Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Улучшение сходимости метода последовательных возмущений параметров
1.1. Метод последовательных возмущений параметров и вопросы сходимости этого метода в области устойчивости параметров
1.2. Модифицированный метод последовательных возмущений параметров и алгоритм численной реализации этого метода. Примеры расчета оболочечных конструкций
Глава II. Определение границ эффективного применения метода последовательных возмущений параметров
2.1. Локальная и глобальная потери устойчивости, влияние локальной потери устойчивости на определение критических значений параметров
2.2. Спектральный критерий локальной потери устойчивости прямоугольной в плане оболочечных конструкций в статическом случае
2.2.1. Операторный подход в задаче потери устойчивости оболочечных конструкций
2.2.2. Спектральный критерий локальной потери устойчивости в статическом случае
2.3. Приложение: спектральный критерий динамической потери устойчивости прямоугольных в плане оболочечных конструкций
Глава III. Алгоритм численной реализации спектрального критерия локальной потери устойчивости; примеры его применения
3.1. Численная схема и алгоритм спектрального критерия локальной потери устойчивости
3.2. Примеры определения «слабых» точек и «слабых» линий при расчете оболочечных конструкций
3.3. Пример численной реализации спектрального критерия динамической потери устойчивости оболочечных конструкций
3.4. Пакет прикладных программ 80
Заключение 97
Литература
- Модифицированный метод последовательных возмущений параметров и алгоритм численной реализации этого метода. Примеры расчета оболочечных конструкций
- Спектральный критерий локальной потери устойчивости прямоугольной в плане оболочечных конструкций в статическом случае
- Спектральный критерий локальной потери устойчивости в статическом случае
- Примеры определения «слабых» точек и «слабых» линий при расчете оболочечных конструкций
Введение к работе
Актуальность темы. Известный метод В.В.Петрова — метод последовательных возмущений параметров дает эффективную численную схему Эйлера применительно к нелинейным уравнениям механики. Этот метод нашел широкое применение при численном расчете напряженно-деформированного состояния, прочности, устойчивости и долговечности конструкций, эксплуатирующихся в условиях не только воздействующих нагрузок, но и воздействия агрессивных сред. Основные положения этого метода были заложены ещё в начале 50 годов [30]. Позднее [28] метод окончательно приобрел ту форму, в которой он известен в настоящее время, как метод последовательных нагружений. С начала 70-х годов этот метод получил дальнейшее развитие в работах В.В.Петрова [29] и его учеников [33], [16], [32], [31] и стал называться методом последовательных возмущений параметров (МПВП). Нужно отметить, что в отличие от известного метода В.И.Шалашилина - метода продолжения решения по параметру [6], [38], в методе В.В.Петрова рассматривается линеаризация по тем параметрам, малое изменение которых ведет к малому изменению прогиба.
Этот метод обладает рядом преимуществ перед другими шаговыми методами при расчете оболочечных конструкций. Но у него есть и свои недостатки. Во-первых, как показано в работе В.Н.Кузнецова [17] метод последовательных возмущений параметров имеет первый порядок сходимости. Таким образом, с увеличением точности вычисления значительно возрастает время счета. Во-вторых, метод последовательных возмущений параметров работает в области устойчивости параметров. Без каких-либо изменений метод перестает работать в закритической области. Наконец, в окрестности критических нагрузок возникает локальная потеря устойчивости, т.е. потеря устойчивости в достаточно малых окрестностях отдельных точек, что влияет на точность результатов этого метода. Отметим, что это характерно для любого метода и связано с большой погрешностью применения первоначальной
5 модели на этом этапе. Поэтому при расчете оболочечных конструкций методом последовательных возмущений параметров, прежде всего, встают следующие 2 задачи. Первая из них связана с улучшением сходимости этого метода. Вторая связана с определением таких параметров, при которых наблюдается локальная потеря устойчивости.
Исследованию и решению этих вопросов и посвящена данная диссертационная работа.
Нужно отметить, что вопросы модификации МПВП с целью улучшения его сходимости предпринимались многими авторами. Так в своих работах [11], [12], [13] В.В.Карпов получил модификацию этого метода в форме, отражающей численную реализацию схемы Рунге-Кута, которая нашла свое применение в более поздних работах В.В.Карпова [7], [9], [10]. Такая модификация позволяет улучшить сходимость МПВП, но имеет сравнительно сложную реализацию. Наиболее эффективной в смысле скорости сходимости модификацией МПВП можно считать шагово - вариационный метод В.И.Шалашилина [20]. Но численная реализация метода В.И.Шалашилина требует больших временных затрат.
В 2001 году В.В.Петров предложил очень простую модификацию этого метода, дающую хорошую сходимость, и поставил задачу обоснования и определения сходимости предложенной им модификации МПВП.
В связи с решением этой задачи автор пришел к новой модификации МПВП, в основе которой лежит принцип минимальности потенциальной энергии [37]. Отметим, что эта модификация МПВП вбирает в себя как идею усреднения В.В.Петрова, так и подход В.И.Шалашилина относительно оптимизации на каждом шаге функционала энергии, но на более простом уровне. Вопросы численной реализации такой модификации МПВП исследуются в данной работе.
Нужно сказать, что и задача определения параметров, при которых происходит локальная потеря устойчивости, также является не новой. Ею занимались многие авторы. Наиболее полную картину по этому вопросу можно найти в монографии П.Е.Товстика [35]. Следует отметить, что исследования носили чисто теоретический характер. Не было численной схемы, которая позволяла бы эффективно определять точки, в окрестности которых происходит локальная потеря устойчивости. Впервые такая численная схема, основанная на спектральном критерии устойчивости, полученная автором в работах [19], [22], приводится в данной работе.
Остановимся более подробно на задаче определения параметров, при которых происходит локальная потеря устойчивости в отдельных точках оболочечных конструкций. Отдельные точки могут сливаться в отдельные линии. Малые изменения функции прогиба W(x,y) в окрестностях отдельных точек не удается определить обычными численными методами. Такие малые изменения должны отражаться в краевых условиях модельной задачи. Известно [14], [1], что, если не учитывать эти малые изменения в модельной задаче, то это приводит к значительной ошибке (до 10%) расчетных данных от данных, отражающих реальное поведение оболочечных конструкций. Поэтому возникает необходимость в сравнительно простой вычислительной схеме, позволяющей определять точки локальной потери устойчивости.
Отметим, что решение этой задачи позволяет не только определить границы эффективного применения МПВП, но позволяет определить и моменты времени, при которых происходит динамическая потеря устойчивости «в большом» оболочечных конструкций.
Отметим, что определение момента времени, при котором происходит «прощёлкивание» оболочки, является не простой задачей, и её решение численными методами требует применения сложной вычислительной схемы, что связано с большими временными затратами. Дело в том, что потерю динамической устойчивости, как правило, стараются определить исходя из траектории отдельных точек оболочечных конструкций. При потере устойчивости на самом деле происходит разрыв траектории. Но применение численных методов сглаживает этот процесс. Поэтому по траектории точки нельзя сказать: отражает ли данный процесс потерю устойчивости или это обычный колебательный процесс. Достаточно сказать, что в настоящее время существует большое количество различных критериев динамической потери устойчивости [2], [4], [5], но реализация каждого из этих критериев требует большие затраты времени.
Определение моментов времени, при которых происходит локальная потеря устойчивости, позволяет определить и время, при котором происходит потеря устойчивости «в большом». Действительно, глобальной потере устойчивости предшествует локальная потеря устойчивости в отдельных точках. Наличие точек локальной потери устойчивости позволяет говорить о том, что в момент времени, который соответствует экстремальной точке на графике, и вблизи которой наблюдаются точки локальной потери устойчивости, происходит динамическая потеря устойчивости.
Всё сказанное выше указывает на актуальность данной тематики.
Цель настоящей работы заключается в том, чтобы:
Получить простую в реализации вычислительную схему, позволяющую существенно улучшить сходимость метода последовательных возмущений параметров - как в статическом, так и в динамическом случае.
Для достаточно широкого класса математических моделей в статическом случае разработать метод определения параметров, при которых происходит "локальная" потеря устойчивости оболочечных конструкций.
Разработать вычислительный алгоритм, как в статическом, так и в динамическом случаях, для нахождения точных границ параметров эффективного применения МПВП в рамках рассматриваемой модели.
Разработать пакет программ, реализующих предложенные автором алгоритмы улучшения сходимости МПВП и определения границ параметров эффективного применения этого метода.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1) Получена простая в реализации вычислительная схема, позволяющую существенно улучшить (на порядок во временном исчислении) сходимость метода последовательных возмущений параметров - как в статическом, так и в динамическом случае.
Для достаточно широкого класса математических моделей в статическом случае теоретически разработан и математически обоснован новый спектральный метод определения параметров, при которых происходит "локальная" потеря устойчивости оболочечных конструкций.
Разработан вычислительный алгоритм, реализующий спектральный метод, как в статическом, так и в динамическом случаях, для того, чтобы найти точные границы параметров эффективного применения МПВП в рамках рассматриваемой модели.
Создан пакет программ, реализующих предложенные автором алгоритмы улучшения сходимости МПВП и определения границ параметров эффективного применения этого метода.
Объем и структура работы: Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Ее объем составляет 102 страницы.
Во введении дается краткий исторический обзор по теме диссертации, что позволяет судить об актуальности темы, приводятся основные результаты, полученные автором.
В первой главе рассмотрены метод последовательных возмущений параметров, а также вопросы сходимости этого метода. Отмечено, что одним из основных недостатков МПВП является его медленная сходимость. В этой главе была разработана модификация этого метода, обладающая улучшенной сходимостью по сравнению с методом последовательных возмущений параметров, разработан алгоритм численной реализации модифицированного МПВП и приведен пример применения данного алгоритма к геометрически нелинейной модели Кармана.
Во второй главе определяются границы эффективного применения метода последовательного возмущения параметров, с помощью нового, разработанного и математически обоснованного в данной диссертации спектрального критерия локальной потери устойчивости. Важность критерия, который позволял бы определить параметры, при которых происходит локальная потеря устойчивости (ЛПУ), связана с тем, что появление точек ЛПУ существенно влияет на величину скорость сходимости МПВП, а также указывает на приближение к критическим значениям параметров.
Этот критерий базируется на операторном подходе, разработанном в [21] и [17]. В [17] показано, что с нелинейной системой связывается некоторая система линейных операторных уравнений, последовательность решений которых стремится к функции прогиба. Следовательно, однозначность решения нелинейной задачи сводится к однозначности решения последовательности линейных операторных уравнений. На основании критерия локальной потери устойчивости в динамическом случае, полученного в [18], в этой главе была предложена вычислительная схема определения динамической потери устойчивости. Дело в том, что нагрузке, при которой происходит глобальная потеря устойчивости, предшествуют нагрузки, при которых происходит локальная потеря устойчивости, т.е. если при некоторых нагрузках появляются точки локальной потери устойчивости, то при незначительном увеличение нагрузки произойдет глобальная потеря устойчивости. Это позволяет, что особенно важно, в динамическом случае отделять на графике обычные экстремальные точки от экстремальных точек, которые соответствуют глобальной потере устойчивости.
В третьей главе разработан численный алгоритм спектрального критерия локальной потери устойчивости. Указаны примеры применения данного алгоритма для определения «слабых» точек и «слабых» линий на примере геометрически нелинейной модели Кармана в статическом случае. А так же на отдельном примере реализована вычислительная схема определения динамической потери устойчивости.
В заключении делается анализ полученных результатов, приводятся выводы по диссертации.
Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задачи, сравнением с теоретическими и экспериментальными результатами других авторов.
Практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, имеют важное значение, как в теоретических разработках, связанных, например, с исследованием вопросов устойчивости тонкостенных конструкций, так и при численных расчетах оболочечных конструкций.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на девятой межвузовской конференции по математическому моделированию и краевым задачам (Самара, СамГТУ, 2001), на ежегодных научных конференциях механико-математического факультета СГУ (Саратов, 2002, 2003, 2004, 2005), на научном семинаре под руководством профессора Л.Ю.Коссовича (2005).
Основные положения диссертации опубликованы в работах [36] ,[37], [19], [22], [23].
Модифицированный метод последовательных возмущений параметров и алгоритм численной реализации этого метода. Примеры расчета оболочечных конструкций
В основе метода последовательных возмущений параметров лежит метод последовательных нагружений, который был впервые разработан в кандидатской диссертации профессора В.В.Петрова [30].
Свое название метод получил от варьирования нагрузки. В результате развития данного метода В.В.Петрову и его ученикам удалось выяснить, что в качестве изменяющегося параметра может выступать не только нагрузка, но и другие параметры как физические, так и геометрические. Например, если возмущаемым параметром будет кривизна, то получаем метод последовательных изгибаний, если варьировать температуру при решении температурных задач, то получаем метод последовательных нагреваний и т.д. Таким образом, с середины 80-х годов метод последовательных нагружений в результате развития стал называться методом последовательных возмущений параметров.
Остановимся на основных моментах метода последовательных возмущений параметров в случае тонкой, гибкой, изотропной оболочки при возмущаемом параметре нагрузки.
Геометрически нелинейная модель такой оболочки - модель Кармана в статическом случае выглядит следующим образом: W-L(W,F) AKF = i (U) п п ±A2F = -U(W,W)-AkW Замечание 1. В литературе модель (1.1) принято называть геометрически нелинейной моделью Кармана. Но основные положения геометрически нелинейной теории оболочек были заложены в работе К.Маргерра [39] и свое завершение эта теория нашла в работах В.З.Власова [3] и Х.М.Муштари [27]. Поэтому более справедливо будет называть эту модель моделью Маргерра - Власова - Муштари.
Для удобства будем считать, что функция прогиба W и функция усилий F удовлетворяют граничным условиям Неймана W -W ir-Wt, F;r=F0, lr = F„ (1-2) где Г - граница области Q, определяемой серединной поверхностью оболочки. Отметим, что полученные при этом результаты имеют место и для граничных условий, отвечающих шарнирному, свободному или жесткому закреплению краёв оболочки.
Суть МПВП в этом случае заключается в следующем. Физически ясно, что если на оболочку действует большая нагрузка, то в результате ее воздействия получаются большие прогибы. Любую нагрузку можно получить в результате последовательного применения малых нагрузок, вызывающих малые прогибы. В этом случае на первом шаге для модельной задачи можно использовать обычные линейные уравнения. Затем к этой деформированной оболочке, имеющей известные усилия и прогибы, прикладываем вторую малую нагрузку, которая вызывает дополнительный малый прогиб. Используя известные начальные усилия и прогибы, полученные в результате решения соответствующих линейных уравнений, находим приращения функций усилий и прогиба на втором шаге. Затем повторяем эту процедуру. Итак, запишем нормальную нагрузку q в виде со СО где Aqk сходящийся ряд и где Адк є для всех к.
Будем считать, что на п - ом шаге на оболочку действует нагрузка В результате прогиб оболочки составил величину Wn, а усилие - величину Fn. В отличие от предыдущего шага нагрузка увеличилась на величину Адп, а функции прогиба и усилий изменились на величины AWn-Wn-Wn_x и AFn - Fn - Fn_x, соответственно. Таким образом, Wn = W0 + j]AWk , Fn - FQ + AFk (L4) и функции Wn, Fn является решением системы уравнений y\AWn) [L{Wn -L{Wn_x,Fn_J\-Ak{AFn) = Aqn (L5) с граничными условиями (1.2). Таким образом, при и 2 функции AWn, AFn являются решением нелинейной системы уравнений вида W -[L(Wn_, + WtF +F)-L(Wn_1,Fll_l)]- AkF = Aqn (L6) I h l с нулевыми граничными условиями типа (1.2).
Так как в данном случае величина Д#„«1, то в результате такого воздействия прогиб оболочки AWn, будет незначительным. Выражение, представляющее собой изменение гауссовой кривизны поверхности за счет прогибов, будет величиной второго порядка малости. Не учитывая изменение гауссовой кривизны поверхности, вместо нелинейной системы (1.6) можно рассмотреть линеаризованную систему уравнений. С этой целью рассмотрим нелинейный оператор
Спектральный критерий локальной потери устойчивости прямоугольной в плане оболочечных конструкций в статическом случае
Рассмотрим пример нелинейных уравнений Кармана в статическом случае [D , (2.1) —A2W-L(W,F)-AKF = q h ±A2F = -U(W,W)-AkW Пусть граничные условия отвечают шарнирному закреплению краев оболочки (J W , (J W wir = о, ±-і/г+ = о, fiJi/r- =0, d2w + _ d2w, _ л (2.2) Зс2 ду d2F d2F F/r 0, /F+ 0, /F- 0. Зс ду _ , Система уравнений (2.1) с граничными условиями (2.2) определяет относительно функции прогиба W нелинейное операторное уравнение 2(w,g) = 0, (2.3) d2w J. d2w W/r=0, /r+=0, /F-=0, 3c ay где нормальная нагрузка q играет роль параметра. Нелинейное операторное уравнение (2.3) получается следующим образом: из второго уравнения системы (2.1) выражаем функцию усилий F с помощью обратного оператора Лапласа А-1 (оператора Грина) через функцию прогиба W и подставляем это выражение в первое уравнение системы (2.1).
Пусть W0 - решение операторного уравнения (2.3) отвечающее параметру q0. Пара (fF0,#0) называется точкой ветвления для уравнения (2.3), если для каждого є 0 можно указать такое значение параметра q, что \q q$\ и уравнение (2.3) имеет, по крайней мере, два решения, лежащих в є -окрестности решения WQ. В этом случае говорят о потере устойчивости в малом при данном значении параметра qQ. При дальнейшем изменении значения параметра q могут появляться решения, которые могут сильно отличаться от соответствующего решения W0.
В этом случае говорят о потере устойчивости в большом. Те значения параметра q, при которых происходит потеря устойчивости оболочки в большом, называются критическими граничными значениями параметра q.
Ясно, что нелинейное операторное уравнение, аналогичное уравнению вида (2.3), можно построить для любой нелинейной математической модели, у которой все остальные функции однозначно выражаются через функцию прогиба. При этом поведение функции прогиба может зависеть от многих параметров. В качестве таких параметров могут выступать продольные нагрузки; величины, характеризующие физические свойства материала оболочки. Таким образом, для такого класса нелинейных уравнений определяются операторные уравнения A(w9q) = Q с соответствующими граничными условиями. Математическое обоснование появления потери устойчивости в малом и потери устойчивости в большом приведены в [15].
В работе [15] показано, что потере устойчивости в большом предшествует потеря устойчивости в малом. Это согласуется и с экспериментальными данными. Если к оболочке прикладывать возрастающие по величине усилия, то перед глобальной потерей устойчивости часто наблюдается «сильный треск» оболочки, который определяется ее незначительными изменениями.
Потеря устойчивости в малом может происходить в окрестности отдельных точек, т.е. при некотором параметре q0 появляются решения, мало отличающееся от решения W0, и отличие наблюдается только в малой окрестности некоторой точки. В этом случае говорят о локальной потере устойчивости. При эксперименте локальная потеря устойчивости проявляется в появлении на оболочке отдельных незначительных вмятин.
Нужно сказать, что задача определения параметров, при которых появляются локальные потери устойчивости, является сложной вычислительной задачей. Обычные численные методы, с помощью которых определяется глобальная потеря устойчивости, не дают нужных результатов.
Многие авторы [14] предварительно задавая аналитически незначительные вмятины в виде начальных отклонений WQ, старались определить, как влияют вмятины на величину критических параметров. Оказалось, что такие незначительные отклонения могут влиять на величину критических нагрузок до 10%. Это объясняет отклонения численных решений соответствующих уравнений от экспериментальных данных.
Таким образом, задача определения значений параметров, при которых возникает локальная потеря устойчивости, предоставляет значительный интерес, и это задача будет решаться нами в следующих параграфах данной главы. А именно, в статическом случае будет разработан спектральный критерий локальной потери устойчивости, который допускает достаточно простую численную реализацию.
Спектральный критерий локальной потери устойчивости в статическом случае
Случай Т Ф 0 рассматривается аналогично. Тем самым теорема 2.2 полностью доказана.
Замечание 4. Отметим, что в процессе доказательства теоремы 2.2 было установлено, что появление ненулевых решений носит локальный характер. А именно, решение отлично от нуля в некоторых окрестностях точек, где спектр оператора А(х,у) содержит нулевое значение. Это дает основание говорить о локальной потере устойчивости оболочечной конструкции.
Замечание 5, Переход от оператора А к оператору А в результате поворота осей координат связан с тем, что, как сказано выше, для оператора А определяется система собственных функций {fltm}, что позволяет построить вычислительную схему для определения спектра оператора А. Но реализация этой схемы для конкретной модели показала, что такая вычислительная схема требует значительных временных затрат. Поэтому мы приведем спектральный критерий локальной потери устойчивости, выраженный в терминах оператора А.
Пусть д такой набор параметров, при котором не наблюдается глобальная потеря устойчивости, и пусть й - решение модельной задачи, отвечающее параметрам q. Пусть далее MQ(xQ,yQ) такая точка, для которой оператор 2 д2 д2 д2 (2-28) А(х0,у0) = аА -фі0(хо,уо) -фи{хо,уо) + 2 р3 (х0,у0)-— дх ду дхду имеет нулевые или отрицательные собственные значения. Тогда точка MQ является точкой локальной потери устойчивости.
Замечание 1. При наших ограничениях на рассматриваемый в этой главе класс нелинейных моделей оператор А в любой точке (х,у) является самосопряженным оператором [17]. Поэтому существует ортогональная система собственных функций. Нахождение такой системы - сложная вычислительная задача. Но, как будет показано ниже, можно указать вычислительный алгоритм, реализующий этот спектральный критерий.
Как следует из доказательства теоремы 2.1 точка М0{х$,у0) не является точкой локальной потери устойчивости, если только оператор А(х0,у0) имеет положительный спектр. Точно также, но без условии поворота, показывается, что точка М Х УІ) не является точкой локальной потери устойчивости в том и только в том случае, если оператор А(хі,уі) в области Q- при нулевых граничных условиях имеет положительный спектр. Заметим, что в пространстве функций L2{Q) оператор A{xiiyi) с нулевыми граничными условиями является самосопряженным оператором [34]. Поэтому оператор A{xj,yi) имеет ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов, при этом собственные числа являются вещественными числами. Следовательно, можно говорить о положительности спектра оператора Аіх у;), не зная собственных функций этого оператора.
Таким образом, имеет место: Теорема 2.3 Задача (2.10), (2.11) тогда и только тогда имеет ненулевые решения, когда существует точка М0(х0,у0)еО,, в которой спектр оператора А(х0,у0) содержит либо нулевое, либо отрицательное значение. Замечание. Спектральный критерий локальной потери устойчивости в статическом случае, приведенный в теореме 2.3 является неконструктивным, т.к. в условиях этой теоремы не удается явно определить собственные функции оператора А(х0,у0). Приведем еще одну форму критерия устойчивости, которая получается в результате применения метода последовательных возмущений параметров. Рассмотрим представление параметров q в виде суммы "малых" приращений N
Пусть (wls і !,...)» K.- v") ( Wn Fn —) последовательность приближенных решений, полученных в результате применения метода последовательного возмущения параметров на базе нелинейной модели, которая удовлетворяет следующим условиям: - нелинейность, присутствующая в уравнениях, является геометрической нелинейностью; -любая неизвестная функция, входящая в уравнения системы, однозначно выражается через функцию прогиба w; - область Q, определяемая срединной поверхностью оболочки, является прямоугольной в плане областью; - граничные условия отвечают либо жесткому, либо шарнирному закреплению краев оболочки.
Рассмотрим последовательность операторных уравнений At \ Л2 Т ( Л3 Т f Т , W П (2"29) An(w) = Awln(x,y)—т-Т2гП(х, у)—у + 2Т3(х,у)— = 0 дх1 дул дхду с нулевыми граничными условиями, где №). &&. ТіЛх,у)-Щ , W = » ду дх дхду При данных обозначениях имеет место Теорема 2.4. Точка (х0,у0) тогда и только тогда является точкой локальной потери устойчивости, когда при некотором п0 спектр оператора Ап (х0,у0), определяемого левой частью уравнений (2.29), содержит либо нулевое, либо отрицательное значение.
Замечание. Спектральный критерий локальной потери устойчивости, приведенный в теореме 2.4. является неконструктивным (см. по этому поводу замечание к теореме 2.3).
Примеры определения «слабых» точек и «слабых» линий при расчете оболочечных конструкций
Рассмотрим пример, иллюстрирующий изменение портрета распределения "слабых" точек прямоугольных в плане оболочек с разными кривизнами (Кх=0, Ку=30) под действием линейно изменяющейся продольной и постоянной поперечной нагрузок для модели Кармана в динамике.
График изменения продольной нагрузки во времени показан на рис.3.7, при этом поперечная нагрузка постоянна во времени и не превышает критическую нагрузку в статическом случае q=0.05.
График зависимости функции прогиба в центре оболочки от времени и зависимости изменения нагрузки от времени приведен на рис.3.8.
На рис.3.9 видим картину появления "слабых" точек в зависимости от времени. Значимость определения динамической потери устойчивости с помощью спектрального критерия связана с тем, что в динамических задачах определение критической нагрузки численными методами весьма затруднительно.
Применяя спектральный метод, можно сказать, что нагрузки, при которых происходит локальная потеря устойчивости, предшествуют нагрузке, при которой происходит динамическая потеря устойчивости, т.е. при некоторых нагрузках появляются "слабые" точки, и нужно ожидать, что при дальнейшем незначительном увеличении нагрузки произойдет глобальная потеря устойчивости. Это позволяет в динамическом случае отличать на графике обычные экстремальные точки от экстремальных точек, которые соответствуют потере устойчивости.
В данной главе разработан алгоритм численной реализации спектрального критерия локальной потери устойчивости. Приведены примеры использования данного алгоритма при решении дифференциальных уравнений модели Кармана для цилиндрических панелей. В качестве примера было показано появление и развитие точек локальной потери устойчивости для панелей разной кривизны. Задача совершенствования моделей в процессе нагружения с учетом локальной потери устойчивости выходит за рамки данной работы.
1. Предложена простая в реализации вычислительная схема, позволяющая существенно улучшить сходимость метода последовательных возмущений параметров - как в статическом, так и в динамическом случае. В основе данной схемы лежит принцип минимальности потенциальной энергии. В сравнении с известными модификациями МПВП для получения решений с одинаковой точностью затраты по времени уменьшились в 5 раз.
2. Для достаточно широкого класса математических моделей в статическом случае разработан спектральный метод определения параметров, при которых происходит "локальная" потеря устойчивости оболочечных конструкций.
3. В рамках рассматриваемой модели разработан вычислительный алгоритм в статическом и в динамическом случаях для получения точной границы параметров эффективного применения МПВП.
4. Разработан пакет программ, реализующих предложенные автором алгоритмы улучшения сходимости МПВП и определения границ параметров для эффективного применения этого метода.
