Содержание к диссертации
Введение 3
Глава I. Краевая задача для стационарной модели вихря . 20 Глава 2. Устойчивость стационарных решений задачи
/0.10/ 49
1. Необходимое и достаточное условие отрицатель
ности спектра задачи /0.13/ 49
2. Смешанная задача для неоднородного линеаризо
ванного уравненрш 60
3. Устойчивость стационарных решений 74
Глава 3. Смешанная задача для уравнений, не разрешен
ных относительно старшей производной по вре
мени 83
1. Оценки решения задачи /0.14/ в пространстве
обобщенных функций 83
2. Классические решения задачи /0.14/ 94
3. Классические решения задачи /0.15/ 116
Литература 121
Введение к работе
В диссертационной работе рассматриваются смешанные задачи для эволюционных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной по времени. Уравнения такого типа возникают, в частности, в математической теории течений жидкости и газа.
Пусть в цилиндре радиуса %> происходит движение вязкой однородной не снимаемой жидкости, причем выполнены уравнения Навье-Стокса в декартовых координатах (**, Ъ , Ъ)
Ц +"kTJx« --?4І7 *=-*/>
_ /0.1/
где Тґ-(<,,иг,и3) - вектор скорости, р - давление ,/>=сон;&-?0-плотность, Ъ - const >о - коэффициент вязкости жидкости, ось л> направлена по оси цилиндра.
Переходя к цилиндрическим координатам
X, = * Cos?
х2 = г
x=(i)2 , y=v , ? = ? , ^ = *
система /0.1/ запишется в виде
_ 4 -
/0.2/
Указанная выше замена переменных впервые была предложена Д. Сулливаном fl].
Результаты экспериментов [2]-[4] показывают, что в вихревых камерах щлиндрического вида возможно образование зоны, в которой движение однородной вязкой несжимаемой жидкости является осесимметрическим, причем радиальная и тангенциальная компоненты вектора скорости зависят лишь, от расстояния до оси цилиндра, осевая же компонента линейно / по г / растет вдоль оси цилиндра.
Для описания такого рода процессов естественно искать решение системы /0.2/ вида
и - и (х, Н v = v(y,H w = wt(x,-r)+ w2 <х,-ь)
р = >(Х,-Ь) + 2І> (« + Т'-Рг <*)
Тогда относительно функщй U , у , w, , Wi , Р полу
чаем следующую систему уравнений:
Л-14 - f UVX =XVXX /0.4/
W = ^^ /0-5/
Jj-vv^ -.(+)wtx +^^ -XW1XX -^ /0.6/
2vy ** їх ^,;
где, _ _ %?&&) __ _ _?_ p a)
^~ 4J^~ ' ^ v *
Условием регулярности вектора скорости (її, v, м/J является требование
a(o,^J - Wo,*) -О /0.8/
В качестве краевых условий и начальных, данных для системы /0.3/-/0.8/ рассмотрим следующие:
U(x,o) = и0(х) , i/(x,o;= V06<) , Щ(х,о) = ууДх)
Без ограничения общности можно считать, что ^7-=/ Та-
ким образом по заданной функвди %< ^ требуется найти функции ec(xt+) , v(x,4) , wxfcrfJ, $*#) , удовлетворяющие уравнениям /0.3/, /0.4/, /0.6/, условиям /0.8/ и tf^rfj = *,#Л **<^ - ^ ^ , t/^^-; « 14 (4) , w, (f>4) = Wt (4),
U(x,0) - UoOf) , V (У, о) = V0 (у) , W, (У, О) - W,(x) -
Основную трудность при решении этой задачи в стационар
ном случае составляет нахождение функции F(x) и числа о^
таких, что х ,
где о( и р - заданные числа, штрихом обозначено дифференцирование по х ; в нестационарном же случае - нахождение решения ибе,4) задачи
"Lo=0' "hf1*^* **Lt~*& /o.io/
U/ - 24 Су)
/= о
Задача /О.Ю/ получается из /О.З/ двукратным дифференцированием по х , Обратно, двукратным интегрированием уравнения /О.Ю/от О до X получим /0.3/.
В монографии М.А.Гольдштика [5] исследовалась задача /0.9/ /в основном на основе расчетных данных/, там же был приведен явный вид решения при специальном соотношении чисел < и fl , указаны примеры вихревых камер, в которых возможно осуществлении движения жидкости, подчиненное уравнению /0.9/. Рядом авторов - Э.П.Волчковым, Т.И.Зеленяком, В.И. Кислых, О.Г.їїроворовой, И.И.Смульским и др. - проводилось описание полей скорости в приосевой зоне цилиндрического стационарного вихря на основе уравнения /0.9/. В [3] предложен алгоритм расчета решения задачи /0.9/, использующий специфику уравнения.
Задача /О.Ю/ изучалась В.С.Белоносовым и Т.И.Зеленя-
КОМ|б]. ИМИ быЛИ ПОЛучеНЫ Теоремы О разреШИМОСТИ В "маЛОМ" ПО;
-Ь и об устойчивости в С Со,\] стационарных решений по первому приближению.
Поля скорости жидкости в приосевой зоне вихревых камер зачастую описывают на основе решений вида F-ax задачи /0.9/ /см.[2] ,[4],[б]/. Кроме того, функции вида ах являются одним из двух известных в настоящее время однойараметрических семейств решений задачи /0.9/, представимых элементарными функциями /под параметром в данном случае понимается число а I -Поэтому важным представляется определение тех значений параметра & , при которых имеет место устойчивость или неустойчивость стационарных решений вида и=ах задачи /ОЛО/.
Полученная В. С. Бело-носовым и Т. И .Зеленяком теорема об устойчивости стационарных решений задачи /0.10/ по первому приближению дает достаточно точный критерий устойчивости проиа-вольного стационарного решения, однако проверка того условия, что спектр соответствующей линеаризованной задачи лежит в левой полуплоскости, достаточно трудна.
Б диссертации получены достаточные условия устойчивости стационарных решений задачи /0.10/, указаны значения параметров CL , при которых имеет место устойчивость /и неустойчивость/ стационарных решений вида и~ах , исследован вопрос существования и единственности решения задачи /0.9/ и дано описание ряда свойств этих решений.
При исследовании вопроса устойчивости стационарных решений вида и-ах задачи /0.10/ одним из основных моментов является получение оценок решения соответствующей неоднородной линеаризованной задачи:
UKX+ = (XCCxx)^ + ftiyxy - Uxx + ffr,+)
U/X=e> = */Xsf = U*/*.f =0 /0ЛІ/
U/t &0 = t/0(x)
Задача /O.II/ является частным случаем смешанной задачи для уравнения
L tf+ = М <и + -Р (ж,*) в <3- /0.12/
где L ж М - эллиптические операторы порядка 2? и ^^ соответственно,
Уравнения вида /0.12/ возникают также и в других задачах гидродинамики, например, в теории малых колебаний вращающейся жидкости.
Смешанная задача и задача Коши для уравнений вида /0.12/ изучалась, целым рядом авторов - С.Л.Соболевым, С.А.Гальперном, Г.В.Демиденко, Т.И.Зеленяком, Б.В.Капитоновым, А.Г.Костюченко, И.Ш.Могилевским, В.В.Сказкой, С.В.Успенским, М.В.Фокиным, Л.С Франком, Г.И.Эскиным и др. Литература по вопросам, связанным с постановкой, разрешимостью и различными свойствами решении смешанной задачи и задачи Коши для уравнений вида /0.12/, настолько обширна, что привести полный обзор результатов не представляется возможным. Укажем лишь обзор {YJ, в котором имеется достаточно полная библиография по этому вопросу.
В диссертации изучается смешанная задача для уравнения /0.12/ в случае, когда mrZ . Существование и единственность обобщенного решения этой задачи доказана в [8]. При этом на оператор L и функцию -fC^-t) наложены очень сильные ограничения, которые удалось существенно ослабить в настоящей работе.
Сильное влияние на структуру решения смешанной задачи
для уравнения /0,12/ оказывает тот факт, являются ли L и М равномерно сильно эллиптическими в QT операторами или же хотя бы один из них допускает вырождение на каком-то участке границы 9Qr , а также характер вырождения.
Случай, когда оператор М имеет особенность при. /<=
задачи для уравнения
(г*п- e-f)
Lu+ = Ми + fb.*.u,%,..., ^—г)
где, L и М - равномерно сильно эллиптические в От операторы, ^fr>+»/*,-f2VH^ - произвольная достаточно гладкая , /например, трижды непрерывно дифференцируемая/ функция своих аргументов.
Приступим к изложению основных результатов диссертащш.
Первая глава посвящена изучению задачи /0.9/.
Через OZ обозначим множество пар чисел (оС,в) , для которых задача /0.9/ разрешима в С fo,fJ .
Теорема I.I. OZ - замкнутое в В множество.
Кроме того, (г4,о) 4&1 и, следовательно, существует бесконечно много различных пар чисел (/,уз) , для' которых задача /0.9/ неразрешима.
Решение задачи, Коши х ,
F(o) = О , F'(o) = а.
будем обозначать через F(x,0.,(^) /число с считаем заданным/» Доказан ряд лемм, основное содержание которых можно сформулировать в виде следующего утверждения.
Теорема. F(x,a,^) - аналитическая по X функция при Х$[0,<&). Если а Ф - %- , то &т F(x,a,q)=+oo и имеет мес-
^ 2. х-ъ оо
то одна из двух ситуации:
I/ либо F Сх), F"(x) , F(х) стремятся к + 00, ПрИ х стремящемся к. +^ ,
2/ либо F Сх) монотонно возрастая, a F Сх) монотонно убывая стремятся к нулю при х стремящемся к +^5
2.
Если же 9 = -, то FCx,a,ci)-ax .
Далее, на примере сС=/2=0 показано, что решение задачи /0.9/ неединственно.
Вторая глава состоит из трех параграфов.
В первом параграфе исследуется спектральная задача, соответствующая линеаризованной на решении вида и-а.% задаче /0.10/, а именно:
\UXX ~(XUxx)xx + Т^ххх -%-U-xx /0.13/
и! = и/ = ах/
'х=о 'х*1 x/x=:f
= о
Через W2 (0,1) обозначим замыкание множества бесконечно дифференцируемых функций и(х) , удовлетворяющих краевым условиям U(O)-U(i)=Ux(1)=0, по норме
\л//(о,г) \б *хх /
Wz (О, і) - гильбертово пространство относительно скалярного произведения
(u9V)~fs, ч - f(x2uyxyvyxx 4-olv)Jx
v W-(o,D о
- II -
Теорема 2.1. Собственные функции задачи /0.13/ образуют ортонормированный /относительно некоторого скалярного произведения, эквивалентного ранее введенному/ базис пространства
~" 3
W2(o,i) , причем все собственные числа вещественны и однократны. При CL>-$ все собственные числа отрицательны; при а--С имеется одно нулевое собственное число, остальные - отрицательны; при &*-6 одно собственное число положительно, остальные - отрицательны.
Во втором параграфе получены оценки решения задачи /0.II/. Обобщенным решением задачи /0»11/ функцию а(х,4) е ССо,т; w/(o,i)] , имеющую обобщенные производные Uxn , ^хххх , аххх , ах* та-кие, что
Т t
J J (х иХХХУ -f- хux>± 4~uz)Jkc/4 < оо t причем:
о о
I/ ис*А) удовлетворяет уравнению /0.II/ почти всюду,
2/ существует предел &т //а(х,-У) - 1/о(х)//~3, v. -О.
-->+о Уу (о, і)
Теорема 2.2. Пусть и0(х) W*(o,i)t
о о
Тогда существует и единственно обобщенное решение U(Xy-i) за
дачи /0.II/, причем ^
При &>- постоянная С(т) не зависит от Т.
Здесь и в дальнейшем через \Л4к(о,т), где к - вещественное число, будем обозначать пространство С.Л.Соболева.
Пусть С Со, ij - множество функций иМ е С [о, 1J таких,
что XCL(x) С fo,fJ и U(0) = U(t)~Ux(f)=0.
В дальнейшем нам понадобятся банаховы пространства функ-ций С "' **(вт) t СГо, fj} С %,Tj, C^Sr 1 (Sr = Го, f]x Го,Т])
нормы элементов которых будем обозначать, соответственно,
// if От ., (o,f) , <р,Т) #7-
символами /l4lK,jfe » //' f/k > //'//е > ^-/«б/з '
где К ,Є , с<е(о,/) , /3-{o,r) - произвольные неотрицательные числа, g - целое положительное число. Определения этих пространств широко известны /см., например, [д],[іОІ; в [9І эти пространства обозначаются буквами // /;
С "'Р(вт) = С Л^)Л С "'"(Sr ) , те
С**Co, fj - банахово пространство относительно нормы
Регулярным решением задачи /0.11/ будем называть функцию
ШХ,*) С Со, Г; С*Го, fjj П С*> f(Qr) ,
удовлетворяющую в QT уравнению /0.11/ и такую, что и(х)о)=и0(х). Теорема 2.3. Пусть выполнены следующие условия:
і/ и.(х)ес*Го,Я,
2/ -f(xtH С0,/І(Щ, fie(o,f) -произвольно,
З/ Іх#х,Г)<4х C^^COjTjnWjtopr), Yr(o,f) -произвольно,
Тогда существует и единственно регулярное решение с*(х,4) задачи /O.II/, причем
+ Мь + (Пxfctxott)* +//fxu*/fZl +*fr&*/„f, J
>P о о й* О W2'(opj
При а у - в постоянная ССт) не зависит от С .
- ІЗ -
Условие 4/ теоремы 2.3 является условием согласования функций си(х) и -f(x,-Q и выполнение его необходимо для существования регулярного решения.
В третьем параграфе доказаны теоремы об устойчивости станионарных решений задачи /О.Ю/.
Через "V" обозначим банахово пространство, которое получается замыканием множества бесконечно дифференцируемых в Со, il функций по норме
IIиU = (1(хги*Х)( + uz)Jx) .
v о
Обобщенным решением задачи /0.10/ назовем функцию U(xt4) СГо,-г;~У~]
имеющую обобщенные производные сСхххх иу** , и**х такие,
что f/CxbL, +*<&** +*)*<# < — >
о о
удовлетворяющую почти всюду в Or уравнению и краевым условиям/0.10/, причем ^& /іи(х,і) - UoMffy. *=0.
Определение I. Стационарное решение тГ(х) задачи /О.Ю/ назовем устойчивым в W2 (о, г) , если для всякого і > найдется S? о такое, что как только tCo6dW(o,i) и \Ш[~Х <-$. то существует единственное обобщенное решение сс(хЛ) задачи /О.Ю/ с начальными данными lf(x) + U0(x) и краевыми условиями
причем для всех -Ь ъ О II U (y.-t) - гГ(х) I ~3. л
Регулярным решением задачи /0.10/ назовем функцию
U(x,l) С ' (QT)f) С (QT) такую, что:
I/ XU(x,+) С*>О(0т) ,
2/ U(х,-1:) удовлетворяем уравнению /О.Ю/ всюду в QT ,
з/ и(0,4) = о, и«>±)=x(f,-t)=/i&) , u(x,o) = u0fr).
Определение 2. Стационарное решение 1У(х) задачи /О.Ю/ назовем устойчивым в С Го, 1J , если для всякого <5>S7о такое, что какова бы ни была функция UoMeC fo
і/ Ги./г,АО <*.
следует, что существует и единственно регулярное решение
U(Xp-b) задачи /0.10/ с начальными данными гГ<У)+-2&>ґх? и
краевыми условиями ^во - О , <., = *УСО , #*^_retf^,
причем для всех ^о f/U(x,-i) - ^-^Vwj <3 '
Первое из указанных в этом определении условий является традиционным при определении устойчивости по Ляпунову, второе же является необходимым для существования регулярного, решения "возмущенной" задачи.
Теорема 2.4. При а >-" стационарные решения вида ах являются устойчивыми в W2 (, ч и в С [о, 1] решениями задачи /0.10/.'
Теорема 2.5. Пусть if (у) $С &,стационарное решение задачи/0.10/, причем гГх(о)^0 и ^(0)^0 . Тогда ^Ы является устойчивым в W/(0,f) решением задачи /О.Ю/.
В третьей главе, состоящей из трех параграфов, исследуется корректность задачи
L.U+ = Ми + -f(x,-0 в QT
Ч---вЛт- /0Л4/
где От -.# *(о,~т) , о < Т ^ , SL - ограниченная в (R область с границей Г , /^Г = Г к (0%Т) , ҐІ - вектор единич-
- Б -
ной внешней нормали, L и М - эллиптические операторы порядка 26 и 2т соответственно, Г&С , т?&'. Пусть оператор М представим в виде
М(х,4) = М0(хЛ) + М1Ш , где М - дифференциальный оператор порядка не выше 2т-f , а Мс - дифференциальный оператор порядка 2т t причем для всех и, v б Wz2rr7Cfi)n^/zrn(Jl)
(Mo и, v)Ll ш =(Ми,Я^)ц (JL)
где M - дифференциальный оператор порядка m ; ^ , ^1 , Съ , С - положительные числа, не зависящие от ^ . Относительно оператора ^ будем считать, что
где операторы /0 и ^ удовлетворяют тем же требованиям, что //о и /У7 , если всюду /т? заменить на <^ .
Точные требования на гладкость коэффициентов операторов L и М указаны в диссертации и ввиду громозкости мы их приводить не будем. В дальнейшем для упрощения формулировок будем считать, что коэффициенты операторов L и М суть бесконечно дифференцируемые функции своих аргументов.
Пусть ни при одном -к Гт^ нуль не является собственным числом задачи
ai .... -2^/ -о
В первом параграфе исследуется вопрос существования обобщенного решения задачи /0.14/.
Обобщенным решением задачи /0.14/ назовем функцию и(х/О такую, что:
2/ существует обобщенная производная U^ < Lz(o,t\ w(-M) ,
4/ функция ^(X^J удовлетворяет /0.14/ почти всюду. Теорема 3.2. Пусть
Тогда существует и единственно обобщенное решение и(х,±) задачи /0.14/, причем
'"'V^^a» + '"* W; w/^> %"- //a/W
Во втором параграфе исследуется вопрос существования регулярного решения задачи /0.14/. При этом считаем, что
Регулярным решением задачи /0.14/ будем называть функцию и(к,-Ь) такую, что:
I/ U С СОг) Г) С (QT) , где dCo}{) -произвольно,
2/ U+ С (От) ,
з/ |-4 ^ Ґ#Л ,
5/ tffo*) « 24,00 ,
6/ функция U (*>&) удовлетворяет уравнению /0.14/ всюду в QT .
Через L обозначим оператор, формально сопршхенный с L относительно скалярного произведения в Lz (<=>,<) . При п\^2Є через %fa-) , j- I,..., 2Є , обозначим решение задачи Коши
/>- О
причем ^/s Ч? . При /пе(^-,2е) через tffic,4), J =1,... Jfa-e)
обозначил решение задачи
LV = о, ^wo =
C&-fn~f -f-f.-f-rli) f 0, если / четно
У7 'y Lfi,(f.) ^ / , где /. = /
v v / I, если у нечетно
Теорема 3.3. Пусть 2m у 3в , *!є (,f) и выполнено:
2/ fffx&
для т ъ 2Є и у" = I,..., 2(/*-) при /п^2Є
3/ /fM(x,o)uj*)+ f(xto)J-*fjfcoyx =0 для всех у .
Тогда существует и единственно регулярное решение и(у^) задачи /0.14/, причем
у-
В заключении параграфа приведен пример, показывающий, что требования I/-3/ теоремы 3.3 являются необходимыми для существования регулярного решения задачи /0.14/.
В третьем параграфе исследуется вопрос существования регулярного решения задачи
Lib -Ми + ^Гх^,и,ах>..,^-^,)
Or,-f) /-I5/
*4- = h*/rr~ а^о = ^
где -FCx&ff, v f^^-e)- достаточно гладкая / например, триады непрерьшно дифференцируемая / функция своих аргументов. Более точные требования на гладкость функции -f приведены в третьей главе настоящей диссертации.
Определение регулярного решения задачи /0.15/ совершенно аналогично определению регулярного решения задачи /0.14/.
Пусть U= О является стационарным решением задачи /0.15/
то есть -f(Xf ~ у о, ...,о)~о.
Теорема 3.4. Пусть 2т-?3в , о&(о, f) . Тогда для всякого Т7?О найдутся положительные числа МСг) и 3~(т) такие, что если I/ Ua(x) С Co,fJnWz Co,f) , //"о//2/Г7^ < S(T)7
2/ ffMfx, о) U0(x) / f(xt 0,с/О)..., 6/f"-e-f))]. y.{y,o)dx =0
где у=/,...,2Є для /7?^2 и J= Г, ..., 2{гл-е) щж/г?*2ґ,
то существует единственное регулярное решение Ufr-fi) задачи
/0.15/, причем
ч^2Є „ От faf)
В заключение хочу выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. Т.И.Зеленяку за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также к.ф.-м.н. В.С.Белоносову за ряд полезных замечаний.
