Введение к работе
Актуальность темы. Изучение сумм вида
(1)
п=1
при целых положительных значениях параметра s восходит к Л. Эйлеру1. Он, в частности, доказал расходимость ряда в (1) при s = 1 и сходимость при s > 1, а также знаменитые соотношения
1 (2тгг)2кВ-
п=1
п2к (2к)\
2к для к= 1,2,3,..., (2)
связывающие значения ряда при четных положительных s с архимедовой постоянной2 7Г = 3.14159265... и числами Бернулли Bs Є Q; последние могут быть определены с помощью производящей функции
оо „ оо пі
1 2 Af s! 2^
._ - - « "w
В 1882 году Ф. Линдеман3 доказал трансцендентность числа 7Г и, тем самым, трансцендентность (s) для четных s.
Лишь веком спустя после Эйлера Б. Риман4 рассмотрел ряд в (1) как функцию комплексного переменного s. Этот ряд представляет в области Res > 1 аналитическую функцию, которая может быть продолжена на всю комплексную плоскость до мероморфной функции C(s). Именно это аналитическое продолжение и ряд важных свойств функции (s) были открыты Риманом в его мемуаре о простых числах. Дзета-функция Ри-мана и ее обобщения играют неоценимую роль в аналитической теории чисел5, но тематика настоящей диссертации посвящена изучению арифметических и аналитических свойств значений эйлеровых сумм (s) в (1) при положительных s > 1 и обобщений этих чисел. Для краткости мы будем называть величины
_ ns
п=1
при целых положительных s дзета-значениями, а также четными и нечетными дзета-значениями в зависимости от четности s.
1Ь. Euler, Сотт. Acad. Sci. Imp. Petropol. 9 (1737), 160-188; Meditationes circa singulare serierum genus, Novi Comm. Acad. Sci. Petropol. 20 (1775), 140-186; Reprinted, Opera Omnia Ser. I 15 (Teubner, Berlin 1927), 217-267.
2S. R. Finch, Mathematical constants, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94 (Cambridge University Press, Cambridge 2003).
3F. LlNDEMANN, Uber die Zalh n, Math. Annalen 20 (1882), 213-225. Б. Рим АН, О числе простых чисел, не превышающих данной величины, Сочинения (ОГИЗ, Москва 1948), 216-224.
5С. М. Воронин, А. А. Карацуба, Дзета-функция Римана (Физматлит, Москва 1994).
Как было отмечено выше, трансцендентность (а значит, и иррациональность) четных дзета-значений следуют из классических результатов Эйлера и Линдемана. Формулы, подобные (2), для нечетных дзета-значений неизвестны, и предположительно C(2fc + l)/7T2fc+1 не является рациональным числом ни для какого целого к ^ 1. Арифметическая природа нечетных дзета-значений казалась неприступной вплоть до 1978 года, когда Р. Апери6 предъявил последовательность рациональных приближений, доказывающих иррациональность числа (3)- Именно это результат известен в математике как теорема Апери, а число (3) также известно в наши дни как постоянная Апери.
История этого открытия так же, как и строгое математическое обоснование наблюдений Апери, изложены А. ван дер Портеном7. В качестве рациональных приближений к (3) Апери выбирает последовательность vn/Un Є Q, те = 0,1,2,..., где знаменатели {ип} = {теп}п=од,... и числители {vn} = {vn}n=o,i,... удовлетворяют одной и той же полиномиальной рекурсии
(те + 1)3ип+1 - (2га + 1)(17те2 + 17те + Ъ)ип + n3ran_i = 0 (3)
vq = 0, vi = 6.
(3), (4)
но не менее важным обстоятельством являются неожиданные (с точки зрения рекурсии (3)) включения
Un = J2(nk) Г к ) GZ> D3nvneZ, n = 0,l,2,..., (5)
к=о \ / \ /
где через Dn обозначено наименьшее общее кратное чисел 1,2,...,те (и D0 = 1 для полноты). Применение теоремы Пуанкаре8 к разностному уравнению (3) приводит к предельным соотношениям
lim (^(3)-^1^ = (^2-1)4, (6)
п—>оо
lim \ип\1/п = lim \vn\1/n = (\/2 + І)4 (7)
п—>оо п—>оо
согласно (4), где числа (л/2 — I)4 и (л/2 + 1)4 являются корнями характеристического многочлена Л2 — 34Л + 1 рекурсии (3). Собранная информация о свойствах последовательностей {ип} и {vn} доказывает, что число (3) не может быть рациональным. Действительно, в предположении (3) = а/Ъ, где а, Ъ Є Z, линейные формы rn = bD3(un(3) — vn) являются целыми
6R. Apery, Irrationalite de ((2) et ((3), Asterisque 61 (1979), 11-13. 7A. VAN DER POORTEN, A proof that Euler missed... Apery's proof of the irrationality of ((3), Math. Intelligencer 1:4 (1978/79), 195-203.
А. О. Гельфонд, Исчисление конечных разностей, 3-е изд. (Наука, Москва 1967).
числами, ненулевыми ввиду (6). С другой стороны, Dn —> е при п —У оо согласно асимптотическому закону распределения простых чисел; следовательно,
lim \гп\1/п = е3(\/2 - I)4 = 0.59126300 ... < 1,
П—)-00
что при достаточно большом п вступает в противоречие с оценкой \rn\ ^ 1 для целых ненулевых гп. Более того, дополнительные предельные соотношения (7) и стандартные аргументы9 позволяют измерить иррациональность постоянной Апери количественно:
Здесь и далее показателем иррациональности /j,(a) вещественного иррационального числа а называется величина
fi = fi(a) = inf{c Є Ж : неравенство \а — а/Ь\ ^ \Ь\~С имеет конечное число решений в a, b Є Z};
в случае іі(а) < +оо говорят, что а — нелиувиллево число.
Оригинальные рассуждения Апери были настолько загадочны, что интерес к теореме Апери не ослабевает и в наши дни. Феномен последовательности рациональных приближений Апери неоднократно переосмысливался с точки зрения различных методов10, п, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,
9М. Hata, Rational approximations to 7Г and some other numbers, Acta Arith. 63:4 (1993), 335-349.
10F. Beukers, A note on the irrationality of ((2) and ((3), Bull. London Math. Soc. 11:3 (1979), 268-272.
nF. Beukers, Pade approximations in number theory, Lecture Notes in Math. 888 (Springer-Verlag, Berlin 1981), 90-99.
12F. Beukers, Irrationality proofs using modular forms, Asterisque 147-148 (1987), 271-283.
13S. Fischler, Irrationalite de valeurs de zeta [d'apres Apery, Rivoal, ...], Asterisque 294 (2004), 27-62.
14Л. А. Гутник, Об иррациональности некоторых величин, содержащих ((3), Успехи матем. наук 34:3 (1979), 190; Acta Arith. 42:3 (1983), 255-264.
15Ю.В. Нестеренко, Некоторые замечания о ((3), Матем. заметки 59:6 (1996), 865-880.
16Yu. V. Nesterenko, Integral identities and constructions of approximations to zeta values, J. Theor. Nombres Bordeaux 15:2 (2003), 535-550.
17M. PrEVOST, A new proof of the irrationality of ((3) using Pade approximants, J. Comput. Appl. Math. 67 (1996), 219-235.
18B. H. Сорокин, Аппроксимации Эрмита-Паде для систем Никишина и иррациональность ((3), Успехи матем. наук 49:2 (1994), 167-168.
19В. Н. Сорокин, Теорема Апери, Вестник МГУ. Сер. 1. Матем., мех. № 3 (1998), 48-52.
і і і і
. Новые подходы позволили усилить результат Апери количественно — получить лучшую оценку для показателя иррациональности числа (3) (последние этапы соревнования в этом направлении — работы М. Хаты25 и Дж. Рина, К. Виолы26. Мы прежде всего укажем явные формулы для последовательности un((S) — vn, которые играют важную роль в дальнейшем изложении: представление Бэйкерса
^-ъ-Ш^-*'**1**' (8)
[ОД]3
в виде кратного вещественного интеграла, а также ряд Гутника-Несте-ренко
«„«з) - и,, = -і Т А (Ч*-і)(*-2)-(*-п)
sv ; 2f^dt\t(t+l)(t + 2)---(t + n)
и ряд Болла27
(9)
t=v
n\(t-l)---(t-n)-(t + n+l)---(t + 2n)
2) t±{t+iy---{t + n)
(10) Отметим, что с помощью своего метода "ускорения сходимости" Апери установил также иррациональность числа (2) без явного применения формулы (2) = 7г2/6. На этот раз, знаменатели {и'п} и числители {v'n} линейных приближающих форм и'пС,{2) — v'n, п = 0,1, 2,..., удовлетворяют рекурсии
' " 0
20B. H. Сорокин, Циклические графы и теорема Апери, Успехи матем. наук 57:3 (2002), 99-134.
21С. Viola, Birational transformations and values of the Riemann zeta-function, J. Theor. Nombres Bordeaux 15:2 (2003), 561-592.
22D. Zeilberger, Computerized deconstruction, Adv. Appl. Math. 31 (2003), 532-543.
23B. В. Зудилин, Разностные уравнения и мера иррациональности чисел, Аналитическая теория чисел и приложения (сб. статей), Труды МИАН 218 (1997), 165-178.
24W. Zudilin, Apery's theorem. Thirty years after, Intern. J. Math. Computer Sci. 4:1 (2009), 9-19.
25M. Hata, A new irrationality measure for ((3), Acta Arith. 92:1 (2000), 47-57.
26G. Rhin, С Viola, The group structure for ((3), Acta Arith. 97:3 (2001), 269-293. K. Ball, T. Rivoal, Irrationalite d'une infinite de valeurs de la fonction zeta aux entiers impairs, Invent. Math. 146:1 (2001), 193-207.
I il/n n I
lim Kc(2) - #
n—>oo
n I um І иП І і <-,
lim |и„|1//п = lim \v.
Данная последовательность приближений приводит также к оценке
для показателя иррациональности числа 7Г2. Приближения Апери к (2) могут быть представлены в виде двухкратного вещественного интеграла
х)пуп(1 - у)1
[1-хуУ
[ОД]2
а также в виде гипергеометрического ряда
(12)
t=u
и' С(2) -v'=(-irT n]-
Вместе с тем, теорема Апери является первым существенным продвижением в решении следующей задачи (которую по праву можно назвать фольклорной; печатное упоминание см., например, в монографии А. Б. Шидловского28): доказать иррациональность чисел C(2fc + 1) для k= 1,2,3,... .
К сожалению, естественные обобщения конструкции Апери приводят к линейным формам, содержащим значения дзета-функции как в нечетных, так и в четных точках; это обстоятельство не позволяло получить результаты об иррациональности (s) для нечетных s ^ 5. Лишь в 2000 году Т. Ривоаль29, используя обобщение представления Болла (10), построил линейные формы, содержащие только нечетные дзета-значения и позволяющие доказать следующий результат: среди чисел
С(3), С(5), С(7), С(9), С(П),
имеется бесконечно много иррациональных. Более точно, для размерности S(s) пространств, порожденных над Q числами 1,^(3),^(5),..., (s — 2)X(s), где s нечетно, справедлива оценка
log s
S(s) ^ (1 + о(1)) при s —> оо.
w l + log2v v "
По существу, теоремы Апери, Ривоаля и связанные с ними представления в виде рядов и кратных интегралов указывают на тесную связь
28А.Б. Шидловский, Трансцендентные числа (Наука, Москва 1987). Т. Rivoal, La fonction zeta de Riemann prend une infinite de valeurs irrationnelles aux entiers impairs, С R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 331:4 (2000), 267-270.
конструкций приближений с обобщенными гипергеометрическими ряда ми
\ оо
Ь\, . . . , Ьт
г \ _ Vу yao)^(ai)^ (flm)i/ „ /iq\
m-\-l"m
7 ^ "!(*!)(« 1 '
где (а)^ = Г (а + г/)/Г(а) обозначает символ Похгаммера; условие
Re(a0 + ai Н Ь am) < Re(61 H h 6TO)
обеспечивает сходимость ряда (13) в области \z\ ^ 1. Эти специальные функции и их многочисленные обобщения играют важную роль во всех разделах математики. Мы ограничимся здесь упоминанием классических монографий-энциклопедий У. Бейли30, Л. Слейтер31 и Дж. Энрюса, Р. Ас-ки, Р. Роя32, в которых обсуждаются не только результаты, но и приложения гипергеометрических функций. Отметим также монографию Г. Гаспе-ра, М. Рахмана33, посвященную (/-обобщенным гипергеометрическим функциям и известную в среде специалистов под именем д-библии.
Именно связь приближающих линейных форм из теории чисел с теорией гипергеометрических функций позволила по-новому взглянуть на ряд открытых проблем в обеих областях математики, включая гипотезу Д. Васильева о разложении обобщенных интегралов бэйкерсова типа в линейные формы от дзета-значений фиксированной четности34, гипотезу А. Шмидта о целочисленности последовательностей, связанных с обобщенными последовательностями Апери35, гипотез Д. Бойда о выражении меры Малера через L-ряды36 (т.е. обобщенные дзета-значения), а также проблем представления последних в виде периодов, сформулированных М. Концевичем и Д. Загиром37. Кроме того, гипергеометрические ряды позволили получить ряд новых качественных и количественных результатов в направлении теорем Апери и Ривоаля.
W. N. Bailey, Generalized hypergeometric series, Cambridge Math. Tracts 32 (Cambridge Univ. Press, Cambridge 1935)
L.J. Slater, Generalized hypergeometric functions (Cambridge Univ. Press, Cambridge 1966).
32G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy, Special functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 71 (Cambridge University Press, Cambridge 1999).
Г. Гаспер, M. Paxmah, Базисные гипергеометрические ряды (Мир, Москва 1993).
D.V. Vasilyev, On small linear forms for the values of the Riemann zeta-function at odd points, Preprint № 1 (558) (Nat. Acad. Sci. Belarus, Institute Math., Minsk 2001).
35A.L. Schmidt, Generalized g-Legendre polynomials, J. Comput. Appl. Math. 49:1-3 (1993), 243-249.
36D. Boyd, Mahler's measure and special values of L-functions, Experiment. Math. 7:1 (1998), 37-82.
37M. KONTSEVICH, D. Zagier, Periods, Mathematics unlimited —2001 and beyond (Springer, Berlin 2001), 771-808.
Цель и задачи исследования. Основной целью работы является решить ряд открытых проблем в теории чисел, комбинаторике и теории специальных функций, прямым или косвенным образом связанных с теоремой Апери об иррациональности (3). Именно, в диссертации исследуются следующие задачи:
количественное усиление теоремы Ривоаля;
гипотеза Д. Васильева о представлении обобщенных кратных интегралов в виде линейных форм от дзета-значений;
иррациональность q-дзета-значений;
новые оценки меры иррациональности дзета-значений;
приближения Паде и их приложения к задачам о расстоянии натуральных степеней рационального (нецелого) числа до ближайшего целого;
преобразование Лежандра последовательностей, связанных с последовательностью Апери (5), и гипотеза А. Шмидта;
гипергеометрические представления L-рядов — обобщенных дзета-значений.
Методика исследования. Методика диссертации включает использование многочисленных классических теорем из вещественного и комплексного анализа, теории чисел, методы теории обобщенных гипергеометрических функций, включая их преобразования, суммирования и интегральные представления, асимптотические методы, методы теории модулярных функций, специальные (арифметические) дифференциальные уравнения и методы собственно теории диофантовых приближений (иррациональных и трансцендентных чисел).
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В частности, в работе установлены следующие теоремы:
по крайней мере одно из четырех чисел (5), (7), (9) и (11) иррационально;
новое интегральное представление для вполне-уравновешенных гипергеометрических рядов и, с его помощью, решение гипотезы Д. Васильева;
оценка сверху для меры иррациональности д(2) = Х^=і ?п/(1—?п)2? (/-аналога числа (2);
лучшая оценка сверху для меры иррациональности (2);
лучшая оценка для расстояния от (3/2)fc, к = 1, 2,..., до ближайшего целого;
решение гипотезы А. Шмидта в общем случае;
гипергеометрические представления для L(E, 2) и L(E, 3) в случае эллиптической кривой Е кондуктора 32.
Практическая и теоретическая ценность. Исследование, проведенное в диссертации, носит теоретический характер. Развитые в работе
методы могут применяться и применяются в задачах теории чисел, комбинаторике, теории гипергеометрических рядов, теории модулярных форм, а также в вещественном и комплексном анализе, р-адическом анализе, алгебраической геометрии, дифференциальных уравнениях, математической физике, К-теории.
Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов высших учебных заведений и аспирантов, обучающихся по специальности математика.
Апробация результатов диссертации. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре теории чисел МГУ; на семинарах математического института им. М. Планка (Бонн, Германия); научных семинарах университетов Париж 6, Лион 1, Гренобля, Лилля, Метца (Франция); Гёттенбурга, Кёльна, Франкфурта, Майнца, Касселя (Германия); Оулу (Финляндия); Цюриха (Швейцария); Лунда (Швеция); Копенгагена (Дания); Пизы (Италия); Сингапура (Сингапур); Ньюкасла, Мельбурна и Брисбана (Австралия); Осака (Япония); Монреаля (Канада).
Также результаты диссертации докладывались на международных конференциях, включая: Diophantische Approximationen (Обервольфах, Германия, 2000 & 2007 & 2012); Problemes diophantiens et nombres transcendants (Париж, 2001); Recent Advances in Mathematical Analysis and Number Theory (МИАН, Москва, 2001); Problemes diophantiens (CIRM, Марсель Лю-мини, Франция, 2002) Elementare und Analytische Zahlentheorie (Обервольфах, Германия, 2003); 13th Journees Arithmetiques (Грац, Австрия, 2003); Diophantine Approximation (Лейден, Голландия, 2003); 7th Symposium on Orthogonal Polynomials, Special Functions and Applications (Копенгаген, Дания, 2003); 35th Annual Iranian Mathematical Conference (Ахваз, Иран, 2005); Analytical Methods in Number Theory, Probability Theory and Mathematical Statistics (Санкт-Петербург, 2005); Gauss-Dirichlet Conference (Гёт-тинген, Германия, 2005); 14th Journees Arithmetiques (Марсель, Франция, 2005); Diophantine Approximation and Heights (Вена, Австрия, 2006); Diophantine approximation and transcendental numbers (CIRM, Марсель Лю-мини, Франция, 2006); Diophantine and analytic problems in number theory (МГУ, Москва, 2007); 9th Symposium on Orthogonal Polynomials, Special Functions and Applications (Марсель, Франция, 2007); Developpements re-cents en approximation diophantienne (CIRM, Марсель Люмини, Франция, 2007); Analytical and Combinatorial Methods in Number Theory and Geometry (Ираклион, Крит, Греция, 2007); p-adic Aspects of Differential Equations: Crystals, Mirror symmetry, Modular Forms (Лозанна, Швейцария, 2007); Combinatorics and Statistical Physics (Вена, Австрия, 2008); Number Theory and Physics at the Crossroads (Банфф, Канада, 2008); Geometry and Arithmetic around Hypergeometric Functions (Обервольфах, Германия, 2008); 10th Symposium on Orthogonal Polynomials, Special Functions and Applications (Лёвен, Бельгия, 2009); 53rd Annual Meeting of the Australian Mathematical Society (Аделаида, Австралия, 2009); 54th Annual Meeting of the
Australian Mathematical Society (Брисбан, Австралия, 2010); Computational and Analytical Mathematics (Барнаби, Канада, 2011); Explicit Methods in Number Theory (Обервольфах, Германия, 2011 & 2013); 11th Symposium on Orthogonal Polynomials, Special Functions and Applications (Мадрид, Испания, 2011); 55th Annual Meeting of the Australian Mathematical Society (Воллонгонг, Австралия, 2011); Analytic Number Theory (Киото, Япония, 2011); Hypergeometric series and their generalizations in algebra, geometry, number theory and physics (Париж, Франция, 2012); The works of Srinivasa Ramanujan and related topics (Майсур, Индия, 2012); The Legacy of Srinivasa Ramanujan (Дели, Индия, 2012); Arctic Number Theory Workshop (Саари-селкя, Финляндия, 2013); Special Functions and Special Numbers (Утрехт, Голландия, 2013); 57th Annual Meeting of the Australian Mathematical Society (Сидней, Австралия, 2013).
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 27 работах, входящих в список изданий, рекомендуемых ВАК России для публикации научных результатов на соискание ученой степени доктора наук. Кроме того, 4 работы по теме диссертации опубликованы в прочих изданиях; они отмечены звездочкой (*) в приводимом далее списке основных публикаций по теме диссертационного исследования.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введения, семи глав, заключения и списка цитируемой литературы, насчитывающего 165 наименований. Для обозначения теорем используется одинарная нумерация; леммы и предложения имеют двойную нумерацию, в которой первое число отвечает номеру главы, а второе — текущему номеру утверждения внутри главы.
Полный объем диссертации составляет 118 страниц.
