Содержание к диссертации
Введение
1 Расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой 14
1.1 Вспомогательные леммы 14
1.2 Основная лемма 19
1.3 Основная теорема 33
1.4 Оптимизация экспоненциальных пар 45
2 Расстояние между соседними нулями функции Z{t), j > 1 52
2.1 Вспомогательные леммы 52
2.2 Основная теорема 52
Литература 62
Введение к работе
Одним из главных направлений исследований в теории дзета-функции Римана является изучение распределения нулей (s), лежащих на критической прямой.
Пусть s = a + it комплексное число. При Res > 1 дзета-функция Римана (s) задается рядом
оо 1
ад = Е^- (і)
71=1
Следовательно, ((s) является аналитической функцией при Res > 1. Имеет место тождество Эйлера:
CM = 11(1 "І) ' Res>l, (2)
где справа стоит бесконечное произведение по всем простым числам р. При вещественных s функция (s) изучалась Эйлером [1]. В частности, пользуясь тождеством (2), Эйлер дал аналитическое доказательство теоремы Евклида о бесконечности количества простых чисел. Риман [2] стал изучать ((s), как функцию комплексного переменного. Риман показал, что с помощью применения теории функций комплексного переменного к исследованию ((s) можно получить новые глубокие результаты о распределении простых чисел. Следующие две формулы "продолжают" (s) на всю s- плоскость:
., ч 1 1 / p(u)du 1
^С(1-.,.
к-ir (|) см = *-*г
Из этих формул следует, что функция (s) на всей s- плоскости является аналитической с единственной особенностью в точке s = 1,
где она имеет полюс первого порядка с вычетом, равным 1. Функция (s) обращается в нуль при s = —2, —4,..., —2n,...; эти нули (s) называются "тривиальными". Кроме тривиальных, (s) имеет бесконечно много нулей в полосе 0 < Res < 1, которая называется "критической". Нетривиальные нули комплексно сопряжены и расположены симметрично относительно прямой Res = |.
Риман [2] высказал гипотезу ("гипотеза Римана"), что все нетривиальные нули (s) лежат на прямой Res = |, которую называют "критической" прямой.
Гипотеза Римана является одной из центральных проблем аналитической теории чисел и математического анализа. К настоящему времени она не доказана. Можно выделить три направления в исследованиях, связанных с нетривиальными нулями ((s):
граница нулей (s);
нули на критической прямой;
плотность распределения нулей в критической полосе.
Нули (s) на критической прямой — это вещественные нули (1/2+it). Первым результатом, связанным с нулями (5) на критической прямой, явилась теорема Г.Харди [3], в 1914г он доказал, что (1/2 + it) имеет бесконечно много вещественных пулей. Э. Ландау [4] писал по этому поводу "К самым значительным успехам математики настоящего времени принадлеэюит заметка господина Г. Харди о нулях функции (s) Римана".
В 1918 г. и 1921 г. Харди и Литтлвуд [5]-[8] доказали следующие два утверждения, которые значительно перекрыли первую теорему Харди:
а) промеоісуток (Т, Т + Я) при Т > Т0 > 0, Н > Т0,25+ codepoicum
нуль нечетного порядка (1/2 + г);
б) в промежутке (Т,Т + Н) при Т > Го > О, Н > Т0,5+є содержится
не меньше чем сН нулей нечетного порядка С,{1 /2-\-it), с = с(є) > 0-
постоянная.
Эти утверждения стали источником двух направлений исследований, одно из которых касается оценки сверху расстояния между соседними вещественными нулями (1/2+^), а другое - "плотности" нулей (1/2+^) на промежутках вида (Т, Т + Н), Н = Та+ с возможно меньшим значениям а.
Выдающимся достижением явилась теорема А. Сельберга [9] 1942 г. о том, что в промежутке (Г,Т + Н) при Т > Т0 > 0, Я > Т0,5+є содержится по крайней мере cHYnT нулей нечетного порядка (1/2 -f-
it); с = с[є) > 0 - постоянная. Из формулы Мангольдта [10] о количестве N(t) нулей (s) в прямоугольнике 0 < Res < 1, 0 < Ims < Т:
Т Т Т
следует неулучшаемость результата Сельберга.
В той же работе Сельберг высказал гипотезу о том, что его результат должен иметь место, при Н = Та+е, где а- фиксированное положительное число, меньше 1/2. Эту гипотезу с а = 27/82 решил А.А.Карацуба [23].
В 1974 г. Левинсон [11] доказал, что по крайней мере треть всех нулей C(s) лежит на критической прямой.
Новых важных результатов в названных проблемах достиг чешский математик Ян Мозер [12]—[17]. В 1976 и 1980 гг. Мозер доказал, что при
промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции ((1/2-j- it), а при Н > Т0//121п3Т этот же промежуток содероісит не меньше чем сН таких нулей.
В 1981 г. А.А. Карацуба [18] получил оценку тригонометрической суммы
С(„М)= Е .№^),
М<т<Мі Ч -7
t > to > 0, л/Рі<М<^ М1<2М, Рг =
которая позволила ему получить более точный результат, чем результат Яна Мозера:
Теорема 1. При Н > ТаЫ2Т, а = 5/32, Т > Т0 > 0 промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции (1/2 + it).
Показатель а = 5/32 интересен в силу следующих обстоятельств. Мозер связал показатель а в подобном утверждении с оценкой \((l/2+it)\ и в частности, с гипотезой Линделефа.
При доказательстве этой теоремы А.А. Карацуба, следуя Харди-Литттлвуду-Мозеру, изучил вещественные нули функции Харди Z(t), которые являются вещественными нулями (1/2+^). Можно предполагать, что при любом є > 0; Т > Т0 = То (є) > 0, Н = Те промежуток (Г, Г + Н) содерэюит нуль нечетного порядка функции Z(t). Однако эта гипотеза не следует даже из гипотезы Римана. В то же время А.А.Карацуба [18] обнаружил эффект «сближения» с ростом к нулей функции Z^ (t) и доказал:
Теорема 2. Пусть к-натуральное число, Т > То(к) > О, Н >
cTi/(6/c+6)ln2/(fc+i)T^ с _ с^ > 0 Тогда промежутоК (Т,Т + Н)
содержит нуль нечетного порядка функции Z^-k'[t).
А.А. Карацуба [19] по поводу этих теорем сделал замечание: Если для оценки тригонометрической суммы С(и, М) применить более сложные методы, например метод экспоненциальных пар, то для суммы С(и: М) получится более точная оценка.
Решение поставленных задач А.А. Карацубы — оценок специальных тригонометрических сумм через теорию экспоненциальных пар и его применение к исследование расстояния между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой, является основным результатом настоящей диссертации.
Диссертационная работа посвящена сведению задачи о длине промежутка критического прямой, в которой заведомо содержится нуль нечетного порядка функции Харди и ее производных, к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальных тригонометрических сумм и применению оптимальных экспоненциальных пар, позволяющих эту длину выразить через константу Ранки на.
Диссертация состоит из двух глав. В первой главе рассматривается расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой.
Функция Харди Z{t) задается равенством
Щ = e«c g + и) , е-м = ,г*г (І +1) | г (I + f) |-1.
Функция Харди Z(t) принимает вещественные значение при вещественных значениях t и вещественные нули Z(t) являются нулями (s), лежащими на критической прямой.
Определение. Если В>1, 0
ABl~r < |F(r)(и) \^ABx~r, г = 1,2,3,--. ,
где постоянная под знаком <С зависит только от г, и имеет место оценка
]Г) e(F(n)) <^AkBl, 0 то пара (k; l) называется экспоненциальной парой. Тривиальная оценка показывает, что (0; 1) является экспоненциальной парой. Е. Phillips [20] показал, что если (к; I) экспоненциальная пара, то А{-к>l) = (wT2' \ + йьТг) {А - процесс) В (к; 1) = (1- 0.5, к + 0.5) (В - процесс) также являются экспоненциальными парами. В втором параграфе первой главы доказывается следующая основная лемма об оценке тригонометрической суммы С (и, М) методом экспоненциальных пар, которая затем применяется при доказательстве теорем 1.2.1 и 2.2.1: Лемма 1.2.1. Пусть (к,1)- произвольная экспоненциальная пара и р t>t0>0, \/Р[ <М <-±, Мг< 2М, Pi = Тогда для тригонометрической суммы М<т<Му ^ ' справедлива следующая оценка |C(u,M)|«P/_lM-'+M. Заметим, что это лемма доказывается по схеме доказательства леммы А.А. Карацубы([19], стр. 162), в сочетании с методом экспоненциальных пар. В третьем параграфе первой главы доказывается основная теорема о расстояние между соседними нулями дзета-функции Римапа, лежащими на критической прямой. Теорема 1.3.1. Пусть (&, Z) - произвольная экспоненциальная пара, Т>Т0>0, Н>Тв^1Чп2Т, ^^ї^-^Фт)' 9і(*і0=ог Тогда промежуток (Т, Т + Н) codepotcum нуль нечетного порядка функции Харди Z(t). При доказательстве этой теоремы и теоремы 2.2.1 мы существенно пользуемся методами работ А.А.Карацубы [23], в которых, соответственно, доказаны гипотезы Сельберга о нулях дзета функции Римана на критической прямой и в ее окрестности, и работой З.Х. Рахмонова [44], в котором доказана плотностная теорема для нулей дзета функции Римана в коротких прямоугольниках критической полосы. Основные этапы доказательства теоремы 1.3.1 таковы. Считаем, что t принадлежит промежутку (Т,Т+Н), Н = Тв^ In Т. Не ограничивая общности, можно считать число Т таким, что Т 7Г — + — = 27гХ, К-целое число. 2 8 Воспользуемся формулой Римана-Зигеля cos(#0) -tlnn) + Oft" In*). (3) y/n Z(t) = 2 t 2тг Выводя асимптотическую формулу для 9(t) и заменяя величину \ величиной \1 — > от которых правая часть (3) измениться на величину порядка не выше Т~*, получим для Z(t) следующую формулу Определим числа tv из уравнения tv In Р = icv и будем рассматривать v такие , что выполнялись неравенства ТТ1У (4) Для этого возьмем + 1, r = [lnT], Яі = и определим числа v равенством у — UQ + v\ + ... + vT1 0 < vi,..., vr < Hi — 1, в котором vq -постоянное число, а числа v\,vi,...,vT могут принимать значение любых целых чисел из промежутка [О, Н\). Очевидно, что таким образом определенные и удовлетворяют указанным неравенствам (4). Далее, рассмотрим две суммы S\ и 5г, Яі-1 Hi-l Hi-l Hi-l - = E - E zw> 5* = E - E (-і)"ад. j/1=0 г/г=0 г/і=0 z/r=0 Если будет доказано неравенства |52І > |Si|, то тем самым будет доказано изменение знака у функции Z(t) при некотором t = t„, то есть будет доказано существование нечетного нуля функции Z{t) на промежутке (Т, Т + Н). Поэтому модуль суммы S\ оценим сверху, а модуль суммы . снизу. Пользуясь определением tv и формулой приведения для косинуса имеем У(^о + ^1 + ... + &v) 1пР * = Е - Е Е \ cos ( !/1=0 г/г=0 n *=Е-ЕЕ4 Яі-1 Яг-1 cos л/Т/, 1 '" ' j/1=0 г/г=0 п<Р Выделяя в І^гІ слагаемое с п = 1 и имея в виду, что оно будет равно числу #Х, имеем S2 = H{ + R + 0(ЩТ-* ЬТ), где Р тот же сумма ^2, в которой слагаемое с п = 1 отсутствует. Оценим снизу |5г|. Имеем |52| > #[ - |Д| + 0(Н{Т—< 1пТ), -Ecos ьГр lnn i/i=0 і/г=0 ч 1 Я1_1 = Е ^ Eetolnn) //=0 Применяя к внутренней сумме по г/, которая является линейной, Inn 1 известную оценку и имея в виду, что —-—— < -, последовательно J ill J. Zj получим: Я,-1 //=0 1 /z/lnn , . . 21nP є [ ——— І < mm Ні, 21nP 10 / r 21nP\ 21nP Подставляя найденную оценку в правую часть неравенства для \R\, заменяя сумму интегралом, покажем, что \R\ < 8(21пТ)г -С ЩТ~*, то есть для |52І находим \S2\ > Щ - 8(21пТ)г + 0{Н[Т-< 1пТ) > Щ + 0(Н[Т~* In Г). Оценим сверху \S\\. Интервал суммирования по п в сумме Si разобьем на два интервала вида 1<п<(1-Д)Р и (1-Д)Р<п<Р, где Д = 8#1-11пР. Соответственно этому разбиению, S\ представится суммою двух слагаемых: 5і = 5з + 54 + 0(Я1гГ-ї1пГ)і (5) Ні-1 Яі-1 а=- 4 /7г(і/0 + ^1 + + *V) т ^ cos — —— In. — і/1=0 і/г=0 1<п<(1-Д)Р Яі-1 Я!-1 Е п V InP Ті 1 /7r(^0 + ^l + ... + Z/r) PN cos — — In — n \ InP n i/1==0 ^r=0 (1-Д)Р<п<Р Оценивая сумму |5з| как сумма 5г, имеем |53| < 2л/РЯ[8_г < 16Я[Т-4. Легко показать, что 1 ґ* і :е — mn |54| < Щ у/п \2тт , Г < —=Г < Т + Я, ^-^ = t. (1-Д)Р Применяя формулу частного суммирования, найдем {thin (6) , U < Р. |54|<Я[^, C(W) (1-Д)Р<тг<и Заменяя в этой сумме Р на Pi = суммирования п через Pi — m, находим 'tln(Pi-m) С(«) = ]г е Рі-гі<т<РіД и обозначая переменное + 0(1). Разбивая промежуток суммирование по т на не более In Т промежутков вида М < m < Mi, Mi < 2М, Pi - и < М, Мі < РгА и переходя к оценкам, найдем |C(M)| М<т<Мх ^ ' Применяя к сумме С (и, М) основную лемму об оценке тригонометрической суммы С(и,М) методом экспоненциальных пар (лемма 1.2.1) находим \С{и,М)\<^Р{~1М-ї+к+21. Подставляя найденную оценку для С (и) в соотношение (6), получим Переходя в соотношение (5) к оценкам, и подставляя найденные оценки для |5з| и |54І, находим N < |53| + |54| + 0{ЩТ" In Г) < <С ЯЇ(Т"ї InT + Т^~"н^=^ InT). (7) Показатель Я - отрицательное число. Поэтому, подставляя в неравенство (7) вместо Я величину Т^1п2Т и имея в виду, что Я > Гб^1п2Т, 2 V 2-6ї\к;1); ' v ' ; 0,5-fc' найдем І^іІ^С-НТІп-'Г. Из ранее найденной оценки для . следует, что |52І > |5і|- Заметим, что Я > Т5/321п2Т в теореме А.А.Карацуба является следствием теоремы 1.3.1, при (*.o=g.S)=^(o,D, й1(ін) = н=і, 8(3), <ІІ) = Іг0'15625- Минимизация 9{к\ї) равносильно минимизации 9і(к;Г). Применение метода оптимизации экспоненциальных пар позволил выразить 9і(к;1) через константу Ранкина [21] R = 0, 8290213568591335924092397772831120 Теорема 1.4.1. Пусть V\ множество всех экспоненциальных пар (&;, Ї) отличная от (1/2,1/2) и Тогда справедливо соотношение inf 0і(&;Л = Д+1, где R = 0,8290213568591335924092397772831120... - постоянная Ранкина. Следует отметить, что этот результат является улучшением теоремы 1 и является окончательным в рамках данного метода. Во второй главе рассматривается расстояние между соседними нулями производной функции Харди, то есть Z^(t), (j > 1). Здесь нам также удалось свести задачу о величине промежутка (Т, Т + Н) критической прямой, в которой заведомо лежит нуль нечетного порядка функции Z^(t), (j > 1), к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки тригонометрических сумм. Основным результатами второй главы являются следующая теорема: Теорема 2.2.1. Пусть (k,l)- произвольная экспоненциальная пара, j- натуральное число, Т > Tq(j) > 0, Н>сТ^(ЪТ^, в(кі0 = і(і-_^), ^0 = 5^}. с = <*(,)><>. Тогда промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции Z^ (t). Заметим, что теорема 2 является следствием теоремы 2.2.1, при (^0=(1-1)=^(0,1), *,(!,) =1 + _1_, * (І І) = 6JT1H є ж Доказательство теоремы 2.2.1 проводится по схеме доказателство теоремы 1.3.1. Одним из главных направлений исследований в теории дзета-функции Римана является изучение распределения нулей (s), лежащих на критической прямой. Пусть s = a + it комплексное число. При Res 1 дзета-функция Римана (s) задается рядом Следовательно, ((s) является аналитической функцией при Res 1. Имеет место тождество Эйлера: где справа стоит бесконечное произведение по всем простым числам р. При вещественных s функция (s) изучалась Эйлером [1]. В частности, пользуясь тождеством (2), Эйлер дал аналитическое доказательство теоремы Евклида о бесконечности количества простых чисел. Риман [2] стал изучать ((s), как функцию комплексного переменного. Риман показал, что с помощью применения теории функций комплексного переменного к исследованию ((s) можно получить новые глубокие результаты о распределении простых чисел. Следующие две формулы "продолжают" (s) на всю s- плоскость: Из этих формул следует, что функция (s) на всей s- плоскости является аналитической с единственной особенностью в точке s = 1, где она имеет полюс первого порядка с вычетом, равным 1. Функция (s) обращается в нуль при s = —2, —4,..., —2n,...; эти нули (s) называются "тривиальными". Кроме тривиальных, (s) имеет бесконечно много нулей в полосе 0 Res 1, которая называется "критической". Нетривиальные нули комплексно сопряжены и расположены симметрично относительно прямой Res = . Риман [2] высказал гипотезу ("гипотеза Римана"), что все нетривиальные нули (s) лежат на прямой Res = , которую называют "критической" прямой. Гипотеза Римана является одной из центральных проблем аналитической теории чисел и математического анализа. К настоящему времени она не доказана. Можно выделить три направления в исследованиях, связанных с нетривиальными нулями ((s): 1) граница нулей (s); 2) нули на критической прямой; 3) плотность распределения нулей в критической полосе. Нули (s) на критической прямой — это вещественные нули (1/2+it). Первым результатом, связанным с нулями (5) на критической прямой, явилась теорема Г.Харди [3], в 1914г он доказал, что (1/2 + it) имеет бесконечно много вещественных пулей. Э. Ландау [4] писал по этому поводу "К самым значительным успехам математики настоящего времени принадлеэюит заметка господина Г. Харди о нулях функции (s) Римана". В 1918 г. и 1921 г. Харди и Литтлвуд [5]-[8] доказали следующие два утверждения, которые значительно перекрыли первую теорему Харди: а) промеоісуток (Т, Т + Я) при Т Т0 0, Н Т0,25+ codepoicum нуль нечетного порядка (1/2 + г); б) в промежутке (Т,Т + Н) при Т Го О, Н Т0,5+є содержится не меньше чем сН нулей нечетного порядка С,{1 /2-\-it), с = с(є) 0 постоянная. Эти утверждения стали источником двух направлений исследований, одно из которых касается оценки сверху расстояния между соседними вещественными нулями (1/2+ ), а другое - "плотности" нулей (1/2+ ) на промежутках вида (Т, Т + Н), Н = Та+ с возможно меньшим значениям а. Выдающимся достижением явилась теорема А. Сельберга [9] 1942 г. о том, что в промежутке (Г,Т + Н) при Т Т0 0, Я Т0,5+є содержится по крайней мере cHYnT нулей нечетного порядка (1/2 -f it); с = с[є) 0 - постоянная. Из формулы Мангольдта [10] о количестве N(t) нулей (s) в прямоугольнике 0 Res 1, 0 Ims Т: Т Т Т следует неулучшаемость результата Сельберга. В той же работе Сельберг высказал гипотезу о том, что его результат должен иметь место, при Н = Та+е, где а- фиксированное положительное число, меньше 1/2. Эту гипотезу с а = 27/82 решил А.А.Карацуба [23]. В 1974 г. Левинсон [11] доказал, что по крайней мере треть всех нулей C(s) лежит на критической прямой. Новых важных результатов в названных проблемах достиг чешский математик Ян Мозер [12]—[17]. В 1976 и 1980 гг. Мозер доказал, что при промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции ((1/2-j- it), а при Н Т0//121п3Т этот же промежуток содероісит не меньше чем сН таких нулей. В 1981 г. А.А. Карацуба [18] получил оценку тригонометрической суммы которая позволила ему получить более точный результат, чем результат Яна Мозера: Теорема 1. При Н ТаЫ2Т, а = 5/32, Т Т0 0 промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции (1/2 + it). Показатель а = 5/32 интересен в силу следующих обстоятельств. Мозер связал показатель а в подобном утверждении с оценкой \((l/2+it)\ и в частности, с гипотезой Линделефа. При доказательстве этой теоремы А.А. Карацуба, следуя Харди-Литттлвуду-Мозеру, изучил вещественные нули функции Харди Z(t), которые являются вещественными нулями (1/2+ ). Можно предполагать, что при любом є 0; Т Т0 = То (є) 0, Н = Те промежуток (Г, Г + Н) содерэюит нуль нечетного порядка функции Z(t). Однако эта гипотеза не следует даже из гипотезы Римана. В то же время А.А.Карацуба [18] обнаружил эффект «сближения» с ростом к нулей функции Z (t) и доказал: Теорема 2. Пусть к-натуральное число, Т То(к) О, Н cTi/(6/c+6)ln2/(fc+i)T с _ с 0 Тогда промежутоК (Т,Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции Z -k [t). А.А. Карацуба [19] по поводу этих теорем сделал замечание: Если для оценки тригонометрической суммы С(и, М) применить более сложные методы, например метод экспоненциальных пар, то для суммы С(и: М) получится более точная оценка. Решение поставленных задач А.А. Карацубы — оценок специальных тригонометрических сумм через теорию экспоненциальных пар и его применение к исследование расстояния между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой, является основным результатом настоящей диссертации. Диссертационная работа посвящена сведению задачи о длине промежутка критического прямой, в которой заведомо содержится нуль нечетного порядка функции Харди и ее производных, к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальных тригонометрических сумм и применению оптимальных экспоненциальных пар, позволяющих эту длину выразить через константу Ранки на. Напомним, что А и В процессы можно задать как линейные преобразования в проективном пространстве. Пусть и в проективном пространстве они соответственно эквивалентны где (К, А) — А(к,1) и (к, Л) = В(к,1). Отождествление А- и В-процессов с их матрицами особенно удобно, ибо композиции этих процессов соответствует произведение их матриц. Например матрицы, представляющие композиции А(В(к,1)) имеют вид АВ. Из соотношения V = AVUBAV для множества всех экспоненциальных пар следует, что inf 9 = ті9А, либо ті9 — inf 9ВА. Для нахождения inf{0i(&, I) : (к,1) Є V\} мы будем применять метод ак + Ы-\-с минимизации 6М/с, Z) = — : -, в котором используются следующие ак + е/ + / три леммы: Лемма 1.4.1. Пусть для 9, определенного в (1.4-1), выполняется dk + el + f О V (к, І) Є V. Определим г : г inf (к + /) и Y — тах(гуг + г — и, w -{- v — гі), Z mm(wr + г; — и, w -\- v — и). Если Z 0, то inf 9 = Ы9А. Если Y 0, то inf 9 = inf 9ВА. Доказателство см. [21]. Эта лемма не дает ответа в случае У 0 и Z 0. На такой случай нам частично даст ответ лемма 1.4.2. Лемма 1.4.2. Пусть С есть конечное произведение А- и В- такое, что inf вВА = inf ЄВ АС и sup{fc + Z: (/с,/) Є CAV} = п. Если min(rw + v — и,r\w + v — и) 0, тогда inf 6 = inf 6А. Доказателство см. [21]. Суть нашего будущего алгоритма состоит в следующем: Пусть нам дано 9(k,l) = +ei+f с dk + el + f 0. Применяем лемму 1.4.1 или лемму 1.4.2 (если это возможно) и определяем, какой из случаев inf в = inf в А и inf в — miQBA выполняется. Далее заменяем в на соответствующее 9А или 9ВА (зависит от того, inf 9 = inf 9А или inf 9 = inf 9 В А) и снова повторяем процедуру. Через определенное количество итераций мы получаем: inf в = m9BjAqiBAq2B ... AqiBA, j = 0,1; ф 0. Вполне возможно, что inf# = inf 9Aq для каждого q 0. На этот случай ответ дает следующая лемма. Лемма 1.4.3. Пусть 9,u,v,w такие, как в лемме 1. .1. Тогда следующие условия эквивалентны: a. Ы9 = inf 9Aq Vq 0; b. inf0 = 0(0,1) ; c. w + v u, и 0. Доказателство см. [21]. Лемма 1.4.4. Пусть 9 удовлетворяет условиям леммы 1.4-1 и существует пара (k,l) Є V: ті9 — 9\(k,l). Тогда inf 9 = 0(0,1), либо inf0 = 0(i,i). Доказателство см. [21]. Теперь мы можем дать пошаговое описание алгоритма определения оптимального экспоненциальных пар [21]. 1. Проверяем для 9 = dk+fi+f условие dk + el + f 0; 2. Вычисляем (9); 3. Используя лемму 1.4.3 к в, проверяем, выполняется ли условие inf 9 — 9(0,1). Если выполняется, то останавливаемся; 4. Используя лемму 1.4.3 к 9В, проверяем, выполняется ли условие inf 9 = 9 (, ). Если выполняется, то останавливаемся; 5. Используя лемму 1.4.1 для проверки равенства inf# = inf#A, либо inf 9 = inf9ВА. Если лемма 1.4.1 неприменима, применяем лемму 1.4.2. Если и лемма 1.4.2 неприменима, по завершаем алгоритм, ибо он не работает в этом случае. 6. Если inf 9 = inf 9А, заменяем (9) на (9А). Если inf 9 = inf 9ВА, заменяем (9) на (9 В А). Иначе, возвращаемся к шагу 5. Замечание 1.4.1. Благодаря лемме (1.4-4), необязательно повторять шаги 5 и 6 после первой итерации алгоритма. Также необязательно повторять шаг 1 после первой итерации. Алгоритм нахождения оптимальной экспоненциальной пары позволяет найти минимальное значение для 9i(k, 1) в теореме 1.3.1. А теперь займемся нахождением минимального значения 9(k;l) в нашем случае. Согласно доказанного в теореме 1.3.1 Как сказано выше, минимизация величины 9(k\l) равносильна минимизации 9\(к\ I). Справедлива следующая теорема 0,5- А; Тогда справедливо соотношение где R = 0,8290213568591335924092397772831120... - постоянная Ранкина. Доказательство. Пользуемся алгоритмом нахождения оптимальной экспоненциальной пары: В представлении а (і. i\ Ж + Ы + с (M) = d + eJ + / в нашем случае а = 0, 6 = 1, с = 0, d = — 1, / = 0, / = 0,5. 1. Условие dk + el + / 0, то есть — к + 0, 5 0 выполняется. 2. Согласно алгоритму минимизации преобразования (1.4.1) сопоставим матрицу Єі = 0 1 0 \ -1 0 0,5у Определим числа w, v, w следующим образом а по ним составим вектор 3. Согласно лемме 1.4.3 следующие условия эквивалентны: а) inf0i = infM?, Vg 0; б) inf0i = i(0,1); с)ги + г; и, гі 0. В нашем случае w+v = 1, и = 0, 5 то есть условия с) не выполняется, следовательно, и условии а) и б) также не выполнимы. 4. Лемму 1.4.3 применим и к в\В: А.А. Карацуба [19] по поводу этих теорем сделал замечание: Если для оценки тригонометрической суммы С(и, М) применить более сложные методы, например метод экспоненциальных пар, то для суммы С(и: М) получится более точная оценка. Решение поставленных задач А.А. Карацубы — оценок специальных тригонометрических сумм через теорию экспоненциальных пар и его применение к исследование расстояния между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой, является основным результатом настоящей диссертации. Диссертационная работа посвящена сведению задачи о длине промежутка критического прямой, в которой заведомо содержится нуль нечетного порядка функции Харди и ее производных, к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальных тригонометрических сумм и применению оптимальных экспоненциальных пар, позволяющих эту длину выразить через константу Ранки на. Диссертация состоит из двух глав. В первой главе рассматривается расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой. Функция Харди Z{t) задается равенством Функция Харди Z(t) принимает вещественные значение при вещественных значениях t и вещественные нули Z(t) являются нулями (s), лежащими на критической прямой. Определение. Если В 1, 0 h B, F{u) Є С(В,2В), А 1, где постоянная под знаком С зависит только от г, и имеет место оценка то пара (k; l) называется экспоненциальной парой. Тривиальная оценка показывает, что (0; 1) является экспоненциальной парой. Е. Phillips [20] показал, что если (к; I) экспоненциальная пара, то также являются экспоненциальными парами. В втором параграфе первой главы доказывается следующая основная лемма об оценке тригонометрической суммы С (и, М) методом экспоненциальных пар, которая затем применяется при доказательстве теорем 1.2.1 и 2.2.1: Лемма 1.2.1. Пусть (к,1)- произвольная экспоненциальная пара и Тогда для тригонометрической суммы справедлива следующая оценка Заметим, что это лемма доказывается по схеме доказательства леммы А.А. Карацубы([19], стр. 162), в сочетании с методом экспоненциальных пар. В третьем параграфе первой главы доказывается основная теорема о расстояние между соседними нулями дзета-функции Римапа, лежащими на критической прямой. Теорема 1.3.1. Пусть (&, Z) - произвольная экспоненциальная пара, Т Т0 0, Н Тв 1Чп2Т, Тогда промежуток (Т, Т + Н) codepotcum нуль нечетного порядка функции Харди Z(t). При доказательстве этой теоремы и теоремы 2.2.1 мы существенно пользуемся методами работ А.А.Карацубы [23], в которых, соответственно, доказаны гипотезы Сельберга о нулях дзета функции Римана на критической прямой и в ее окрестности, и работой З.Х. Рахмонова [44], в котором доказана плотностная теорема для нулей дзета функции Римана в коротких прямоугольниках критической полосы. Основные этапы доказательства теоремы 1.3.1 таковы. Следует отметить, что этот результат является улучшением теоремы 1 и является окончательным в рамках данного метода. Во второй главе рассматривается расстояние между соседними нулями производной функции Харди, то есть Z (t), (j 1). Здесь нам также удалось свести задачу о величине промежутка (Т, Т + Н) критической прямой, в которой заведомо лежит нуль нечетного порядка функции Z (t), (j 1), к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки тригонометрических сумм. Основным результатами второй главы являются следующая теорема: Теорема 2.2.1. Пусть (k,l)- произвольная экспоненциальная пара, j- натуральное число, Т TQ(J) 0, Тогда промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции Z (t). Заметим, что теорема 2 является следствием теоремы 2.2.1, при ( 0=(1-1)= (0,1), ,(!,) =1 + _1_, (І І) = 6JT1H є ж Доказательство теоремы 2.2.1 проводится по схеме доказателство теоремы 1.3.1. Глава 1 Расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой 1.1 Вспомогательные леммы Определение 1.1.1. При s — a + it, а 1, дзета-функция Римана (s) задается равенством оо 1 п=1 Лемма 1.1.1. (Тождество Эйлера). При s = cr -\- it, Res 1 справедливо тождество « =пНГ. где в правой части стоит произведение по всем простим числам р. Доказателство см. [27]. Следствие 1.1.1. (s) ф 0 при Res 1. Лемма 1.1.2. (Аналитическое продолжение (,{s) в полуплоскость Res 0) При Res 0; N I, имеет место равенство N і n=l N где p(u) = - - {и}. Доказателство см. [27]. Следствие 1.1.2. C(s)- функция аналитическая в полуплоскости Res 0 за исключением точки s = 1; в точке s = 1 дзета-функция C(s) имеет простой полюс с вычетом, равным 1. Лемма 1.1.3. (Функциональное уравнение дзета-функции) Имеет место равенство -fr (f) CW = т" г (i ) C(i-«), где r(s)- Гамма-функция Эйлера и она определяется равенством 1 оо здесь 7 -постоянная Эйлера. Доказателство см. [19]. Определение 1.1.2. Функция (s), задается равенством Є00 = ів(» - i) - r (0 с(в). Следствие 1.1.3. Функция (s) является целой функции и выполняется равенством Из леммы 1.1.3 видно, что при s = —2, —4,... — 2п,..., дзета-функция равна 0, так как при этих значениях s r_1(0,5s) = 0; при s — 0 дзета-функция неравна 0, так как нуль r-1(0,5s) гасится полюсом (1 — s). Выписанные нули называется тривиальными. Кроме тривиальных дзета-функция имеет бесконечно много нетривиальных нулей, лежащих а полосе 0 Res 1 (критическая полоса). Лемма 1.1.4. Функция (s) является целой функцией первого порядка, имеющей бесконечно много нулей рп таких, что 0 Repn 1; ряд Х \Pn\ 1 расходится, а ряд Yl /9„ 1-e сходится при любом є 0. Нули (s) являются нетривиальными нулями (s). Доказателство см. [27]. Следствие 1.1.4. Нетривиальные нули дзета-функции располооюены симметрично относительно прямых Res = — и Ims = 0. Определение 1.1.3. Функция Харди Z(i) задается равенством где 1 itx _1 rU+i ew = 7rrQ + Лемма 1.1.5. Функция Харди Z(t) принимает вещественное значения при вещественных значениях t и вещественные нули Z(t) являются нулями (s), леоісащими на критической прямой. Доказателство см. [19]. Лемма 1.1.6. При t 2п для функции 0(t), справедлива формула где оо л / N , Л М ! 1 t f p{u)du p(u) = 2 - W Доказателство см. [19]. Лемма 1.1.7. (Приближенное функциональное уравнение j-й производной дзета-функции Римана на критической прямой) При любом целом числе j 0 и t 2тг справедливо следующее равенство: J Inn I cos [tIn л/ tlnn h — I -f 1 V 2тг 2 8 +o(dW+1t), причем постоянная в знаке О зависит только от j. Доказателство см. [19]. Замечание 1.1.1. Формула леммы 1.1.7 при j = 0 называется формулой Римана-Зигеля, т.е. / ч v cos(9(t)—tlnn) л. і , . ( ) = 2 2J Ч- L + 0(r \nn), n V 2п где e = n4i-hl+A{t) Лемма 1.1.8. (О замене тригонометрических сумм более короткой) Пусть вещественные функции р(х) и f(x) удовлетворяют на отрезке [а, Ь] следующим условиям:^0 + ?Л- + ^ 1л ?') + 0(ЯГГ-* ШТ);р"т7; 'Ь" +0(Д1Г-*1пГ).
< min #i, I <Л1п(А~т)\Вспомогательные леммы
Основная лемма
Оптимизация экспоненциальных пар
Основная теорема
Похожие диссертации на Расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой
