Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Определение напряженно-деформированного состояния тонких оболочек сложной формы. 24
1.1. Основные соотношения. 25
1.2. Аппроксимирующие функции с конечным носителем для четырехугольных подобластей. 31
1.3. Аппроксимирующие функции с конечным носителем для треугольных подобластей . 37
1.4. Вариационный метод расчета тонких оболочек сложной формы в плане. 41
1.5. Алгоритм построения матрицы жесткости конструкции. 45
1.6. Об особенностях численной реализации задачи. 53
1.7. Численные результаты. 60
ГЛАВА 2. Параметризация срединной поверхности оболочки 78
2.1 Исходные соотношения. 79
2.2 Параметризация граничных линий оболочки. 85
2.3 Построение сглаживающей функции двух переменных. 96
2.4 Численные результаты. 108
ГЛАВА 3. Определение напряженно-деформированного состояния составных оболочек . 119
3.1 Вариационный метод расчета составных оболочек. 120
3.2 Численные результаты. 126
3.3 Расчет тонкостенных конструкций с вмятинами . 131
ГЛАВА 4. Моделирование деформированного состояния оболочечно-стержневых конструкций . 139
4.1 Определяющие уравнения для стержней. 140
4.2 Вариационный метод расчета стержневых систем. 148
4.3 Основные соотношения для ребер жесткости. 158
4.4 Расчет тонких оболочек с ребрами жесткости. 165
4.5 Определение напряженно-деформированного состояния оболочечно-стержневых конструкций . 179
4.6 Расчет стержневых систем, несущих тонкостенные перекрытия. 184
4.7 Расчет рамной конструкции, имеющей двухстороннюю обшивку. 191
ГЛАВА 5. Метод расчета толстых и многослойных оболочек . 199
5.1 Использование теории оболочек средней толщины для расчета толстых оболочек. 199
5.2 Определение напряженно-деформированного состояния многослойных оболочек. 210
5.3 Численные результаты. 218
Основные результаты и выводы 227
Литература
- Аппроксимирующие функции с конечным носителем для треугольных подобластей
- Параметризация граничных линий оболочки.
- Расчет тонкостенных конструкций с вмятинами
- Определение напряженно-деформированного состояния оболочечно-стержневых конструкций
Введение к работе
Актуальность работы. В современной теории оболочек достигнуты значительные успехи как в развитии теоретических основ, так и в решении конкретных задач. Однако, как отмечается в обзорной статье Григоренко Я.М., Савулы Я.Г., Мухи И.С., «запросы практики в исследовании задач механики деформирования оболочек удовлетворяются еще не полностью». Задачи определения напряженно-деформированного состояния оболочек сложной геометрии «являются наименее исследованными. Разработка методов их решения является одной из важных и актуальных проблем теории оболочек».
Анализ существующих методов расчета показывает, что, хотя и разработаны различные методы расчета тонкостенных конструкций сложной формы, однако универсального метода, применимого для любого случая, нет. Каждый из этих методов имеет свои положительные стороны и недостатки, свой круг решаемых задач. Даже такой универсальный метод, как метод конечных элементов, нельзя считать полностью сформированным. Как отмечено в монографии А.И. Голованова и соавторов, несмотря на большое количество работ по методу конечных элементов и множество предложенных в этих работах конечных элементов, «лишь ограниченное количество их действительно эффективно в расчетах тонких непологих оболочек».
При использовании метода конечных элементов уточнение решения может быть произведено или в результате увеличения количества конечных элементов (сгущение сетки) или в результате увеличения порядка аппроксимирующих функций на элементе. Как показывают результаты численных экспериментов, более эффективным является второй способ, который позволяет получить хорошую точность решения на редких сетках. Однако при использовании функций высокой степени аппроксимации в узловых точках требуется задавать производные высоких порядков, например, производные второго порядка. Это приводит к усложнению формулировки и выполнения граничных условий, а при расчете составных оболочек создает проблемы с выполнением условий сопряжения на изломе срединной поверхности оболочки. В связи с этим является целесообразным разработка методов расчета тонкостенных конструкций, которые с одной стороны позволяли бы использовать аппроксимирующие функции высокой степени, с другой стороны не требовали выполнения граничных условий для производных высоких порядков.
При численной параметризации срединной поверхности оболочки аппроксимирующая функция должна удовлетворять определенным требованиям гладкости функции. Например, если используется классическая
теория оболочек, то необходимо обеспечить непрерывность функции класса С*-2-*. Такого рода непрерывность могут обеспечить кубические сплайн аппроксимации. Однако в этом случае необходимо задавать значения производных в граничных точках, что сделать с достаточной точностью не очень просто, а в некоторых случаях вообще невозможно.
Для достижения необходимой точности при расчете толстых оболочек необходимо учитывать нелинейный характер изменения перемещений по толщине оболочки. Этого можно добиться, если использовать, например, трехмерные конечные элементы, основанные на уравнениях теории упругости. При использовании же для расчета таких конструкций соотношений теории оболочек количество неизвестных параметров, определяющих искомые функции, будет зависеть от количества слоев, на которые разбивается оболочка, что усложняет решение задачи. В связи с этим является целесообразным разработка методов расчета, которые учитывали бы истинную картину распределения напряженно-деформированного состояния по толщине оболочки, но в то же время позволяли использовать уравнения классической теории оболочек.
Исходя из выше изложенного можно утверждать, что в настоящее время является актуальной разработка методов расчета тонкостенных конструкций сложной формы, численных методов параметризации срединных поверхностей оболочек сложной геометрии, методов расчета толстых однородных и многослойных оболочек.
Целью работы является разработка вариационных методов определения напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций, основанных на использовании функций с конечными носителями произвольной степени аппроксимации, позволяющих производить расчеты тонких и толстых оболочек сложной формы, криволинейных стержней, составных оболочек, оболочечно-стержневых конструкций.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
построить аппроксимирующие функции с конечными носителями иерархического типа;
разработать вариационный метод определения напряженно-деформированного состояния тонких оболочек сложной формы;
разработать численный метод параметризации срединных поверхностей и граничных линий оболочек, заданных совокупностью дискретных точек;
разработать математические модели деформированного состояния составных оболочек, стержневых систем, конструкций, состоящих из оболочечных и стержневых элементов, толстых однородных и многослойных оболочек;
- создать пакеты компьютерных программ по расчету тонких и толстых оболочек сложной формы, стержневых систем, оболочечно-стержневых конструкций.
Методы исследования основаны на использовании определяющих уравнений теории оболочек и стержней типа Тимошенко, вариационных принципов механики деформируемого твердого тела, методов вычислительной математики.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Предложен метод построения аппроксимирующих функций с конечными носителями. Отличительная особенность и новизна метода заключаются в том, что в пределах некоторой подобласти в аппроксимирующих функциях, путем соответствующего преобразования системы координат и выбора вида этих функций, разделяются параметры, определяющие искомые функции внутри подобласти и на ее границах. Это позволяет выполнять кинематические условия стыковки подобластей, на которые разбивается оболочка.
С использованием данных функций на основе вариационного метода определяются напряженно-деформированные состояния оболочек сложной формы, составных оболочек, стержневых систем, оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, и оболочечно-стержневых конструкций.
Предложены алгоритмы построения аппроксимирующих сглаживающих функций, заданных совокупностью точек, используемых для параметризации срединных поверхностей и граничных линий оболочек. При решении задачи используются функционалы, включающие только первые производные от искомых функций.
Разработан вариационный метод расчета толстых однородных и многослойных оболочек, основанный на разбиении оболочек на слои и использовании для описания напряженно-деформированного состояния слоев теории оболочек средней толщины с учетом обжатия. Предложенный алгоритм решения задачи позволяет реализовать подход типа метода суперэлемента для расчета толстых оболочек.
Достоверность и обоснованность научных положений и результатов
обеспечивается корректным применением законов и определяющих уравнений механики деформируемого твердого тела, использованием для решения краевых задач строгих математических методов, а также многочисленными сравнениями результатов расчетов с известными теоретическими и экспериментальными данными и хорошей согласованностью с ними.
Практическую ценность диссертационной работы составляют описанные в работе способы построения аппроксимирующих функций с конечными носителями, основанные на вариационных методах математические модели деформированного состояния однородных и многослойных оболочек,
алгоритмы построения сглаживающих функций, созданные на основе этих методов пакеты компьютерных программ, результаты, полученные на основе теоретических и численных исследований.
Предложенный в работе метод расчета конструкций является достаточно универсальным и по эффективности сравним с методом конечных элементов.
Часть из разработанных программ внедрена в заинтересованные организации, что подтверждено соответствующими актами. Работа, связанная с расчетом пространственных стержневых систем, внедрена в учебный процесс.
На защиту выносятся следующие основные результаты диссертации: метод построения аппроксимирующих функций с конечными носителями иерархического типа, удовлетворяющих условиям согласованности и полноты;
- вариационные методы определения напряженно-деформированного
состояния тонких оболочек сложной формы, составных оболочек, стержневых
систем и оболочечно-стержневых конструкций;
- алгоритмы построения аппроксимирующих сглаживающих функций,
заданных совокупностью точек, используемых для описания линий и
поверхностей;
методика расчета толстых однородных и многослойных оболочек, основанная на разбиении оболочек на слои и использовании для описания напряженно-деформированного состояния слоев теории оболочек средней толщины с учетом обжатия;
- представленные в диссертации результаты решения задач.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались:
на III Всесоюзной конференции «Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов» (Казань, 1988г.);
на III Всесоюзном научно-техническом совещании «Динамика и прочность автомобиля» (Москва, 1988 г.);
на Республиканских научно-технических конференциях «КамПИ-КамАЗ» (Набережные Челны, 1988 г., 1990 г.);
на Всесоюзной научно-технической конференции «Повышение качества и надежности продукции программного обеспечения ЭВМ» (Куйбышев, 1990г.);
на II Республиканской научно-технической конференции «Динамика и прочность мобильных машин» (Кутаиси, 1990 г.);
на Республиканских научно-технических конференциях «Механика машиностроения» (Набережные Челны, 1987 г., 1995 г., 1997 г.);
на Международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек» (Казань, 2000 г.);
на Международной научно-технической конференции «Технико-экономические проблемы промышленного производства» (Набережные Челны, 2000 г.);
на выездном заседании головного совета «Машиностроение» (Набережные Челны, 2001 г.);
на межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2001 - 2003 г.);
на Международной научной конференции «Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных конструкций сложной формы» (Москва, 2002
г.);
на Всесоюзных конференциях по теории оболочек и пластин (Казань, 1991 г., Нижний Новгород, 1994 г., Казань, 1996 г., Нижний Новгород, 1999г., Нижний Новгород, 2002 г.);
на XX Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов». (Санкт-Петербург, 2003 г.);
на XVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Казань, 2005 г.);
на IX Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.).
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 19 статьях автора.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и библиографического списка, включающего 329 наименований. Изложено на 267 страницах машинописного текста, содержит 33 таблицы и 60 рисунков.
Диссертационная работа выполнена на кафедре динамики и прочности автомобильных конструкций Камского политехнического института и на кафедре теоретической механики и сопротивления материалов Казанского государственного технологического университета.
Тема диссертации выполнялась в соответствии с плановыми темами исследований Камского политехнического института и Казанского государственного технологического университета.
Автор считает своим долгом выразить благодарность профессору М.Н. Серазутдинову, общение и совместная работа с которым определило некоторые из научных направлений, представленных в диссертации, способствовало формированию научного мировоззрения диссертанта.
Аппроксимирующие функции с конечным носителем для треугольных подобластей
Для определения напряженно-деформированного состояния тонких оболочек сложной формы в плане чаще всего используется вариационные или численные методы расчета конструкций. При этом решение задачи существенно зависит от способа параметризации срединной поверхности оболочки. Обычно радиус-вектор срединной поверхности задают аналитически или численно, как функцию от двух гауссовых координат. Наиболее просто решается задача, когда во введенной системе координат граничные линии совпадают с координатными, линиями. В этом случае можно подобрать функции, аппроксимирующие искомые функции, которые удовлетворяли бы определенным граничным условиям. При использовании же метода конечных элементов, можно оболочку разбить на прямоугольные или треугольные элементы с прямолинейными границами. Если же граничные линии не совпадают с координатными линиями, то решение задачи существенно усложняется. В частности, например, при использовании метода конечных элементов, требуется построение конечных элементов с криволинейными сторонами.
В данной главе диссертации предлагается вариационный метод определения напряженно-деформированного состояния тонких оболочек сложной формы с произвольными кусочно-гладкими граничными линиями. Особенность метода заключается в том, что в пределах некоторой четырехугольной или треугольной подобласти оболочки с использованием соответствующего преобразования системы координат и выбора аппроксимирующих функций разделяются параметры, определяющие искомые функции внутри подобласти и на ее границах. Локальная система координат выбирается таким образом, что на границах подобласти координатная сетка является равномерной и пропорциональной длине дуги граничной линии. Аппроксимирующие функции в пределах подобластей выбираются в виде двойных полиномов, которые на границах подобластей переходят в одномерные полиномы, являющиеся функциями одной локальной координаты. При этом аппроксимирующие функции на границах области являются инвариантными величинами относительно преобразования системы координат. Это позволяет выполнять кинематические условия стыковки подобластей и удовлетворять геометрическим граничным условиям.
Рассмотрим деформирование тонкой оболочки, срединная поверхность которой имеет сложную форму в плане. Пусть срединная поверхность оболочки задана в гауссовой ортогональной системе координат в линиях главной кривизны. Предполагается, что перемещения и деформации малы, материал оболочек изотропен, справедлив закон Гука. Для определения напряженно-деформированного состояния оболочек используются соотношения теории оболочек типа Тимошенко [51, 177] без учета обжатия поперечных слоев, т.е. принимаются следующие гипотезы: компоненты перемещения произвольной точки оболочки; U\,U2,w,\\J\,\\f2 - компоненты перемещения и углов сдвига срединной поверхности оболочки; aj,a2, - ортогональная криволинейная система координат, связанная со срединной поверхностью оболочки; - координата, направленная по нормали.
Из формул (2.4) следует, что на граничных линиях У/ искомые функции определяются одномерными полиномами, являющимися инвариантными величинами относительно преобразования системы координат. Это обеспечивает непрерывность искомых функций при переходе из одной подобласти на другую и позволяет легко выполнять геометрические граничные условия и условия стыковки искомых функций на границах подобластей П^. Например, если * граница У2 подобласти П^ совпадает с границей у3 подобласти * Qjt, то для обеспечения непрерывности вектора перемещений U достаточно выполнить условия Dkm2=D^, m = \M,N = M. Если на границе yj подобласти Q^ заданы граничные условия U=0, то необходимо положить D*! = 0, т = ЇМ. В угловых точках А, В, С, Д U{A) = О*, ,U[B) = D\,, U{C) = А*2 ,и{Д) = D&, т.е. параметры DJJ, JD2], Д2» ^22 являются значениями искомых функций в угловых точках. Это позволяет также выполнять условия точечного закрепления подобластей в углах. Например, если U(А) = 0, то полагаем D^ = 0. В матрице, составленной из параметров Dmn, 35 Ai A2 " Dw D2\ Dn D2N Аїл Ai/2 DMN первые две строки и первые два столбца определяют компоненты перемещений граничных линий подобласти Q^, а остальные элементы матрицы определяют перемещения внутренних точек подобласти.
Из функции (2.2) в качестве частных случаев можно получить известные аппроксимирующие функции. Например, при значениях N=zM=2, если перегруппировать слагаемые и ввести новые обозначения, то получается пробная функция для билинейной аппроксимирующей функции:
Параметризация граничных линий оболочки.
Найденное решение значительным образом зависит от весовых коэффициентов pj. Подбор этих величин производится по результату проверки выполнения условия (2.3) в ходе итерационного процесса. Для первой итерации задаются значения ру, определяется аппроксимирующая функция и проверяется выполнение условия (2.3). Если это условие не выполняется на /-ой итерации, то для следующей итерации принимается р =сру, где с - некоторая постоянная,
В данном процессе важным является выбор значений весовых коэффициентов для первой итерации. Если эти значения выбраны достаточно большими, то первое слагаемое в функционале (2.1) не будет учитываться, что может привести к сильно осциллирующей функции и к большим погрешностям в вычислении ее производных.
Для выбора значений Pj можно использовать следующую методику. Предположим, что система координат а \, а 2 является декартовой. В этом случае из вариационного уравнения (2.5) можно получить уравнение dAf\ax) J T I \Л I \ da] j=\ (2.2.7) где 5 - дельта-функция Дирака. Уравнение (2.7) совпадает с уравнением изгиба балки под действием сосредоточенных сил F:, где Fj dj pjfj=Yr pJ=Yr d:- коэффициент податливости пружины, EI- жесткость балки. Известно,, что при изгибе балки сосредоточенной силой (без пружин) прогиб балки в любой точке может быть представлен в следующем виде:
Здесь / - длина балки, Г] - некоторый постоянный коэффициент, зависящий от конкретной задачи. Например, при определении максимального прогиба консольной балки с сосредоточенной силой на конце Т] = 3; для шарнирно опертой по концам балки с сосредоточенной силой по середине Г] = 48.
Предполагая, что на балку действует сила в точке с наибольшим прогибом и учитывая выше приведенные формулы, для определения весовых коэффициентов в первом приближении можно использовать следующую формулу:
Эта формула дает заниженные значения весовых коэффициентов, т.к. учет пружин привел бы к увеличению коэффициента Г]. В некоторых случаях бывает проще, а иногда и целесообразнее задавать координаты узловых точек не от координатной оси, а от некоторой заданной линии (рис.2.2.2). параметры Ляме, определенные на линии отсчета a2 -Уо(аі) 92 В функционале (2.8) скомбинированы интерполяционные условия прохождения кривой а 2 =/(0Cj) вблизи заданных точек и условие минимального изгибания этой кривой по отношению к линииОС2 = /o(al) Функция / (оц) представляется в виде(2.4):
Численные эксперименты показывают, что использование формулы (2.10) и функционала (2.8) в некоторых случаях дает более точные результаты, чем, если использовать функционал (2.1).
Как отмечалось выше, при применении функционала (2.1) должны быть заданы первые производные f(a) и f\b) или должны выполняться условия (2.2), т.е. fn(b) = Q, f"(a) = 0. Однако, для реальных объектов условия (2.2) могут и не выполняться, а удовлетворить условиям равенства заданным значениям первых производных от аппроксимирующей функции довольно сложно. В особенности задача усложняется для двумерных задач, тем более, если области имеют криволинейные границы. Использование полиномов в качестве аппроксимирующих функций позволяет получать достаточно точные решения без удовлетворения этих условий. Если же требуется выполнить эти условия, то получение решения на основе функционала (2.1) и аппроксимирующих функций в виде полиномов не позволяет достичь результата. В этом случае вместо (2.1) предлагается использовать функционал
Если обозначить прогиб балки через /, угол поворота через ф, то функционал (2.11) в декартовой системе координат определяет полную энергию изгиба балки с учетом поперечных сдвигов.
В связи с тем, что функционал Фт [f, ф) содержит только первые производные от искомых функций, в граничных точках требуется удовлетворить только условиям непрерывности этих функций. Однако количество неизвестных функций при использовании функционала (2.11) увеличилось.
Расчет тонкостенных конструкций с вмятинами
Кольцо имеет прямоугольное поперечное сечение размерами Ь=А см, h=6 см. Механические характеристики кольца "=200 ГПа, (7=80 ГПа. С учетом симметрии рассматривалась четверть кольца, которая разбивалась на / элемента.
В таблице приводятся максимальные прогиб и напряжение в кольце. В последнем столбце задается число степеней свободы К системы. Результаты, приведенные в таблице, позволяют получить представление о сходимости рядов (2.1).
Из таблицы видно, что для достижения одинаковой точности решения при увеличении порядка аппроксимирующей функции требуется меньшее количество элементов и уменьшается число степеней свободы системы. С этой точки зрения более экономичным является случай, когда порядок аппроксимирующей функции выбирается более высоким.
Цилиндрическая и коническая пружины. Результаты расчета цилиндрической и конической пружин с малым шагом витка (рис.4.2.3) сравнивались с данными, представленными в работе [259]. Цилиндрическая пружина имеет четыре витка круглого поперечного сечения радиуса г -1 см. Радиус винтовой оси пружины
Каждый виток пружины разбивался на два элемента. Для приложения сил F по линиям действия этих сил задавались прямолинейные- стержни.
Для конической пружины рассматривалось три витка. Полагалось, что радиус поперечного сечения пружины г = 0.2см; радиусы верхнего и нижнего витков соответственно Ri =2.48см, R.2=4CM; І - 8. Остальные величины такие же, как и для цилиндрической пружины. Для цилиндрической пружины при М=3, 4, 5 разница для полной осадки получилась равной соответственно 2.9%, 2%, 2%, а крутящие моменты в этих случаях различались на 2.6%, 2%, 1%.
Для конической пружины при М=3, 4, 5 разница для полной осадки получилась соответственно 6.4%, 3.4%, 3%.
Отметим, что сравнения приведены с результатами, полученными без учета сдвигов. Хорошее согласование расчетов объясняется тем, что выбраны такие параметры стержней, при которых учет сдвигов несущественно влияет на результаты. По
В таблице 4.2.2 исследуется влияние отношения — на максимальный прогиб и максимальный изгибающий момент, возникающие в консольной балке прямоугольного поперечного сечения, нагруженного на конце сосредоточенной силой. Здесь h w высота поперечного сечения балки; / - длина балки; Aw =—, w„ М, 1У Ж = — \ w;Mv - максимальные прогиб и изгибающий момент в МЧ У балке; wc, My - максимальные прогиб и изгибающий момент, вычисленные по формулам сопротивления материалов без учета сдвигов. Таблица 4.2. Из таблицы видно, что предложенный в работе метод позволяет определять напряженно-деформированное состояние достаточно тонких стержней. Эффекта «заклинивания» решения не возникает до значений —=10"5
По предложенному в этом параграфе алгоритму довольно легко рассчитывать естественно закрученные стержни, у которых при движении вдоль оси стержня А,,- главные оси инерции поворачиваются вокруг продольной оси на некоторый угол РДа,-). В этом случае не требуется привлечения специальных уравнений для естественно закрученных стержней. Достаточно, в соотношениях (2.4) направляющие косинусы локальной системы координат а,-,_у/, / определить через угол (3/ (ОС/ ).
Для иллюстрации достоверности выше сказанного приводится решение задачи изгиба консольной равномерно закрученной балки (рис.4.2.4) сосредоточенным моментом т, приложенным на конце балки.
Балка имеет прямоугольное поперечное сечение со сторонами Ъ - 4 см, h - 6 см, угол поворота которого на свободном конце балки равен р. Изгибающий момент т действует в плоскости х у. Приняты следующие числовые значения:
При расчете оболочек с ребрами жесткости целесообразно компоненты перемещения и углы поворота ребер жесткости определять через компоненты перемещения и углы поворота срединной поверхности оболочки. В этом случае уменьшается порядок системы уравнений, к которой сводится решение задачи.
Рассмотрим тонкую оболочку, подкрепленную ребром жесткости (рис.4.3.1). Предположим, что осью ребра X является кусочно-гладкая кривая.
В срединной поверхности оболочки выбирается кривая у и вводится ортогональная система координат (3, Г], z, относительно которой задается уравнение оси X ребра. Полагаем, что координатная линия (3 направлена вдоль кривой у ось z перпендикулярна к срединной поверхности оболочки, оси (3, Г\ образуют ортогональную гауссову систему координат на срединной поверхности оболочки. В дальнейшем полагаем, что кривые у совпадают с граничными линиями подобластей, на которые разбивается срединная поверхность оболочки. Линия А, относительно система координат (3, Т, z имеет эксцентриситеты а, а0.
Вводятся следующие гипотезы: 1) для оболочки и ребер жесткости справедливы гипотезы типа Тимошенко, 2) оболочка и ребра жестко соединены между собой по поверхностям контактов, 3) эксцентриситеты я, а0 одного порядка с размерами поперечных сечений ребер и толщиной оболочки. Также предполагается, что для оболочки и ребра справедлив закон Гука, деформации малы. На основании принятых гипотез устанавливается следующая связь между компонентами перемещений и углов поворота ребра и точек оболочки на линии у
Определение напряженно-деформированного состояния оболочечно-стержневых конструкций
Решается аналогичная задача для длинной цилиндрической оболочки регулярного строения, состоящей из I жестких и I-1 мягких слоев. Жесткие и мягкие слои чередуются между собой. Слои изотропные. Все жесткие, а также все мягкие слои, имеют одинаковые толщины и одинаковые механические характеристики. Для оболочки, характеризуемой параметрами 7 = 10, я = 10, ОС = 9, v = v = 0, результаты вычисления безразмерных прогибов и окружных усилий для жестких слоев показаны на рис.5.3.3-5.3.4 сплошными линиями. Штриховыми и штрихпунктирными линиями показаны результаты, полученные аналитическим методом и приведенные в работе [28]. Результаты, представленные штриховыми линиями, найдены на основе уравнений теории толстостенных оболочек, в которых учитывается изменение метрики по толщине оболочки, штрихпунктирными линиями - на основе уравнений теории тонких оболочек.
В [69] решение получено методом конечных элементов, по окружности задавался один элемент с условием периодичности поля перемещений, по длине оболочки - три элемента.
Результаты показывают, что предложенный метод позволяет производить расчеты и довольно тонких оболочек.
В работе построены аппроксимирующие функции с конечными носителями произвольной степени аппроксимации. Отличительная особенность этих функций заключается в том, что в пределах некоторой криволинейной четырехугольной или треугольной подобласти в аппроксимирующих функциях, путем соответствующего преобразования системы координат и выбора этих функций, разделяются параметры, определяющие искомые функции внутри подобласти и на ее границах. Предложенные функции с конечными носителями удовлетворяют условиям согласованности и полноты. Аналогичные функции построены также для криволинейных стержней.
С использованием данных функций на основе вариационного метода решения задач определяются напряженно-деформированные состояния тонких оболочек сложной формы в плане, составных оболочек, стержневых систем, оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, и оболочечно-стержневых конструкций.
При расчете сложных оболочечно-стержневых конструкций показана возможность освобождения от «лишних» степеней свободы, что позволяет создавать элементы типа суперэлементов и существенно уменьшать порядок систем уравнений, к которым сводятся решения поставленных задач.
Рассмотренные задачи показывают, что предложенный метод имеет широкую область применения, является достаточно универсальным и простым в численной реализации.
Предложены алгоритмы построения двумерных и одномерных сглаживающих функций, заданных совокупностью точек. Для построения этих функций используется функционал, содержащий только первые производные от искомых функций, и аппроксимирующие функции с конечными носителями, введенными в данной работе для расчета тонких оболочек.
Численные эксперименты показывают, что при использовании предложенного метода построения сглаживающих функций: - на малом количестве входной информации получаются достаточно хорошие результаты для искомых функций и их производных; - точность решения одинакова как в узловых точках, так и в точках, находящихся между ними; - для аппроксимирующих функций не требуется задания значений производных функций на границах области, что значительно облегчает подготовку входных данных при параметризации срединной поверхности оболочек сложной формы; - в случае необходимости довольно легко выполнить граничные условия, как для самой аппроксимирующей функции, так и для её первой производной.
Разработан вариационный метод расчета толстых оболочек, основанный на разбиении оболочки на слои и использовании для описания напряженно-деформированного состояния слоев уравнений теории оболочек средней толщины с учетом обжатия. При учете обжатия в потенциальную энергию деформации вводится слагаемое с некоторым поправочным коэффициентом, которое рассматривает деформацию в направлении, перпендикулярном к срединной поверхности оболочки, как линейное напряженное состояние.
Показана возможность использования предложенного метода для расчета многослойных оболочек.
На основе изложенных в работе методов составлены пакеты компьютерных программ, позволяющие производить расчеты тонких оболочек, криволинейных стержней, составных оболочек, оболочечно-стержневых конструкций, толстых однородных и многослойных оболочек.
Анализ результатов численных исследований показывает: - для тонких оболочек, геометрические параметры которых находятся в области практического применения, при использовании предложенного в работе метода не возникают такие явления, как «заклинивание» решения, образование «механизмов» и т.д.; - для достижения необходимой точности решения задач требуется малое количество элементов; - при расчете оболочек размеры подобластей, на которые разбивается срединная поверхность оболочки, могут существенно различаться, что позволяет производить расчеты оболочек с небольшими вмятинами или инородными включениями; - предложенный метод позволяет рассматривать подобласти, у которых один геометрический размер значительно меньше другого, что дает возможность рассчитывать оболочки с тонкими инородными включениями, оболочки с «вырождающейся» областью, позволяет моделировать различные граничные условия; - введение поправочного коэффициента при расчете толстых оболочек позволяет уточнять решение и получать решения для довольно толстых оболочек.
