Поведение аргумента дзета - функции Римана на критической прямой Королёв Максим Александрович

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Королёв Максим Александрович. Поведение аргумента дзета - функции Римана на критической прямой : Дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.06 : Москва, 2003 88 c. РГБ ОД, 61:04-1/453

Содержание к диссертации

Введение

Глава І. Плотностная теорема для нулей дзета-функции Римана 16

1 Вспомогательные утверждения 16

2 Основные леммы 25

3 Доказательство шютностной теоремы .40

Глава II. Поведение аргумента (s) на критической прямой 42

1 Вспомогательные утверждения 42

2 Основные леммы 51

3 Моменты функций S(t)и Si(t + 'h) - Si(t) 61

4 Число перемен знака S(t) 76

5 Распределение значений функций \S(t)\ и \Si(t + h) — S\{t)\ 80

Список литературы 84

Основные леммы
Доказательство шютностной теоремы
Основные леммы
Распределение значений функций \S(t)\ и \Si(t + h) — S\{t)\

Введение к работе

В теории дзета - функции Римана (s) большое внимание уделяется изучению её аргумента на критической прямой Res — 1/2, который обозначается символом S(t) (см. Ki, К₂, Кор_х - Кор₄, BL, Fi - F₅, Gh_b Gh₂, Go, Gr, Iv, Liti, Lit₂, M_x - M₃, Mos_b Mos₂, Mu, O, RSi - RS₄, Si -

S4, Ті - T4, Tsi - TS3 ). По определению, при t, отличном от ординаты нуля С (s),

Под arg (1/2 + it) понимается значение, которое получается непрерывным продолжением arg (s) вдоль ломаной линии с вершинами в точках s = 2 (arg (2) = 0), s = 2 + it и s = 1/2 + it. В случае, когда t совпадает с мнимой частью одного из нулей C(s), S(t) определяется как предел значений S(t + h) при h, стремящихся к нулю справа:

S(t) = lim S(t + h) = S(t + 0).

Определённая таким образом функция S(t) при t > 0 имеет разрывы, которые совпадают со значениями ординат мнимых нулей C(s). При переходе через точку, которая является ординатой для т различных пулей C(s) с кратностями к%,..., к_т, S(t) совершает скачок, равный сумме этих кратностей, т.е. ki + ... + к_т.

Формулой Римана - Мангольдта S(t) связана с функцией N(t), выражающей число нулей C(s) в области 0 < Res < 1, 0 < Ims < . Согласно этой формуле

+оо

S(t) = - n 1 + т-г + 7 arctg- / ^-S ,

^W 4 V 4i²7 4 ^h2t 2 J (_u +1/4)² + 2/4'

a/)(u) = l/2- {u}.

Поскольку 5(t) - непрерывно дифференцируемая функция и при t —> +00 5 (t) = 0{t~²), то из формулы Римана - Мангольдта следует, что на всяком промежутке вещественной оси, не содержащем ординат нулей

C(s), N(t) постоянна, a S(t) является монотонно убывающей функцией с производной, равной

_±1_П± ₊ 0(Г²). :

2тг. 2тг ^V . :

Одной из первых в этой области возникла задача о нахождении правильных по порядку оценок величин

_ninf_5(t) и sup S(t) (1)

при T —> +оо. До настоящего времени эта проблема не получила окончательного решения. Оценка

S(t) = 0(lnt), (2)

вытекающая из простейших теорем о нулях C(s) (ВК, с. 44-46), является наилучшей. Гипотеза Лпнделёфа позволяет заменить символ О в (2) на о, а из гипотезы Рішана следует неравенство

^|5(i)l<1'²inTn7 (*^*^>0)

(см. RSi).

В ходе больших вычислений, произведённых А. Одлыжко, не было обнаружено ни одного значения t, для которого \S(t)\ > 3 (см. О, с. 127). Между тем известно, что S(t) может принимать сколь угодно большие но абсолютной величине значения разных знаков. Так, в 1935 г. Е.К. Титчмаршем Тг было установлено неравенство

из которого следует существование последовательности чисел {tj}, j = 1,2,..., tj —> -foo, таких, что

т.е.

\S(t_j)\>A_iy/lnlnt_j, Лі>0, j = 1,2,..., S{t) = П (Vlnlat ) .

В 1946 г. эту омега-теорему значительно уточнил А. Сельберг S₂, который показал, что

В настоящее время наилучшим в этом направлении является результат К. Тсанга Ts_x:

_ч(1п1пі)^1/3_у

Приведённые выше омега - теоремы являются безусловными. X. Монтгомери Ы.2 показал, что из гипотезы Римана следует более сильное утверждение, близкое к предполагаемому окончательному:

(lnlni)^1/2

Медленный рост функций lni, In In і в области, где в настоящее время могут быть вычислены значения 5(0 (\t\ ^ Ю²⁴), не даёт возможности сделать верное предположение о правильном порядке величин (1). Согласно гипотезе X. Монтгомери (см. Мг),

8(,)-о' ^{ш)1/2

_ч(1п1пі)^1/2В то же время А. Одлыжко предположил, что

5(*) = П((1п0^1/а),

но вместе с этим

5(0 = О((1п0^1/2+о(1))

(см. О, с. 21).

Другое направление в исследованиях 5(0 посвящено изучению перемен знака этой функции. Соотношения (2), (3) наряду с оценкой

[ S(t)dt = 0(lnT) (4)

(см. Т₃, с. 220-221) указывают на то, что 5(0 является сильно осциллирующей функцией. Естественно возник вопрос об изучении количества

точек, в которых S(t) меняет знак и которые попадают в заданный промежуток вещественной оси.

Пусть М(Т) - число таких точек t с условием 0 < t ^ Г. Вычисления значений М (Т) при малых Т дают:

М (50) = 21, Л/(100) = 60, М(150) = 106,

М(200) = 160, М(250) = 217, М (295) = 270.

В 1935 г. Е.К. Титчмарш Тг доказал, что S(t) меняет знак бесконечно много раз, т.е.

М(Г) -» +оо при Т -» +со.

Основная идея доказательства этого факта состояла в следующем. Пусть 7п> п = 1,2,... - положительные ординаты нулей (s), занумерованные в порядке возрастания. Так как для больших п при j_n < t < 7п+1 производные 5 (t) и S "(t) мало отличаются от постоянных величин

1 , 7п 1

___1_П__ _и _

27Г 27Г 27Г7п'

то S(i) хорошо приближается линейной функцией

_вд.~~^.-о)-аы~~₊о) _Тп)+5(7п ₊ ₀₎,

7n+i - 7п

принимающей на концах интервала значення 5(7п + 0) и 5(7n+i —0). Точность такого приближения оценивается с помощью формулы Тейлора:

\S(t) - l(t)\ < (7„₊i - 7n)² sup |5 "(01 = О (^{ln+l " ⁷ⁿ⁾²

Из приведённых соотношений следует равенство

7n+l 7n+l

f S{t) dt = t l(t) dt + O ((~~Чп+і-'УпУ~~

7" In

= \Ыг- In) (5(₇„₊₁ -0)- 5(₇„ + 0)) + О ( ~~^^ ^~~ )

Если теперь предположить, что при ^ 7п₀-1 5(4) принимает талько положительные значения, то мы придём к неравенствам 5(7« — 0) > 0,

5(771+1 — 0) > 0, которые справедливы при всех п > п₀. Так как в точке разрыва 7п функция S(t) совершает скачок на величину, не меньшую 1, то

S(7„ + 0) > S(7„ - 0) + 1 > 1. Поэтому при всех п ^ щ

7п+1

J S(t) dt >\ (7„₊i - 7n)(i + 0) + 0 (⁽⁷"⁺¹₇~⁷"⁾³) > \ Ы₊1 - in).

Беря N > щ и складывая полученные неравенства с п = По, щ+1,..., N, мы придём к соотношению

J 5(0 dt> І (7лг - 7no)-

Предположение об отрицательности () при больших і приводит к неравенству

J S(t)dt^-^(-y_N-_lno).

При больших ./V это и предыдущее неравенство противоречат оценке (4). Следовательно, S(t) меняет знак бесконечно много раз.

В 1946 г. А. Сельберг создал новый метод (см. S₂), позволивший продвинуться во многих задачах, связанных с S(t), и, в частности, получить более точное утверждение о величине М(Т). В основе метода лежит плотностная теорема:

Пусть N(a, Т) - число нулей P+ij дзета - функции Римана с (3 > а и О < 7 ^ Т. Если Т^а ^ Н ^ Т, где а - фиксированное число, 1/2 < а ^ 1, то равномерно по а, 1/2 ^ о ^ 1, справедлива оценка

N(a,T + H)-N(a,T) = 0 (щіпТ) (Jj^j ' * ' J . (5)

Наибольший интерес эта оценка представляет при <т, близких к 1/2. Одним из её следствий является тот факт, что "почти все" комплексные

нули (s) лежат в очень узкой окрестности прямой Res = 1/2. Беря в этой теореме

_тт пп 1 4В1п1пТ „ ,

находим, что

N(a, 2Г) - N(a, Т) <С (N(2T) - N(T)) (InГ)" ^в.

Это неравенство означает, что основная масса нулей C(s) с Г < 7 ^ 2Г лежит в узкой полосе

Res —

4BlnlnT

In Г

ширина которой стремится к нулю с ростом Г, т.е. справедливо утверждение, близкое к тому, что утверждает гипотеза Рішана. По этой причине и другие следствия оценки (5), близки к следствиям из гипотезы Рішана.

В ряде задач, связанных с S(t), важную роль играют интегралы

т+н

Т+Н h

1(a) = f \S(t)\^adt и J(a)= І I S(t + u)

при различных полжительных а и h. Изучение этих интегралов было впервые предпринято Е.К. Титчмаршем Тз, однако первые асимптотические формулы для них были получены в 1946 г. А. Сельбергом в S₂(а — 2т, т ^ 1 - фиксированное целое число) и в 1982 г. А. Гошем в Ghi (а > 0 - любое , в т.ч. нецелое, число, растущее не быстрее некоторой функции от Т):

к\

(а)

^1{а) ⁼ (# ^н (^lnlnT)^a/ (¹ + *1 ^ЛН)

J(a) = >c(a)(J^y Н (\п±У (1 + в₂Ща)), \9j\ ^ 1» 3''= 1,2. В этих формулах

х(а) = -^ Г (^±1 Y Т^а^Н^Т, ;-1/2<а<1,

a R(a) - остаточный член, не превосходящий

Л(ЫпТ)~ ^1/2, А₂ = А₂(а) > 0 - постоянная,

если a = 2т, т - целое, 1 ^ т <. (In In Г)¹/⁶, и

c-^lnlnlnT)-^²-^, c = min(l,a),

если а > О удовлетворяет условию а = о((1п1п1пГ)^0,5_<5), где <5 > 0 -сколь угодно малое фиксированное число. Доказательства этих формул существенно используют плотностную теорему А. Сельберга.

Верхняя и нижняя оценки интегралов 1(a) и J(a) с а = 1 позволили А. Сельбергу получить нижнюю оценку количества перемен знака S(t) на промежутке (Т, Т + Н] (см. S2):

Пусть Т^а ^ Я ^ Т, где 1/2 < а ^ 1, а - фиксированное число. Тогда

М(Т + Н) - М(Т) ^ Я(1пТ)^1/3е- ^>/ЕШ7 ^

где А₃ = А₃(а) > 0.

Асимптотические формулы А. Гоша привели к значительному улучшению оценки (6) (см. Ghi):

Пусть а, 5 - произвольные фиксированные числа, 1/2 < а < 1, 0 < 8 < 1/2, Т^а^Н ^ Т. Тогда

: М(Т ₊ _Н) -М₍Т) > Я₍₁пГ)е*р (- ~~(,^,^~~).

где Л₄ = А₄(а,5) > 0.

В 1996 г. появилась работа А.А. Карацубы Кі, в которой доказана плотиостная теорема для случая короткого промежутка (Т,Т+Н] с Н < ч/Г:

Если Т^а ^ Н ^ Т, где а - фиксированное число, 27/82 < а ^ 1, то равномерно по а, 1/2 ^ а ^ 1, справедлива оценка

N(a,T + H) - N(a,T) = 0 (я(1пТ) (_ЯГ-27/82)-о.оооі(2,-і)^ _

Следствием новой плотностной теоремы явилось неравенство (G) для Т^а ^ Я ^ Г, 27/82 < а ^ 1.

Доказательства нижних оценок М(Т) используют приём "улавливания" точек перемены знака вещественной функции, восходящий к Э. Ландау (см. Lan, с. 78-85). Этот приём основан на следующем наблюдении: если для некоторых чисел г и h, h > О, выполняется неравенство

т+h т+h

[\S(t)\dt> I S(t)dt

то интервал (т, т + h) содержит по меньшей мере одну точку, в которой S(t) меняет знак.

Из оценки А. Гоша следует, что число перемен знака S(t) на (0,Т] оценивается снизу величиной

Г(шг)ехр (-~~_(ln^v^~~)- *-*(')>о.'

Так как любой промежуток (7п»7п+і] содержит не более двух точек перемены знака S(t), то

М(Т) ^2iV(T)

Более точная оценка, при выводе которой используется гипотеза Рішана, принадлежит А. Сельбергу:

A/(T)«-^L(lnlnlnT)²

(см. S₄). А. Сельбергу принадлежит и гипотеза, высказанная им для широкого класса функций, в который попадает и S(t). Согласно этой гипотезе

Mm ~ ²^^N{T) ~ ^Т1пГ

VlnlnT ч/тгіпіпТ

Ещё одно направление исследований S(t) связано с изучением области значений \S(t)\ при изменении t в промежутке (Т,Т + Н]. Первый результат такого рода был получен в 1983 г. А. Гошем Gh₂:

Пусть Т^а : Я ^ Т, 1/2 < а ^ 1, а - фиксированное число, и пусть для любого а > 0 Е(а) обозначает мноокество тех t Є (Т,Т + Н], для

которых

\S(t)\ < Win In Т.

Тогда

mes(E(a)) = H(P(a)+0(6)),

о а постоянная в знаке О зависит от а и а.

PI a) = 4= fe~^v2dv, 5 = (lnlnlnlnT)-^1/2, V⁷¹" J

В настоящей работе продолжены исследования, связанные с количеством перемен знака и с распределением значений функции S(t). Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Основные результаты работы содержатся в формулировках теорем 1-5. Изложение этих результатов см. также в работах автора Kopj - Кор₄.

Первая глава посвящена доказательству теоремы 1 - аналогу плот-
постных теорем А. Сельберга и А.А. Карацубы для очень коротких про
межутков (Т,Т + Н], которая справедлива для "почти всех" значений
Т: ,

Теорема 1. Пусть є - произвольное фиксированное число, 0 < є < 0,01, X ^ Х₀(є) > 0, Но = X^е, и пусть \ - множество значений Т из промежутка (Х,2Х), для которых при любом а, 1/2 ^ а ^ 1 выполняется оценка

N(a, Т + Но) - N{a, Т - Я₀) < СН(\п Т) Х~ .^l(2<7-i),

где С > 0 - абсолютная постоянная. Тогда

mes(S_l) = X-0(X¹-^(,'^u).

Следствиями теоремы 1 и плотностной теоремы А.А. Карацубы являются доказываемые в 3 главы II теоремы 2 и 3:

Теорема 2. Существует постоянная А, зависящая только от є, А ^ 2¹⁰, такая, что равенства

^1{2т) ⁼ J} HQn]nT)^m(l + 0i ^(lnlnX)-¹/²),

⁽

і \ 2m. / і ч m

Y) ^Я(^ІПГ) (1 +^2^(^111^)-^²).

в которых т = 1,2,... , л/ЬЛпХ , \dj\ ^ 1, j = 1,2,

300є~ ^lnX)" * InlnX < /і ^ (ІпХ)-⁰'⁵, справедливы для всех Т Є \ с Я = X^е и для всех Т Є (Х,2Х) с Н =

^27/82+є

ТЕОРЕМА 3. Пусть а удовлетворяет неравенствам

є In In In X ^ ^ A In In In In X'

где A - постоянная теоремы 2, и пусть

_ J І' ^если 0 ^ а < 1,

Гог^а равенства

1(a) = ^ Я(1п1пТ)^а/² (І + ^^^СЛ-МпІпІпХ)"⁷),

J(a) = x(a)f^j ЯПп^ (l + ^^A-MnlnlnX)-^,

l^jl ^ 1> І ⁼ 1)2, справедливы для всех Т Є \ с Н = X^е и для всех Те(Х,2Х) сЯ = Х²⁷/⁸²⁺.

Использование асимптотических формул теоремы 3 при a = 1 наряду с упомянутой выше идеей Э. Ландау приводит к следующему утверждению, доказательство которого проводится в 4 главы II:

Теорема 4. Существует такая положительная постоянная В, зависящая только от є, что неравенство

М(Т + Я) - М(Т) > Я(1пТ) ехр ' ^ВЫпТ

VlnlnlnT

выполняется для всех Т 6 \ с II = X^е и для всех Т Є (X, 2Х) с Я =

^27/82+є

В последнем параграфе главы II изучаются множества Ej(a), j — 1,2, тех значений t Є (Т,Т + Н], для которых выполняются неравенства

2irS(t)

VlnlnT

^ а и

2тг Ы S( + u)du)

*^/Ч

а.

Главным результатом 5 является следующая Теорема 5. Равенства

те8(Я») = Я(Р(а) + 0(<У)), j = 1,2,

Р(а) = ~ [с-^и2/* du, S = (lnlnlnlnX)-^1/2,

V 7Г У

выполняются для всех Т Є \ с Н — Х^є и для всех Т Є (X, 2Х) с

Ц — ^27/82+г '

При доказательстве теорем 1-5 существенно используются идеи и методы работ S2, Ghi, Gh₂ и Ki.

Наряду с основными теоремами в работе содержатся формулировки и доказательства ряда вспомогательных утверждений (леммы 1 - 20). Эти леммы разбиты на две группы - "вспомогательные утверждения" (1 главы I и главы II) и "основные леммы" (2 главы I и главы II). К вспомогательным отнесены леммы, носящие технический характер и использующиеся при доказательстве основных лемм. В число основных включены леммы, которые непосредственно применяются в доказательствах теорем 1-5.

Автор выражает глубокую признательность своему учителю и научному руководителю профессору Анатолию Алексеевичу Карацубе за постоянное внимание и помощь в работе, а также участникам семинара "Аналитическая теория чисел и приложения", чьи полезные замечания способствовали ясному изложению результатов работы.

Основные леммы

Пусть у пробегает все рациональные дроби, числитель и знаменатель которых положительны и не превосходят х, и nxjcmb Pi = P/yJl, Pi = Ps/Ї, T1 = T + t + t1 + ... + tk,\t\X 2#o, IM #i, r = 1,2,..., k. Тогда существует множество E такое, что тъ?,(Е) «С ХЩ и для всех Т из промежутка (X, 2Х), не принадлеоюащих Е, при любом о\ с условием О о\ 1 справедлива оценка: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зафиксируем произвольное значение 7 = AiAj1 и преобразуем сумму W\ = W (а і, Ті; у) так, чтобы границы изменения типа ней не зависели от Г. Возьмём А = [у/Хх/п] + 2 и положим Так как Pi, Рг А то для г = 1,2 Используя введённые функции Sr(u), г = 1,2, запишем Т і в виде: Подставляя п это равенство явные выражения для 8i(m) и (5г(«) и меняя местами порядки суммирования, найдём: Границы изменения т и п в каждой из сумм И аъ г) уже не зависят от Т. Зафиксируем произвольные значения ах и а2 и преобразуем сумму W2 — 1 2( 1,02). Промежуток изменения величины т разобьём на 0(L) промежутков вида Л/ т Mi, где Л/і 2Л/. Так как Ф(т, п;7) отлична от пуля лишь при гп7 п т7(1 + А), то при изменении m в границах Л/ m Л/і все значения п, для которых Ф(т,п;7) ф 0, будут содержаться в промежутке Л/7 п Л/і7(1 + А) = Л/г7- Перепишем теперь неравенство, которому удовлетворяют т и п, в виде Если Л/ (2АіД)_1, то для каждого т из промежутка М т Л/І будут выполнены неравенства и сумма по п оказывается пустой. Учитывая это замечание, представим W2 в виде суммы 0(L) слагаемых: а штрих означает суммирование по M (2АіД)-1. Зафиксируем любое значение М и применим к сумме W$(M) формулу частного суммирования в следующей форме (см. Кз): если д\{и) и g2{v) - непрерывно дифференцируемые функции, G(m,n) - произвольная комплекснознач-ная функция, то Воспользовавшись этой оценкой, находим: і Обозначим символом E{M) множество тех Т из промежутка (Х;2Х), для которых выполнено неравенство и оценим меру этого множества сверху. Для этого проинтегрируем по Е(М) обе части последнего неравенства и воспользуемся полученной ранее оценкой величины fx К{М; Т) clT:

Производя сокращения, получим: Построим такое множество Е(М) для каждого из O(L) значений М и обозначим буквой Е их объединение. Тогда mes(S) ; ХЩ 0,г и на дополнении к Е для каждого М справедливо неравенство: Так как 1 (2xA)_1 М VXx, то для Т Е ЛЕММА 10. Пусть 7 пробегает все рациональные дроби, числитель и знаменатель которых положительны и не превосходят х, и пусть Qx = Py/ f, Q2 = 5i(l — А)- Тогда существует множество G такое, что mes(G) С ХН$ м для всех Т из промежутка (X, 2Х), не принадлежащих G, при любом а с условием О,5 а 1 справедлива оценка: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зафиксируем произвольное значение 7 = AiA 1 и преобразуем сумму Vi = V(a, Ті; 7) так, чтобы границы изменения m и п не зависели от Т. Положим Q = [Qi], g = [Qx] — [Q2] — 1, В = [Ay/X /ir] + 2. Используя эти обозначения, запишем сумму Vi в виде: Тогда Переходя к оценкам и пользуясь тем, что Q — и ж Q ж \/ 7 ПРИ —0,5 : и В, мы приходим к соотношению Возвращаясь к суммам У {а{) и Рз(а2) и полагая в последнем неравенстве о\ = т, а = аі и о\ = 1 — а, а = аг, получаем: Просуммируем теперь полученные оценки по а.\, а.2 и 7- Пользуясь тем, что Q-1 \fxX 5, заключаем, что: Чтобы оценить меру множества G, проинтегрируем по G последнее нера венство и воспользуемся полученной выше оценкой: , 2Х HoDy/x x Hofimes(G) I K{T)dT j K(T)dT H0DXJXX6HQ\ G X Сократив, находим: mes(G) С XHQ \ Для завершения доказательства леммы остаётся лишь заметить, что для Т . G справедливы оценки: K{T) H0D Xx6Ho 9 и , д(а,Т) Х- 5 К{Т) Н0Ох6 Щ 9 Н0БЩ 8 , где а - любое число с условием 0,5 а 1. Лемма 10 доказана. ЛЕММА 11. Пусть rja{s) - "успокаивающая" функция Селъберга, Ф(а + it) = С( 7 + it)r]a(a + it), и пусть I{a,T) = D x I f ... f (Ф( 7 + iT{)\2-\)dtdtx...dtk, -2Я0-Яі -Ні edeT1=T + t + tl + ... + tk, \t\ -2Я0, tr ЯЬ г.= 1,2,...,fc. Гог а (?ля всеж Т из промеоісутка (X; 2Х), за исключением значений, образующих множество Ее мерой mes() С XHQ0 1, при любом а, 0,5 а 1, имеет место неравенство: l{o,T) HQx-V-l\ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользовавшись определением функции Сель-берга Tia(s), представим исходный интеграл в виде суммы 2Я0 Ih Ih I = D l J2 ( 2)-%A2 J J ... j \Q{ r+iTi)\2piT4tdh...dtk-l, -2Яо-Я! -Hi где (3 = v\V2X = / 1/1) a fir = vr{yi,U2) 1, r = 1,2. Полагая в лемме 7 t = Ті и беря последовательно і = р\ 7 = /?-1) приходим к равенствам С(ст + г7\) = 53 п- ff-iTl + tfр -зя-і J] n -i+« + 0(Х- -2 ) с(ст - ІТХ) =Y.m a+iTl+ рг-2а+2т Е ra r-1 iTl+(x 2) т Рг тїСРі где Pi = Р\/Д, P-i = P/VP, а І? = е (7Г/4+г). Перемножим эти равенства почленно и воспользуемся оценкой 1 + )1 «х1/6, справедливой при сг 0,5 (см. Тз, с. 117-119). Так получим: К( 7 + ІГ0І 2piTl = Si + P2 S2 + Р1-2 ! + i9E2)) + 0(Х- 30), где т, п Р„ \ I/ / Область изменения m и п в сумме 5i разобьём на 5 частей: m/3 = п, mf3 п т/5(1 + Д), п т/3 п(1 +А), т/?(1 + Д) п и т/5 п(1 + Д). Используя обозначения леммы 9, представим Si в виде

Доказательство шютностной теоремы

Суммы Лі и Ві вычисляются с помощью леммы 5. Из определения чисел ix\ и Ц2 следует, что (цх,Ц2) = 1. Переписывая равенство га/? = пв виде m/ii = n//2, мы заключаем, что т = г /іг и n = і///і, где - целое число, удовлетворяющее условию 1 и Р/ ДцЩ. Таким образом, = (,іф2)- 4(2 7) + —L= - - + о(х- -). у7/і/Х2 1-2(7 Так как Ді получается из Лі путём замены а на 1— сг, и так как 1— т О, то „ , і р2(Т-1 5! = (//1 ) 4(2 - 2а) + —= + 0{Ха 1). sJ\X\\l2 2(7 — 1 Подставляя в эти равенства \ir = ( ъ г)-1, r = 1)2, находим: Лі + р2(1-2.)5і = фа) }2 _ + р2(1-2а)С(2 _ 2а) К + 0(Х- ). Вклад этих слагаемых в исходный интеграл равен /о=4Яо(с(2 7) -( , + р»(1- )С(2-2а)х х (— +о( Е )) Согласно пп. 1 и 2 леммы 8, для 0,5 а 1 Кроме того, из п.З той же леммы следует, что второе слагаемое в выражении для /0 отрицательно, так как (2 — 2а) 0 при 0,5 а 1 (см. Ki). Поэтому /о 4Я0(1 + ООг1-2") + 0(Х xL2)) = 4#о(1 + 0{х1 2 т)). Обозначим символом 1\ вклад в 1(а, Т) от сумм Лг, Лз, Дг, Дз Ді и Дг, а символом 12 - вклад от сумм Л4, Л5, Ді, Д5,Сі и С2. Оценим сначала Д. Поскольку при 0,5 а 1 и при изменении v\ и v2 и пределах от 1 до гс величины Р = i/i 1 и /?-1 = t f1 пробегают одно и то же множество значений, то мы приходим к неравенству h\ « D- L2(r(a,T) + Pl-2r{l - а,Т) + в(а,Т)), где 2#о Hi Hi {auT)= J2 J J - J \W(a1,T1;p)\dtdt1...dtk, vx,vi x _2Hg _Hi _lh 2Яо Hi Hx g(a,T)= J2 J J J \V{a,Tl;p)\dtdt1...dtk. vuv2 x _2Я0_Яі -Hi Согласно утверждению леммы 9, найдутся такие множества Е\ и Е2, что мера каждого из них по порядку не превосходит величины ХЩ 1 и при любом сг, 0,5 а 1, справедливы соотношения: r(a,T) H0DH 3, если Т Еи г(1 - а,Т) HoDX - Ho0 3, если Т Е2. Кроме того, по лемме 10 существует множество G такое, что mes(G) С ХЩ0 1 и на дополнении G до всего промежутка (X,2Х) при любом рассматриваемом а будет выполнено неравенство: g(a,T) :HaDHo0 8. Обозначая буквой объединение множеств Ei,E2 и G, мы заключаем, что для всех Т $. , при любом а с условием 0,5 а 1 будет верна оценка: h D-lL2{HQDHv 3 + P HoDXo- Ho 3 + ЩИЩ 8) Н0Ь2Щ 3 « я0я0- -2. Оценим теперь величину 12. Пусть числа тип отвечают какому-либо слагаемому из А , так что п mf3(\ + А). Тогда для этих тип 1а = п 1и(1 + А) 0,5Д.

Значит, при к = 2Яо,Яі выполняются неравенства /й du m/3 n n n -1 2(0,5Д)"1 . = 4Д-1 = AHxL-\ Интегрируя каждое из таких слагаемых по t,ti,... ,tk, убеждаемся, что вкла(a,T) + Pl-2r{l - а,Т) + в(а,Т)), где 2#о Hi Hi {auT)= J2 J J J \W(a1,T1;p)\dtdt1...dtk, vx,vi x _2Hg _Hi _lh 2Яо Hi Hx g(a,T)= J2 J J J \V{a,Tl;p)\dtdt1...dtk. vuv2 x _2Я0_Яі -Hi Согласно утверждению леммы 9, найдутся такие множества Е\ и Е2, что мера каждого из них по порядку не превосходит величины ХЩ 1 и при любом сг, 0,5 а 1, справедливы соотношения: r(a,T) H0DH 3, если Т Еи г(1 - а,Т) HoDX - Ho0 3, если Т Е2. Кроме того, по лемме 10 существует множество G такое, что mes(G) С ХЩ0 1 и на дополнении G до всего промежутка (X,2Х) при любом рассматриваемом а будет выполнено неравенство: g(a,T) :HaDHo0 8. Обозначая буквой объединение множеств Ei,E2 и G, мы заключаем, что для всех Т $. , при любом а с условием 0,5 а 1 будет верна оценка: h D-lL2{HQDHv 3 + P HoDXo- Ho 3 + ЩИЩ 8) Н0Ь2Щ 3 « я0я0- -2. Оценим теперь величину 12. Пусть числа тип отвечают какому-либо слагаемому из А , так что п mf3(\ + А). Тогда для этих тип 1а = п 1и(1 + А) 0,5Д. Значит, при к = 2Яо,Яі выполняются неравенства /й du m/3 n n n -1 2(0,5Д)"1 . = 4Д-1 = AHxL-\ Интегрируя каждое из таких слагаемых по t,ti,... ,tk, убеждаемся, что вклад от них в исходный интеграл не превосходит величины /А21 {vxv2 - Е «ад- ГЕЕн- « D-1DH0{Q,bL)-k-2xL2{P1P2y-а Н0Х-\ \ Подобные рассуждения применимы и к суммам Л5, -В4 и В5, вклад от которых также оценивается сверху величиной HQX-1. Пусть теперь и - одно из чисел 1 или 2, а т и п таковы, что min (т, п) Р„(1 - А). Тогда тп Р„2(1 - Д) и In тп РІ - 1п(1 - Д) Д. Значит, при х= 2Но,Ні справедливы неравенства х . f (тп\ги , (тп\г {тп\ I \п) du = Ы - Ы In rnn 7 г -1 2Д"1 = 2ЯІІ,-1. Проинтегрировав каждое из слагаемых Z?i и D2 по t, t\,..., 2 , мы д от них в исходный интеграл не превосходит величины /А21 {vxv2 - Е «ад- ГЕЕн- « D-1DH0{Q,bL)-k-2xL2{P1P2y-а Н0Х-\ \ Подобные рассуждения применимы и к суммам Л5, -В4 и В5, вклад от которых также оценивается сверху величиной HQX-1. Пусть теперь и - одно из чисел 1 или 2, а т и п таковы, что min (т, п) Р„(1 - А). Тогда тп Р„2(1 - Д) и In тп РІ - 1п(1 - Д) Д. Значит, при х= 2Но,Ні справедливы неравенства х . f (тп\ги , (тп\г {тп\ I \п) du = Ы - Ы In rnn 7 г -1 2Д"1 = 2ЯІІ,-1. Проинтегрировав каждое из слагаемых Z?i и D2 по t, t\,..., 2 , мы заключаем, что вклад от D\ и D2 не превосходит величины 5l/l l/2 1 ol-2 7 Е (l/l )" fl,i/2 a: v m, n Pi+P2 D P Y ша-1п- т(2Я1Ь-1),г+1 ЯоХ"1. Суммируя полученные оценки вместе, мы приходим к следующему неравенству, которое справедливо при Т для любого а с условием 0,5 (т 1: 1{а,Т) 4Я0(И-0(х1-2ст)) + 0(Я01- 2) + 0(ЯоХ-1)-4Яо = ОСЯох1"2"). Лемма доказана. 3. Доказательство плотностнои теоремы ТЕОРЕМА 1. Пусть \ - лтожество значений Т из промежутка (Х]2Х), для которых при любом а, О,5 а 1, выполняется оценка N(a,T + Ho)-N(a,T-H0) CH0{lnX) Х - 1). где С 0 - абсолютная постоянняа. Тогда mes(i) = X - О {Xі- 1е ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что в качестве множества \ можно взять дополнение ко множеству из предыдущего параграфа: \ = (X; 2Х)\. Пусть Т Є \. Если 0,5 а 0,5 + L 1, то оценка разности N(a, Т + Н0) — N(a, Т — Н0) получается как следствие формулы Римапа - Мангольдта для N(T). Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда 0,5 + L-1 а 1. Так как функция

Основные леммы

Оценивая сумму Ег, будем иметь: 2 n m г n /-iu- і 4?2mm! V Cw(n) V (ІП(П/ 1)}" 2 n m / n Внутреннюю сумму по I n оценим отдельно: г п . у і п_1/ 3,5(lnn+l) 91nn 9clnx. Таким образом, Е2 30сЯ2тт!(1пх) J] И = = 36c B2m m! (In x) J2 (Рі---Рш)"1 ЗбсБ2тт!(1пх)( -) PI.—.Pm \P S / 36c B2m m! (In x) (1,5 In In 0m 70(-B2m)m(lnx)(lnln)m Так как 1 т се 2 In я, то т можно записать в виде: т = In л, где А е2. Тогда = х m = exp ( — In x ] — eA и (In In )m = (In \)m = exp (m In In A) = exp ( сIn x Поскольку A e2, то In In A 0,5A и (lnlnOm c/2 у/к. Следовательно, S2 не превосходит величины 7Qs/H(\nх){В2т)т к (В2т)т. Отсюда мы заключаем, что 12 2 {В2т)тх + {В2т)тх = 4(В2т)тх. Лемма доказана. Пусть z 2. Положим Л(гг), если 1 п z, Лг(п) = J Л(П) V b V" 1), есдц 2 n A(n) , если z2 n z3. Следуя А. Сельбергу, введём функцию 7Z)t.

Пусть i2 z и пусть д = /3 + г-у пробегает значения нетривиальных нулей дзета - функции Рішана, удовлетворяющие условию -71 10- 1 In"1 г. Положим тогда oz% t = 0,5 + 2max ( j3 — О,5, 2In-1 z). ЛЕММА 15. ("ЯВНАЯ ФОРМУЛА") Пусть t 2, 2 z і2. Тогс)а справедливо равенство S(t) = -- Y а1 bill \L UUl) 7Г — Пг, t In П 1 П 23 + 0 (ам-0,5) yV Az(n) П" 1 n ZJ + O(( 7a,t-0,5)lnt).. Это утверждение о приближении 5(i) отрезком ряда Дирихле специального вида принадлежит А. Сельбергу S2 ЛЕММА 16.(ПЛОТНОСТНАЯ H2)- +оо ..--.. +оо Г sin2 и ./.-4-і / SHI4! , Г = / т+т dM (47Га) ъ = J -JIW du ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При 2 0 тождества из условия леммы устанавливаются с помощью замены переменной v — \z\u в интегралах +оо +оо /5 / sin (z„) / 5Ш Н гі 2+Ь о о Оценивая величины яу и х2 снизу, будем иметь: +оо 27Г" 2 +оо 2ж1 х\ 2тг(г/-1) 2тг(; -1) I +00 + Тілі « V = 1 , Лемма доказана. ЛЕММА 18.(НЕРАВЕНСТВО БЕРРИ - ЭССЕНА) Пусть Ф(х) и Ф(х) -две функции распределения, причём Ф(ж) дифференцируема и Ф (х)\ J3 d/іл любого вещественного х. Пусть также р(х) и ф(х) - характеристические функции, отвечающие Ф(х) и Ф(і), и при некоторых положительных 5 и X Тогда для любого вещественного х где с - положительная абсолютная постоянная. Доказательство неравенства см. в Beri, Es, Пі, с. 94 - 101. 2. Основные леммы Утверждения этого параграфа будем доказывать в предположении, что для данных Т и Я (Я = Н0 или Я = Я2) при любом а с условием 0,5 а 1 выполняется неравенство ЛЕММА 19. Пусть т О, О и 4т - целые числа, z 2, 1 : у z4m, z3у2 х. Тогда справедлива оценка: Доказательство этого утверждения (для случая Н = Т0,5+ег) содержится в работах S2, Кі и приводится здесь для уточнения вида зависимости от параметров m и z правой части неравенства. Это связано с тем, что в дальнейшем лемма 19 и её следствия будут использоваться в ситуации, когда m может Бг-

Обозначим подынтегральную функцию символом ф{Ь). Точку t промежутка (Т, Т + Н) отнесём ко множеству А\, если для всех нулей g — Р + гу функции C(s), удовлетворяющих условию выполнены неравенства /3 — 0,5 2(1пг) 1. В противном случае точку t отнесём ко множеству А2. Обозначая исходный интеграл буквой /, получим: где д — /? + ry - некоторый нуль C(s) с условием t — 7I -г3 /3 51(1п,г) 1. Так как zs z3y2 х, то так что мнимая часть этого нуля отстоит от t на расстояние, не превосходящее х, и содержится в промежутке (Т — Н — х,Т + Н + х]. Поэтому 7+23/3-0,5 1п -1 z где штрих означает суммирование по всем нулям д = P+ij, для которых 0 0,5 п Т — Н — х ч Т + Н + х. Воспользовавшись тождеством где Лемма доказана. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Оценка леммы 19 близка к следствию из гипотезы Римана. Если гипотеза Римана верна, то aZi t = 0,5 + 4(ln z) 1 и поэтому Если теперь в лемме 19 взять z = ха/и, где а - абсолютная постоянная, О а 1, то мы получим безусловное неравенство ЗАМЕЧАНИЕ 2. В силу следствия к теореме 1 утверждение леммы сохраняет свою силу, если промежуток (Т,Т + Н] заменить на любой промежуток вида (Т + х ,Т + Н + ж"], где х \, \ х"\ х. ЛЕММА 20. Пусть т - целое число, 1 га (20е) 2е\аХ, ж1/4"1 у хх1т. Тогда справедливо неравенство: , Домножая и деля К7 на (In z)8m и полагая где Я0 = Ле37 є37 - абсолютная постоянная. Лемма доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Утверждение леммы остаётся справедливым, если промежуток (Т,Т+Н] заменить любым промежутком вида (Т+х ,Т + Н + х ], где х , х : х. Это следует из замечания к лемме 19. ]3. Моменты функций S(t) и S\(t-\- h) — S\(t) Настоящий параграф посвящен вычислению моментов величин S(t) и Si(t + h) — Si(t), то есть интегралов

Распределение значений функций \S(t)\ и \Si(t + h) — S\{t)\

Асимптотические формулы 3 позволяют получить некоторую информацию о распределении значений величин \S(t)\ и \Si(t + h) — Si(t)\ в случае, когда t меняется в промежутке (Т, Т+Н]. Например, из формулы первого момента S(t) следует, что для "большинства" t \S(t)\ близко по порядку к величине Vlnlnf. Теорема 5 более точно характеризует множества тех t, для которых функции \S(t)\ и \Si(t + h) — Si(t)\ принимают значения из данного диапазона. Первые результаты такого рода были получены А. Гошем Gh2 для функции \S(t)\ в случае, когда t меняется на промежутке (Т,Т + Я], М = Т Б+Е Пусть h - произвольное число, удовлетворяющее неравенствам Символом Ej(a), j =.1,2, для a 0 будем обозначать множества тех te(T,T + Я], для которых Fj{t)\ а. ТЕОРЕМА 5. Равенства выполняются для всех Т Є \ с Я = Я0 и для всех Т Є (X, 2Х) с Н = Н2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть F обозначает любую из функций Fj и F2, а Е(а) - соответствующее множество Ej(a). Обозначим. () характеристическую функцию величины F(i). Тогда где Ф(х) = Н es (Е(х)) - функция распределения -F(f)l Основная идея доказательства заключается в том, чтобы приблизить V?() некоторой функцией ф(), которая является характеристической для легко вычисляемой функции распределения Ф(ж). Зная точность такого приближения, с помощью неравенства Берри - Эссена можно сделать вывод о "близости" Ф(х) и Ф(х). Произведём теперь необходимые вычисления. Положим Приблизим мнимую экспоненту в выражении для /?() отрезком ряда Тейлора длины N. Тогда /?() представится суммою / i() + ГІ(ОЇ гДе 1. Ki Карацуба А.А. О функции S(t) // Изв. РАН. Сер. матем. 60(1996). № 5. С.27-56. 2. Кг Карацуба А.А. Плотпостная теорема и поведение аргумента дзета - функции Рішана // Мат. заметки. 60(1996). № 3. С.448-449. 3. К3 Карацуба А.А. Распределение нулей функции (1/2+г) // Изв. АН СССР. Сер. матем. 48(1984). № 6. С.1214-1222. 4. Кац Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел. М.: "ИЛ", 1963. 5. Kopj Королёв М.А. О числе перемен знака функции S(t) на коротком промежутке // ДАН. 382(2002). № 4. С.446-447. 6. Кор2 Королёв М.А. Об аргументе дзета-функции Римана на критической прямой // Труды МИАН им.В.А. Стеклова. 239(2002). С.215-238. 7. Корз Королёв М.А. Об аргументе дзета-функции Римана на критической прямой // Изв. РАН. Сер. матем. 67(2003). № 2. С.21-60. 8. Кор4 Королёв М.А. О поведении функции S(t) на коротких промежутках // ДАН. 390(2003). № 5. С.588-589. 9. Пі Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: "Наука", 1971. 10. Пг Постников А.Г. Эргодические вопросы теории сравнений и теории диофаитовых приближений // Труды матем. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. 82(1966). 11. Ber Berry А.С. The accuracy of the Gaussian appro Я = Я0 и для всех Т Є (X, 2Х) с Н = Н2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть F обозначает любую из функций Fj и F2, а Е(а) - соответствующее множество Ej(a). Обозначим. () характеристическую функцию величины F(i). Тогда где Ф(х) = Н es (Е(х)) - функция распределения -F(f)l

Основная идея доказательства заключается в том, чтобы приблизить V?() некоторой функцией ф(), которая является характеристической для легко вычисляемой функции распределения Ф(ж). Зная точность такого приближения, с помощью неравенства Берри - Эссена можно сделать вывод о "близости" Ф(х) и Ф(х). Произведём теперь необходимые вычисления. Положим Приблизим мнимую экспоненту в выражении для /?() отрезком ряда Тейлора длины N. Тогда /?() представится суммою / i() + ГІ(ОЇ гДе 1. Ki Карацуба А.А. О функции S(t) // Изв. РАН. Сер. матем. 60(1996). № 5. С.27-56. 2. Кг Карацуба А.А. Плотпостная теорема и поведение аргумента дзета - функции Рішана // Мат. заметки. 60(1996). № 3. С.448-449. 3. К3 Карацуба А.А. Распределение нулей функции (1/2+г) // Изв. АН СССР. Сер. матем. 48(1984). № 6. С.1214-1222. 4. Кац Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел. М.: "ИЛ", 1963. 5. Kopj Королёв М.А. О числе перемен знака функции S(t) на коротком промежутке // ДАН. 382(2002). № 4. С.446-447. 6. Кор2 Королёв М.А. Об аргументе дзета-функции Римана на критической прямой // Труды МИАН им.В.А. Стеклова. 239(2002). С.215-238. 7. Корз Королёв М.А. Об аргументе дзета-функции Римана на критической прямой // Изв. РАН. Сер. матем. 67(2003). № 2. С.21-60. 8. Кор4 Королёв М.А. О поведении ximation to the sum of independent variables // Trans. Amer. Math. Soc. 49(1941). P.122-136. 12. BL Bohr H., Landau E. Beitrage zur Theorie der Riemannschen Zeta-funktion J/ Math. Ann. 74(1913). P.3-30.

Поведение аргумента дзета - функции Римана на критической прямой Королёв Максим Александрович

Основные леммы

Доказательство шютностной теоремы

Основные леммы

Распределение значений функций \S(t)\ и \Si(t + h) — S\{t)\

Похожие диссертации на Поведение аргумента дзета - функции Римана на критической прямой