Содержание к диссертации
Введение 3
Глава 1. Спектральное тождество и оценка, ядра. 15
1. Оператор Лапласа-Бельтрами на пространстве
L2{F,x>dii{z)) 15
2. Основные факты спектральной теория опера
тора Л аил аса-Бе дырами 18
3. Спектральное разложение автоморфного ядра и
его специализация 20
4, Оценка ядра &т(/>, а) 21
Глава 2. Вычисление правой части тождества 29
1. Суммирование правой части спектрального то
ждества по элементам у Є Г : p[z.i"fzl) > 1 для
компактной подобласти фундаментальной обла
сти 29
2. Чисто гиперболические подгруппы 30
3. Кокомпактные подгруппы с эллиптическими
элементами 31
4. Некокомпактные подгруппы 33
Глава 3. Асимптотика спектральной функции 43
1. Асимптотика спектральной функции 9{z^z\T)
для кокомпактных подгрупп 43
2. Асимптотика, спектральной функции ${z,z\T)
для некокомпактных подгрупп 48
3 Поведение собственных функций ф-jiz) при J —>
со для кокомпактных подгрупп 51
Заключение 59
Литература 60
Введение к работе
Основы гармонического анализа на гиперболическом пространстве были заложены в основополагающей работе А.Сельберга [28]. Мотивом для его создания послужили задачи аналитической теории чисел и, в первую очередь, гипотеза Римана. Хотя гипотеза Римана с привлечением новых идей работы [28] так и не была доказана, однако эта работа послужила толчком как в развитии теории, очерченной самим Сельбергом, так и в разработке далеко идущих обобщений этой теории (Л.Д.Фаддеев [12], В.Рельке [26] Іа.М.Геяьфанд, М.И.Граев, Й.И.Пятецкий-Шапиро [5], Р.П.Ленглендс [21], Хариш-Чандра [17]).
Аналогом оператора Лапласа в Кп, в гиперболическом пространстве Н"' служит оператор Лапласа-Бельтрами. Аналогом периодических функций в Ка служат Г-автоморфные функции в гиперболическом пространстве Я", где Г разрывная группа сохраняющих ориентацию изометрий гиперболического пространства.
Далее, ввиду обширности темы, мы ограничим себя изложением результатов для двумерного гиперболического пространства И2. В пространстве Н2 группа изометрий (движений), сохраняющих ориентацию, представляет собой группу дробно-линейных преобразований с коэффициентами из группы SLo{R)-
Л.Д.Фаддеев [12] и В.Рельке [26] независимо друг от друга и существенно разными методами доказали теорему о разложении гильбертова пространства Г-автоморфных функций в прямую сумму подпространств, натянутых на собственные функции дискретного и непрерывного спектра оператора Лапласа-Бельтрами для дискретных подгрупп Г группы SLo(R), объем фундаментальной области которых конечен.
Асимптотика функции распределения собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами для групп с фундаментальной областью конечного объема изучалась рядом авторов. Асимптотика для коком-пактных групп (группы с компактной фундаментальной областью) была получена в работе Д.Хейхала [18]. Для групп с некомпактной
фундаментальной областью (некокомпакные группы) асимптотика получена для модулярной группы SL^iZ) в работе Н.В.Кузнецова [10], для конгруэнц-подгрупп модулярной группы асимптотика опубликована в монографии А.Б.Венкова [4]. Получение асимптотики для произвольной некокомпактной группы наталкивается на серьезные трудности, связанные с наличием в этом случае непрерывного спектра у оператора Лапласа-Бе ль трами. Все полученные асимптотики вейлевского типа, однако в работе Р.С.Филипса и П.Сарнака [24] показано, что деформации арифметических групп при выполнении определенных условий приводят к исчезновению параболических форм. Таким образом, вопрос об асимптотике функции распределения оказался сложнее, чем думали ранее.
Исследование асимптотического поведения спектральной функции в(х,х;Т) самосопряженных эллиптических операторов началось с работы Т.Карлемана, который выделил главный член для уравнений второго порядка (см. Труды 8-го Математического Конгресса, Стокгольм). Результат Т.Карлемана для общего случая был получен Л.Гардингом. В работе Б.М.Левитана [11] для оператора. Лапласа была получена оценка остаточного члена R(x,х\Т) — 0{vT). Л.Хсрмандер[19] обобщил результат работы[11] на случай произвольных самосопряженных положительно определенных эллиптических операторов и псевдо-дифференциальных операторов, заданных на компактном многообразии с тем же остаточным членом.
Практически не исследовано асимптотическое поведение спектральной функции В{х,х'\Т). Имеется одна публикация В.М.Бабича. и Б.М.Левитана [1] в которой получена асимптотика спектральной функции оператора Лапласа-Белътрами E{z,z'\T) для задачи Дирихле на компактной римановой поверхности с бесконечно гладкой границей, на которой выполняется условие положительности геодезической кривизны.
Цельно настоящей работы является исследование асимптотического поведения спектральной функции оператора Лапласа-Бельтра-ми на замкнутой римановой поверхности с конечным числом точек ветвления и дырок. Хорошо известно, что такие поверхности уни-формизуются дискретными подгруппами SL2{R), фундаментальные области которых имеют конечный объем. В приложениях к теории чисел часто возникают автоморфные формы с характером, поэтому мы расширили класс рассматриваемых пространств введением ха-
рактера,: тем более, чтхьэто.. не,.-,вызывает, дополнительных трудностей.
Первая глава (1-4) является основной, хотя формально в ней не получено ни одного результата, представляющего самостоятельный интерес. Дело в том, что в параграфе 4 получено асимптотическое представление преобразования Харигп-Чандры весовой функции в спектральном разложении автоморфного ядра. Это представление во второй главе используется при суммировании по группе в правой части спектрального тождества.
В первом параграфе вводится модель Пуанкаре гиперболического пространства Н2, излагаются основные свойства фундаментальной области F фуксовых групп первого рода, определяется пространство 1-2.(-^, AS ^m(z)) - гильбертово пространство Г-автоморфиых форм с квадратичным характером х-> квадратично интегрируемых на фундаментальной области F по инвариантной мере (j,(z) = dxdy/y2, то есть
/Ы = Х(7)/М, [ \fb)\2dv(z)
где 7 Г и Г- фуксова группа 1-го рода.
Далее в модели Пуанкаре на подпространстве бесконечно гладких Г-автоморфных форм задается инвариантный оператор Лапласа-Бельтрами L:
\дх2 ду2 J
замыкание которого задает нам оператор на всем -1^(^, X, dfj,(z)).
Второй параграф посвящен изложению основных фактов спектральной теории оператора Лапласа-Белътрамн. В общем случае фуксовой группы 1-го рода спектр состоит из дискретной и непрерывной части. Дискретный спектр {\3}jej неотрицательный, конечной кратности и не имеет точек сгущения кроме, быть может, бесконечности. Непрерывный спектр заполняет полуось [1/4, оо). Функции непрерывного спектра представляют собой аналитическое продолжение рядов Эйзенштейна Ei(z, s) на прямую Res — 1/2. Ряд Эйзенштейна Ei(z,s) при Res > 1 задается абсолютно сходящимся и регулярным по переменной s рядом
Ei{z,s)= Y, ^7)^(^72),
7ЄГДГ
где Г,; — {7f, к Є Z) - стационарная параболическая подгруппа, сингулярной (xili) — 1) параболической вершины кц многоугольника F. Элемент а.,; Є SLo(R) такой, что сг?~17іО'і = 7оо; Joe : z ~^> z -\- 1. Из этих условий элемент и і определяется однозначно. Кратность непрерывного спектра равна числу неэквивалентных сингулярных параболических вершин. Пространство LiiF^Xi&lAz]) разлагается в прямую сумму инвариантных ортогональных подпространств, порожденных собственными функциями дискретного ж непрерывного спектров.
В параграфе 3 вводится в оборот спектральное разложение авто-морфного ядра, которое будет служить основным инструментом для получения асимптотики спектральной функции. Поэтому приведем его во всей полноте. Спектральное разложение автоморфного ядра впервые получено Селъбергом, обобщение на ядра с характером получено А.Б. Веыковым и имеет вид
УЛМФз&'ЖхІЇ+Т-У; / Ei(z>W+it)Ei(z'tl/2 + it)h{t)dt =
YjHH
где {^'j(z)} есть ортонормированная система собственных функций
дискретного спектра и Xj ~ i/Aj — 1/4.
Функция h(r) четная, регулярная в полосе \1тг\ < 1/2 ~\- є.є > 0 и
такая, что \h{r)\ < С(\т| + 1)~5 с 6 > 2.
u(z.z') - инвариант пары точек,
ф,г') = ]г-г'|2/(з/у')-
Ядро к (и) есть преобразование Хариш-Чандры функции h(r), определяемое следующим образом:
і г <*QM
к{и) ~ — '
7Г Jv \Ju) — U
Q(e4e-f-2) = s(i);
і /-+ 9(1) = ^ J e-lHh(r)dr.
Берется двухпараметрическое семейство функций /їх(г, а) следующего вида:
hT(r,a)
Функции /ї,г(г, а) при Т > 0, а > 0 удовлетворяют требованиям,
наложенным на функцию /i(r). Кроме того, при а —> оо функция Ііт{г\а) сходится к ступенчатой функции, равной 1 на интервале [—Т.. Т] и 0 вне его и, следовательно, левая часть тождества при а —» ос сходится к спектральной функции.
Простые вычисления дают следующее выражение для преобразования Хариш-Чаидры к?(и, а) функции hx(r,a).
d(^exp(-ii)
кт{и,а) — '
і" ,/P(u) ^/2(cht-chp(u))
где dip(u) = и/2 + 1 и />(и(г,л')) есть гиперболическое расстояние между точками z и г'.
В параграфе 4 изучается асимптотическое поведение функции
j I sin Ті _.._ / '
> d -^ехр(-т-
л/2(^-с1ір)
при Т —і оо. Раскрывая дифференциал ж перехода в интеграле її пределам интегрирования от 0 до со, приходим к стандартному интегралу. Осциллирующий по Т член в подынтегральном выражении имеет вид ехр(гТі), поэтому применимо интегрирование по частям. Поскольку подынтегральное выражение имеет особенность і~]'2 в окрестности t — 0, то в подынтегральном выражении выделяется подходящая сингулярная часть, чтобы обеспечить интегрирование по частям. Поскольку функция kj-(p^a) зависит от двух свободных параметров р и а. принимающих значения на всей положительной полуоси, то это создает дополнительные трудности. Приводим окончательный результат.
Лемма 1.
kT(p,a) = { V шт(р,а)(Ар)У-; (2)
1Ш + ()(Т№). еслир<1
27Г р
Во второй главе диссертации (1-4) проводится суммирование по группе в правой части спектрального тождества. Суммирование проводится по модулю. Используется опенка (2) и теорема Лакса-Филипса о числе точек решетки в гиперболическом пространстве.
В параграфе 1 получена оценка вклада элементов у группы Г с условием p[z. 7-г') > 1 для компактной подобласти фундаментальной области F.
Лемма 2. Пусть К С F и компактно. Тогда для Z.//J К справедливо
]Г ШЫр(^7^^)<Т^2е^/^. (3)
p(z,7*')>l
В параграфе 2 рассматриваются чисто гиперболические подгруппы. Использз'я некоторые результаты геометрии дискретных групп, показано, что для всех 7 Є Г с условием p(z. jz1) < 1, кроме, быть может, одного p(z,jz') отделена от нуля константой, зависящей лишь от Г. Это, с учетом (3), дает следующий результат:
Предложение 1. Пусть Г чисто гиперболическая группа. Тогда.
If^m^+ofaww), (4)
І-її p{zij*zf) V J
где 7* Є Г элемент, на котором достигается минимум p(z,yzr), а главный член когда z = zf понимается как предел и равен Т2/4тг.
В параграфе 3 рассматриваются группы, содержащие только гиперболические и эллиптические элементы. Показано, что для всех 7 с условием p{z^z!) < 1, кроме, быть может, 7 Є Г2;, где 1\. стационарная подгруппа эллиптической вершины Z{ и p(z, zf) достигает минимума на Z{. когда Zj пробегает все эллиптические вершины фундаментальной области F, p{z,^{*z') отделена от нуля константой, зависящей только от Г. С учетом (3) получается следующий результат:
Предложение 2. Пусть группа Г содержит только гииерболиче-
ские и эллиптические элементы. Тогда
=f е ш)мТ'у"':,)]+ (^«^/vs), (5)
2тг 4^ Р(2,7Т 2 ) V У
где Zj,- эллиптическая вершина, на которой реализуется минимум p(z. zj). когда Zj пробегает все эллиптические вершины области F.
В параграфе 4 рассматриваются группы, содержащие параболические элементы. В этом случае фундаментальная область группы некомпактна, а асимптотика числа точек решетки в круге гиперболической плоскости работает неэффективно, так как порядок роста остаточного члена по z и z'', когда они стремятся к параболическим вершинам, не установлен. Ввиду возникшей необходимости установлен порядок роста остаточного члена по z и z'. Поскольку этот результат имеет и самостоятельный интерес, то мы его формулируем как теорему.
Теорема. Пусть Г сруксова группа первого рода. Тогда N?{z,z',t) =
ущ^^Т. п^/1/2+х')1шШ (6)
V ; 1/6<^<1/2 V 3 ! }
+ or(v/K%Mi5/V4/3),
где y(z) = max Im(aJyz), ^,- = -/1/4-А,-, {Фііг), 1/6 < х,- < 1/2}
ортонормпрованные собственные функции оператора Лапласа-Бель-трами. действующего на L2{F,dfi(z))> Vol(F) объем фундаментальной области .
Р.Филипс и 3.Рудник вычислили среднее значение нормированного остаточного члена асимптотики при z = zf. Этот предел оказался равным X^i=i 1-^1--(^Д/2)1" ~ cay{z)- Следовательно, оценка-остаточного члена асимптотики (6) по z и z' не может быть улучшена.
Используя асимптотику (6), получена следующая оценка
Лемма 3.
J2 хММр(2Л2')і0 <
p(zr,z')>\
Tl!2mwUy{z)y{z')yf2all2eal*\eQlA /у/Е
Далее показывается, что p[z^zr) может быть сколь угодно мало, только если z и z' лежат обе в одной некомпактной компоненте F-i области F, образ которой a^Fi представляет полуполосу, и при этом 7 принадлежит стационарной подгруппе параболической вершины &,;. Ввиду этого и леммы 3 получается следующий результат. Для краткости обозначим через XX2-z' Т- а) левую часть тождества
Предложение 3. Пусть группа Г некокомпактна. Тогда:
1. если z, z' Є Fq и группа Г содержит эллиптические элементы, то
-; 2тг f^f p(zrn*z) V J
где Z[- эллиптическая вершина, на которой реализуется минимум p(z. Zj), когда z1 пробегает все эллиптические вершины области F.
если z, z' Є F0 и группа Г не содержит эллиптические элементы, то
если г; Є fo її ^ Є Fi, то
^—s 2i\ p(z,-y*-z')
+ О (Т1'2 max (е^4/^; ^уМеа/ЗСа1/3
4. есш г Є -F; и г' Є Fj, г ф j, то
^^г\Туа)=0[Т^2ш^[еа1А1^у/у{г)у{г')еа^а^ъ
5. если 2, z1 Є Fi, то
гр [-/НУ7} -г ,rp , -і _i,l7
27rfc=-ws p{<7~ Zi* z' + k:
+ О (Г1'2 max (еа'Уу&, y/y(z)y(z')ea^a1^
В третьей главе (1-3) оценивается погрешность, вносимая весовой функцией. Ь,т{г.,а) в спектральную функцию и выбирается оптимальный параметр а. В заключительном параграфе для кокомпакт-ных подгрупп получена оценка сверху для собственных функций и дана количественная мера степени осцилляции собственных функций.
В первом параграфе получена оценка погрешности для случая ко-компактных подгрупп. Вначале выбирается оптимальный шаг дискретизации 6 = 1/\/а, затем оцениваются суммы
Е mz)W)\-
[^-А'|<1/л
Для получения оценки этих сумм используются асимптотические
формулы (4) и (5). Остаточный член в (4) и (5) имеет экспоненциальный рост по а, поэтому полагаем а — 1пГ и в результате получаем.
Лемма 4. Справедлива оценка
Е Ш*Шг')\<.хі>/ьї.
\>*j-X\
Используя эту оценку, получаем оценку погрешности., которая оказывается равной 0(T/vhiT).
Во втором параграфе получена оценка погрешности в случае не-кокомпактных подгрупп. Левая часть формально записывается в виде интеграла от обобщенной функции. Этот трюк сводит данный случай к предыдущему п оценка погрешности проводится по той же схеме. Оценка погрешности оказывается равной Далее, в полученном выражении спектральной функции, переходим от спектрального параметра и к спектру А по соотношению
A = и1 + 1/4. В правой части выделенные члены могут быть меньше остаточного члена. Выделенные члены заведомо будут по порядку роста не более остаточного, если выполняется неравенство \Ji{yTp)\jр < l/vlnT. Используя асимптотику функции Бесселя при большом аргументе, решаем неравенство и получаем р > (In' TjTY'b. С учетом выше сказаного, получается окончательный результат.
Чтобы формулировки результатов были самодостаточными, соберем в одном месте разбросанные по тексту обозначения.
Zi..---.zi - эллиптические вершины фундаментального многоугольника F.
Г21, , Тщ - соответствующие им стационарные подгруппы.
&!, ,кт - параболические вершины фундаментального многоугольника F.
7ь '' ' )7 образующие стационарных подгрупп параболических вершин.
о"і, . от - элементы группы SL-iiR)., которые отображают посредством сопряжения стационарные подгруппы параболических вершин в подгруппу сдвигов модулярной группы. Это требование определяет элементы о-]., , ат однозначно.
At < А2 < ^ Aj < .. . - точки дискретного спектра с учетом кратности.
{ifij(z)}jj - система соответствующих ортонормированных собственных функций дискретного спектра.
E-i(z^s) - ряд Эйзенштейна, ассоциированный с параболической
ВерШИНОН &,;.
x{l) ~ характер на группе Г.
p[z, z') - гиперболическое расстояние между точками z и z'. Далее предполагается, что z Є F, что не умаляет общности. y(z) = шах Im(a~ z).
у* - элемент группы Г на котором достигается минимум p(z,jzr). 0{z.z'.T) - спектральная функция. Для кокомпактных групп
Для некокомпактных групп
0(*У,Т) =
Ft
Xj
здесь знак ' означает что суммирование ведется только по сингулярным параболическим вершинам, то есть вершинам, для которых
хЫ = і-
Теорема 1. Пусть Г чисто гиперболическая группа. Тогда 1. ec.mp(z,y*z') < (In2Т/Т)1/6, то
^г)^^№^»+^./т
2тг w J p{z,j*z') \ V In Г
2. в противном случае
^*'л = (Щ
Теорема 2. Яз'-сть группа Г кокомпактна и содержит эллиптические элементы. Тогда 1. eanip{z,fz') < (In2Т/Т)1/6, то a) earsp(zi}z) < (In2 Т/Г)1/6 и p(zt,j*z') < (1л2 Т/Т)1/6 ,то
0{z,z ,Т = — > х(7Т+ 7~~~^7 + УГ^
Ь) в яротявгюм сяутае
0{Z;Z .Г = Х(Г — +0 W —
Z7T /з(2,7*г;) у V тГу
2. в яротявяом: случае
^,^^) = 01 ' т
Теорема 3. Пусть группа Г пекокомпактна. Тогда
если 'p{z.:fz') < (In2Т/Г)1/6, то
a) ecjinp{zuz) < (In2 Т/Т)1'6 np{z.nY"z') < (In2Т/Т)1/6 то,
Ь) в противном случае
e(ZizVr)=vT :z^J1(V5;p(<7-1*,a-V^ + *))
27Г ^ р((Т 1, О""1^'51'^'
\k\
0, .iTy{z)y(z',
j 2 ТЧ 1
2. в яротявяом сяутае
гдеМ(г,г',Т) = (^Д)« \fy{z)y(z') па таково, чтоу(г) = Im(a 1.
Ф,/,т) = о'^т^>у(г'
In Г
В третьем параграфе для кокомпактных подгрупп получена оценка в норме Ь^ ортонормированной в L^ системы {yjj{z)}'j±l собственных функций оператора Лапласа-Бсльтрами.
Определим меру на N следующим образом:
#{k:keS}k
lj\b) = lim
ft—Юо ТІ
Теорема 4. Для почти всех tJ)j(z) справедлива оценка
ф,{г) \\оо< yin(Aj).
Возьмем ортонормированную систему {^(г)}^, вегцественно-значной и пусть Rj{z) есть радиус максимального круга в гиперболической метрике с центром в точке z., в котором функция li)j{z) знакопостоянна. Справедлива
Теорема 5. Существуетподпоследователвность {ф-ік{г))<^'=і тякяя, что
В заключение перечислим основные результаты диссертационной работы.
1. Получена асимптотическая формула спектральной функции
оператора. Лапласа-Бе ль трами для фуксовых групп первого рода.
Получена оценка сверху в норме L(X, ортонормированных собственных функций оператора. Лапласа-Бельтрами для групп с компактной фундаментальной областью.
Получена оценка, сверху диаметра, области знакопостоянетва подпоследовательности ортонормированных собственных функции оператора Лапласа-Бельтрами для групп с компактной фундаментальной областью.
По теме диссертации опубликовано 4 работы [5]-[8].
Основные результаты диссертационной работы докладывались на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.Б. Золотова (Владивосток, 2004г); на научных семинарах Хабаровского отделения ЇЇПМ ДВО РАН (рук. чл.кор. РАН П.В. Кузнецов); на научном семинаре Хабаровского технического университета (рук. проф. А.Г. Зарубин).
