Введение к работе
Актуальность темы исследования. В общей теории аналитических и субгармонических функций одно из центральных мест занимают вопросы распределения нулей голоморфных функций и их асимптотического поведения.
Особый интерес вызывает исследование распределения нулей голоморфных функций в единичном круге D комплексной плоскости С и их асимптотического поведения вблизи границ области определения. Полученные результаты представляют интерес не только как внутренние вопросы теории распределения значений голоморфных функций, но и как необходимый этап исследования таких вопросов теории функций комплексного переменного, как теории аппроксимации, интерполяции, аналитического продолжения, спектрального синтеза и т.д.
В диссертации исследуются два вопроса, связанные между собой изучением распределения нулей функций.
Первый посвящен изучению распределения нулей голоморфных
функций в единичном круге D комплексной плоскости С и представления
мероморфньгх функций в виде отношения голоморфных. В качестве основной отправной точки этого исследования можно рассматривать классический результат Р. Неванлинны (1939, 1941 гг.). Развитие тематики продолжено в работах: М.М. Джрбашяна (1945, 1970, 1973 гг.), А. Г. Нафталевича (1953, 1961 гг.), М. Цудзи (1956, 1975 гг.), Б. Коренблюма (1975 г.), Т. Гамелина (1978 г.), Ф.А. Шамояна (1983, 1985 гг.), Р. Коул-вела (1985 г.), Д. Паскуаса (1988 г.), С. Горовица (1974, 1995 гг.), Е. Бел-лера (1977, 1994 гг.), П. Кусиса (1984, 1996 гг.), Дж. Гарнета (1984 гг.), Г. Бомаша (1992 г.), Д. Бруна и К. Массанеда (1995 г.), К. Сейпа (1995, 1997 гг.), Д. Льюкинга (1996 г.), А. Боричева и Г. Хеденмальма (1997 г.). Исследования по данной тематике продолжают и в последние годы Г. Хе-ден-мальм, Б. Коренблюм и К. Жу (2000 г.), А.А. Кондратюк (2001 г.), В.Я. Эйдерман и Маттс Эссен (2002 г.), С. Сандберг (2003г.), О. Бласко, А. Кукуряка и М. Новак (2004 г.), Б.Н. Хабибуллин (2003, 2007, 2009 гг.) и Др.
Другой актуальный вопрос, исследуемый в данной работе, это изменение поведения целой функции при сдвиге ее нулей или более общий -изменение поведения субгармонической функции при трансформации ее меры Рисса. Основополагающие результаты в этой области получены в работах Б.Я. Левина (1956 г.), А.А. Гольдберга (1965 г.), И.Ф. Красичкова -Терновского (1966, 1967, 1972 гг.), B.C. Азарина (1969, 1973, 1979 гг.), А.Ф. Гришина (1969 г.), В.В. Напалкова (1995 г.), М.И. Соломеща (1995 г.), Б.Н. Хабибуллина (1984, 1985, 1989, 1993 гг.). Исследования по этой теме проводятся и в последние годы. В этом направлении работают А.Ф.
Гришин и Т.И. Малютинина (2005 г.), Т. Рансфорд (1995, 2001 гг.). Б.Н. Хабибуллин (2006-2009 гг.) и др.
В диссертации изучается изменение поведения целой функции при глобальном изменении расположения нулей, задаваемого через специальные суммы сдвигов, а также изменение поведения субгармонической функции при интегральной оценке трансформации ее меры Рисса.
Цели работы. Основной целью работы является исследование следующих вопросов:
обобщение теорем Р. Неванлинны на классах голоморфных в
единичном круге D функций /, определяемых следующим образом
Hol(Z);M):=j/:sup-№lL<+Jj (1)
[ 2e»expM(z) J
где М :D —> (—оо,+со) - функция-мажоранта, порождающая этот весовой класс, субгармоническая, возможно нерадиальная и не обязательно всюду положительная;
возможность представления мероморфных функций в виде отношения голоморфных функций без общих нулей из классов Hol(Z);M) при тех же максимально общих условиях на М;
изменение асимптотического поведения субгармонической функции при интегральных ограничениях на сдвиг ее меры Рисса;
изменение асимптотического поведения целой функции про
извольного конечного порядка при специальном сдвиге ее нулей;
аппроксимация произвольной целой функции другой целой функ
цией с простыми нулями.
Методы исследования. В диссертации наряду со стандартной техникой теории функций комплексного переменного, теории субгармонических функций и функционального анализа используются другие специальные методы исследования: подход к описанию последовательностей нулей голоморфных функций из весовых пространств, разработанный Б.Н. Хаби-буллиным на основе техники выметания мер и субгармонических функций, техника Г-сдвига меры B.C. Азарина и др.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
получены описания последовательностей нулей голоморфных функций из классов (1), определенных субгармонической нерадиальной и не обязательно всюду положительной функцией-мажорантой М;
установлены новые представления мероморфных функций в виде отношения голоморфных функций, с ограниченичением на рост вблизи границы единичного круга посредством весовых функций М;
доказана теорема об изменении роста субгармонической функции при Г-сдвиге ее меры Рисса с интегральными ограничениями;
получены результаты об изменения поведения целой функции произвольного конечного порядка при сдвиге ее нулей;
найдена оценка скорости приближения целой функции другой целой функцией с простыми нулями и достигнута неулучшаемая асимптотическая аппроксимация порядка 0(l/|z| ) вне малого исключительного множества,
Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты диссертационной работы относятся к области фундаментальных исследований по математике, носят теоретический характер. Они могут быть использованы в таких областях комплексного анализа, как теория целых и мероморфных функций, теория аппроксимации, задачи спектрального анализа и синтеза. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН, Башкирском государственном университете, Санкт-Петербургском отделении Математического института РАН, Ростовском государственном университете, Казанском государственном университете, Институте математики и механики при КГУ, Брянском государственном педагогическом университете, а также в других ведущих российских и зарубежных (Украина, США, Испания, Норвегия, Израиль, Швеция, Китай и др.) научных центрах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной памяти Н.В. Ефимова в Абрау-Дюрсо в 2006 г., научной конференции посвященной памяти Б.Я. Левина в Харькове в 2006 г. (Украина), VI региональной школе-конференции по математике, физике и химии в
Уфе в 2006 г., Уфимской Международной математической конференции посвященной памяти А.Ф. Леонтьева в Уфе в 2007 г., Всероссийской школе - конференции "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании" в Уфе в 2007 г., Всероссийской научно-практической конференции с международным участием в рамках IX Международной выставки "АгроКомплекс-2009" в Уфе в 2009 г., Международной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании", посвященной 100-летию Башкирского государственного университета в Уфе в 2009 г., научно исследовательских семинарах кафедры математики Башкирского государственного аграрного университета (руководитель Б.Н. Хабибул-лин), кафедры высшей алгебры и геометрии Башкирского государственного университета (руководитель Б.Н. Хабибуллин), Общегородском научном семинаре по теории функций и комплексному анализу в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН (руководитель: чл.-корр.РАН В.В.Напалков).
Публикации. Основная часть результатов диссертации опубликована в работах [1] — [10]. Из совместных работ в диссертацию вошли только те результаты, которые доказаны лично автором. Работы [4] и [9] входят в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 108 страницах машинописного текста; состоит из введения, пяти глав, списка литературы в алфавитном порядке, содержащего 80 наименований.
