Содержание к диссертации
Введение
1. О скорости сходимости распределений случайных величин 35
1 О характеристической функции интервала 36
2 Оценка скорости сходимости к предельному показательному распределению 43
3 Оценка скорости сходимости к предельному нормальному распределению 56
4 Оценка скорости сходимости в общем случае 68
2. О дробных моментах случайных величин 81
1 Асимптотика дробных моментов для случая показательного распределения 82
2 Асимптотика дробных моментов для случая нормального распределения 117
3. О распределении значений аргумента дзета-функции Римана на критической прямой 150
1 Определения и вспомогательные утверждения 152
3.1.1 Определение функций S(t), Si(t) и N(T) 152
3.1.2 Простейшие свойства S(i) 152
3.1.3 Несобственный интеграл, содержащий функцию S(t) 153
2 Моменты функций \S(t)\ и і(і + Л) - Si{t)\ 155
3 Оценка числа перемен знака функции S(t) на коротких интервалах 162
4 О распределении значений функций \S(t)\ и \S\(t + h) — Si(t)\ на коротких интервалах 169
5 О больших значениях функции S(t) на коротких интервалах 173
3.5.1 Верхняя и нижняя грани значений функции S(t) на коротких интервалах 173
3.5.2 О распределении больших значений функции S(t)
на коротких интервалах 191
6 Изменение знака функции S(t) на коротких интервалах 198
4. О распределении нулей дзета-функции Римана 207
1 О нулях дзета-функции Римана большой кратности 207
2 О больших расстояниях между последовательными нулями дзета-функции Римана 220
3 О верхних и нижних оценках суммы вида (7n+i-7n)fe 229
4 О числе промежутков Грама, содержащих ординаты последовательных нулей дзета-функции Римана 234
5. Приложения для арифметических сумм 245
1 Предельные теоремы для специальных арифметических сумм 245
2 Дробные моменты специальных арифметических сумм 250
3 Распределение абсолютных значений тригонометрической суммы 256
Список литературы
- Оценка скорости сходимости к предельному нормальному распределению
- Асимптотика дробных моментов для случая нормального распределения
- Несобственный интеграл, содержащий функцию S(t)
- О числе промежутков Грама, содержащих ординаты последовательных нулей дзета-функции Римана
Оценка скорости сходимости к предельному нормальному распределению
В теории дзета-функции Римана можно выделить три основных направления исследования: 1) распределение нулей дзета-функции Римана (s) в критической полосе и на критической прямой; 2) рост величины С(5) в критической полосе и на критической прямой; 3) поведение аргумента дзета-функции Римана на критической прямой. Первые два направления тесно связаны с широким кругом проблем теории простых чисел и достаточно хорошо изучены. ж Третье направление представляет большой научный интерес, но при этом изучено в меньшей степени, чем первые два. Функция S(t) представляет большой практический интерес в связи с численным нахождением нетривиальных нулей C(s). Тем не менее, практическая проверка предположений о величине роста функции S(t) представляет очень трудную численную задачу, поскольку S(t) очень медленно растет и заметные изменения в ее росте существенно выходят за пределы технических возможностей современных ЭВМ.
Настоящая работа посвящена развитию вероятностных методов в теории чисел и исследованию поведения функции S(t) на коротких интервалах, а также решению некоторых задач о свойствах нетривиальных нулей (,(s) и закономерностях в их распределении, тесно связанных с S(t). Одной из задач теории аргумента дзета-функции Римана является проблема определения порядка роста величины М[Т) — числа перемен знака S(t) на промежутке 0 t Т. Первый результат здесь принадлежит Г. Бору и Э. Ландау [3], которые в 1913 г. доказали существование положительной постоянной а такой, что ;. ., s(t) - s(t)- — hmmr ——г- = —оо, limsup -—r- = +oo. Отсюда следует, что функция S(t) на интервале (0, +оо) меняет свой знак бесконечно много раз. В 1946 г. А. Сельберг [59] разработал новый метод, с помощью которого получил следующую нижнюю оценку числа точек перемены знака S(t) на промежутке (Т, Т + Н\. М(Т + Я) - М(Т) #(lnT)3e-ClVnn . (3) Длина Н рассматриваемого промежутка имела вид Т 5+, где О є 0,5 — произвольное фиксированное число. Дальнейшее уточнение этого результата происходило по двум направлениям. Первое связано с нахождением нижних оценок разности М(Т+Н)-М(Т) при Я = Та, 0 а 1/2, а второе — с заменой правой части неравенства Сельберга функцией, растущей быстрее, чем Я(тТ)зе С1 1п1пГ . В 1981 г. А. Гош [119] доказал, что при Я = Та+ М(Т + Я) - М(Т) Я(1пГ) ехР (-(b _,) , (4) где 0 5 1/2. При этом величину а можно брать равной нулю, если гипотеза Римана верна, и равной 0,5 в противном случае.
Наконец, в 1996 г. А. А. Карацуба [35] доказал неравенство А. Сельберга (3) при Я = Т27/82+є. Далее, в 2002 г. М. А. Королев ([32], [51]) доказал результат А. Гоша (4) при Я = Т27/82+є. Отметим, что вопрос об истинном порядке роста М{Т) при Т —» +оо в настоящее время остается открытым.
В 1998 г. Р. Вон и Т. Були [108] при исследовании распределения значений некоторых тригонометрических сумм полу--- чили асимптотические формулы для дробных моментов этих сумм. Изучая распределение нулей дзета-функции Римана, в 2008 г. М. А. Королев ([50], [52]) получил асимптотические формулы для дробных моментов некоторых характеристик этих нулей.
В 2010 г. в работе [171] была доказана теорема о дробных моментах случайных величин, из которой следует лучший результат о числе перемен знака S{t) и другие более сильные результаты о дробных моментах арифметических сумм. В этой работе [171] предлагается метод, позволяющий получать асимптотические формулы для дробных моментов случайных величин с лучшими остатками и для более широкого множества значений параметра по сравнению с результатами работ предыдущих авторов. Данный подход развивает метод моментов, созданный академиком А.А.Марковым [78].
Рассмотрим полное вероятностное пространство (Q, ,Р). Пусть n : Q, — R — случайная величина, a Fn(x) = P(u : Сп( ) х) — функция распределения, где п — некоторый вещественный параметр, а х 0. Обозначим +00 та(п) = / xadFn(x) — а-ый момент случайной величины п. Пусть далее, [х] — целая часть х. В нижеследующей теореме будут рассмотрены два случая: случай предельного нормального распределения и случай предельного показательного распределения. В первом случае параметр 8 = О, а во втором—5 = 1. Теорема 1. Пусть существует абсолютная постоянная щ 1 такая, что для любого п щ и любых целых чисел 1 v [g\nf(n)] + 1, где 0 g 0.1 — некоторая постоянная, а /() — вещественнозначная функция такая, что Km f(x) = +оо, справедливо следующее равенство: Ж-++00 т2„(п) = 72„ (1 + -тр:) , 0 1, где o iv — некоторая последовательность положительных чисел, определяемая ниже. Тогда найдется число П\ щ такое, что для любого п щ и любого 0 а 0.5 1п/(п) справедливо равенство: та{п) = fi(a) + 9Rn, где /2(a) — некоторая функция параметра а, определяемая ниже, \9\ 1 и Ді, 0 а ЗО; Rn={R2, 30 a p vWM; ,#з, p W\/ln Я) а 0.5 1п/(п); Ді 2US /222lnln/(n) а V Є In/(те) а+1+5 2l2+2Vinr S \ а+І+Д Я2 = 27/і(а) Іп/(п) V / _ о2+ Я3 = 22+VO) ехр Qy/\nf(n) 220+25 [2-5аГ (0.5а + 0.5)7Г--5, если а2г, = 0 и 5 = 0; /л(а) = 2 " І Г (0.5а+ 1), если o-2v = v\ и 5 = 1, где Г(-) — гамма-функция Эйлера. Замечание 1. Подобного рода утверждение верно и в более общем случае. Относительно предельного распределения F(x) будем предполагать, что в некоторой окрестности нуля верно неравенство \F{x)\ Ах@, для некоторых А 0 и /3 0. Для o 2V будем предполагать выполнения неравенств 0 uiv (CvY{2 5), где С 1,0 5 2 — некоторые постоянные.
Асимптотика дробных моментов для случая нормального распределения
Одним из направлений современных исследований в аналитической теории чисел является изучение распределения арифметических функций. В 1952 году Г. Давенпорт и П. Эрдеш [11] доказали, что значения "коротких" сумм символов Ле-жандра распределены по нормальному закону. Эти исследования были продолжены Ю. В. Линником и И. П. Кубилюсом [70]- [72].
Первые результаты о распределении значений сумм арифметических функций с остаточным членом были получены А. Г. Постниковым и М.П. Минеевым. В 1960 г. А. Г. Постников [75] вывел закон распределения значений очень коротких рациональных тригонометрических сумм с показательной функцией в экспоненте. М. П. Минеев [79]—[81] и др. доказали новые метрические теоремы о тригонометрических суммах с быстрорастущими функциями. Отметим, что аналогичные исследования, связанные с поведением частичных сумм лаку-нарных тригонометрических рядов были проведены Р. Форте [83], М. Кацем [105], А. Зигмундом [118], И. А. Ибрагимовым [121], В.Ф. Гапошкиным [135]-[136] и др.
В конце 90-х годов В.Н. Чубариков [138],[139],[147] поставил задачи о распределении значений классических тригонометрических сумм таких, как короткие суммы Гаусса, аналогов сумм Клостермана, сумм характеров Дирихле по простым, сумм коротких рациональных тригонометрических сумм с показательной функцией в экспоненте по "сдвигам" интервалов суммирования. В решении этих задач приняли участие Р. Н. Бояринов [146]-[152], Э. К. Жимбо [137]-[139], И. С. Нгон-го [140]-[142] и др.
Отметим, что в основе исследований распределения значений сумм арифметических функций лежат методы теории вероятностей: метод моментов, метод характеристических функций и теория интегралов и рядов Фурье. Важной задачей при исследовании поведения арифметических функций является проблема оценки скорости сходимости к предельному распределению. Для многих арифметических функций либо не удавалось получить оценку скорости сходимости классическими методами теории вероятностей, либо эта оценка была неудовлетворительной.
В данной работе предлагается метод получения оценки скорости сходимости к предельному распределению для неотрицательных случайных величин, использующий только асимптотические выражения для чётных моментов.
Данный подход развивает метод моментов, созданный академиком А.А.Марковым [78]. 1.0 характеристической функции интервала Важную роль при доказательстве теорем о скорости сходимости играет лемма о характеристической функции интервала. Дискретный аналог нижеследующей леммы о характеристи Глава!. О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ 37 ческой функции интервала принадлежит Г. И. Архипову и В. Н. Чубарикову [92]. Определим для любых положительных а и є а, любого натурального числа к следующие функции: ір+(х) = (р+(х;а,є,к) и ір (х) — /з_(:г; а,є, к). а+є V+W = m)2g2fc+i / ( - a)fc(a + - f)k dt хє[а,а + є]; а -( = L)2g2fc+1 / ( " а + Є) а " dt ie(fl-f 1 x Далее, определим функции д(х) = д(х; а), д+(х) = д+{х; а, є, fc) ир-(ж) = д-(х;а,є,к) : fl для И в, (11) 10 для \х\ а; I I для а; а, tp+(\x\) для а ж а + є, (1.2) 0 для х а + є; I I для \х\ а — є, Р-(\х\) для а — є \х\ а, (1.3) 0 для ж а. Очевидно, что для любого действительного числа х имеет место следующее неравенство: д-{х) д(х) д+(х) (1.4) Справедливы следующие леммы [167], [170]. Глава 1. О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ 38 Лемма 1. Для функций дДх) и дДх) справедливы следующие утверждения: 1) функция д+(х) монотонно убывает на отрезке [а; а + є] и д+(а) = 1, а д+(а + є) = 0; 2) функция дДх) монотонно убывает на отрезке [а — є; а] идДа-е) = 1, адДа) = 0; 3) для любого натурального числа s к : 9{:\а) = д(:\а + е)= дЬ\а - е) = /я)(а) = 0; 4) функции д+{х) и дДх) имеют непрерывные k-ые про изводные и для любого вещественного числа х справед ливы неравенства: Доказательство. Монотонность функций р+(х) на отрезке [а; а + є] и р_(гс) на отрезке [а — є; а] непосредственно следует из определения. Очевидно, что д+(а + є) =д-(а) = 0. Лемма 2. Пусть G+(x) и G-(x) — преобразования Фурье функцийд+(х) ид (х) соответственно. Тогда G+(x) uG-(x) — чётные непрерывные функции, для которых справедливы следующие неравенства:
Несобственный интеграл, содержащий функцию S(t)
Настоящая глава посвящена нахождению выражений для дробных моментов случайных величин. В теории чисел бывает возможным получение асимптотических формул для четных моментов арифметических сумм. Возникает необходимость получения асимптотических формул для нечетных моментов. Первым, кто выразил первый момент через четные моменты, был А. Гош [119].
В работах [32], [50] и [108] были получены асимптотические формулы для дробных моментов некоторых арифметических функций, имеющих предельные показательное или нормальное распределения. В данной главе предложен метод [171], [162], позволяющий получать асимптотические формулы для дробных моментов случайных величин с лучшими остатками и для более широкого множества значений параметра в сравнении с результатами работ предыдущих авторов.
Данный подход развивает метод моментов, созданный академиком А.А.Марковым [78]. Асимптотика дробных моментов для случая показательного распределения
Рассмотрим полное вероятностное пространство (Q,X,P). Пусть п : Q, —» R — случайная величина, a Fn(x) = (и : \п(и)\ х) функция распределения случайной величины п, где п — некоторый вещественный параметр, а х 0. Обо +оо значим та(п) = / ха dFn(x) — а-ът момент случайной вели о чины п. Через F(x) будем обозначать предельную функцию распределения: F(x) = r-e ДЛЯХ- (2.1) для х 0. Тогда +0О i/!= [ x2vdF(x). (2.2) Справедливы следующие теоремы [171]. Пусть s = [] + 2. Теорема 8. Пусть существует абсолютная постоянная щ 1 такая, что для любого п щ существует натуральное число N — N(n) 4 такое, что для любых целых чисел 1 v N справедливо следующее равенство: Ш2,(") = "І (і + -щ) . И 1, (2.3) где /() — вещественнозначная функция и lim f(x) — +оо. Тогда найдется вещественное число пі щ такое, что для любого п щ и любых вещественных чисел 0 а N, А 1 и (J, 4 справедливо равенство: та{п) = Г ( + l) + Rn, (2.4) Глава 2. О ДРОБНЫХ МОМЕНТАХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 83 где Г(-) — гамма-функция Эйлера, а m u.(msY -i + f(l-2+e-i) + + -—max Ла Ы (т) +7w (2 5) Доказательство теоремы будет опираться на нижеследующие леммы. Пусть Є=/еОІП ДляЄ 0,а 0; [О для = 0, а 0. Лемма 3. Справедливо следующее тождество (1-е ?иУ e-?u2du ul+a \t\a = к 1 J О +00 , 2Ч 2 гдек= Г (1"е"" Ге"" du - -О Доказательство. Делая замену z = и в интеграле +0О / (1 - е u )ee " гіи wl+a О получим требуемое. Далее, 2, 2 1 Г (1 - е и )se-u du Г J ui+a J о о . (1 - е и Ye-U du Г u2sdu Я I ± т1 / —т— е Asu1+a Глава 2. О ДРОБНЫХ МОМЕНТАХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 84 Г u2sdu 1 1 1 " J 3 45u1+a 3 4s 2s - a 12 4s о так как 2 2s - a 4, а 1 — е-"2 . Лемма 3 доказана полностью. Будем считать, что 0 = 1, а С" — число сочетаний из s элементов по п. Тогда справедлива лемма. Лемма 4. Для любого целого числа 0 v s — 1 справедливо равенство: S C?(-I)nn" = 0. га=0 Доказательство. Докажем, что для любого целого числа 0 v s — 1 справедливо тождество: (1 - я Р ) = 5Z C?(-l)"n n, (2-7) п=0 где Pv{x) — многочлен v - ой степени, причем Р„(1) 0. При v = 0 получаем (l- )- = C?(-l)V , (2-8) п=0 ОД = 1. Дифференцируя (2.8) по х, а потом умножая полученный результат на х, получим S -sx(l - х)8 1 = J2 С?{-1)ппхп. (2.9) Поэтому, при и = 1 получаем Глава 2. О ДРОБНЫХ МОМЕНТАХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 85 (l-xy-1P1{x) = Y&{-\)nnx»1 п=0 где Р\{х) = —sx. Аналогично доказываем, что (2.7) верно и для v + 1 s. Дифференцируя (2.7) по х, а потом умножая полученный результат на ж, получим s (1 - x)s-v lPv+l{x) = У Cns(-l)nnv+lxn, (2.10) n=0 где P„+i(x) = х (-(з - u)Pv{x) + (1 - x)P r(x)) . Очевидно, что (— (s — ь )Ри(х) + (1 — x)Pv(x)) является многочленом v - ой степени И P!/+i(l) ф 0. Тем самым, доказано тождество (2.7) для всех 0 v s — 1.
Доказательство теоремы. Пусть то 1 такое число, что для любого п то : f{n) 1. Тогда Пі max(no,mo). +00 j ШиЩсІи) = j ха dFn(x). Далее, +00 e(n)= f xadFn(x) = 771 + +0 ,2„2Чо „2..2 1 / ад / Г""" («D Внутренний интеграл представляет собой непрерывную на R функцию, поэтому для любого Л 1, имеем: ma(n) = Ji + Rni, (2.12) J JclF j - X . (2.13) о о Оценим Rni : +00 +00 1 J є 2 dFn{x) J О A \Rni\ -1 I e-x"A"dR ч du ul+a +00 +00 A a f o,2 .„ , ч 12-4s xa о о e x2x2 dFn(x) Ц - J e x2x2 dFn(x). (2.14) Далее, для любого 0 є 1, имеем Ji = J2 + Rn2, (2.15) +0 Л ,2„2Ч« „20,2 Ji = о +00 /2s 2s—a dFn(xf„ . 12-4s5!s2, 2s — a о ад/ Г" («-«О - 2 2 2„.2Чо _X2U2 так как 1-е . Поскольку (1 - e- u )se ul+a Глава 2. О ДРОБНЫХ МОМЕНТАХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 87 является непрерывной функцией на множестве [є, А] х [0, +оо), то можно переставить порядок интегрирования в (2.16), применив теорему Фубини (см. стр. 43). Получим Л + 2 2 2 2 duj dFn{x)y- -jJ . (2.17) є О Справедливо тождество (см. [12], стр. 395): + 00 е-»2 = 1 / t2 -;= І cos(ut)e"dt. (2.18) V 7Г J Отсюда, для любого ц 4 имеем -х2и2 1 /" (2 1 / _ е "" " = —7= / сов(;ш)е 4dH—р= / cos(xut)e 4 d. (2.19) V к J \П J О /І Подставляя (2.19) в выражение для (2.17), получим: А +оо T J f Zw-w / cos(\/n + lxut)e T dt + Rn3 = J3 + RT A +00 Х\/к J и є О +00 s X ,n=0 »3 = - / /dF„M v / (5 QC-1)" cos(\ATTT:rat) J e ft (2.20) Оценим Rns- Так как C {-l)ncos{VnTlxut) п=0 (2.21) ul+a является непрерывной функцией на множестве [є, А] X х [0, +оо) х [0, +оо), то можно переставить порядок интегрирования в (2.20), применив теорему Фубини (см. стр. 43). Разложив cos(Vn + lxut) в (2.21) в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и воспользовавшись леммой 4 (см. стр. 84), получим:
О числе промежутков Грама, содержащих ординаты последовательных нулей дзета-функции Римана
Дальнейшее уточнение этого результата происходило по двум направлениям. Первое связано с нахождением нижних оценок разности М(Т+Н)-М(Т) при Я = Та, О а 1/2, а второе — с заменой правой части неравенства Сельберга функцией, растущей быстрее, чем Я(1пТ)зе_С1 1п1пГ . В 1981 г. А. Гош [119] доказал, что при Я = Та+Є М(Т + Я) - М{Т) Я(1п Т) ехр С2 ІПІП Т (Ып1пТ)0 5-«у где 0 5 1/2. При этом величину а можно брать равной нулю, если гипотеза Римана верна, и равной 0,5 в противном случае.
Наконец, в работах А. А. Карацубы [34], [35] первое из неравенств А. Сельберга было доказано при Я = т27 82+є. Отметим, что вопрос об истинном порядке роста М(Т) при Т — +оо в настоящее время остается открытым.
Главную роль в исследовании М(Т) играют асимптотические формулы для интегралов т+н т+н - а J \S(t)\adt, J IS(t + u)du dt. Эти же формулы применяются и к задаче о распределении значений S{t) на данном промежутке. Глава 3. АРГУМЕНТ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА 152 1. Определения и вспомогательные утверждения 3.1.1 Определение функций S(t), Si(t) и N{T) Определение 1. Для вещественного t, отличного от ординаты нуля С(5)? положим S(t) = iargcQ + t V где arg { +it) получается непрерывным продолжением агёС(5) вдоль ломаной линии, начинающейся в точке s = 2 (arg(2) = 0), идущей к точке s = 2 -f it и затем к точке s = 1/2 + it. Если же t — мнимая часть нуля C(s), то S(t)=]imo±(S(t + 8) + S(t-S)). Определение 2. При положительном числе t функция Si(t) определяется равенством t Si(t)= I S{u)du. о Определение 3. Для положительного Т, отличного от мнимой части нуля C(s) символом N(T) будем обозначать число нулей дзета-функции в прямоугольнике 0 Re s 1, 0 Ims Т. Если Т совпадает с мнимой частью нуля C(s)? то положим N{T)=\ m\{N(T + 6) + N(T-5)). о— +U Z 3.1.2 Простейшие свойства S(t) Нижеследующая теорема описывает простейшие свойства S(t). Глава 3. АРГУМЕНТ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА 153 Теорема 14. Справедливы следующие утверждения: 1. S(t) — кусочно-гладкая функция с разрывами в точках, совпадающих с ординатами комплексных нулей C(s) 2. При переходе через точку разрыва S(t) совершает скачок, равный сумме кратностей нулей С($), имеющих эту точку своей ординатой. 3. На всяком промежутке непрерывности {гу,гу )) где 7,7 — соседние ординаты нулей C{s) функция S(t) является монотонно убывающей с производными Доказательство. См. [33] стр. 45. 3.1.3 Несобственный интеграл, содержащий функцию S(i) Для вещественного х символом f(x) обозначим интеграл +00 / f{u)e ixudu. Далее, Л(п) — функция Мангольдта. Теорема 15. Пусть f(z) — функция, вещественная на вещественной прямой, аналитическая в полосе \lmz\ 1 и удовлетворяющая там неравенству /W c(2 + l)-(1+a), с 0,а 0. Глава 3. АРГУМЕНТ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА 154 Тогда при любом t справедлива формула +оо , //мьс(+ +.))=Е Ям+ / /9-1/2 1/2 \ + 2тг \/? 1/2 О О У где в последней сумме суммирование ведется по всем комплексным нулям C{s), лежащим правее критической прямой.
Настоящий параграф посвящен вычислению моментов величин S(t) и Si(t + h) — Si(t), т.е. нахождению асимптотик интегралов 1(a) и J (а), где а 0, h О, т+н 1(a) = J \S(t)\adt, т т+н т+н u а J(a)= [ \Sx(t + К) - Sx(t)\a dt = f fs(t + u)du dt. Для положительного числа а положим v(a) = )J-L. Справедлива следующая теорема. Теорема 16. Для любого О є 10_3 существует число То = TQ(S) 0 такое, что для любого Т То при Н = 7,82+ «1 = Т ОДє любого целого 1 k vlnlnT и любого вещественного 3(lnlnT)(ln:r)_1 h (InT)-0 5 выполняются следующие равенства: 1(2к) = ЛЩ-Н(Ы]пТ)к (1 + 2.4 (lnlnT)--5) , (7Г\/2) J(2k) = v(2k) (-Л=) Н(1пт) (Х + 2-4 (1п 1пТ)" 5) (3.1) где А = e3V3, v(2k) = g, а \в\ 1.
Замечание 1. Формулы теоремы 16 с Н = Т и х = Т 05є справедливы для всех Т Є (X, 2Х), X Хо(є), за исключением значений, образующих множество Е с мерой mes(E) 1-0,04є Доказательство. См. [32] стр. 58. Теорема 17. Справедливо следующее равенство: Доказательство. См. [33] стр. 51. Теорема 18. (Н. Н. Лузин) Для того, чтобы функция f{x), заданная на отрезке [а, 6], была измерима, необходимо и достаточно, чтобы для любого є 0 существовала такая непрерывная на [а, Ь] функция ір(х), что Ф /М Ф р(х)} е.
Доказательство. См. [13] стр. 291. Пусть Я = ТІ+, где 0 є Ю-3. Рассмотрим вероятностное пространство (О,, Е,Р), где О = [Т,Т + Н], Е — сигма-алгебра подмножеств J7, Р — вероятностная мера, такая что для любого и Є S выполняется Р(о;) = р, где /i(cj) — мера Лебега множества ал Согласно теоремам 14 (см. стр. 153), 17 (см. стр. 156) и 18 (см. стр. 156) функции S(t) и Si(t) будут измеримы по Лебегу на любом отрезке, так как функция S(t) имеет на любом отрезке конечное число точек разрыва.
