Введение к работе
Актуальность темп исследования. Построение и классификация вполне интегрируемых гамильтоновых систем на симплектических многообразиях - это одна из центральных проблем симплектической геометрии. Бурное развитие этого раздела пришлось на минувшее девятилетие. Были найдены новые эффективные методы построения вполне интегрируемых гамильтоновых систем. Достаточно упомянуть школы С.П.Новикова [8, 15] , А.Т.Фоменко ["20, 21J , В.П.Маслова [10, 13,.14] , Л.Д.Фадцеева [16J , В.И.Арнольда [I, 2, 3j , Марсдена f29j , Вейнстейна [29, 33J . Получены глубокие классификационные теоремы для вполне интегрируемых систем с двумя степенями свобода - теория А.Т.Фоменко [5, 2IJ . Новые дифференциально геометрические идеи развивалиоь М.Громовым [26j . Им были построены новые инварианты симплектических многообразий, используя геометрические свойства почти комплексних структур, согласованных о симплектической структурой.
Задача построения вполне интегрируемых гамильтоновых систем на орбитах коприсоединенного представления групп Ли является одной из важнейших в современной симплектической геометрии. Многие проблемы прикладного и теоретического характера естественно приводят к этой задаче, см. [2, 4, 9, 10, 16 - 20, 27J. Отметим только важную задачу интегрирования геодезических потоков на ри-мановых многообразиях. Основными методами построения таких систем служат сдвиги инвариантов коприсоединенного представления группы Ли, цепочки подалгебр, сдвиги базисных функций конечномерных представлений в функциональных пространствах, согласованные скобки Пуассона, /.-матрицы. В настоящее время выполнен большой
- г -
цикл работ, связанных с этой проблематикой. Обзор этих методов и результатов можно найти в работах [3, 8, 15, 17 - 19J . Однако, указанные метода но позволяли строить новые вполне интегрируемые сиотемы, исходя из известных систем. До последнего времени оставался открытым вопрос о существовании таких конструкций. Это было впервые сделано в работах автора (^34 - 41J .
Для классификации интегрируемых гамильтоновых систем ио-пользуютоя инвариана'ы различной природа, см., например, работы А.Т.Фоменко, А.В.Болсинова, А.А.Ошемкова \ъ, 20 J . В работах З.П.Маслова [13, 14 ] было открыто, что для построения глобальных аоимпготичесісих решений дифференциальных уравнений имеется препятствие, известное в настоящее время как классы Маслова, fl3, 14 J. Это же препятствие возникает в задаче построения трансверсальных лагранжевых подрасслоений в симплектических векторных расслоениях. Классы Маслова изучались с различных точек зрения и они были обобщены на высшие размерности в работах Б.И.Арнольда, А.Б.Гивенталя, Е.А.Васильева, М.В.Карасева, Д.Б.Фукса, Ж.Лиока, М.Веркь, М. дє Госсона, Дж. МорЕана, см., например, [.1,,3, 10, 12, 23 - 25, 23 J , Первое такое обобщение было сделано В.И.Арнольдом и изучено Д.Б.Фуксом [1, 22 J . Классы Маслова используются также для описания топологии экстремалей вариационных задач, см., например, [7, IIJ . А.Т.Фомек-ко поставил задачу о том, что классы Маслова - Арнольда "почти всегда" тривиальны для минимальных лагранжевых подмногообразий. Это утверждение было доказано им и Ле Хонг Ван [7, IIJ для случая М = /R, . А.Т.Фоменко выдвинул гипотезу., что "разумно определенные" характеристические классы типа Маслова -Арнольда для минимальных подмногообразий в симплектических мно-
гообразиях должны быть равны нулю. Частичный otdot на этот вопрос получен в работах автора [4Г>, 47, 50 ].
В современных исследованиях, в частности, при интегрировании уравнений математической физики большую роль играют алгебры Ли малых размерностей, см., например, [4, 9] . Отметим здесь работу Дж.Патера, Р.Шаря, П.Винтернитц 30J , в которой вычислены инварианты коприсоединеішого представления всех групп Ли малых размерностей и даны их приложения. В связи с этим актуальна задача исследования на орбитах коприсоединенного представления таких групп Ли структуры вполне интегрируемых гамильтоновых систем с точки зрения той или иной их классификации.
Цель работы. Построить теорию вполне интегрируемых гамильтоновых систем на тензорных расширениях алгебр Ли. Для соответствующих групп Ли доказать реализуемость на орбитах коприсое-диненного представления конечномерных аналогов уравнений магнитной гидродинамики. Доказать полную интегрируемость этих уравнений на орбитах общего положения. Для вполне интегрируемых- гамильтоновых систем разработать новый метод построения геометрических инвариантов, являющихся обобщением классов Маслова. Доказать нетривиальность построенных инвариантов.
Общая методика работы. Для решения проблемы построения вполне интегрируемых гамильтоновых систем применяется аппарат теории групп Ли и алгебр Ли, а также симплектической геометрии. При разработке нового метода построения инвариантов'используются метода дифференциальной геометрии (теория связностей) и алгебраической топологии (теория характеристичесішх классов). При
_ 4 -
исследовании интегрируемых гамильтошшсс систем на тензорних расширениях алгебр Ли работают метода шлплоктической геометрии и теории инвариантов.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. В диссертации построена теория тензорных расширений алгебр Ли, исследовано уравнение Эйлера на тензорных расширениях алгебр Ли. Решена проблема гамильтоновости и полной интегрируемости конечномерных аналогов уравнений магнитной гидродинамики, для тензорных расширений полупростых алгебр Ли построены секционные операторы, являющиеся аналогами операторов, известных для полупростых алгебр Ли, и дано доказательство полной интегрируемости уравнений Эйлера с построенными секционным!! операторами на тензорных расширениях полупростых алгебр Ли. 5ано построение обобщенных классов Маслова для подмногообразий з многообразиях с аффинной связностью, в частности, доказана теорема инвариантности индексов подшогообразий в шогообразиях с аффинной связностью относи тельно кобордизмов с векторными полями. Установлено, что обобщенные классы Маслова можно получить проекцией некоторых классов когомологий пространства путей симплектического многообразия, что дает классы когомологий, которые уже но зависят от выбора оимплектической связности. Исследована гипотеза А.Т.Фоменко об обращении в ноль "почти всегда" классов типа Маслова - Арнольда для минимальных подмногообразий в общих римановых многообразиях, в частности, предъявлен широкий класс минимальных подшогообразий, для которых эта гипотеза справедлива. Построены обобщенные классы Маслова для лагранжввнх подшогообразий в произвольном симплекгичеоком многообразии и дано доказательство инвариантное-
и индекса относительно соответствующего кобордизма. Эти инвари-нты вычислены для 83 бесконечных серий алгебр Ли, являющихся ензоряыми расширениями алгебр Ли малых размерностей. Изучены бобщеннио классы Маслова для геометрических структур, отличите it симплектических: для изотропных подмногообразий а нсеццорима-ювых многообразиях и для лагранжевых подрасслоений в симплекти-іеских векторных расслоениях.
Практическая: и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Конструкции, результаты и методы настояла» г&бочи могут найти применение в симплектическей геометрии и топологии, в частности, для построения и классификации вполне интегрируемых гамильтоновых систем; в теории представлений, например, в методе орбит; з вариационном исчислении при изучении топологии экстремалей многомерных функционалов; в дифференциальной геометрии для построения инвариантов подмногообразии с различными ограничениями ка их геометрию.
Апробация, работы. Результаты диссертации докладывались на Конгрессе по математической физике (Лейпциг), на Международной конференции по алгебре (Новосибирск), на Международной топологической конференции (Баку), на Всесоюзной топологической школе (Еакуриани), на Всесоюзной зимней Воронежской школе (цикл лекций), на Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Минск), на Всесоюзной школе по теории инвариантов (Ташкент), на Всесоюзной конференции по геометрии "в целом" (Новосибирск), в математической лаборатории Л.Д.Фавдеева в ЛОМИ, на городском семинаре по дифференциальным уравнениям и функциональному анализу (Ижевск), на конференции в Киевском университете, в математическом института АН УССР (Киев), на семи-
- б -
паро Б.II.Маслоm в ШТМ, на Всесоюзной школе Алгебри Ли и их приложения (Москва), на семинаре по векторному к тензорному анализу, на ежегодных научиш: конференциях механико-математического факультета МГУ, на Всесоюзних конференциях по дифференциальным уравнениям им. И.Г.ІІетронского в МГУ, па Ломоносовских чтениях МГУ, на семинаре Современные геометрические методы в МГУ, на кафедральных семинарах кафедры Высшей геометрия и топологии и кафедры Дифференциальной геометрии и прилояснїгіі.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [34 - 60j , приведенных в конце автореферата. Среди них работ, написанных в соавторстве нот.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, которые делятся в ооаюй сложности на 22 параграфа, а также из списка цитированной литературы. Общий объем диссертации 242 стр. Список литературы содеряшт 105 наззаниіі.