Содержание к диссертации
Введение
1. Методы расчета регулярных систем /2
I. I. Введение
1.2. Краткий исторический обзор методов расчета регулярных систем
1.3. Спектральный метод расчета осесимметричных систем на действие статических и динамических нагрузок 20
1.4. Пример расчета осесимметричной конструкции с использованием спектрального метода на действие статической нагрузки 30
1.5. Определение частот и форм колебаний осесимметричной конструкции с использованием спектрального метода ^/
1.6. Расчет регулярных в одном направлении систем с использованием метода последова-. тельного удвоения суперэлементов на
дествие статических нагрузок 49
1.7. Постановка задачи S9
2. Расчет осесимметричных стержневых систем с использованием метода последовательного удюения суперэлементов на .действие статической нагрузки
2.1. Введение
2.2. Получение локальной матрицы реакций для отдельной ячейки осесимметричной стержневой системы S2
2.3. Получение глобальной матрицы реакций для секции, ограниченной двумя меридиональными сечениями 67
2.4. Использование метода последовательного удвоения суперэлементов для расчета осесимметричных систем 74
2.5. Примеры расчета стержневых систем 90
Расчет осесимметричных континуальных систем с использованием метода последовательного удвоения суперэлементов на действие статической нагрузки
3.1. Введение SS0
3.2. Получение локальной матрицы реакций для трапециевидного элемента с отверстием (плоская задача)
3.3. Получение локальной матрицы реакций для трапециевидного элемента с отверстием
(задача изгиба) S23
3.4. Примеры расчета континуальных систем ЇЗЗ
Расчет регулярных систем на действие динамической нагрузки с использоваііием метода последовательного удвоения суперэлементов
4.1. Введение f66
4.2. Общие уравнения динамики, преобразование матрицы жесткости и матрицы масс
4.3. Использование метода последовательного удвоения суперэлементов для определения частот и форм колебаний систем регулярных в одном направлении S76
4.4. Использование метода последовательного удвоения суперэлементов для определения частот и форм колебаний осесимметричных систем 203
4.5. Расчет осесимметричных конструкций на динамику с использованием шагового метода Ньюмарка 226
Выводы 234
Литература
- Спектральный метод расчета осесимметричных систем на действие статических и динамических нагрузок
- Получение локальной матрицы реакций для отдельной ячейки осесимметричной стержневой системы
- Получение локальной матрицы реакций для трапециевидного элемента с отверстием (плоская задача)
- Общие уравнения динамики, преобразование матрицы жесткости и матрицы масс
Введение к работе
В настоящем разделе приложения разработан способ расчета колец, опирающихся на жесткие и упругие опоры и систевш стоек, связанных кольцами, используется метод сил и метод перемещений.
Расчетом колец занимались С.П.Тимошенко [96] , П.Ф.Пап-кович [70] , К.Б.Бицено и Р.Граммель [91 , Ю.А.Шиманский ІІ07] и другие авторы [ 2,34,41,51,52,67,72,100,109,110, III ] . Расчету колец посвящены также работы иностранных авторов [ 114,121,125,127 ] . В приведенных работах рассматривался расчет колец на действие нагрузки, расположенной в его плоскости и действующей из его плоскости. Для этого решались системы канонических уравнений либо метода сил, либо метода перемещений. При этом получались связанные системы.
При расчете колец существенное упрощение дает использование тригонометрических рядов. Это направление связано с работами А.И.Сегаля [82,83,84,85,86] , И.А.Биргера [6,7,8] , Б.Н.Кутукова [59,60,61,62,63] , М.Я.Кившенко [ 47,481 , в которых наиболее полно используются свойства регулярности. При этом система канонических уравнений распадается на независимые уравнения или независимые группы уравнений.
Расчету регулярных систем, представляющих собой набор правильных многоугольников, соединенных стойками, посвящены работы Б.Н.Завадивкера [ 43 \ , Д.В.Вайнберга и В.Г.Чудновско-го { 22,23,102 ] , при этом также использовалось разложение в тригонометрические ряды.
В данном разделе для расчета кольца на жестких опорах применяются групповые неизвестные изменяющиеся по законам косинуса и синуса. Система канонических уравнений распадается либо на независимые уравнения, либо на независимые пары уравнений, каждая из которых содержит по два неизвестных. Решение доведено до формул в замкнутом виде.
Расчет колец на упругих опорах производится в два этапа. Вначале упругие опоры заменяются жесткими и производится расчет кольца на внешнюю нагрузку. На втором этапе жесткие опоры заменяются упругими и расчет кольца на таких опорах производится только на узловую нагрузку, равную реакциям жестких опор. Узловая нагрузка раскладывается в косинусоидальные и синусоидальные группы; реакции упругих опор определяются из решения системы независимых уравнений, либо система уравнений распадается на независимые пары или тройки уравнений, каждая из которых содержит по два или три неизвестных.
Для определения коэффициентов при неизвестных получены формулы справедливые при любом числе опор.
Для расчета циклической системы, состоящей из стоек, связанных кольцами, узловая нагрузка в окружном направлении раскладывается в тригонометрические ряды, а в направлении стоек раскладывается по балочным функциям, в результате получаются группы сил пропорциональные перемещениям точек приложения этих сил. Предложенный способ расчета основан на максимальном использовании цикличности системы, что приводит к минимуму арифметических операций.
Полученные в этом разделе формулы позволили составить справочные таблицы значительно упрощающие расчет подобных конструкций.
Задача о расчете многоопорного кольца, без решения совместной системы уравнений, была решена автором диссертации в 1967 году (первая публикация появилась в 1969 году) , что имело в то время существенное значение, так как количество ЭВМ было мало, а их возможности ограничены.
Спектральный метод расчета осесимметричных систем на действие статических и динамических нагрузок
Все полученные суммы в силу ортогональности, равны нулю, Следовательно, разноименные побочные перемещения (при t-i) равны нулю.
Аналогично доказывается равенство нулю и других побочных перемещений: от синусоидальных групп по направлению синусоидальных и от косинусоидальных групп по направлению косинусо-идальных (при і Ф і) , и от всех групп (при і ї 0) по направлению продольной силы.
Таким образом, система из W/+1 уравнений распадается на систему из двух уравнений, содержащую два неизвестных, и irv-1 уравнений, содержащих по одному неизвестному:
Решив систему уравнений (і.2.15)у найдем величины групповых моментов и продольную силу в нулевом сечении кольца. Окончательные значения моментов в каждом из узловых сечений получаются суммированием значений групповых моментов для этого узла. Для построения эпюр изгибающих моментов используем формулу (1.2.6) .
Поперечная и продольная силы в произвольном сечении участка vC , vc-v 1 от действия моментов равны
Поперечная и продольная силы от действия іі0 равны Далее рассмотрим расчет кольца, опирающегося на шарнирно неподвижные жесткие опоры (рисЛ.2.7) , такая система является 0 УЬ раз статически неопределимой. За основную систему принимаем кольцо с шарнирами в опорных сечениях, разрезанное на нулевой опоре.
Для решения задачи применим групповые неизвестные двух видов: моментных групповых неизвестных, которые остаются такими же, как и при расчете кольца на радиальных опорах; 2j Yb силовых групповых неизвестных, состоящих из приложенных на опорах тангенциальных сил, изменяющихся по законам синусов и косинусов
Тсік = Tci оод tVCoC Синусоидальные силовые группы взаимодействуют с косинусои-дальными моментными группами (и наоборот) , поэтому дальнейшие выкладки сделаны для синусоидальных силовых групп, для косинусоидальных групп получим аналогичные результаты.
В качестве примера для восьмиопорного кольца на рис.1.2.8 показана синусоидальная группа при в каждой синусоидальной группе сил для обеспечения одинакового закона изменения ординат эпюр изгибающих моментов на всех участках кольца необходимо в месте его разреза приложить силу эта сила аналогична силе /ъ приклздаваемой на нулевой опоре в косинусоидальных моментных группах.
Вычислим главные и побочные перемещения. Любую из тангенциальных узловых сил Т можно разложить по радиальному на правлению хорды участка, следующего за данным узлом (рис. 1.2.9] . Первая составляющая TKJL передается на радиальную опору, а изгиб вызывает только хордовая составляющая
Эта хордовая сила Т«-к передается с участка vc , vc+A. на все последующие, не меняя своей величины. Таким образом суммарная сила, действующая на участке к , к+і. равна сумме хордовых сил, действующих на предыдущих участках
Полученное выражение равно нулю, так как.ввиду ортогональности, равна нулю каждая из сумм. Аналогично доказывается равенство нулю других силовых побочных перемещений.
При избранном законе изменения тангенциальных сил значительная часть побочных перемещений от силовых групповых неизвестных в направлении моментных групповых неизвестных также обращается в нуль
Получение локальной матрицы реакций для отдельной ячейки осесимметричной стержневой системы
Следовательно, внешняя нагрузка, изменяющаяся по косинусои-дальному синусоидальному закону, распределяется между кольцом и упругими опорами пропорционально их жесткостям. С увеличением номера группы возрастает обобщенная жесткость кольца, возрастает и доля нагрузки, воспринимаемая кольцом.
Используя результаты расчета регулярного кольца, несложно рассчитать кольцо с нарушенной регулярностью. Кольцом с нарушенной регулярностью называется такое кольцо, у которого жесткость одной или нескольких опор отличается от жесткости всех остальных опор. Изложим расчет кольца для случая, когда жесткость только одной из радиальных опор является нестандартной.
Расчет кольца производится в два этапа. На первом этапе расчета нестандартная опора заменяется опорой, имеющей жесткость, равную жесткостям остальных опор. Затем производится расчет полученного регулярного кольца на заданную нагрузку. На втором этапе рассчитывается также регулярное кольцо на дополнительную силу А. , которая определяется из канонического уравнения
В качестве основной системы для расчета кольца с нарушенной регулярностью примем регулярное кольцо, которое предварительно достаточно изучено. Степень статической неопределимости кольца с одной нестандартной опорой на единицу больше, чем степень статической неопределимости регулярного кольца. Пусть жесткость нестандартной опоры больше жесткости стандартной. В этом случае нестандартную опору можно представить как состоящую из двух опор, одна из которых имеет жесткость стандартной опоры S , а другая имеет жесткость SH-S . Определим реакцию второй опоры. Найдем главное перемещение и грузовой член уравнения (1.3.25) . Перемещение 0ХХ равно осадка упругой опоры с "дополнительной" жесткостью. Величину Ох можно определить, предварительно вычислив реакцию стандартной опоры в регулярном кольце 7,хх от действия на систему силы X = і . Если начало отсчета принять от опоры 0 , в которой определяем реакцию Ъ%% , то при разложении силы Xе 1. синусоидальные группы будут отсутствовать. Для нахождения реакций упругих опор в каждой из групп, используем обобщенные жесткости кольца. Просуммировав результаты, получим реакции упругих опор регулярного кольца, в том числе и хх . Далее в соответствии с (1.3.26) находим главное перемещение
Определив силу X , необходимо регулярное кольцо рассчи I тать на действие этой силы, для чего можно воспользоваться результатами расчета кольца на действие силы Xе і , использовав их как коэффициенты. Просуммировав результаты расчета регулярного кольца на действие внешней нагрузки и силы X , найдем окончательные значения упругих опор кольца. Реакция нестандарт ной опоры равна
Реакции остальных опор найдем путем суммирования реакций от нагрузки (для регулярного кольца) и реакций от силы X. . Формула (1.3.29) справедлива и для случая, когда жесткость нестандартной опоры меньше жесткости стандартной.
Далее рассмотрим расчет кольца на тангенциальных упругих опорах. Для расчета кольца на тангенциальных упругих опорах на узловую нагрузку, надо эту нагрузку, состоящую из тангенциальных сил, разложить в косинусоидальные и синусоидальные группы TcC =TclC04ivCo6
Рассмотрим действие таких групп сил на систему. Нулевая и первые косинусоидальная и синусоидальная группы нагрузок воспринимаются целиком упругими опорами. В нулевой косинусоидальной группе кольцо поворачивается вокруг своего центра как жесткое целое. В первых косинусоидальной и синусоидальной группах кольцо смещается как жесткое целое по направлению равнодействующей нагрузки. Все остальные группы являются самоуравновешенными. Для расчета системы необходимо найти обобщенную жесткость кольца от тангенциальной нагрузки. Раскрыв статическую неопределимость кольца, находящегося под действием косинусоидальной группы сил (рис.1.3.6) , получим значение перерезывающей силы в нулевом сечении. Рассмотрев равновесие участка кольца найдем наибольшие величины изгибающего момента и продольной силы (подобно тому, как это было сделано для радиальной нагрузки) . Умножив найденные величины на соответствующие значения косинусов и синусов, получим узловые значения перерезывающей силы, изгибающего момента и продольной силы.
Получение локальной матрицы реакций для трапециевидного элемента с отверстием (плоская задача)
Перейдем к расчету кольца, опирающегося на упругие опоры и упругие защемления, на силовую косинусоидально-синусоидальную и моментную нагрузки при і - А. . Неуравновешенную силовую нагрузку раскладываем по формулам (і.3.63) 4 (1.3.66) на неуравновешенную часть К , целиком передающуюся на упругие радиальные и тангенциальные опоры, и смешанную самоуравновешенную часть нагрузки 3 , которая совместно с моментной узловой нагрузкой, являющейся также самоуравновешенной, воспринимается как кольцом так и упругими опорами и защемлениями. Для определения наибольших значений реакций «.. т.м достаточно составить два уравнения деформаций, так как К/= Т :
Решив уравнения, найдем наибольшие значения реакций упругих опор; величины реакций для каждого узла получим, умножив наибольшие значения реакций на значение соответствующего косинуса (синуса) .
Далее перейдем к расчету кольца, опирающегося на упругие опоры и защемления на группу сил и моментов при I - О.
Радиальная нагрузка, входящая в состав нулевой группы (ї= 0) является самоуравновешенной нагрузкой. При действии такой нагрузки на кольцо с упругими опорами и защемлениями в узлах имеются только радиальные перемещения, тангенциальные упругие опоры и защемления нагрузки не воспринимают. Нагрузка между кольцом и упругими радиальными опорами распределяется в зависимости от бобщенной жесткости кольца (1.3.19) и жесткости упругих опор. Реакции упругих опор определяются по формуле (1.3.24) .
Нулевая тангенциальная и моментная группы являются неуравновешенными и воспринимаются как кольцом, так и упругими тангенциальными опорами и защемлениями. Для расчета кольца на действие такой нагрузки необходимо разложить ее на две части: неуравновешенную часть д и самоуравновешенную часть У подобно тому, как это было сделано при расчете кольца при 1 = 1 . Неуравновешенная часть целиком передается на упругие тангенциальные опоры и защемления, поворачивая кольцо вокруг его центра как жесткое целое. Самоуравновешенная смешанная часть воспринимается как кольцом, так и упругими опорами в зависимости от обобщенной податливости кольца для нулевой смешанной нагрузки и податливостей упругих тангенциальных опор и защемлений. Определим состав этих частей.
Для расчета кольца на тангенциальную и моментную нулевую группу необходимо из этой нагрузки по формулам (1.3.98) и (1.3.99) выделить неуравновешенную часть Л , которая целиком воспринимается упругими тангенциальными опорами и защемлениями. Оставшаяся часть является смешанной самоуравновешенной и воспринимается как кольцом, так и упругими опорами и защем лениями.
При расчете кольца на "единичную" силу У была найдена величина обобщенной податливости кольца при 1 = 0 Система стоек, связанных кольцами, представляет собой перекрестную систему, в которой стойки являются упругими опорами для колец.
Для расчета цилиндрической системы применим прием, аналогич ный тому, который был использован при расчете кольца на упругих опорах, и найдем для стоек группы сил, пропорциональных проги бам в местах соединений колец со стойками. Число этих групп рав но числу узлов
Статическая задача нахождения групп сил, пропорциональных прогибам, аналогична задаче динамической - определения частот и главных форм колебаний балки, несущей в узлах равные массы [62] . Для консольной балки, находящейся под действием таких групп, состоящих из YW сил, справедливы следующие равенства:
В развернутом виде условие (1.4.4) даст уравнение WV-й степени относительно податливости о . После нахождения WI/ значений податливости О необходимо каждое из них подставить в систему уравнений (1.4.2) и определить группы сил, пропорциональных прогибам. Задача отыскания обобщенных податливостей и групп сил, пропорциональных прогибам, представляет собой по-существу задачу отыскания характеристических чисел матрицы и ее собственных векторов; эта задача подробно рассмотрена в работе [98] .
Развертывание определителя (1.4.4) и решение векового уравнения связано со значительными трудностями, которые существенно возрастают с увеличением числа WU . Расчет системы стоек, связанных кольцами, упрощается, если заранее определить характеристические числа и собственные векторы матриц перемещений.
В случае равных интервалов для консольной балки главные и побочные перемещения, входящие в систему уравнений (1.4.2) , могут быть вычислены следующим образом
Здесь момент инерции стойки надо учитывать отдельно при изгибе в радиальном и тангенциальном направлениях (предполагая, что стойки ориентированы так, как одна из их главных плоскостей проходит через центры колец) .
Общие уравнения динамики, преобразование матрицы жесткости и матрицы масс
Доли узловой нагрузки, воспринимаемые кольцом и стойкой, соответственно равны. Все сказанное выше остается справедливым и для тангенциальных сил. В случае одновременного действия радиальных и тангенциальных сил необходимо для каждой группы I \ решать систему двух уравнений с двумя неизвестными. Таким образом, если при одинаковых кольцах отыскиваются собственные числа ;и собственные векторы симметричной матрицы перемещений А , то при различных кольцах для расчета систем, необходимо находить собственные числа и собственные векторы несимметричной матрицы О , которая имеет значение
Задача нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы D для системы с различными кольцами совершенно аналогична задаче о колебаниях балки с различными массами. Динамическая аналогия между расчетом перекрестных систем и задачей о собственных колебаниях была отмечена П.Ф.Папковичем [ 70 ] и А.И.Сегалем [86 ] .
Таким образом, расчет системы стоек, связанных кольцами выполняется в следующем порядке.
1. В каждый узел системы вводят жесткую заделку и рассчитывают полученную таким образом систему арок с заделанными концами на внешнюю нагрузку.
2. Введенные заделки отбрасывают и заданную систему стоек с кольцами рассчитывают на узловую нагрузку, равную реакциям тброшенных связей, но противоположных по направлениям, причем стойки для колец являются упругими опорами.
3. Узловую нагрузку раскладывают по стойкам в группы сил, пропорциональных перемещениям с использованием приведенных в таблицах собственных векторов и находят по таблицам обоб-ценные податливости стоек для каждой группы I
4. Рассчитывают на нагрузку группы і одно из колец, считая его прикрепленным к упругим опорам с податливостями, равными соответственно обобщенным податливостям стоек в группе І В процессе расчета кольца нагрузку раскладывают в косинусои-дальные и синусоидальные группы и решают системы двух уравнений с двумя неизвестными.
5. Для расчета остальных колец на группу сил І достаточно скопировать все величины для рассчитанного в п.4 кольца, умножив их на коэффициенты, значения которых устанавливают соотношением компонента собственного вектора стойки для группы І
6. Расчеты колец на упругих опорах, приведенные в п.4 и
5 Повторяют при других обобщенных податливостях опор (равных соответственно обобщенным податливостям стоек, найденным в таблице при данном числе w,) на соответствующую этим податливостям нагрузку.
7. Окончательное значение реакций стоек находят суммирова нием реакций, полученных в расчете на каждую группу нагрузок. Разность между узловой нагрузкой и реакциями стоек в узлах воспринимается кольцом.
Порядок расчета системы стоек, связанных кольцами, с учетом жесткостеи стоек на кручение и изгиб в радиальном и тангенциальном направлениях, аналогичен изложенному порядку расчета.
Реакции жестких заделок, противоположно направленные, прикладывают к узлам системы и раскладывают их в группы сил, прорциональных перемещениям. Используя главные и побочные обобщенные податливости кольца и обобщенные податливости стоек в соответствующих направлениях, решают системы трех уравнений с тремя неизвестными для каждой из групп нагрузок и находят реакции стоек для этих групп
