Приближенные симметрии Ли-Беклунда и их приложения к уравнениям в частных производных с малым параметром Кордюкова Светлана Алексеевна

Формула продолжения для канонического оператора Ли-Беклунда имеет довольно простой вид:

prX_n = J2^D^«J^- -(0-8)

a,J ^J

Применение канонических операторов Ли-Беклунда для получения редукции уравнений в частных производных встречается в работах Ж. Блумана [32]. Оказывается, что множество уравнений (систем), обладающее интегрируемыми редукциями (часто называемое условно интегрируемыми), гораздо больше множества уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния или прямой линеаризацией [57]. Развитием этого подхода занималась школа В.И. Фущича, в частности, Р.З. Жданов [60] доказал теорему редукции для эволюционных уравнений, условно-инвариантных относительно оператора Ли-Беклунда. Определение условных неклассических симметрии Ли-Беклунда известно [60] следующее:

Определение 0.4. Оператор (0.7) называется неклас
сической условной симметрией Ли-Беклунда для урав
нений -в частных-производных

F(x, t, и, и_х, щ, и_хх,...) = 0, (0.9)

если

prXF

= 0. (0.10)

Квадратными скобками принято обозначать все дифференциальные следствия функции по независимым переменным.

Исторически первая работа по неклассическим условным симметриям принадлежит Блуману Ж. и Колу Ж. [31]. Но свое развитие условные симметрии получили с 80-х годов прошлого века в работах Фущича В.И., Серова Н.И. [26], Жданова Р.3.[60], Сергеева А.Г. [55], Фокаса А.С., Лью К.М.[57], Олвера П. [54], Леви Д., Винтерница П. [45].

В данной диссертации рассматриваются приближенные неклассические симметрии Ли-Беклунда и их применение к получению приближенных решений эволюционных уравнений с малым параметром. Такое применение основано на использовании понятия приближенной симметрии. Именно для исследования симметрий-ных свойств дифференциальных уравнений, содержащих, малый параметр, развивалась теория приближенных групп преобразований [2]. Напомним некоторые определения из [2].

Определение 0.5. Приближеным (n-го порядка) уравнением

п г=0

называется класс уравнений G(z,s) — 0, которые определяются функциями

G(z, є) = F₀(z) + eF₁{z) + ... + eⁿF_v(z) + о(є^п),

асимптотически совпадающими до порядка о(є^п).

Здесь и всюду ниже под о(е^п) понимаются функции

_'ft

#

(остатки) а (є), обладающие свойством

lim -^ - 0.

Є-5-0 ⁿ

Поскольку все рассматриваемые функции зависят помимо є еще и от других переменных, то всюду считается, что асимптотические оценки остатков через о(є^п) являются равномерными по остальным переменным. Такое свойство равномерности имеет место, если рассматриваются гладкие функции на компактах. При практической реализации это накладывает ограничение либо на область определения решений (вне окрестностей сингулярных точек), либо на рост решения на бесконечности. Впрочем, в первой части диссертации изучаются уравнения с малым параметром без каких-либо остатков

F₀(z)+sF₁(z)=0.

Приближенным решением к- го порядка точности уравнения (0.11) будем называть функцию и₁ удовлетворяющую уравнению (0.11) с точностью до к - го порядка, то есть

є^гЩи) = о{е% к >~П.

г=0

Обычно такие функции строятся в виде отрезков асимптотических рядов

к \ ^Л Л_п. і _Л/'к

= ^є^гщ + о{є«) (0.12)

г=0

и называются асимптотическими (приближенными) решениями.

Приближенные симметрии Ли-Беклунда введены в рас
смотрение Байковым , Газизовым Р.К. и Ибрагимо
вым Н.Х. в [2]. Такие симметрии определяются операто
рами вида

^хч = ^ (-¹³)

ГДЄ 7]^а « T]q +87)1 +. . .-\-Є^П7]%, 7]q Є А. ПОД ПриблИЖеННЫМ

равенством понимается асимптотическое совпадение до некоторого порядка, в данном случае до е^п. При этом говорят, что уравнение (0.11) инвариантно относительно оператора (0.13). Для таких операторов,. как и для точных канонических операторов Ли-Беклунда, формула продолжения имеет простой вид:

^~Ел^- (-¹⁴)

ot,J J

Аналог симметрийной теории для приближенных дифференциальных уравнений был предложен Байковым В. А., Газизовым Р. К. и Ибрагимовым Н. X. [2]. В диссертации и в работах [11], [44] вводятся приближенные неклассические симметрии Ли-Беклунда на основе канонических операторов. Целью такого введения является нахождение новых решений дифференциальных уравнений с малым параметром, а также решений неинтегри-руемых уравнений.

Определение 0.6. Оператор X_v (0.13) мы будем называть приближенной условной (неклассической) симметрией Ли-Беклунда (n-го порядка точности) для приближенных дифференциальных уравнений в частных про-

*

изводных (0.11), если

n

^prX_v^{(J2 e'Fi)}

= o(0, (0.15)

i=0

[?₌₀^]=*(ⁿ)

где ?7o — характеристика точной условной симметрии Ли-Беклунда уравнения Fq = 0.

В параграфе 1.4 доказываются теоремы наследования
приближенных симметрии (классических и неклассиче
ских) Ли-Беклунда эволюционными уравнениями с ма-
\ лым .параметром. Приведены примеры получения таких

(0, симметрии для эволюционных уравнений с малым пара-

метром.

В диссертации и работах [11], [44] дано определение приближенного условно-инвариантного решения.

Определение 0.7. Пусть канонический оператор Х^ (0.13) определяет приближенную условную симметрию. Ли-Беклунда для уравнения (0.11). Тогда приближенное

-іші решение и уравнениями, 11), заданное формулой (0.12)

п-го порядка точности, называется условно - инвариантным относительно приближенного оператора Ли-Беклунда X_v (n-го порядка точности), если

#

Y,z^Jv{u>) = o{eⁿ). (0.16)

3=0

Все введенные выше понятия нужны для того, чтобы находить приближенные решения дифференциаль-

^ ных уравнений с малым параметром. Приближенные ре-

шения получаются на основе точных решений невозмущенных уравнений. Для невозмущенных уравнений применяется теорема редукции, где используются точные условные симметрии Ли-Беклунда [60]. Исходя из этой

Щ теоремы, в диссертации в параграфе 1.5 доказана тео-

рема редукции для эволюционных уравнений с малым параметром [11], [44].

В параграфе 1.6 приводится пример построения решений с применением теоремы редукции. Так, для уравнения, являющегося неинтегрируемым возмущением уравнения переноса, получено решение, условно-инвариантное

/ф относительно приближенной неклассической симметрии

Ли-Беклунда.

Во второй главе диссертации рассматриваются приложения симметрии Ли-Беклунда и метода многих масштабов к приближенному уравнению Буссинеска. Исследованы некоторые замечательные свойства этого уравнения. Обсуждаемое здесь уравнение Буссинеска полу-

^ чается из системы уравнений для поверхностных волн в

случае одномерного плоского движения жидкости:- —

Фхх + є^фуу = 0, xeR, 0<у< h(x,) (0.17)

h_t + КФх - ~¹фу = 0, при у = h(t, х)]

<к + т>Ф\ + о^є~^][ФІ + gh = 0, при у = h(t, х).
щ ^{2 2}

Здесь ф(х,у^) - потенциал скорости, свободная поверхность задается уравнением у = h(x,t); глубина невозму-

щенной жидкости ho = const. Уравнения дополняются условием непротекания ф_у = 0 на горизонтальном дне при у = 0. Для степеней производных всюду ниже используются обозначения типа ф²_х = (ф_х)², Ф_хх — (Фхх)² и т.д.

Применение приближенных методов основано на наличии малого параметра в исходных уравнениях. В модели длинных волн на мелкой воде в качестве малого параметра 0 < є <С 1 выступает квадрат отношения вертикального масштаба к горизонтальному [19].

Система (0.17) преобразуется к приближенному уравнению Буссинеска, в котором идентифицированы слагаемые до порядка о(є²).

Utt - u_zz - -

u_zzzz + 2u_zu_tz/3 + u_tu_zz/3

₊

[UtU_zz)_zz U_zzUt_zz^—U_zzU_z-f-\U_zzUtt)t ~z'V^jzzzzzz

о 0

+6²

= 0 (0.18)

Уравнение (0.18) было получено в [19] с точностью до первого порядка по є. При выводе уравнения использовался подход, принадлежащййБуссинёску [33]. Уравнение было получено с точностью до второго порядка по є в [43].

В диссертации для уравнения (0.18) построено асимптотическое решение в виде

u(z,t]e) = 2к th A + 2к th В + eui(z,t]e) + є²гх₂(^,і;б),

(0.19)

& где

~~ 6 ⁺~54 4860 ' ~ 6 ⁺~54 4860 '

Функции Щ, щ, ограниченные равномерно no z, t, вычис
ляются явно. Функция (0.19) удовлетворяет уравнению
(Щ (0.18) с точностью 0(е³), е —> 0 равномерно для всех

z,t.

Для построения ассимптотического решения использовался оригинальный метод с применением канонических операторов Ли-Беккунда.

te^N:

Основным результатом в этой части диссертации можно считать систему уравнений, полученную на главные члены асимптотики, состоящую из потенциированных уравнений КдФ-3 и КдФ-5. В задаче для поверхностных волн здесь впервые обнаружено появление КдФ-иерархии, которая обеспечивает построение асимптотики вплоть до времен t « є^-2, где приближение КдФ-3 становится непригодным.

Именно решение иерархии КдФ приводит к указан
ным фазовым функциям А, В. Появление этой иерархии
обязано виду возмущений — слагаемых при-є,-е²-в урав—
нении (0.18). Возмущения, которые возникают из урав
нений поверхностных волн в случае ровного дна, ока
зываются весьма специфическими. Эта специфика при
водит к тому, что возмущение кинка КдФ проявляется
лишь в медленном, линейном по времени сдвиге фазы
Щ без изменения амплитуды. Это также является одним из

результатов данной диссертации.

В конце второй главы приведен пример использования

*

^ общей теории применительно к тому же приближенному

" уравнению Буссинеска. Исследуется проблема наследо-

вания классических симметрии Ли-Беклунда линейно
го волнового уравнения в комбинации с идеями метода
многих масштабов. При получении асимптотических ре-
(ф шений уравнения Буссинеска в таком подходе возникает

та же КдФ -иерархия на главные члены асимптотики.

_«I

Группы преобразований Ли и классические симметрии

В этом параграфе приводятся некоторые предварительные сведения из теории групп Ли. Изучение непрерывных групп преобразований началось более ста лет назад. То, что мы называем сейчас классическими точечными симметриями (лиевскими) было введено в рассмотрение Софусом Ли в 1890 году [46], .как непрерывные группы преобразований. Свое развитие они получили много лет спустя в работах Л.В. Овсянникова, который внес основной вклад в развитие группового анализа [18], [20]. Группы Ли определяются как локальные группы преобразований. Определение 1.1. Однопараметрической группой преобразований Ли будем называть семейство преобразова- точек х = (ж1,..., хп) D С Rn, а Є S С R, определенных в окрестности нуля. Функции р считаются бесконечно дифференцируемыми по х в D, аналитичными по а в 5. Они удовлетворяют следующим условиям: 1. Если а = 0, преобразование Та тождественное. 2. композиция преобразований семейства принадлежет указанному семейству, т. е. существует аналитичная в окрестности нуля функция ф(а, 6), где Ь — параметр, таких, что ТаТъ = Тф Ьу 3. S с заданной операцией ф образуют параметрическую группу. Пусть G(x,a) = x (1.1) задает однопараметрическую группу Ли преобразований. С группой Ли обычно связывают инфинитезимальные преобразования. Определение 1.2. Инфинитезимальным преобразованием группы Ли называется преобразование х -Ь af (ж), где dG Связь группы с инфинитезимальными преобразованиями выражает первая фундаментальная теорема Ли. Теорема 1.3 г Существу em такая параметризация т(а), что действие группы преобразований (1.1) эквивалентно решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка %=т (1.2) с начальным условием х = ж, т = 0. u Инфинитезимальным генератором однопараметрриче ; ской группы Ли (1.1) будем называеть оператор Ш Однопараметрическую группу преобразований (1.1) можно связать с ее генератором следующей теоремой: Теорема 1.4. Однопараметрическая группа Ли преобразований (1.1) эквивалентна где оператор X = Х(х) определен формулой (1.3), Xk = ХХк \ к = 1,2.... В приложениях групповой теории к дифференциальным уравнениям обычно рассматриваются группы, действующие на зависимые и независимые переменные: Соответственно инфинитезимальный генератор X для группы (1.5) будет иметь вид : Если действие группы продолжается на дифференциальные переменные uj до ;-го порядка, к-е продолжение (prolongation) инфинитезимального генератора имеет вид (0.2) с а = 1. 4 Пусть задано дифференциальное уравнение в частных производных порядка N: F(x,u,ui,...jUji...) = Qi (1.7) Для уравнений в частных производных (1.7) известен инфинитезимальный критерий инвариантности, который утверждает, что группа преобразований допускается уравнением (1.7) тогда и только тогда, когда выполняется PrXFlF=0 = 0. (1.8) Если для уравнения (1.7) выполняется свойство (1.8), то оператор X называется точечной (классической) симметрией уравнения (1.7). 1.2 Классические симметрии Ли-Беклунда -# В этом параграфе излагаются известные понятия и ре зультаты-современного группового анализа. / Наряду с конечными группами точечных преобразо ваний, в работах Ли [46] рассматривались некоторые их обобщения, происходившие в основном в двух направле ниях: обобщение параметрической группы и обобщение пространства реализации. Во втором случае сначала no il явились контактные преобразования (преобразования на независимых, зависимых переменных х:ии первых про изводных их), основы теории которых были рассмотрены в работах С. Ли [46]. В этом направлении большие исследования были проведены А. Беклундом [29]. В частности, он доказал, что всякое преобразование, сохраняющее условие касания конечного порядка, является либо продолженным точечным, либо контактным [30]. По b 4у сравнению с точечными преобразованиями теория групп Ли-Беклунда дает большие возможности. Свое развитие она получила в работах Андерсона Р.Л., Ибрагимова Н.Х. [27], Олвера Р. [21], и многих других. Здесь даются некоторые известные сведения из теории классических симметрии Ли-Беклунда. Как было отме j чено во введении, симметрии Ли-Беклунда называются {т еще (Олвер Р. [21]) обобщенными симметриями. Обозначим через Л пространство дифференциальных функций Р{х,и ) - зависящих от ж и производных до тг-го порядка (конечного, но меняющегося), гладких по всем своим переменным. Все рассматриваемые в этой главе функции принадлежат пространству Л.

Приближенные условно-инвариантные решения

После подстановки решения (1.93) в уравнение (1.88) получим довольно простую систему обыкновенных уравнений на неизвестные функции F\, і = 1,2, 3 : - произвольные постоянные. Константы c,p легко вычисляются: = —4, с = 1/56. Таким образом, окончательно, решение уравнения (1.88) имеет вид: — произвольные постоянные.

Заключение. Развитая здесь теория позволяет строить приближенные решения для эволюционных уравнений с малым параметром. Используя эту теорию, мож- но получать решения любого порядка точности. Примеры таких решений не приводятся в диссертации ввиду их громоздкости. Надо отметить, что здесь были использованы условные симметрии Ли-Беклунда, полученные автором. Но вообще множество условных симметрии необозримо. Эта тема активно развивается в настоящее время, что дает новые возможности для решения уравнений в частных производных. Произвол, который имеется в выборе условных симметрии и условно-инвариантных решений, дает возможность в дальнейшем выделять из всего разнообразия приближенных решений физически значимые.

Асимптотические методы дают эффективные способы анализа сложных нелинейных систем, в частности, моделей поверхностных волн. Применение этих методов основано на наличии малого параметра в исходных уравнениях. В модели длинных волн на мелкой воде в качестве малого параметра 0 1 выступает квадрат отношения вертикального масштаба к горизонтальному [19]. В таком случае исходные уравнения для плоского одномерного движения жидкости записываются в виде:

Здесь / (#, у, ) - потенциал скорости, свободная поверхность задается уравнением т/ = Л,(ж, ). Глубина невозмущенной жидкости ho — const. Уравнения дополняются условием непротекания фу = 0 на горизонтальном дне при у = 0. Для степеней производных всюду ниже используются обозначения типа фх — (фх)2, Ф2ХХ = {Фхх)2 и т.д.

Идеи асимптотического анализа позволяют упростить исходные сложные уравнения до приемлемого уровня. Известно, что в нулевом (главном) порядке по є система (2.1)-(2.3) сводится к волновому уравнению, решение которого дает пару простых плоских волн. Такое приближение пригодно на временах не слишком больших: С є-1. В более точной модели возникает уравнение Буссинеска четвертого порядка [19], [37], [40]. Формально оно представляет собой возмущение волнового уравнения. Уравнение Буссинеска асимптотически можно редуцировать к паре уравнений КдФ, решения которых описывают медленную деформацию плоских волн в масштабе ті = et. Такие приближения пригодны на довольно больших временах \t\ С е 2 [19], [37], [49], [6]. Чтобы получить приближение, пригодное на следующем масштабе времени Т2 = еН, необходимо учитывать # поправки более высокого порядка в уравнении Буссине ска. Именно эта проблема рассматривается здесь. Похо жие задачи неоднократно исследовались в теории воз мущения солитонов [14], [15], [24], [17]. І Первый этап построения асимптотического решения Щ состоит в переходе от задачи (2.1)-(2.3) с двумя про странственными переменными (ж, у) к уравнению с одной пространственной переменной х. С этой целью для потенциала, как решения уравнения (2.1) с малым параметром є, используется асимптотическое представление через новую неизвестную функцию двух переменных A(x,t,e), см. [19]:

Применение преобразований Ли-Беклунда для решения линеаризованных уравнений

Как обычно в таком подходе, зависимость от медленных переменных ті,Т2 используется для исключения се-кулярных членов (слагаемых, неограниченно растущих по своим переменным) в поправках и1, и2.

Подставив решение вида (2.27) в уравнение (2.26) и приравняв выражения при одинаковых степенях є, получаем последовательность уравнений для у,уг,у2. Зависимость от быстрых переменных , С определяется интегрированием линейного волнового уравнения. Поскольку в главном члене получается однородное уравнение Ves = 0, то его общее решение выражается через пару произвольных функций, каждая из которых зависит от трех переменных —- «-=-o(-f гптг2)-+ Ь тт1тт2), —-- (-2.-28). В следующем порядке интегрируется неоднородное уравнение. Для первой поправки получается выражение Здесь функции ai, 61 соответствуют общему решению однородного уравнения Щ{ = О, так что а\ зависит от 3 TL5 г2, а Ь\ зависит от , ті, Т2. В такой форме поправка v1 содержит секулярные слагаемые - члены с множителями f и . Требование исключения таких слагаемых приводит к хорошо известным [49] уравнениям: которые представляют собой два потенциированных КдФ-3 на функции а и Ъ. При таких условиях для поправки v\ получается выражение Аналогично, исключение секулярных слагаемых из второй поправки приводит к уравнениям на а\ и Ь\ : Эти уравнения для а\ и Ь\ представляют собой линеаризацию КдФ-3 на функциях а и 6. При их выполнении, вторая поправка (без секулярных членов) имеет вид: v2 = Заметим, что вторая поправка v2 не содержит секулярных слагаемых в силу условий (2.30), (2.31). В силу этих же условий, вторая поправка не содержит секулярных слагаемых с интегральными членами вида а J bd(. Таким образом, построение асимптотических решений сводится к решению уравнений (2.30), (2.31) в классе ограниченных функций. По своей постановке такая задача похожа на задачи, возникающие в теории возмущения солитонов [20]. Это сходство подчеркивается еще и тем, что здесь в качестве главного члена асимптотики выбирается аналог солитонного решения (2.14). Для получения ограниченных решений а±, Ь\ линеари-зованных КдФ-3 используем зависимость главных чле нов а, Ъ от второго "медленного"времени"7. С5ацествуют разные способы установления этой зависимости, см., например, [6]. Здесь указан один из таких способов, по нашему мнению, наиболее эффективный. Он основан на использовании потенцированного уравнения КдФ-5, которое можно выделить из правых частей уравнений (2.31), как высшей симметрии потенцированного уравнения КдФ-3. При этом систему уравнений для а и 6 можно выписывать отдельно. Рассмотрим систему уравнений на а: (2.33) Константа с Є 1 используется для того, чтобы иметь некоторый произвол в выборе решения а\. Система, составленная из уравнений (2.33), совместна, т.к. представлена потенцированным КдФ-3 и его высшей симметрией — потенцированным КдФ-5 (КдФ-иерархия). Из множества решений этой системы для построения асимптотики используем решения вида (2.14), а именно где с и к —произвольные постоянные. Подходящий выбор константы с будет указан ниже. Формулы для b строятся аналогично. При выбранных таким образом функциях а и Ъ поправка vl будет ограниченной, если будут ограничены функции ai, Ъ\. Заметим, что при указанном в (2.33) выборе функции а(э Ть т2) линеаризованное уравнение (2.31) для а\ приобретает вид Утверждение. Существуют такие значения константы с, при которых решение ai(f, ті,Т2) уравнения (2.35) оказывается ограниченным равномерно для Vf, Для того, чтобы найти ограниченные решения уравнения (2.35), используем лемму (2.1). Из следствия 2.2 ясно, что если существует канонический оператор Ли-Беклунда Хц, то решение линеаризованного КдФ (2.35) можно получить по формуле а\ — ту [а]. При этом в формуле (2.21) следует положить с\ — —с/2, с2 = 5/3 — с, сз = 7/6 — с, С4 = 19/10 — Зс/5, с произвольным значением с 6 I. Отметим, что требуется найти такие ту, которые дают ограниченное решение а,\. Предполагая, что ту = г]( ,і,и,щ,щ щ ) = rj[u] и оператор Xv удовлетворяет условию (2.19) для уравнения (2.21), приходим к следующему уравнению в частных производных на г)\

Приближенно - инвариантные решения уравнения Буссинеска

Основной целью, которая послужила развитию сим-метрийных методов, является нахождение решений дифференциальных уравнений. Классические симметрии, как известно, используются для получения редукций систем дифференциальных уравнений [21], [32]. Но иногда некоторые физически важные уравнения имеют мало классических лиевских симметрии. Поэтому для получения решений используются симметрии Ли-Беклунда. А для получения редукции уравнений в частных производных можно использовать как классические, так и неклассические симметрии Ли-Беклунда.

В диссертации рассматриваются канонические операторы Ли-Беклунда. Определение 0.3. Пусть rj[u] = (771 [и],..., rjq[u]) Є Aq -набор дифференциальных функций. Оператор Ли-Беклунда вида называется каноническим оператором Ли-Беклунда, а г] = 7/[w], называется его характеристикой. m Формула продолжения для канонического оператора Ли-Беклунда имеет довольно простой вид: Применение канонических операторов Ли-Беклунда для получения редукции уравнений в частных производных встречается в работах Ж. Блумана [32]. Оказывается, что множество уравнений (систем), обладающее интегрируемыми редукциями (часто называемое условно интегрируемыми), гораздо больше множества уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния или прямой линеаризацией [57]. Развитием этого подхода занималась школа В.И. Фущича, в частности, Р.З. Жданов [60] доказал теорему редукции для эволюционных уравнений, условно-инвариантных относительно оператора Ли-Беклунда. Определение условных неклассических симметрии Ли-Беклунда известно [60] следующее: Определение 0.4. Оператор (0.7) называется неклас сической условной симметрией Ли-Беклунда для урав нений -в частных-производных F(x, t, и, их, щ, ихх,...) = 0, (0.9) если Квадратными скобками принято обозначать все дифференциальные следствия функции по независимым переменным. Исторически первая работа по неклассическим условным симметриям принадлежит Блуману Ж. и Колу Ж. [31]. Но свое развитие условные симметрии получили с 80-х годов прошлого века в работах Фущича В.И., Серова Н.И. [26], Жданова Р.3.[60], Сергеева А.Г. [55], Фокаса А.С., Лью К.М.[57], Олвера П. [54], Леви Д., Винтерница П. [45]. В данной диссертации рассматриваются приближенные неклассические симметрии Ли-Беклунда и их применение к получению приближенных решений эволюционных уравнений с малым параметром. Такое применение основано на использовании понятия приближенной симметрии. Именно для исследования симметрий-ных свойств дифференциальных уравнений, содержащих, малый параметр, развивалась теория приближенных групп преобразований [2]. Напомним некоторые определения из [2]. Определение 0.5. Приближеным (n-го порядка) уравнением называется класс уравнений G(z,s) — 0, которые определяются функциями асимптотически совпадающими до порядка о(єп). Здесь и всюду ниже под о(еп) понимаются функции (остатки) а (є), обладающие свойством Поскольку все рассматриваемые функции зависят помимо є еще и от других переменных, то всюду считается, что асимптотические оценки остатков через о(єп) являются равномерными по остальным переменным. Такое свойство равномерности имеет место, если рассматриваются гладкие функции на компактах. При практической реализации это накладывает ограничение либо на область определения решений (вне окрестностей сингулярных точек), либо на рост решения на бесконечности. Впрочем, в первой части диссертации изучаются уравнения с малым параметром без каких-либо остатков Приближенным решением к- го порядка точности уравнения (0.11) будем называть функцию и1 удовлетворяющую уравнению (0.11) с точностью до к - го порядка, то есть

Похожие диссертации на Приближенные симметрии Ли-Беклунда и их приложения к уравнениям в частных производных с малым параметром

Приближенные симметрии и решения дифференциальных уравнений с малым параметром Багдерина Юлия Юрьевна

Построение ненулевых периодических решений систем дифференциальных уравнений с параметромНелюхин Сергей Александрович

Периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений с параметромБельман, Светлана Александровна

Коллокационно-итеративный метод решения краевой задачи для дифференциальных уравнений с параметрами и импульсным воздействиемПоселюжна, Вера Богдановна

Обобщенная периодическая задача нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметромТалалаева Екатерина Александровна

Существование ненулевых периодических решений нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметромБаева Ольга Владимировна

Асимптотические решения задач Дирихле для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных Каландаришвили Давид Георгиевич

Асимптотика решений некоторых классов дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости точки покоя в плоскости "быстрых движений" Каримов Салы

Асимптотическое поведение решений системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости положения равновесияАнарбаева, Гулжамал Маматовна

Об асимптотическом поведении решений некоторых гиперболических уравнений, содержащих большой параметрКлимова, Анна Александровна