Введение к работе
Актуальность темы. Исследования представляющих свойств систем сжатий и сдвигов функций восходят к работам А. Хаара. В этих работах, в связи с проблематикой теории ортогональных рядов, была построена система функций, занявшая впоследствии видное место в теории представления функций рядами и сравнимая по оказанному воздействию на развитие теории функций с тригонометрической системой. Система Хаара и такие ее обобщения, как система Фабера-Шаудера, системы функций типа Фабера-Шаудера, семейства функций-всплесков и т. п. получили широкое применение в теории функций, а также в прикладных областях математики, особенно в задачах цифровой обработки информации. Упомянутые системы функций были впервые введены и изучены в работах следующих авторов: А. Нааг (1910), G. Faber(1910), J. Schauder (1927), К. М. Шайдуков (1966), 3. А. Чантурия (1972), J. О. Stromberg (1982), Y. Меуег(1985), G. Battle (1987), P. G. Lemarie (1988), I. Daubechies (1988) и др. В дальнейшем представляющие свойства систем сжатий и сдвигов того или иного вида рассматривались также в работах С. de Boor, С. К. Chui, R. Q. Jia, С. A. Micchelli, S. Mallat, R. DeVore, И. Я. Новикова, Т. Н. Сабуровой, В. И. Филиппова и многих других авторов.
В диссертационной работе вопрос о полноте и базисности систем сжатий и сдвигов функций увязывается с исследованием вводимой в работе структуры мультисдвига в гильбертовом пространстве. Это является самым принципиальным моментом, отличающим данную работу от проблематики систем типа Фабера-Шаудера и теории всплесков. Введенная и изученная в первой главе структура мультисдвига является одним из возможных обобщений хорошо известного в функциональном анализе и теории функций оператора (одностороннего) сдвига. Последний был весьма полно и с различных точек зрения исследован в работах A. Beurling, P. R. Halmos, Н. Helson, P. D. Lax, В. Sz.-Nagy, М. С. Лившица, Н. К. Никольского и др. Во второй главе, с использованием результатов первой главы, получены условия полноты и базисности систем сжатий и сдвигов функций. В третьей главе рассматриваются вопросы представления функций посредством сжатий и сдвигов. Цель работы.
-
Изучить введенную структуру мультисдвига в гильбертовом пространстве, теснейшим образом связанную с системами сжатий и сдвигов функций, в частности, получить теорему факторизации операторов, перестановочных с мультисдвигом.
-
Установить признаки и, по-возможности, критерии полноты и базисности систем сжатий и сдвигов функций.
-
Получить теорему представления функций посредством сжатий и сдвигов.
Общая методика выполнения исследований. В работе использованы методы теории функций действительного переменного и функционального анализа.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми, они приведены с полными доказательствами.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер, разработаны новые положения, развивающие классические результаты. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в вопросах теории функций и функционального анализа (теории операторов, базисов в конкретных функциональных пространствах , теории представления функций).
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Саратовских зимних школах по теории функций (1998, 2000), Воронежских зимних школах (1997, 1999), международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 1998), международной конференции "Теория приближений функций и операторов", посвященной 80-летию со дня рождения С. Б. Стечкина (Екатеринбург, 2000) и на семинарах в Саратовском государственном университете.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1-11].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Список литературы содержит 88 наименований. Общий объем работы 109 стр.
