количества решений для краевых условий типа Дирихле в случае скалярного уравнения второго порядка разработана А.И.Перовым C.39J и в более совершенной форме, включая и сингулярный случай Б.Л.Шехтером [593. М.А.Красносельским и В.И.Стеценко С.303 указывалась методика оценки снизу числа решений, пользуясь наличием у нелинейностей входящих в уравнение согласованных перемежающихся участков быстрого и медленного роста. В теореме 1.4.7 интересным является обстоятельство, что между двумя парами нижних и верхних функций, образующих не пересекающиеся области, имеется еще одно решение краевой задачи. Следовательно, если по методике М.А.Красносельского и В.И. Стеценко С303, применительно к рассматриваемой нами краевой задаче, мы имели оценку снизу количества решений числом sz , то теорема 1.4.7 дает оценку числом ^г- */. Отметим также, что интересные результаты по оценке снизу количества решений многоточечных краевых задач для систем дифференциальных уравнений получены в работах В.С.Климова [24Д, Ю.В.Покорного Q40J. Последний, пятый параграф главы, посвящен вопросу о построении нижних и верхних функций для краевой задачи, обобщающей одну задачу из теории химического реактора, и оценке снизу количества решений этой задачи. 0.3.2. Во второй главе диссертации рассматриваются краевые задачи для систем уравнений второго порядка. Интерес представляет вопрос об условиях типа d и & в терминах функций типа Ляпунова, так как такой подход позволяет довести изучение условий разрешимости краевых задач до теоретической завершенности - получения необходимых и достаточных условий разрешимости. Впервые функции типа Ляпунова для этих целей использованы в работах японских математиков, см. Т.Иосидзава LI39]. В дальнейшем этот подход развит в работах С.Бернфель-да, В.Лакшмикантама, С.Леела [.69J, В.Д.Пономарева, Я.В.Цепи-тиса [_44 J для уравнений второго порядка, Ф.Ж.Садырбаева [^45] для системы двух уравнений первого порядка, Дж.Джорджа и В.Саттона L84] для системы уравнений второго порядка. В первых двух параграфах главы приводятся условия разрешимости краевых задач типа 4 и & для систем уравнений второго порядка в терминах функций типа Ляпунова, при этом теоремы 2.1.2 и 2.2.1 значительно усиливают упомянутые результаты Дж.Джорджа и В.Саттона [.843. В примерах 2.1.4 и 2.2.5 демонстрируется, как, пользуясь функциями типа Ляпунова, получаются классические условия для обеспечения априорной оценки решения и производной ограниченного решения краевой задачи. Полученные в первых двух параграфах результаты, позволяют формулировать теорему 2.2.7, которая является обобщением - зо - соответ сгвующего результата разрешимости из монографии В.В. Гудкова, Ю.А.Клокова, А.Я.Лепина, В.Д.Пономарева C^J. v В третьем параграфе главы для уравнения (0.19) с краевыми условиями ггг'^= ^^ ^ r^J = л* ґсггО ^ (0.21) предполагается, что <4 & (^/^^^ с2х ^ ^ ^ у к л - непрерывный вектор-функционал, переносится введенное в первой главе для скалярного случая понятие В последнем параграфе главы приводятся условия разрешимости краевой задачи смешанного типа для системы уравнений второго порядка, которая, быть может, имеет несуммируемую особенность. Условия типа ^ в этом параграфе сформулированы, используя векторные аналоги нижних и верхних функций. Этот результат удобен, например, тем, что, следуя методике, изложенной нами для скалярного случая, мы имеем возможность исследовать вопрос об оценке снизу количества решений краевой задачи, возникшей из конкретных приложений. Результаты этого параграфа успешно применимы к краевым задачам, упомянутым в пункте 0.2.4. 0.3.3. В третьей главе диссертации изучается краевая задача rsr. + ^J ^zr. =- у. /V: ;,...„ *г ) , С0.22) Г*-- &;) + ґ*у, *r. - ЗІ - где *=<..., * j *. e /<^ ^... J ;^/w <*? ^...^ ^ <&,yy *y — ff/ * t'J -мерные векторы, С/ - действительные числа. Такие задачи мы будем называть краевыми задачами с разделенными линейными краевыми условиями. Примером такой задачи является рассмотренная в работе Дж.МакЛеода [Д09Л задача фон Кармана-Бетчелора (см.0.2.5), которую запишем в следующем виде у/ J2T = К этой краевой задаче не применима методика априорных оценок в том виде, в котором она изложена во П главе диссертации, а также затруднительно применение теорем разрешимости из имеющихся монографий, в силу отсутствия информации о поведении функции у на концах интервала J7". Поэтому в первом параграфе главы разработана методика априорных оценок, применительно к краевой задаче (0.22)-(0.23). Во втором параграфе сформулирована теорема, показывающая связь разрешимости (в пространстве изменения параметров <> ) краевой задачи С/ (0.22)-(0.23) с соответствующей однородной краевой задачей для системы уравнений в вариациях. Этот результат позволяет ЭффеКТИВНО ОЦеНИТЬ ОКреСТНОСТЬ ТОЧКИ С ,0 у , ^пт ) пространства параметров, в которой сохраняется разрешимость краевой задачи (0.22)-(0.23). В третьем параграфе главы мы подробнее останавливаемся на применении результатов первых двух параграфов в случае, когда правая часть системы (0.22) имеет квадратичные нелинейности. Наконец, эти результаты мы непосредственно применяем к краевой задаче (0.24). При этом мы получаем область разрешимости этой задачи в^^^у-плоскости, которая значительно увеличивает ранее известные области. Результаты третьей главы диссертации успешно применяемы и к другим в пункте 0.2.5 упомянутым краевым задачам. 0.3.4. На защиту выносятся следующие результаты: cf -ограниченность производных решений дифференциального уравнения второго порядка на некотором семействе и свойства верхних и нижних функций при наличии Условия разрешимости краевых задач смешанного типа для уравнений и систем уравнений второго порядка с несуммируемой особенностью. Методика оценки снизу количества решений для некоторых краевых задач, возникших из приложений. Условия, обеспечивающие априорную оценку решений и производных ограниченных решений в терминах функций типа Ляпунова для системы дифференциальных уравнений второго порядка. 5. Применение методики априорных оценок к системам диффе Основное содержание диссертации изложено в работах диссертанта [50-56П. Результаты, содержащиеся в диссертации, докладывались на семинарах по обыкновенным дифференциальным уравнениям Латвийского государственного университета (1976-1983), Тбилисского государственного университета (1979,1983), на научных конференциях Латвийского государственного университета (1977-1983), научно-технических конференциях Пермского политехнического института (1980,1982,1983), на семинарах Воронежской зимней математической школы (1981), УП и УШ школ по теории операторов в функциональных пространствах (г.Минск - 1982, г.Рига - 1983), на третьем республиканском симпозиуме по дифференциальным уравнениям (г.Одесса - 1982). 0.4. Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю А.Я.Лепину и всем участникам семинара по обыкновенным дифференциальным уравнениям в Вычислительном центре Латвийского государственного университета, и, в особенности, Ю.А.Клокову, которые своими замечаниями и предложениями содействовали написанию диссертации. В условиях разрешимости краевых задач часто фигурируют так называемые нижние и верхние функции, обеспечивающие априорную оценку решения. В этом параграфе даны определения обобщенных нижней и верхней функций для уравнения (I.I) и исследованы свойства этих функций при наличии С -ограниченности производных решений этого уравнения. Пусть ct & будем называть нижней функцией уравнения (І.І) на \j=tt J "J Функцию ? /Зі// Cc j / 3 будем называть верхней функцией уравнения (I.I) на 2, Л 3. Отметим, что функции этих классов имеют односторонние производные в любой точке области определения, при этом правая и левая производные почти всюду совпадают (см.В.Д.Пономарев Далее будем писать & & (L&, Л3у /v J tee &&Yc«, /j /$)) 9 если для любых & е С-— что для любых z f zi zf С , . J из 1.2.2. Определения. Функцию o : C / /j- -будем называть обобщенной нижней функцией уравнения (I.I) на С«, /_7 , если с є &43 ҐІ«,ЛЗ y J и для каждого компактного интервала J г С", 4 2 на котором с удовлетворяет условию Липшица, функпия является нижней функцией уравнения (I.I) наст . Функцию " 1 2,/]- / Є будем называть обобщенной верхней функцией уравнения (І.І) на L , /3 если и для каждого компактного интервала о " І у J , на котором удовлетворяет условию Липшица, функция Ґ-/- /& fz JjI является верхней функцией уравнения (I.I) нао . Функцию гг. _7- /Z » являющуюся одновременно обобщенной нижней и обобщенной верхней функцией уравнения (I.I) на С&, -/ J , будем называть обобщенным решением уравнения (I.I). Значимость этих определений состоит в том, что, например, точная верхняя грань непустого множества обобщенных нижних функций, ограниченная сверху обобщенной верхней функцией, является также обобщенной нижней функцией. Аналогичное утверждение сохраняет силу для точной нижней грани непустого множества обобщенных верхних функций. Далее, для обобщенного решения SC имеет место, что при любом Л\ г or /2 = str Szfb J , и, если для всех /;х //у1/ + , то это решение является решением уравнения в обычном смысле. 1.2.3. Определение. Будем говорить, что выпол няется условие /I , если существуют функции ъ А \С0,4 - - удовлетворяющие неравенству (1.6) и являющиеся соответствен но обобщенными нижней и верхней функциями уравнения (I.I) на ловие , тогда множество обобщен- ных решений ZC уравнения (I.I), удовлетворяющих при z? Ґ&, -Z 3 оценке (1.7) и условию ctrf-fj , не пусто. 1.2.5. Лемма. Пусть выполняется условие = =/4, = производные решений уравнения (I.I) 5 -ограничены на S и справедливы неравенства тогда сохраняет силу утверждение леммы І.І.4. Доказательство. Пусть По лемме 1.2.4 существует обобщенное решение ее: ґ % -/J-z уравнения (I.I), удовлетворяющее условию згґ-/) f к оценке (1.7). Для завершения доказательства, согласно лемме I.I.7, достаточно показать, что для любого z ґ &, & J найдется z , Є Ґ&, z?J такое, что выполняется (1.3). Если это не так, то в силу -ограниченности на S производной решения я? , для некоторого у & ґ &, -5" J возможно лишь одно из следующих двух неравенств В случае первого из этих неравенств имеем интегрирование полученного неравенства от & до / дает S&Sz J zirSz S х z ґ & z , J , что невозможно. Аналогично мы получаем противоречие и в случае второго неравенства. Тем самым на С &,s 1 установлены оценки (1.4),(1.7). Из этих оценок следует, что сужение обобщенного решения iZC на s 2 является решением уравнения (I.I) в обычном смысле. Лемма доказана. 1.2.6. Следствие. Пусть выполняются условия леммы 1.2.5 и решение задачи Коши (1.1),(1.5) единственно, тогда имеет место равенство ex- f J=/&ґт/ z "" J 1.2.7. Л е м м а. Пусть выполняется условие 4 производные решений уравнения (I.I) 5 -ограничены на vS и для некоторого ? f & cr-J тогда выполняется Доказательство. Покажем лишь соответствую щие свойства функции ъ , так как для функции & доказатель ство аналогично. Пусть утверждение леммы неверно, тогда най дется z fzo, = "" J такое, что cr s - Є / . Со гласно свойству обобщенной нижней функции (Л.А.Лепин 34]), найдется обобщенное решение .яг уравнения (I.I), такое, что выполняется (1.7),для некоторого что противоречит условию леммы. Лемма доказана. 1.2.8. Л є м м а. Пусть выполняется условие Доказательство. Из (1.6) и (2.2) сразу следует (2.3). Если для некоторого sє f 7 /j о zf&S&s-s] , то выполнение (2.4) очевидно. Пусть это не так, тогда в силу леммы 1.2.7 для некоторого s ґ - J /tfrz & ґ , s J имеет место один из следующих четырех случаев: В первом из этих случаев имеем во втором случае в третьем случае - ? = .=, / yU . Sz j/ i7 v F r t J ив четвертом случае Из этих соотношений,(І.6) и (2.2) следует (2.4). Лемма доказана. 1.2.9. Лемма. Пусть выполняется условие , (2.2), производные решений уравнения (I.I) ? -ограничены на vS" и . 1) для любого 2 є Ґ&, &-J найдутся 2 , & J и решение яг: L-r0, J —э / С уравнения (I.I), удовлетворяющее соотношениям (1.3),(1.7) 2) при каждом я ё L , &о J решение задачи Коши (1.1)-(1.5) единственно. Тогда имеют место неравенства (2.1). Доказательство. Если = =, =/&& , то согласно лемме 1.2.4 и условию (2) имеем с //= cr/ =/ 2 V r J , откуда, в силу условия XI), следует (2.1). Если же 0 с & , то условие (I) выполняется автоматически. Пусть, например, в этом случае не выполнено первое из неравенств (2.1). Тогда по лемме 1.2.7 и свойству обобщенной нижней функции для некоторого S ґ ? s J имеем L c c /И/ замечанию І.І.5 существует решение эс\ Ґ&s]-9 /Z Уравнения (I.I) такое, что /ж ґ / ? fz S zt-fifpJ = o . Для этого решения имеем схґгУ яг ґО z ? S tr-sJ . Пусть У Є r =x&Jy OTSJS-J; тогда найдется обобщенное решение : ґ гг 3 - / уравнения (І.І) такое, что что противоречит условию (2). Полученное противоречие и доказывает первое из неравенств (2.1). Аналогично устанавливается справедливость и второго из этих неравенств. Лемма доказана. 1.2.10. Лемма. Пусть выполняются условие , (2.2), правая часть уравнения (І.І) удовлетворяет оценке (І.І7) и уравнение (І.І8) имеет определенное на S s 1 максимальное решение Ч» Удовлетворяющее УСЛОВИЯМ бґґ 7/= ґ У ?Sz% Ґ& З » Т0ГДа имеют место неравенства (2.1). Доказательство. Покажем лишь справедливость первого из неравенств (2.1), так как второе неравенство ус- танавливается аналогично. Допустим, что нужное нам неравенство неверно, тогда согласно лемме 1.2.7 без потери общности можем считать, что уг, or Ґ/J - ess; Ґ-«Ь orj откуда в силу (I.17) имеем Учитывая (2.2), имеющийся знак и свойства обобщенной нижней функции, применением теоремы об интегральном неравенстве (В.М.Алексеев [3]) получаем /И - - 1 , что по допущению невозможно. Лемма доказана. 1.2.II. Лемма. Пусть выполняется условие - , производные решений уравнения (I.I) f -ограничены на , существуют обобщенные нижняя и верхняя функции с э/ / ,-, уравнения (I.I), не являющиеся обобщенными решениями этого уравнения, и такие, что и - единственные решения уравнения (I.I), удовлетворяющие условиям тогда для некоторого s , при z? с ъ ? J справедливы неравенства Доказательство. Если в (2.6) имеют место строгие неравенства, то утверждение леммы очевидно. Пусть, например, & , тогда, согласно лемме 1.2.7, имеем «= , C-J-&J = & , следовательно (+ &) = ? Далее, применением следствия 1.2.6, убеждаемся в справедливости первого из неравенств (2.7). Аналогичными рассуждениями устанавливается и второе из неравенств (2.7). Лемма до-каз ана 1.3. Обобщенная разрешимость краевой задачи смешанного типа. В этом параграфе изучается вопрос о существовании обобщенного решения уравнения (І.І), удовлетворяющего краевьм условиям где Уе у у /є СҐУ y J и для любых JZs - из Г следует Sf tt J tfr J , I.3.I. Теорема. Пусть выполняются условие r , (2.2) и производные решений уравнения (I.I) ef -ограничены нач5Г . Тогда для любого краевая задача (1.1),(3.1) имеет обобщенное решение яг , для которого выполняется (1.10) и оценка строим последовательности функций /- % /- . /=г- следующим образом. Эта краевая задача обобщает рассмотренную С.Партером П5] и Л.Уильямсом и Р.Леггетом С137] задачу из теории химического реактора, в которой правая часть уравнения (5.1) зависит от двух параметров. В зависимости от значений этих параметров, как показывают вычисления С.Партера, М.Стейна и Р.Стейна [116], упомянутая задача может иметь одно, два или три решения. В этом параграфе показывается, как пользуясь результатами предыдущего параграфа, устанавливается разрешимость и оценка снизу числа решений краевой задачи (5.1),(5.2). Отметим, что полученные в этом параграфе результаты распространяются и на случай, когда для функции & при некотором с є L&, -fJ выполняется (I.I2). Однако, из результатов И.Т.Кигурадзе Ll9] следует, что в таком случае краевая задача (5.1),(5.2) может иметь и бесконечное множество решений. Изложенная в этом параграфе методика.построения нижних, верхних функций и оценки снизу числа решений краевой задачи, пе- реносится также на возникающую в теории химического реактора краевую задачу где (/ е 3 +. =x= J и j/ непрерывная и не возрастающая функция. Эта задача изучалась, например, В.С.Берманом и В.В.Востоковым [ЮЗ, Л.Уильямсом и Р.ЛеггетоміЗб]. Определим функцию & : J " 3 - - следующим образом: и положим Л = у г /J f /Ь У / У, Заметим, что для Z f&, / _7 и предположим, что задача Коши (5.1),(1.5) имеет единственное решение zC . Непосредственной проверкой можно убедиться, что для этого решения на правом максимальном интервале существования выполняется Далее яг У//- Уеъ б Ґ- y c= jy/js artf/i t что совместно с (5.3) дает сгг Если для этого решения при любом Zf из области определения имеет место (4.1), то это решение продолжимо до любого z C&s J такого, что соблюдается ягґґ/ , z C l. Отметим, что в силу суммируемости функции z - Jp / для произвольной J/ c/C - / J Непосредственным вычислением и применением соотношений (5.3) получаем так что o является нижней функцией уравнения (5.1) на f Z-/J . Далее, так как удовлетворяет (5.4), а , -невозрастающие функции, то применяя неравенства (5.3) и (5.9), получаем и / является верхней функцией уравнения (5.1) на С 3!, / J. Лемма доказана. 1.5.2. Замечание. Пусть, дополнительно условиям леммы I.5.I, выполняется Тогда имеет место неравенство Действительно, используя определение функции /& , (5.8), (5.9) и (5.12) для f получаем 1.5.3. Л e M M а. Для функций ъ оJ JS0 , определенных формулами (5.10),(5.11), и решений уравнения (5.1) sir -гг удовлетворяющих соответственно условиям на правом максимальном интервале существования справедливы неравенства (2.7). Доказатель ство. Допустим, что для некоторо- В таком случае / / f и, учитывая (5.5), имеем что невозможно. Если - продолжимо до некоторого s є Ґ І,, -/ J »то для т & -5" J имеем тем самым первое из неравенств (2.7) установлено. Далее, непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости второго из неравенств (2.7). Лемма доказана. 1.5.4. Теорема. Пусть = ... /гj /- выполняются неравенства функции / у / ,- для -г 2 определенные следующим обра- /. /ї/У = л с /ty не являются решениями уравнения (5.1) и удовлетворяют соотношениям имеет место оценка Тогда краевая задача (5.1)-(5.2) имеет по крайней мере -Zsz +-решений. Доказательство. Заметим, что оценка (5.14) обеспечивает выполнение условия , если в (1.7) положить СХҐ/М&, У / г &У . Далее функция &У= является нижней функцией уравнения (5.1) на ftZ /J . По лемме 1.5.1Ч"У / - нижние и верхние функции уравнения (5.1) на ,/j » Для которых, согласно (5.12 ) и замеча-нию 1.5.2, выполняется в силу (5.6),(5.7), Следовательно, принимая во внимание (5.13) и лемму 1.5.3, для функций = , у . с е- y 0 получаем выполнение условий теоремы 1.4.7. Наконец, из неравенств (5.15)и замечания 1.4.8 следует существование, по крайней мере, - г решений краевой задачи (5.1),(5.2). Теорема доказана. 1.5.5. Замечание. По доказательству теоремы 1.5.4 видно, что для /г-s- / решений краевой задачи (5.1), (5,2) выполняются оценки о г- &) &Z&J /&- Ґг / z I а:;для остальных sz решений у/ соотношения Далее, условия (5.12 ) и предположение о том, что ve- не являются решениями краевой задачи (5.1),(5.2), существен ны для того, чтобы гарантировать несовпадение двух из следу ющих трех решений -Я?. С2Г. czr . 1.5.6. Примеры. Если / // = -?т то в области С «о С/ -плоскости наличия трех неотрицательных решений краевой задачи (5.1),(5.2), полученной численным методом в вышеупомянутой работе С.Партера, М.Стейна и Р.Стейна [Иб], можно применить теорему 1.5.4, полагая = -f . На границе этой области нарушаются условия, о которых говорится в замечании 1.5.5, и, следовательно, мы можем утверждать, что имеются лишь не менее двух неотрицательных решений краевой задачи (5.1),(5.2). то теорема 1.5,4 применима при/г= & . Отметим, что в этом случае найдется (/о ? (, +- = =3J такое, что для и ( Vo, -h = = ) существование решения краевой задачи (5,1),(5.2) теоремой 1.5.4 не устанавливается, что соответствует результату работы Д.Джозефа и Т.Лундгрена [93], Глава состоит из четырех параграфов. Рассматриваются двухточечные краевые задачи для системы уравнений второго порядка, которые на левом конце интервала, быть может, имеют несумми-руемую особенность. В первых двух параграфах главы приводятся условия, гарантирующие априорные оценки решения и производной ограниченного решения системы уравнений второго порядка, удовлетворяющего краевым условиям, в терминах функций типа Ляпунова. Хотя эти условия малоэффективны, они удобны тем, что, как правило, все имеющиеся условия, обеспечивающие априорные оценки упомянутых решений и их производных, получаются подходящим выбором функций типа Ляпунова. Изложение этих параграфов основывается на работе диссертанта [.503. В третьем параграфе на векторный случай переносятся идеи, лежащие в основе результатов первой главы, при этом получены условия разрешимости, которые применяемы к широкому классу краевых задач, возникших из приложений. Наконец, в четвертом параграфе, используя векторные аналоги нижних и верхних функций, получена более общая теорема разрешимости смешанной краевой задачи для системы уравнений с несуммируемой особенностью. Эта теорема сформулирована для однородных краевых условий, однако она легко распространяется на другие, из приложений возникшие, краевые условия на правом конце. Следует также отметить, что наличие теоремы.такого типа позволяет перенести на векторный случай и результаты 1.5. В этом параграфе на систему (I.I) распространяется введен- ное в I.I понятие 5 -ограниченности производных решений на семействе. Это нам позволяет установить условия разреши мости краевой задачи для системы уравнений (I.I) при А Є Ссг / / C-f У с краевыми условиями где /с ; СЄ-F, у - / непрерывный вектор-функционал И ДЛЯ / Г - J Пусть «r- - r ?-/jy cf : ґ& s-j _ с с? + = = J функция такая, что С_ = уб / ? f/J : Є Г s J J + -= и vS" некоторое семейство решений системы (I.I). 2.3.1. Определение. Будем говорить, что производные решений системы (I.I) f -ограничены на семействе 5 ЄСЛИ ДЛЯ ЛЮбыХ 2 Ґ sV, 2 ґ? , Г U И РЄШЄНИЯ зе: т4 / 7 - системы (I.I), принадлежащего се-мейству S , из неравенства 2.2.3. Замечание. Легко проверить, что для этого определения справедливы векторные аналоги теорем I.I.2, I.I.3, лемм I.I.4 и I.I.7. Пусть 6 — и-о - семейство всех решений системы (I.I). 2.3.3. Л е м м а. Пусть производные решений системы (I.I) 6 -ограничены на ч5" и «с - = = , тогда краевая задача (1.1),(3.1) имеет решение зо , для которого на Г справедлива оценка (3.4). Доказательство. Пусть В силу условий леммы, функции ЛГ 7 Г- s& J , удо- влетворяющие (3.5 0,(3.1) и на ( ) (3.4), имеют конечные оценки Согласно теореме Шаудера (Л.Коллатц [.273), краевая задача (3.5 0,(3.1) имеет, по крайней мере, одно решение яг , . Из замечания 2.3.2 следует, что некоторая подпоследовательность последовательности л"-э- сгг , сходится к решению ее краевой задачи (1.1),(3.1), и для этого решения на 7 имеет место оценка (3.4). Лемма доказана. Пусть / ґє ґ&- «-е= _/ ґ / ?J и S множество решений -ЯГ системы (I.I), для которых при любом т из области определения выполняется (I.IO), Укажем примеры эффективных условий на правую часть системы (I.I), при которых производные решений этой системы f -ограничены на - 2.3.4. Определение. Будем говорить, что правая часть системы (I.I) удовлетворяет оценке (3.6), если выполняется неравенство (3.6) где / &zs- Г?у /Є J » Для некоторого с = і & -h = ) и для любых z Є L Z SJ y 2 ? -Ґ J и любого решения ctr: [т о, J - - у на промежутке -4 - I 4 J , в котором Г/агґ/j sr S&JeQ почти всюду при этом 2.3.5. Лемма. Если правая часть системы (I.I) удовлетворяет оценке (З.б), то производные решений системы (I.I) 6 -ограничены на vjT. Доказательство. Фиксируем число /У& С + = = J и положим для z ґ -Ґ J #J=/y%Wf C/f-?«rJ+-J_-6J-f. (3.8) Ясно, что (3.2) выполняется. Положим далее сг-= , если либо выберем сг С"? такое, что Пусть ті Є Г ? г)у еґіС a-J nsc: L z J—»/e решение системы (I.I) такое, что выполняется (3.3). Имеем откуда получаем для /яг // / і & / СУ//Ъ г42 г%#// -у ej&«V+ (3 Л0) Ясно, что /sr S&)/ . Если Е Г 4 -7 крайняя слева точка, в которой /sir f j/= , то в силу (3.7),(3.10) и определения числа з получаем /яг /%)/ с - . Это противоречие убеждает нас в том, что А р / е= L o, 7гг J выполняется (3.7) и мы можем писать /яг ґ/s/ Таким образом, (3.4) на [ h J выполнено. Лемма дока- зана. 2.3.6. Теорема. Пусть ґ&+ = = У У у правая часть системы (І.І) удовлетворяет оценке (3.6) и выполняется (3.9), тогда, если функция ? определена соотношением (3.8) и А : -/- «=-«= краевая задача (I.I), (3.1) имеет решение, для которого на У справедлива оценка (3.4). Доказательство. Из леммы 2.3.5 следует, что производные решений системы (I.I) г -ограничены на v5" , при этом s = -/ . Отсюда традиционными рассуждениями методики априорных оценок и применением леммы 2.3.3 следует разрешимость краевой задачи (1.1),.(3.1). Наконец, согласно лемме 2.3.5, усматриваем выполнение на С&, -/J оценки (3.4), Доказательство завершено. Пусть правая часть системы (I.I) удовлетворяет оценке (З.б). Укажем примеры условий на правую часть системы (I.I), при выполнении которых применима теорема 2.3.6. 2.3.7. Пример. Пусть J функция такая, что а # : [оу+ =./ (1 неубывающая функция, для которой выполняются для достаточно большого sW имеет место (3.9). Действительно, согласно (3.11) мы для sV& Г - = = J можем в (3.7) положить f/J= S J? ґ/t/J & JT и выбрать /Р настолько большим, что Тогда из этого и имеющихся условий сразу следует (3.9) и, следовательно, применима теорема 2.3.8. П р и м е р. Пусть число г , существование которого обеспечивается леммой 2.3.5, строго меньше единицы, где функция j& : L&, + = J-b L&,-/- &= ) удовлетворяет (2.12), и для ас Є (ъ? , s выполняется (2.13), тогда краевая задача (1.1),(3.1) имеет решением , для которого HBLC ?, 1 справедлива оценка (3.4). Доказательство этого утверждения отличается от доказательства теоремы 2.3.6 лишь тем, что в применяемых рассуждениях величины заменяются числом 4 2.4. Нижние и верхние функции и разрешимость смешанной краевой задачи. Рассмотрим систему (I.I) с краевыми условиями предположим, что и пусть в последующих формулировках индекс с пробегает множество {-/j ... „ j . В этом параграфе приводятся условия разрешимости краевой задачи (1.1),(4.1) при наличии нижних и верхних функций. 2.4.1. Определение. Предположим существование вектор-функций = ,/ СО, у j —= / таких, что для любого S e С& fj выполняется (1.2) и найдется число Р - = e= J такое, Далее для некоторого sfg / Г -/ =«= ; уб гг Z выполняются неравенства При выполнении вышеперечисленных условий будем говорить, что для системы (I.I) существуют, соответственно, нижняя и верхняя функции =х", . В этом параграфе S будет предполагаться семейством решений системы (I.I), для которых в области определения справедлива оценка (1.3). 2.4.2. Определение. Пусть для системы (I.I) существуют нижняя и верхняя функции -, /3 . Будем говорить, что система (I.I) удовлетворяет условию , если: 3 ) производные решений системы (I.I) ? -ограничены на семействе v5T ) для некоторого sg ґ& a-J , любого 4TeCotsJ и решений 5С У зг. системы (I.I), удовлетворяющих условиям из существования / f і ...у s? J и J ? таких, следует, соответственно, /c YtO/ ?SzO / // ?Sky iS.) существует число sfє ґ у -+ =r = J такое, что для функций zc из семейства , удовлетворяющих на ( 5 1 оценке (3.4), выполняется Пусть X: С , -Z) , рассмотрим краевые условия где / ? є J-/... /7} / -e гґ взаимно однознач- ное отображение множества /- .. . , ъ J в себя, 2.4.3. Лемма. Пусть є Cl?s- ҐСГ Дх /$ /%) и для некоторого f- С (l1 , Jl [&,+ е= == )) при zf &Z4 J Є [Tr 4J x ? выполняется (2.16), тогда краевая задача (2.17),(4.4) разрешима. Лемма непосредственно следует из теоремы существования гл.2, 2 монографии Н.И.Васильева и Ю.А.Клокова Ll4l. 2.4.4. Л е м м а. Пусть для системы (I.I) существуют нижняя и верхняя функции с , & J и эта система удовлетворяет условию & , тогда для любого 7Гє С &, 3 J существует решение яг системы (I.I) такое, что и для т? [ Т", 4 J имеет место (1.3). Доказательство. Пусть JC я? реше- ния системы (I.I), удовлетворяющие условиям (4.3). Из 5у следует возможность построения функций = & : Ст) «f J-»- нижеуказанным образом. Пусть z ,- - в С Т -/ J крайние справа точки такие, что :2г. z Z T", t f J z СТ] J . Если z . Т" ив некоторой точке 4,- «г г; 4- -7 / ) /1- ґ&), либо при 4 = К В случае, когда . Гг; У : 4 - z r СК с J, положим Если /,- еще не определено, то в случае 7 == zj - .- & єітг, У J . Далее, если Т"" ив некоторой точке .- "ZJ . J г; Sge.J = / ) , либо при либо 2 ,- -- и зг. Sbjcss С? , положим Очевидно, что в силу 2 « для определенных нами функций «= / сохраняют справедливость неравенства, аналогичные неравенствам (4.2) и выполняется Положим для rrf 5?; у f С т, i J х /$ Ясно, что , для некоторого . у , SL? &, + = = J J выполняется (2.16) и для функции и / совпадают. Определим краевые условия вида (4.4) следующим образом если чае имеем / (т) /&с """) . Заметим, что в последнем слу- Согласно лемме 2.4.3, таким образом определенная краевая задача (2.17)-(4.4) имеет решение .аг . Оценку мы можем установить, например, используя функции типа Ляпунова. Действительно, положим тогда заметим, что в силу неравенств (4.2) и (4.9), либо (4.II) на компонентах решений системы (2.17), удовлетворяющих условиям (4.8), соответственно, (4.10), в области определения функций - / имеют место неравенства (1.5), если в силу (4.7) положить ?= z?. Пусть & / /Zd яг. такие же, как в предыдущем параграфе. Рассмотрим краевую задачу (1.1)-(1.2) совместно с краевой задачей /z = & с _ и предполагается, что для любых функции существуют и являются ограниченными на У . В этом параграфе указывается эффективно используемая теорема о краевой зада- че (1.1)-(1.2), относящаяся к важному для приложений случаю, когда точка CU ... г ) изменяется в 3.2.1. Теорема. Пусть для решения ґзгґ, .. . зг ) краевой задачи (1.1)-(1.2), задача (2.1)-(2.2) имеет лишь решение, тождественно равное нулю, тогда найдется 4 Є ґ ? - - = = ) такое, что для условий #-/ є » краевая задача (1.1),(2.3) разрешима, если для любых возможных значений индексов / Доказательство. Введем обозначения системы уравнений (2.1), удовлетворяющее краевьм условиям которое существует и единственно в силу условий теоремы. По кажем, что если число j достаточно малое, то найдутся функции ят. Л . Ґ J такие, что - .. v &), где = ./ яг + zSy является решением краевой задачи (1.1),(2.3). Если это так, то, подставляя функции -& в систему уравнений (1.1), для & _/ получаем при этом функции / Для некоторых &У , Т Т вычислены в точках /Vі &r J » компоненты ко- торых определены следующим образом: Важно отметить, что эти значения функций . на / ограничены. Далее, учитывая краевые условия (1.2),(2.3) и (2.5), получаем Так что Л . . . / должно быть решением краевой задачи (2.6),(2.7). Нам остается показать, что при малых значениях чисел ;, эта краевая задача разрешима. Пусть Є у у У - у " J_/ и рассмотрим систему уравнений Пользуясь матрицей Грина, соответствующей задаче (2.8), (2.7) однородной краевой задачи, получаем, что найдется чис-ло г С& + == = такое, что для решения far яг J краевой задачи (2.8),(2.7), существование которого хорошо известно, справедливы оценки Из этих оценок далее получаем, что для некоторого /е1 - -"" У выполняются Если / s настолько мало, что у / у , то реше- ние г ... .яг J краевой задачи (2.8),(2.7) удовлетво ряет и краевой задаче (2.6)-(2.7). Пусть /% - / » выберем = ґ = = J такое, что из неравенств (2.4) следует тем самым, будет обеспечено существование функций 7 и ґ еу . . . х J будет решением краевой задачи (1.1),(2.3). Теорема доказана. 3.2.2. Следствие. Пусть краевая задача (I.I)-(1.2) имеет решение ґя r J » и Для этог, решения соответствующая задача (2.1)-(2.2) имеет лишь нулевое решение. Тогда для разрешимости краевой задачи (1.1),(2.3) необходимо и достаточно разрешимость краевой задачи (2.6)-(2.7). 3.2.3. Замечание. Конструктивный характер теоремы 3.2.1 усматривается из теоремы 3.1.3. Действительно, пусть % уже найдено, нам остается выбрать g & == 1 J и постоянные ff s такими, чтобы и неравенства (1.9), построенные для краевой задачи (2.1) (2.5), были совместными. 3.3. Система с квадратичными нелинейностями. В этом параграфе на примере краевой задачи для системы с квадратичной нелинейностью правой части показывается применение теоремы 3.1.3. После обрисования общей схемы исследования разрешимости краевой задачи (1.1)-(1.2) в пространстве параметров С С . . . W ) мы приводим и более конкретный пример - задачу фон Кармана-Бетчелора. Рассмотрим краевую задачу (1.1)-(1.2), где дексов суммируемы на X функции, и введем обозначения: Тогда функции j77 , присутствующие в неравенствах (1.9), принимают следующий вид: Пользуясь конкретной формой (3.1) правой части системы уравнений (I.I) мы можем выписать и правую часть соответствующей системы уравнений (2.1). Имеем Если функции . = &е- постоянные, то неравенства (1.9) при фиксированном ЗГ представляют собой систему -& ъ алгебраических неравенств относительно постоянных -. 3.3.1. Следствие. Пусть система неравенств (1.9) рассматривается относительно неизвестных постоянных # ,- , при некоторых постоянных с г. » совместна для всех z -r Z то краевая задача (1.1)-(1.2) имеет решение ґ-аг,,..., яг ) для которого справедливы оценки (1.8). ПустьС Р - замкнутая область, содержащаяся в простран- стве / , такая, что при f Z0 ... ) = разре- шимость краевой задачи (1.1)-(1.2) установлена, например,; применением следствия 3.3.1. Расширить эту область мы можем следующим образом. Предположим, что = ,, .. . ) Є / Ґ ГР/ иґ & .. . СЦ J не принадлежит C P fztr ... згг J решение краевой задачи (1.1),(2.3), СЧ- СООТБетсТБУющее этому решению решение задачи (2.1),(2.5) и положим в системе неравенств (1.9) где постоянные. В таком случае (1.9) при каждом фиксированном & JT вновь превращается в систему алгебраических неравенств относительно постоянных е- . Следовательно, опять имеет место следствие 3.3.1. Применяя указанный способ неоднократно, мы можем добиться значительного расширения области ъ с. Обратим внимание и на то обстоятель- ство, что в случае наличия нескольких решений краевой задачи (1.1)-(1.2), различного поведения, пользуясь функциями вида (3.2), мы можем искать области /Є пространства существования решений каждого типа в отдельности. 3.3.2. П р и м е р. Рассмотрим задачу фон Кармана-Бетче-лора (3.4) и изучим разрешимость этой краевой задачи в зависимости от значений параметров Є . Заметим, что если = = , то эта задача имеет решение Пусть G-y /У 2 - - соответственно, функции Грина краевых задач Имеем Нетрудно установить справедливость следующих равенств: о Пусть J? є Ґ&, =-=J , положим тогда для ее {о, з} , е {&, J, - Если для определенности предположить » u ? , то по следствию 3.3.1 неравенства (1.9) принимают следующий вид Если найдутся , if ґ & - =—= J такие, что неравенства (3.5) совместны для Bcexz J7" , то согласно следствию 3.3.1 краевая задача (3.3)-(3.4) разрешима. Исследуя разрешимость системы алгебраических неравенств (3.5), в зависимости от значений параметров « , и аналогичных систем неравенств, полученных при других возможных соотношениях между числами Z , устанавливаем некоторую замкнутую область разрешимости краевой задачи (3.3)-(3.4) в %, %) -плоскости. Далее для граничных точек этой области находим приближенные решения краевой задачи (3.3)-(3.4) и соответствующей задачи вида (2.1),(2.5), пользуясь итерационным методом, который предлагается К.Узлом в работе [_I35j, и строим новые неравенства (1.9), пользуясь формулами (3.2), в которых Если мы желаем установить разрешимость краевой задачи (3.3)-(3.4) при значениях параметров & , то упомяну тым способом мы приближаемся к точке ґ % ) по лучу ф «. Ж- & . Полученная нами область ґ , &J -плос- кости, в которой краевая задача (3.3)-(3.4) разрешима, изображена на рис.1. Если &, & =г &, , то соответствующая система (2.D тривиальному решению системы (3.3) имеет вид решение которой выписывается в явном виде где x— \J—- . Для определения постоянных в случае, когда имеем получаем однородную систему линейных алгебраических уравнений, главный определитель которой при у -г? также отличен от нуля.
нение
rzr = г *г ^ (0#5)
щие скорости точки , то в задаче (0.12)
в направлении оси z зависит от расстояния /7 от оси вра
щения следующим образом: * ^ f9 , где «з~е[--/, +-****),
и жидкость находится в магнитном поле, которое характеризует
число ^5"^ 1.0, -* ^=^^) . При этих предположениях многими ав
торами изучался следующий аналог краевой задачи (0.12)
ренциальных уравнений с разделенными линейными краевыми усло
виями.Нижние и верхние функции и <5 -ограниченность
Об одной краевой задаче, возникшей в теории химического реактора
Разрешимость одной краевой задачи для системы уравнений с несуммируемой особенностью
Связь разрешимости краевой задачи с соответ ствующей задачей в вариациях
Похожие диссертации на Разрешимость двухточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, встречающихся в приложениях
