Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Двумерные сингулярные интегральные уравнения с однородными ядрами 17
1 Описание пространств функций и некоторые вспомогательные сведения 17
1.1 Описание используемых пространств функций 17
1.2 Нетеровы операторы и основные их свойства 20
2 Нетеровость и индекс одного класса интегральных уравнений с особенностями 22
2.1 Общая теорема о нетеровости и индексе уравнения 2.1 24
2.2 Модельное интегральное уравнение 26
3 Нетеровость и индекс сингулярных интегральных уравнений с четной характеристикой 34
3.1 Общая теорема о нетеровости и индексе уравнения (3.1) 35
3.2 Модельное интегральное уравнение 37
ГЛАВА 2. Теория нетера и индекс интегральных операторов с четными характеристиками и конечной суммой операторов типа бергмана 41
4 Алгебра операторов М. 43
4.1 Некоторые определения и предложения об алгебре операторов и об операторах локального типа 43
4.2 Некоторые сведения о композиции операторов Sm и Вт . 47
4.3 Алгебра операторов М из (4.1) 48
4.4 Нетеровость оператора, обобщающего оператор М 57
5 Теория нетера двумерного сингулярного интегрального оператора Л 58
ГЛАВА 3. Задача дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений 67
6 Задача Дирихле для эллиптических систем двух уравнений четвертого порядка на плоскости 67
7 Задача Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами 78
7.1 Случай системы с разрывом при производной -г-т 78
7.2 Случай системы с разрывом при производной -7—т 81
- Описание используемых пространств функций
- Нетеровость и индекс сингулярных интегральных уравнений с четной характеристикой
- Некоторые определения и предложения об алгебре операторов и об операторах локального типа
- Задача Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами
Введение к работе
Актуальность темы. Известно, что наиболее полные и тонкие резуль
таты в теории дифференциальных уравнений в частных производных с
двумя независимыми переменными были получены на основе применения
методов теории сингулярных интегральных уравнений.
Рассматриваемые в работе двумерные сингулярные интегральные уравнения соприкасаются с направлением, связанным с новым классом интегральных уравнений, введённых в рассмотрение Л.Г.Михайловым при изучении дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами. Речь идет о многомерных интегральных уравнениях с ядрами, однородными порядка (—п), удовлетворяющих определенному условию суммируемости.
С другой стороны, исследуемые интегральные уравнения примыкают к направлению, связанному с теорией многомерных сингулярных интегральных операторов (С. Г. Михлин, А. Кальдерой и А. Зигмунд, И. Б. Симо-ненко, А. Джураев, Р. В. Дудучава, И. И. Комяк, Н. Л. Василевский, В. М. Бильман, Г. Джангибеков), в частности, они включают в себе двумерные сингулярные операторы, которые, как показано в известной монографии И.Н.Векуа, а также монографии А.Джураева и в работе В. Боярского, играют важную роль в теории краевых задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости. При этом следует особо отметить, что А. Джураевым впервые был обнаружен эффект влияния границы области на нетеровость и индекс двумерных сингулярных интегральных операторов по ограниченной области.
Хорошо известно (А. Бицадзе), что задача Дирихле корректна не для всякой системы уравнений эллиптического типа; существуют эллиптические системы второго порядка, для которых в некоторой области задача Дирихле не является даже нетеровой, т.е. подпространство решений однородной задачи Дирихле и подпространство условий разрешимости неоднородной задачи имеют бесконечные размерности. Поэтому исследования
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ]
С.Петербург
гоо^рк
разрешимости задачи Дирихле эллиптических систем высокого порядка на плоскости является актуальными.
Цель работы. Исследование некоторых классов двумерных сингулярных интегральных уравнений, содержащих в ядре однородные функции, удовлетвряющие условию суммируемости, построении теории нетера новых * типов двумерных интегральных операторов, представимых в виде конечной суммы сингулярных интегральных операторов с четной характеристикой по ограниченной области и интегралов с ядрами типа Бергмана с непрерывными коэффициентами, исследование разрешимости задачи Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений четвертого порядка на плоскости.
Метод исследования. При обосновании полученных в диссертации
результатов используются методы комплексного анализа, методы функци
онального анализа, включая теорию банаховых алгебр, локальный метод в
теории операторов, метод Фурье. <
Научная новизна, теоретическая и практическая ценность.
а) Изучены некоторые классы двумерных сингулярных интегральных
уравнений по ограниченной области, содержащих в ядре однородные функ
ции, удовлетворяющие условию суммируемости, для которых получены
необходимые и достаточные условия нетеровости в лебеговых простран
ствах с весом и формулы для вычисления индекса. В модельных случаях
подсчитаны числа решений однородных уравнений и числа условий разре
шимости неоднородных уравнений.
б) Найдены эффективные необходимые и достаточные условия іктеро-
вости довольно широких классов двумерных операторов, представим ьи- в
виде конечной суммы сингулярных интегральных операторов с четной ха
рактеристикой и интегралов с поли-керн ядрами типа Бергмана произволь
ного порядка с непрерывными коэффициентами; даны формулы для вы
числения индекса операторов через приращение аргумента вдоль границы
области некоторых конкретных функций, которые даются посредством ал
гебраических операций над коэффициентами.
в) На основе результатов по сингулярным интегральным уравнениям по
лучены эффективные необходимые и достаточные условия нетсропосги II
формулы индекса задачи Дирихле для эллиптических систем дифференци
альных уравнений четвертого порядка с непрерывными коэффициентами
на плоскости; показано, что нарушение условий непрерывности к«,*рфн-
циентов сильно влияют на нетеровость и индекс задачи Дирихле. Более того, в этом случае разрешимость задачи будет зависеть от показателя р -дебетового пространства V .
Апробации работы. Основные результаты диссертации доклтдыва-лись на Международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами (Душанбе, ТГНУ, 2063 г.), иа научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава ТГНУ ( 2003 г.), а также на семинарах кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений ТГНУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в ра-
* ботах |1-8). Статьи |1), |3], [6-8] написаны в соавторстве и их результаты
принадлежат авторам в равной мере.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения
Описание используемых пространств функций
Определение 1.1. Простую замкнутую гладкую кривую Г назовем кривой Ляпунова, если она удовлетворяет следующему условию: касательная к кривой образует с постоянным направлением угол, удовлетворяющий условию Гельдера относительно дуги s кривой Г. Пусть D - конечная односвязная область комплексной плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой Ляпунова Г и содержащая внутри точку z = 0. Пространство Ь _2, (D) - это множество комплекснозначных измеримых в D функций f{z) для которых функция F(z) = \zf 2iPf(z) суммируема с р - ой степенью, где 1 р со, 0 /? 2. Норма в IfaySD) вводится по формуле при любых М, т N. Переходя здесь к пределу при М — со получим, что /Н(г) - /( ) по норме Ц_2(р(0). Доказательство полноты С , С , М$ получается рассуждениями аналогичными выше. В этом пункте приводятся основные понятия и факты теории нетеровых операторов в банаховых пространствах, которыми мы будем пользоваться в работе. Доказательства всех приводимых здесь утверждений можно найти например в монографии [47]. Пусть X - банахово пространство, А - линейный ограниченный оператор, действующий в X, А - сопряженный к нему оператор, действующий в сопряженном пространстве X . Множество КегА всех решений уравнения называется множеством нулей или ядром оператора А. Множество КегА является подпространством пространствах. Размерность подпространства КегА, т.е. число линейно независимых решений уравнения (1-2), будем обозначать через ал = dimKerA. Через КегА обозначим подпространства нулей оператора А , т.е. множество всех решений уравнения называется ядром оператора А и наконец Дд = аА = КегА . Числа О А,РА называются дефектными числами оператора А. Если хотя бы одно из чисел ал и Дд - конечное, то их разность называется индексом оператора А и обозначается через IndA, Очевидно, IndA конечен тогда и только тогда, когда обе размерности «л и 0А - конечны. Для того чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, необходимо, чтобы свободный член у был ортогонален к КегА (иначе говоря, чтобы элемент у аннулировался любым функционалом и Є КегА ). Действительно, если уравнение (1.5) имеет решение і,а«Є КегА , то где здесь круглыми скобками обозначено значение функционала на соответствующем элементе. Если упомянутое выше условие ортогональности достаточно для разрешимости уравнения (1.4), то говорят, что оператор
А нормально разрешим. Таким образом можно дать следующее Определение 1.2. Оператор А называется нормально разрешимым в смысле Хаусдорфа, если неоднородное уравнение (1.5) разрешимо тогда и только тогда, когда ее правая часть у ортогональна всем решениям сопряженного однородного уравнения (1.3). Известна следующая теорема Хаусдорфа: для того чтобы оператор был нормально разрешимым, необходимо и достаточно, чтобы его область значений была замкнутой. Определение 1.3. Оператор А называется нетеровым в X, если он нормально разрешим и числа ад, /ЗА конечны. Определение 1.4. Индексом IndA нетерова оператора А называется целое число IndA = ХА — РА Следующее определение из всего множества нетеровых операторов выделяет подмножество фредгольмовых операторов: Определение 1.5. Нетеров оператор, индекс которого равен нулю, называется фредгольмовым. Свойство 1.1. (теорема о композиции). Если А и В нетеровы операторы в X, то их композиция АВ также нетерова в X, причем IndAB IndA+IndB. Свойство 1.2. Если А нетеров в X то и А нетсров в X , причем JndA =-IndA. Свойство 1.3. (возмущение вполне непрерывным оператором). Если А нетеров, а Т вполне непрерывен в X, то A -f- Т также нетеров в Х} причем Ind(A + T) = IndA. Свойство 1.4. (возмущение малым по норме оператором). Если А нетеров в X, то существует такое є = е( 4), что для всех операторов В таких, что є, оператор А + В нетеров в X и Ind(A + В) = IndA. Говорят, что оператор А допускает левую (правую) регуляризацию, если существует линейный ограниченный оператор R такой, что произведение RA {AR) является оператором Фредгольма. Оператор R в этом случае называется левым (правым) регуляризатором оператора А. Свойство 1.5. Для того, чтобы оператор А был нетеровым, необходимо и достаточно, чтобы у него существовали левый и правый регуляризаторы. Определение 1.6, Нетеровы операторы А и В называются гомотопными, если существует семейство нетеровых операторов A(t), t Е [0,1], которое равномерно непрерывно по норме на сегменте [0,1] : по любому заданному є 0 можно найти такое 5 = 5(e) 0, что если jj — , то .A(i) — A(t2)\\ е, и А(0) = А, А(1) = В. Свойство 1.6. Если операторы А и В гомотопны, то Пусть D конечная односвязная область комплексной плоскости, ограниченная замкнутой кривой Ляпунова Г и содержащая внутри точку z — О, a(z) - комплекснозначная непрерывная в D D U Г функция. Будем рассматривать интегральное уравнение где z = гегір, С = реш— комплексные обозначения точек плоскости, п— целое число Q{zX) непрерывная функция при всех z, С Є D} а функция h{a) удовлетворяет следующим требованиям:
Нетеровость и индекс сингулярных интегральных уравнений с четной характеристикой
В этом разделе результаты раздела 2 обобщаются для двумерных сингулярных интегральных уравнений с четной характеристикой. Пусть D конечная односвязная область комплексной плоскости, ограниченная замкнутой кривой Ляпунова Г и содержащая внутри точку z = 0, а («г)— комплекснозначная непрерывная в D = D U Г функция. В этом разделе исследуется уравнения где т— целое положительное число, 9 — arg( — z), функция Q(z, () -непрерывная функция при всех г,( Є D, а измеримая на всей плоскости функция h(a) удовлетворяет требованиям а) и Ь) из пункта 2.1. где /3- вещественное число, фигурирующее в условии Ь) из пункта 21. Если временно предположить, что функция Q(z, ) для всех z, С Є D удовлетво ряет условию Гсльдера, то очевидно, что третий интеграл из правой части (3.2) является вполне непрерывным оператором в LPg_2j„(D). Четвертый интеграл также является вполне непрерывным оператором в LPp_2,(D), что следует, в силу непрерывности Q(z,) и условий а) и Ь) из пункта 1.1 работы [3]. Таким образом уравнение (3.1) свелось к следующему двумерному интегральному уравнению где Т- вполне непрерывный оператор. Уравнение (3.3) относится к двумерным сингулярным интегральным уравнениям изученным в работе [36]. Пусть теперь а(0) ф 6(0). Введем следующее обозначение a — an/tr. Теперь применяя к (3.3) результаты работы [36](теоремы 10.3 и 10.4), получим Теорема 3.1. Для того, чтобы уравнение (3.1), было нетеровым в LPQ_2, (D) (1 р оо, р-число из условии Ь)), необходимо и достаточно выполнение условий Qk(x\fi) Ф 0, -оо х оо, к = -т - 1, -т + 2,--- , ІУ0, (3.6) где функция Qk{x\fi) определена в (3.4); причем индекс уравнения (3.1) равен No n = -{2mIndra{t) + 2 Ind GkfaP)+ Ind _m+1(:c;/?),} «=-m+2 где NQ— некоторое натуральное число. 3.2 Модельное интегральное уравнение Будем рассматривать уравнение (3.1) в модельном случае, т. с. когда a(z) а(0), Q{z,C) = 3(0,0), и (3.1) имеет вид: „(o)/W + i M//- 7R ..W. .є (з,) С1 1 Запишем уравнение (3.5 ) следующим образом 1С D Будем предполагать, что функция h{p) имеет вид h(a) — /ii(er[)/12(0-), где h2{a)— является аналитической функцией в области \z\ 1. Тогда ядро Н{а) приобретает вид Мы хотим получить раздельные формулы для подсчета числа линейно-независимых решений однородного уравнения и числа условий разрешимости неоднородного уравнения (3.7) в серии банаховых пространств функций У : L _2/p{D), Ц_2/р(В), С%Щ, (1 р со, /3 число из условия b)). Через х+ обозначим число линейно-независимых (над полем вещественных чисел) решений однородного уравнения, а через х число необходимых и достаточных вещественных условий разрешимости неоднородного уравнения (3.7). Теорема 3.2. Пусть в (3.7) D — {z : \z\ 1}, функция h(a) удовлетворяет требованиям а) и Ь) из пункта 2.1 и имеет вид h(a) = hi(\o-\)h.2(cr), где fof0")- является аналитической функцией в области \а\ 1. Тогда для того, чтобы уравнение (3.7) было нетеровым в серии банаховых пространств функций V : L _2, , Щ_2/Рі &р, С, Мр, (1 р со, /?— число из интервала (0,2)), необходимо и достаточно выполнение условий;
При этом число решений однородного уравнения (3.7) н+ и число условий разрешимости неоднородного уравнения (3.7)н в серии пространств V определяются по формулам 00 Ж 00 Доказательство. Умножая обе части уравнения (3.7) на егк р (if = argz), интегрируя по /? от 0 до 2л-, вычислим коэффициенты-Фурье значения интегрального оператора из (3.7). При этом коэффициенты Фурье сингулярного оператора из (3.8) вычисляются по схеме работы [36]. Что касается второго оператора, то имеем: где g?(r) = 2r1-fcgj,(m 1J_j.)(fc + 2m-3-j)x x (ft + 2m - 4 - j)... (ft + m - 2 - j)T V-m+1\ T) = 2r3-4-2mg_bJ_(_, + 1_;.)x X (-ft - j)... (-ft - m + 2 - JV 01"1- ). Таким образом, в системах (3.9) при —m + 2 ft iVo, интегралы имеют переменные пределы интегрирования. Тогда во втором уравнении (3.9), заменив ft на —ft+2(m— 1), переходя в первом уравнении (3.9) к комплексно - сопряженным значениям и подставляя выражения для / (г) во второе уравнение (3.9), после некоторых вычислений относительно коэффициентов Фурье /„jt2(m-i) получим скалярные уравнения с ядрами однородными порядка —1. Применяя к ним результаты [56], [4], получим, что если выполнены условия нетеровости и щ 0, то ft-ая однородная система (3.9) имеет точно Xk линейно-независимых решений (тогда неоднородная система разрешима безусловно); при щ 0 однородная система ненулевых решений не имеет, а для разрешимости неоднородной требуется н условий. Что касается уравнения (ЗЛО) (т.е. когда к — — т + 1), то, присоединяя к нему уравнение полученное из (3.10), переходя к комплексно сопряженным значениям, мы придем к системе интегральных уравнений с ядрами однородными порядка -1 и с интегралами, имеющими переменные верхние пределы. В силу результатов [56],[4], при выполнении условий нетеровости указанная система разрешима безусловно. При этом, если индекс системы равен нулю, то разрешимость однозначная, а если положителен, то однородная система имеет конечное число линейно независимых решений, равное х_т+і
Некоторые определения и предложения об алгебре операторов и об операторах локального типа
Пусть теперь а(0) ф 6(0). Введем следующее обозначение a — an/tr. Теперь применяя к (3.3) результаты работы [36](теоремы 10.3 и 10.4), получим Теорема 3.1. Для того, чтобы уравнение (3.1), было нетеровым в LPQ_2, (D) (1 р оо, р-число из условии Ь)), необходимо и достаточно выполнение условий Qk(x\fi) Ф 0, -оо х оо, к = -т - 1, -т + 2,--- , ІУ0, (3.6) где функция Qk{x\fi) определена в (3.4); причем индекс уравнения (3.1) равен No n = -{2mIndra{t) + 2 Ind GkfaP)+ Ind _m+1(:c;/?),} «=-m+2 где NQ— некоторое натуральное число. 3.2 Модельное интегральное уравнение Будем рассматривать уравнение (3.1) в модельном случае, т. с. когда a(z) а(0), Q{z,C) = 3(0,0), и (3.1) имеет вид: „(o)/W + i M//- 7R ..W. .є (з,) С1 1 Запишем уравнение (3.5 ) следующим образом 1С D Будем предполагать, что функция h{p) имеет вид h(a) — /ii(er[)/12(0-), где h2{a)— является аналитической функцией в области \z\ 1. Тогда ядро Н{а) приобретает вид Мы хотим получить раздельные формулы для подсчета числа линейно-независимых решений однородного уравнения и числа условий разрешимости неоднородного уравнения (3.7) в серии банаховых пространств функций У : L _2/p{D), Ц_2/р(В), С%Щ, (1 р со, /3 число из условия b)). Через х+ обозначим число линейно-независимых (над полем вещественных чисел) решений однородного уравнения, а через х число необходимых и достаточных вещественных условий разрешимости неоднородного уравнения (3.7). Теорема 3.2. Пусть в (3.7) D — {z : \z\ 1}, функция h(a) удовлетворяет требованиям а) и Ь) из пункта 2.1 и имеет вид h(a) = hi(\o-\)h.2(cr), где fof0")- является аналитической функцией односвязная область комплексной плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой Ляпунова Г и содержащая внутри точку z = 0. Пространство Ь _2, (D) - это множество комплекснозначных измеримых в D функций f{z) для которых функция F(z) = \zf 2iPf(z) суммируема с р - ой степенью, где 1 р со, 0 /? 2. Норма в IfaySD) вводится по формуле при любых М, т N. Переходя здесь к пределу при М — со получим, что /Н(г) - /( ) по норме Ц_2(р(0).
Доказательство полноты С , С , М$ получается рассуждениями аналогичными выше. В этом пункте приводятся основные понятия и факты теории нетеровых операторов в банаховых пространствах, которыми мы будем пользоваться в работе. Доказательства всех приводимых здесь утверждений можно найти например в монографии [47]. Пусть X - банахово пространство, А - линейный ограниченный оператор, действующий в X, А - сопряженный к нему оператор, действующий в сопряженном пространстве X . Множество КегА всех решений уравнения называется множеством нулей или ядром оператора А. Множество КегА является подпространством пространствах. Размерность подпространства КегА, т.е. число линейно независимых решений уравнения (1-2), будем обозначать через ал = dimKerA. Через КегА обозначим подпространства нулей оператора А , т.е. множество всех решений уравнения называется ядром оператора А и наконец Дд = аА = КегА . Числа О А,РА называются дефектными числами оператора А. Если хотя бы одно из чисел ал и Дд - конечное, то их разность называется индексом оператора А и обозначается через IndA, Очевидно, IndA конечен тогда и только тогда, когда обе размерности «л и 0А - конечны. Для того чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, необходимо, чтобы свободный член у был ортогонален к КегА (иначе говоря, чтобы элемент у аннулировался любым функционалом и Є КегА ). Действительно, если уравнение (1.5) имеет решение і,а«Є КегА , то где здесь круглыми скобками обозначено значение функционала на соответствующем элементе. Если упомянутое выше условие ортогональности достаточно для разрешимости уравнения (1.4), то говорят, что оператор
А нормально разрешим. Таким образом можно дать следующее Определение 1.2. Оператор А называется нормально разрешимым в смысле Хаусдорфа, если неоднородное уравнение (1.5) разрешимо тогда и только тогда, когда ее правая часть у ортогональна всем решениям сопряженного однородного уравнения (1.3). Известна следующая теорема Хаусдорфа: для того чтобы оператор был нормально разрешимым, необходимо и достаточно, чтобы его область значений была замкнутой. Определение 1.3. Оператор А называется нетеровым в X, если он нормально разрешим и числа ад, /ЗА конечны. Определение 1.4. Индексом IndA нетерова оператора А называется целое число IndA = ХА — РА Следующее определение из всего множества нетеровых операторов выделяет подмножество фредгольмовых операторов: Определение 1.5. Нетеров оператор, индекс которого равен нулю, называется фредгольмовым. Свойство 1.1. (теорема о композиции). Если А и В нетеровы операторы в X, то их композиция АВ также нетерова в X, причем IndAB IndA+IndB. Свойство 1.2. Если А нетеров в X то и А нетсров в X , причем JndA =-IndA. Свойство 1.3. (возмущение вполне непрерывным оператором). Если А нетеров, а Т вполне непрерывен в X, то A -f- Т также нетеров в Х} причем Ind(A + T) = IndA. Свойство
Задача Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами
Задача Дирихле для эллиптических систем диффе ренциальных уравнений второго порядка с разрыв ными коэффициентами і 8 работах Г. Джаигибекова [19],[32] была изучена задача Дирихле и Ней мана для общих эллиптических систем дифференциальных уравнений вто рого порядка с двумя функциями от двух переменных. В предположении непрерывности коэффициентов системы, были установлены необходимые и достаточные условия иетсровости и даны формулы для вычисления ин декса указанных задач. В данном разделе будет рассматриваться задача Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с коэффициентами, имеющими существенный разрыв в начале координат. Оказывается, что отказ от непрерывности коэффициентов приводит к тому, что найденные в [19] условия нетеровости перестают быть достаточными, и более того, разрешимость задачи будет зависеть от показателя р лсбсгового пространства LP{D). д2ш . 7.1 Случай системы с разрывом при производной - - В едини Wp(D),2 р оо, удовлетворяющие на границе Г условию Следующее утверждение следует из [19]: Теорема 7.1. Пусть в (7.1) а(0) = 0 или 6(0) = 0. Тогда для того, чтобы задача Дирихле (7.2) для эллиптической системы (7.1) была нетеровой, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих (исключающих друг друга) условий: \a(z)\ \b(z)\ для всех z Є D, a(t) ф 0 для всех t Є Г. (7.4) При этом , если выполнено условие (7.3), то задача фредгольмова; если выполнено (7.4), то индекс задачи равен Далее мы будем предполагать, что а(0) 0и 6(0) ф 0. Как отмечено в [13], [39], все функции ш(г), обладающие в D обобщенными производными второго порядка, непрерывные в D и удовлетворяющие на Г условию (7.2), единственным образом представляются в виде где Т - вполне непрерывный в пространствах D {D),2 р оо, оператор. Интегральное уравнение (7.3), относится к изученным в работах [30],[31] уравнениям. Рассмотрим сначала систему с главной частью (7.1) и с "замороженны-миив нуле коэффициентами: Соответствующее интегральное уравнение изучено в работе [30].
Введем обозначения: f+ и х_ - соответственно обозначают число линейно пезависимых (над полем вещественных чисел) решений однородной задачи (7.6), (7.2) и число условий разрешимости неоднородной задачи. Теорема 7.2. Для нормальной разрешимости задачи (7.6), (7.2) в классе Wp(D), 2 р оо, необходимо и достаточно, чтобы Теорема 7.3. Если А Яр(2), то задача (7.6), (7.2) имеет в классе Wp(D) (2 р оо) единственное решение; если Rp(ko) А Яр(&о + 1), &о = 2,3,..., то х+ = 0, f_ = 2 — 2; если 1 А р — 1, то х+ = 3, х_ = 0; если А р — 1, то х+ 4, х_ — 0. Яри этол линейно независимые решения однородной задачи и условия разрешимости неоднородной выписываются в явном виде. Теперь переходим к задаче (7.2) для исходной системы (7.1). Предварительно введем следующие обозначения. Через//р(А) обозначим число, равное для jA[ 1 количеству значений к, при которых Rp(k) jA, а для А 1 равное количеству чном круге D = {z : \z\ 1} рассмотрим следующую эллиптическую систему 8z 2\дх+гду) dz 2\dx гду) p = argz, коэффициенты a{z),b{z) и т.д. будем считать непрерывными функциями в Да g{z) Є D)(D)i2 р со. Как видно из (7.1), коэффициент при производной г в точке z = О по Задача Дирихле. Найти непрерывные решения системы (7.1) в области D из класса Wp(D),2 р оо, удовлетворяющие на границе Г условию Следующее утверждение следует из [19]: Теорема 7.1. Пусть в (7.1) а(0) = 0 или 6(0) = 0. Тогда для того, чтобы задача Дирихле (7.2) для эллиптической системы (7.1) была нетеровой, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих (исключающих друг друга) условий: \a(z)\ \b(z)\ для всех z Є D, a(t) ф 0 для всех t Є Г. (7.4) При этом , если выполнено условие (7.3), то задача фредгольмова; если выполнено (7.4), то индекс задачи равен Далее мы будем предполагать, что а(0) 0и 6(0) ф 0. Как отмечено в [13], [39], все функции ш(г), обладающие в D обобщенными производными второго порядка, непрерывные в D и удовлетворяющие на Г условию (7.2), единственным образом представляются в виде где Т - вполне непрерывный в пространствах D {D),2 р оо, оператор. Интегральное уравнение (7.3), относится к изученным в работах [30],[31] уравнениям. Рассмотрим сначала систему с главной частью (7.1) и с "замороженны-миив нуле коэффициентами: Соответствующее интегральное уравнение изучено в работе [30]. Введем обозначения: f+ и х_ - соответственно обозначают число линейно пезависимых (над полем вещественных чисел) решений однородной задачи (7.6), (7.2) и число условий разрешимости неоднородной задачи. Теорема 7.2. Для нормальной разрешимости задачи (7.6), (7.2) в классе Wp(D), 2 р оо, необходимо и достаточно, чтобы Теорема 7.3. Если А Яр(2), то задача (7.6), (7.2) имеет в классе Wp(D) (2 р оо) единственное решение; если Rp(ko) А Яр(&о + 1), &о = 2,3,..., то х+ = 0, f_ = 2 — 2; если 1 А р — 1, то х+ = 3, х_ = 0; если А р — 1, то х+ 4, х_ — 0. Яри этол линейно независимые решения однородной задачи и условия разрешимости неоднородной выписываются в явном виде. Теперь переходим к задаче (7.2) для исходной системы (7.1). Предварительно введем следующие обозначения. Через//р(А) обозначим число, равное для jA[ 1 количеству значений к, при которых Rp(k) jA, а для А 1 равное количеству значений к, при
