Формулы обращения преобразования Киприянова-Радона и аналоги теоремы типа Планшереля и теоремы о носителе Гоц Екатерина Григорьевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Общие В-гиперсингулярные интегралы 18

1.1 Обобщенные сдвиги. Конечные разности 18

1.2 Общие В-гиперсингулярные интегралы 23

1.3 Аннигиляция 34

2 Аналог теоремы Планшереля для преобразования Киприянова-Радона 38

2.1 Весовые сферические интегралы 38

2.2 Преобразование Киприяиова-Радона 43

2.2.1 Свойства преобразования Киприянова-Радона . 44

2.2.2 О весовых 5-фуикциях, сосредоточенных па плоскости, и вычислении преобразования Киприянова-Радона некоторых функций 47

2.2.3 Связь преобразования Киприянова-Радона с преобразованиями Фурье и Фурье-Бесселя 55

2.2.4 Преобразование Киприянова-Радона смешанного обобщенного сдвига и обобщенной свертки . 57

2.2.5 Сдвиг в пространстве E 60

2.2.6 В-дифференцирование 61

2.3 Аналог теоремы Планшереля 63

2.3.1 Обращение преобразования Киприянова-Радона . 63

2.3.2 Аналог теоремы Планшереля 73

2.4 Обращение преобразования Киприянова-Радона посредством одномерного дробного дифференци рования 77

3 Теорема о носителе 85

3.1 Преобразование Киприянова-Радона некоторых основных функций 85

3.2 Теорема о носителе 92

Литература 103

• Общие В-гиперсингулярные интегралы
• О весовых 5-фуикциях, сосредоточенных па плоскости, и вычислении преобразования Киприянова-Радона некоторых функций
• Преобразование Киприянова-Радона смешанного обобщенного сдвига и обобщенной свертки
• Преобразование Киприянова-Радона некоторых основных функций

Введение к работе

Хорошо известно, насколько мощным является преобразование Радона в различных задачах естествознании, особенно в вычислительной томографии, возникшей из задач рентгеновских и электромагнитных диагностик. Первые попытки исследования этого преобразования были предприняты Иоганом Радоном еще в 1917 году [1]. А вот первое описание введенного И. Радоном преобразования появилось только в 1955 году в книге F. John [2j. По-видимому, достаточно давно возник вопрос о возможности применения преобразование Радона к радиальным функциям (радиальные функции можно считать заданными в одномерном пространстве, а преобразование Радона возможно лишь для функций заданных в пространстве размерности п > 2).

В 1969 году при исследовании фундаментальных решений В-эллин-тических уравнений И.А. Киприяиов и В.И. Кононенко [3J предложили использовать некое специальное преобразование Радона, приспособленное для работы с осесимметрическими функциями, то есть в ситуации, когда часть неременных (но не все) может быть заменена одной — радиусом. При этом, в соответствующих интегральных выражениях появляются степенные веса (разумеется с целым показателем степени) и обобщенные сдвиги. Удивительным было то, что показатели веса могли быть произвольными положительными числами, а описание этого преобразования и, главное, формулы обращения можно было написать лишь в частном случае, когда соответствующий весовой показатель принимает только натуральные значения. Дальнейшие

исследования этого научного направлении оказывались невозможны в виду отсутствия общих подходов и, главное, общих формул обращения.

В 1990 году Л.Н. Ляховым был введен класс гиперсингулярных интегралов [4], который обращал В-потенциалы Рисса, в том числе и дробного порядка. И.А. Киприянов предложил использовать этот класс операторов для обращения специального преобразования Радона. Первые результаты в этом направлении получены в работе И.А. Киприинова, Л.Н. Ляхова [5] (1998 і¹.). Хотя в этих исследований вес же не удалось получить формулу обращения, но был сделан важный принципиальный шаг для дальнейшего изучения проблемы, а именно, дано два определения специального преобразования Радона, одно из которых могло быть приспособлено для работы не только с осевой, но и с центральной симметрией и получена замечательная формула, связывающая все три преобразования — Фурье, Фурье-Бесселя и Радопа. В дальнейшем (2004 г.) определение специального преобразование Радона, данное в вышеуказанной работе, стало называться преобразованием Киприяпови-Радош (далее используем сокращение — KR-преобразование). В частном случае, когда весовая переменная единственна (то есть лишь для задач с осевой симметрией), Л.Н. Ляховым были получены общие формулы обращения, основанные на применении В-гиперсингулярных интегралов. При этом, в его работе [6] использовался не исследованный класс В-гиперсингулярных интегралов (далее в этой работе этот класс операторов назван общими Б-гиперсиигулярпыми интегралами).

Возник еще один очень непростой вопрос. Известно, что в классическом случае для обращения преобразования Радона могут использоваться не только соответствующие степени оператора Лапласа, по н производные (целого порядка) по одномерному параметру, харак-

теризующему расстояние соответствующей гиперплоскости от начала координат. И эти формулы оказывались очень удобными по сравнению с громоздкими формулами, использующими дифференциальный оператор в частных производных. В работах Л.Н. Ляхова могли быть использованы лишь степени (причем в общем случае — дробные) сингулярного дифференциального оператора в частных производных Ад, а возможность перехода к соответствующим обыкновенным производным указывалась лишь в случае натуральных значений весового показателя.

В данной работе введены общие В-гиперсипгулярные интегралы, с помощью которых получены самые общие формулы обращения KR-преобразовапия (обобщающие классические формулы и формулы Л.Н. Ляхова). Получены формулы обращения применением обыкновенных производных по соответствующему параметру, но, и в этом принципиальное отличие от классических формул обращения, порядок производной в общем случае — дробный. Кроме того, получены очень важные в теоретическом и практическом плане теоремы - аналог теоремы Планшереля и частный случай теоремы о носителе, являющийся обобщением хорошо известной теоремы С. Хелгасона о носителе преобразования Радона [7J.

Актуальность этой темы исследования вытекает из возможности применения результатов работы к задачам фундаментальной физики, техники, математики и вычислительной томографии, в которых присутствует центральные, осевые и многоосевые симметрии, а также в задачах в пространствах дробной размерности с соответствующими симметриями.

Целью работы является исследование наиболее общей формы KR-иреобразования, включающей в себя следующие темы. Исследование смешанных обобщенных конечных разностей (о.к.р.) центрированно-

го и нецептрированного видов; создание на их основе нового класса общих В-гиперсингулярных интегралов, которые включают в себя гиперсингуляриые интегралы, построенные по схемам И. Стейна [8], П.И. Лизоркина [9], С.Г. Самко [10] и В-гипереингулярныс интегралы Л.Н. Ляхова: Получение обобщенных формул обращения общего KR-преобразования путем применения дробных степеней оператора Киприянова Дв (общие В-гиперсингулярныс интегралы). Получение формул обращения KR-преобразования посредством одномерного дробного дифференцирования. Доказательство аналога теоремы Планшереля для KR-преобразования. Доказательство аналога теоремы Хелгасона о носителе для KR-преобразования.

Методика исследований. В работе использовались методы теории функций, функционального анализа, гармонического анализа, а также методы и подходы, развитые в трудах И.А. Киприянова и его учеников, для исследования весовых функциональных классов и сингулярных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Следующие результаты, полученные в диссертации являются новыми.

1. Введены конечные разности смешанного типа (по одной части переменных действует обычный сдвиг, а по другой части - обобщенный, главной особенностью последнего является то, что он не имеет обратного и перестановочен с сингулярным дифференциальным оператором Бееселя). Этот результат обобщает введенные ранее Ляховым Л.Н. обобщенные конечные разности, порожденные обобщенным сдвигом.

2. Введены общие В-гиперсингулярные интегралы (далее примем сокращение — общий В-г.с. интеграл) с постоянной характеристикой. Эти операторы, в зависимости от весового параметра могут представлять, с одной стороны, обычные гиперсингулярные инте-

гралы Стейна-Лизоркина-Самко, а с другой, В-гиперсишулнрные интегралы (В-г.с. интегралы) Ляхова. Принципиально то, что введенные в данной работе общие В-г.с. интегралы не обладают некоторыми из свойств В-г.с. интегралов.

3. Получены общие формулы обращения KR-преобразования на основе применения к KR-преобразованию функции общего В-г.с. интеграла дробного порядка.

4. Получены формулы обращения KR-преобразовапия путем применения одномерных дробных производных Грюпвальда-Летнико-ва-Рисса, или применением средних от левосторонней и правосторонней дробных производных Римапа-Лиувилля.

5. Для KR-преобразования доказана теорема типа теоремы План-шереля.

6. В одном частном случае доказана теорема о носителе для KR-преобразования, представляющая собой аналог хорошо известной теоремы С. Хелгасона.

Практическая и теоретическая значимость. Исследования, проведенные в дашюй работе, позволяют ввести KR-нреобразовапис весовых распределений, что откроет возможность применения KR-преобразоиания при исследовании краевых задач уравнений с частными производными, в которых по одному или нескольким переменным действуют сингулярные дифференциальные операторы Бесселя разных индексов. Кроме того, в работе приведены способы применения преобразования Радона к центрально-симметрическим функциям, то есть по сути к функциям одной переменной, что казалось невозможным, поскольку преобразование Радона можно применять лишь к функциям, заданным в пространствах с размерностью п > 1. Резуль-

таты работы также могут быть полезны для проблем фундаментальной физики, для исследования осессимметрических и централыюсим-метрических задач математической физики и уравнений с частными производными, в теории функции и функциональных пространств, в теории приближений. Результаты диссертации могут быть использованы її учебном процессе, спецкурсах и монографиях, в научных исследованиях, проводимых в Воронежском, Московском, Новосибирском, Белорусском, Владимирском, Ростовском н/Д университетах, в институте математики СО РАН, в математическом институте им. В.А. Стек-лова РАН, в НИИ математики ВГУ, в Воронежской государственной технологической академии.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре Л. Н. Ляхова в Воронежской государственной технологической академии, на семинаре проф. 10. И. Сапронова в Воронежском государственном университете, на семинаре проф. О.М. Пенкина в Белгородском государственном университете, на семинаре отдела теории функций Математического института им. В.А. Стсклова АН России; на международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", Математический институт им. В.А. Стсклова РАН, Москва, 2005; международной конференции "Анализ и связанные с ним вопросы", Национальный Университет им. Ивана Франко, Львов, Украина, 2005; второй международной научной конференции "Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения", Дагестанский государственный университет, Махачкала, 2005; школе молодых ученых "Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания", Липецк, 2005; Воронежской зимней математической школе-2006; научной кон- , ференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2006", Санкт-

Петербург, 2006; Воронежской весенней математической школе "Понт-рягинскис чтения -XVII", Воронеж, 2006; международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Владимир, 2006; международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2006; международной летней школе и конференции по операторным алгебрам, теории операторов и их приложениям WOAT 2006, Лиссабон, Португалия.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [11]-[26], список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах [13], [15], [17]-[19], [21], [23] Л.Н. Ляхову принадлежит постановка задачи. Доказательства основных результатов принадлежат диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих девять параграфов, и списка литературы. Объем диссертации 107 страниц. Библиографический список содержит 44 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, приводится методика исследования и дан краткий обзор содержания диссертации по главам.

Первая глава посвящена исследованию общих В-гиперсингулярных интегралов, порожденных обобщенным сдвигом смешанного типа.

В параграфе 1.1 рассматриваются обобщенный сдвиг 7^,, действие которого по каждой из переменных Х{ (і — 1,2,..., п) определяется по формуле

ТЦ{х) = г^Ш) //(---, \Д? + УІ - 2хцн cos a» ...,s") х

xsin⁷"¹^ йщ (1.1.2)

и смешанный обобщенный сдвиг

\ТУ!){х) = {^!){х'У-г/'). (1.1.1)

Здесь Г(()— гамма-функция Эйлера, а ж Е^={х = (х',х") : х' = {х_ъ...,х_п), х" = (x_n+i,...,x_N), жі>0,... ,х_п>0}, 7 = (ть ,ъ), 7і— фиксированные положительные числа (г — 1,2,... ,п).

Также вводится смешанные обобщенные конечные (о. к. разности) нецентрироваппого и центрированною видов и исследуются их свойства. Центрированные смешанные о.к. разности имеют вид

(D^)(x) = ^(-l)^fcCf(T(H)v)_{(a;) =}

=5>i)'cf (4^ІЧ,К) (< *" -({-*) <") (1-1.4)

Нецентрированные смешанные о.к. разности имеют вид

fc=0 fc=0

(1.1.5) В параграфе 1.2 рассматриваются общие В-гиперсингулярных интегралы следующего вида

Здесь rfjv₍₇,i(a) нормирующая константа, значение которой далее выбрано так, чтобы конструкция (1.2.1) не зависела от I при I > а,

a (i')⁷ = \\t-³dt. Регуляризация расходящегося интеграла в пра-

вой части (1.2.1) достигается применением смешанных о.к. разностей центрированного или нецентрироваппого видов. В случае применении

пецептрироваїшой о.к. разности нормирующая константа имеет вид:

{tj

Ц^|)_е-«^и''4

+а

ШЛГ+|₇|

^,^) = 113^)(-1)^1-

*⁼⁰ №>є}⁺

(1.2.6)

где j₇(';') = riLi j^izit^t)) ^a функции j_v(t) связаны с соответствующими функциями Бесселя первого рода J_v(t) формулой j_u(t) = 2^vT{v + \)J_v(t)t^v.

В случае центрированной о.к. разности:

ї djv,₇;(a) = lim^(-l)*Cix

х /іД:і,((*-^ш)^в"'^<М""*^{Л (L2}'⁷⁾

В формулах (1,2.6) и (L2.7) интегрирование ведется по области {|| > }+ = {: \t\ >,ti >Q,...,t_n>Q,n^N}

Теорема 1.2.1 Общие В-г.с. интегралы (1.2.1) сходятся абсолютно па функциях, имеющих все ограниченные производные (по переменным х_п+і,...,хр/) и В-производные (по переменным xi, ... _}х_п) до порядка т — 2к' + к" =[а] + 1.

В параграфе 1.3 исследуется вопрос аннигиляции общих В-г.с. интегралов. Корректность определения общего В-г.с. интеграла D^ имеет место во всех случаях, кроме а—1,3, — В противном случае, т. е. когда нечетное натуральное число а < I, мы сталкиваемся с явлением "аннигиляции" : D/ = О, V /.

Теорема 1.3.2 Общий В-г.с. интеграл (1.2.1) с пецептрироваїшой смешанной о.к. разностью (1.1.5) сходится условно при I > 2[а/2].

Вторая глава посвящена общему преобразованию Киприянова-Радона и проблеме обращения этого преобразования. Основным результатом этой главы являются формулы обращения.

В параграфе 2.1 вводится функция типа весовой плоской волны и приводятся формулы для вычисления некоторых сферических интегралов,

В параграфе 2.2 вводится KR-преобразование. Обозначим через S_ev(E~x) подпространство шварцевского пространства основных функций, четных но каждой из переменных ж$, г = 1,2,3,..., п. Для f(x) Є S_ev(E~x) KR-преобразованием будем называть

*7[Л(е;р) = *-*Пт75Г /л*)1КГ<*^г> <²-^2Л) і=і ^ч 2; ^ і=і

где /(z) = Д/г? + ^,..., У^п-і + ²L ^х")і ^г+ - гиперплоскость, определенная равенством (в,-г) = р, 6=(i,0, г,0, ...,„,0, "), |0| = 1.

В 2.2.1 рассматриваются основные свойства KR-преобразования.

В пункте 2.2.2 вычисляются KR-преобразования некоторых функций. Здесь исследуется связь между классическим преобразованием Радона, функций сферически симметричных по части переменных и KR-иреобразованием.

В пунктах 2.2.3-4 рассматривается связь KR-преобразования с преобразованиями Фурье и Фурье-Бесселя и его действие на смешанные сдвиги и обобщенные свертки.

В пункте 2.2.5 доказывается формула действия KR-прсобразова-ния на сдвиг в евклидовом пространстве Е^_+п.

В пункте 2.2.6 рассматривается дифференциальный оператор, в котором по переменным х^! действует сингулярный дифференциальный оператор Бесселя В_х. = J^ 4- ^ ;, у > 0, і = 1,2,..., п, и доказываются формулы взаимодействия KR-преобразования с сингулярными дифференциальными операторами с постоянными коэффициентами.

В параграфе 2.3 доказываются общие формулы обращения KR-преобразования и теорема типа теоремы Планшереля.

В пункте 2.3.1 приведены формулы обращения, полученные применением общих В-г.с. интегралов.

Теорема 2.3.1 Пусть / Є S_ev(E~^) и K^[f\ — KR-прєобразование функции f (2.2.1). Тогда общая формула обращения этого преобразования имеет вид

n>2n-\*t\-N-п+l-N г

(2.3.3) где D^ — общий В-г.с. интеграл (1.2.1), 5^(1) — поверхность полусферы [в| ~ 1, 01 > 0,..., 0„ > 0. Если же число І7І натуральное, то:

a) при N + І7І нечетном справедлива формула

o2n-\-y\-N-n+l-N N+]₇\-i Г

М = ^ЩЩ^цШГ)^ ' J Ъ^тв; {х,Є»(ЄТ«В(Є).

(2.3.4)

b) при N + І7І четном справедливы формулы

₂2n-jV-|-j| w+h|-2 Г

№ = п ^в² /(ет^(Є)х

р=+оо

^х _{fa іш^) ^}^[/1(в;р)_' ⁽²_-³_-⁵⁾

р——со

_{/W =} J"-"(*₊M-i)i Д_0Г,_5(е)х

_{Т / 1 ч^м}

~оо

Основным результатом пункта 2.3.2 является теорема, представляющая собой аналог теоремы Планшерсля для преобразования Радона.

Теорема 2.3.2 Пусть функции f(x) и д(х) принадлежат пространству S_ev(E^), и K^[f\{Q;p), Х₇[с/](Э;р) их KR-преобразования (2.2.1). Тогда

+со
o2n-|7J-iV_n+l-JV г f

^/(l)e(*^{,№ =} №qp(5S)/ J ^{4mt) х}

х (D^⁺W-¹PjA₇[_ff](e;i-{9,x)))| (Є')⁷<й dS(0). (2.3.9)

іїЬш же "шало І7І натуральное, то:

а) при N + І7І нечетном справедлива формула

+С0

o2n-\~,\-N n+l-N г Г

^{/(»)Я(»)(*Т«Ь=,„+ г у у K,[fl(e;t) х}

^JW ^JN

jv+hl-i

x Д_в' P^₇[g](G;t-{0,x))

(Є')^^(Є), (2.3.10)

x=Q

b) при N + |7| четном справедлива формула

2²ⁿ~^N-b\(N+1^1-1)1

/ f(x) g{x)Wdx= X ^lfl ^ (eydS(Q)x

+00 +00

_v і , ^₇[/1(Є;р₂)/^[д](Є;_Рі)

^x / / fc-^+M ^фіф2' ⁽²'³'ⁿ⁾

-co-co

В параграфе 2.4 получены формулы обращения KR-прсобразова-ния посредством дробного дифференцирования по одномерному параметру. Дробные производные, обращающие KR-преобразование в образах Фурье имеют вид

где Юф(х)— производная Грюпвальда-Летникова-Рисса дробного порядка а, связанная со средней дробной производной Римана-Лиувилля

равенством

\~~ I Ф) = соъ—^ф).

Введем следующий оператор

';f{p), а = 2т_} т = 1,2,3,..., (Л7)(р)={ H_p-;f(p),a = 2m-l, m =1,2,3,..., (2.4.7) f(x), в случае дробного а > О,

где (Hf)(t) = ^ J t^dp — преобразование Гильберта, а оператор >^а

определен равенством (2.4.6) для всех а > 0.

Теорема 2.4.1 Пусть A^Q - оператор, определенный равенством (2.4-7), действующий по переменной р, и / Є S_V(E^). Тогда

f(x) = C{N,i)PiJ (А^КМ(^Р)\Ы^)("Г^, (2.4.9)

5+(0,1)

где в случае целого І7І

а в случае дробного І7І

_(2їГ)*-» 11_Г2^у

п л P-f-1

ОД7) = 75-^П

Третья глава посвящена теореме о носителе для КН-преобразова-ния.

Б параграфе 3.1 показано, что KR-преобразование K₇[f] является линейным взаимно однозначным отображением пространства основных функций, четных по каждой из переменных Х{ і — 1,2,..., п , на пространство S^(Fn) , состоящее из функций ер є _е„(Р#) таких, что для любого целого к ^ 0 интеграл j (fi{^',p)p^kdp является однородным

МИОГОЧЛенОМ СТепеНИ к ОТ ПеремеНЛЫХ b&,- >#

В параграфе 3.2 сформулирована и доказана теорема о носителе для KR-преобразования. Пусть Е^— полупространство, определенное неравенством х\ > 0. Обозначим через С^(Е^) пространство функций, четных по х\, т раз непрерывно дифференцируемых с конечной нормой

ей = max \В$Г$/{х)\, т = 0,1,2, ..., .

^xEn 2k,+\k"\=l

Теорема 3,2.1 Пусть функция f Є C_ev(E^) удовлетворяет следующим условиям:

1. Для любого целого к > 0 функция \x\^kf(x) ограничена.

2. Существует такая константа Л > 0, что К-у[/]{',р) = 0, р > Л.

Тогда f(x) - О, |ж| > А.

Общие В-гиперсингулярные интегралы

Хорошо известно, насколько мощным является преобразование Радона в различных задачах естествознании, особенно в вычислительной томографии, возникшей из задач рентгеновских и электромагнитных диагностик. Первые попытки исследования этого преобразования были предприняты Иоганом Радоном еще в 1917 году [1]. А вот первое описание введенного И. Радоном преобразования появилось только в 1955 году в книге F. John [2j. По-видимому, достаточно давно возник вопрос о возможности применения преобразование Радона к радиальным функциям (радиальные функции можно считать заданными в одномерном пространстве, а преобразование Радона возможно лишь для функций заданных в пространстве размерности п 2).

В 1969 году при исследовании фундаментальных решений В-эллин-тических уравнений И.А. Киприяиов и В.И. Кононенко [3J предложили использовать некое специальное преобразование Радона, приспособленное для работы с осесимметрическими функциями, то есть в ситуации, когда часть неременных (но не все) может быть заменена одной — радиусом. При этом, в соответствующих интегральных выражениях появляются степенные веса (разумеется с целым показателем степени) и обобщенные сдвиги. Удивительным было то, что показатели веса могли быть произвольными положительными числами, а описание этого преобразования и, главное, формулы обращения можно было написать лишь в частном случае, когда соответствующий весовой показатель принимает только натуральные значения. Дальнейшие исследования этого научного направлении оказывались невозможны в виду отсутствия общих подходов и, главное, общих формул обращения.

В 1990 году Л.Н. Ляховым был введен класс гиперсингулярных интегралов [4], который обращал В-потенциалы Рисса, в том числе и дробного порядка. И.А. Киприянов предложил использовать этот класс операторов для обращения специального преобразования Радона. Первые результаты в этом направлении получены в работе И.А. Киприинова, Л.Н. Ляхова [5] (1998 і1.). Хотя в этих исследований вес же не удалось получить формулу обращения, но был сделан важный принципиальный шаг для дальнейшего изучения проблемы, а именно, дано два определения специального преобразования Радона, одно из которых могло быть приспособлено для работы не только с осевой, но и с центральной симметрией и получена замечательная формула, связывающая все три преобразования — Фурье, Фурье-Бесселя и Радопа. В дальнейшем (2004 г.) определение специального преобразование Радона, данное в вышеуказанной работе, стало называться преобразованием Киприяпови-Радош (далее используем сокращение — KR-преобразование). В частном случае, когда весовая переменная единственна (то есть лишь для задач с осевой симметрией), Л.Н. Ляховым были получены общие формулы обращения, основанные на применении В-гиперсингулярных интегралов. При этом, в его работе [6] использовался не исследованный класс В-гиперсингулярных интегралов (далее в этой работе этот класс операторов назван общими Б-гиперсиигулярпыми интегралами).

Возник еще один очень непростой вопрос. Известно, что в классическом случае для обращения преобразования Радона могут использоваться не только соответствующие степени оператора Лапласа, по н производные (целого порядка) по одномерному параметру, харак теризующему расстояние соответствующей гиперплоскости от начала координат. И эти формулы оказывались очень удобными по сравнению с громоздкими формулами, использующими дифференциальный оператор в частных производных. В работах Л.Н. Ляхова могли быть использованы лишь степени (причем в общем случае — дробные) сингулярного дифференциального оператора в частных производных Ад, а возможность перехода к соответствующим обыкновенным производным указывалась лишь в случае натуральных значений весового показателя.

В данной работе введены общие В-гиперсипгулярные интегралы, с помощью которых получены самые общие формулы обращения KR-преобразовапия (обобщающие классические формулы и формулы Л.Н. Ляхова). Получены формулы обращения применением обыкновенных производных по соответствующему параметру, но, и в этом принципиальное отличие от классических формул обращения, порядок производной в общем случае — дробный. Кроме того, получены очень важные в теоретическом и практическом плане теоремы - аналог теоремы Планшереля и частный случай теоремы о носителе, являющийся обобщением хорошо известной теоремы С. Хелгасона о носителе преобразования Радона [7J.

Актуальность этой темы исследования вытекает из возможности применения результатов работы к задачам фундаментальной физики, техники, математики и вычислительной томографии, в которых присутствует центральные, осевые и многоосевые симметрии, а также в задачах в пространствах дробной размерности с соответствующими симметриями.

Целью работы является исследование наиболее общей формы KR-иреобразования, включающей в себя следующие темы. Исследование смешанных обобщенных конечных разностей (о.к.р.) центрированно го и нецептрированного видов; создание на их основе нового класса общих В-гиперсингулярных интегралов, которые включают в себя гиперсингуляриые интегралы, построенные по схемам И. Стейна [8], П.И. Лизоркина [9], С.Г. Самко [10] и В-гипереингулярныс интегралы Л.Н. Ляхова: Получение обобщенных формул обращения общего KR-преобразования путем применения дробных степеней оператора Киприянова Дв (общие В-гиперсингулярныс интегралы). Получение формул обращения KR-преобразования посредством одномерного дробного дифференцирования. Доказательство аналога теоремы Планшереля для KR-преобразования. Доказательство аналога теоремы Хелгасона о носителе для KR-преобразования.

О весовых 5-фуикциях, сосредоточенных па плоскости, и вычислении преобразования Киприянова-Радона некоторых функций

Теперь рассмотрим нормирующий множитель djv,7,i(a:) для общего В-г.с. интеграла с центрированной о.к. разностью. Докажем его независимость от при — 1. Аналогично предыдущему случаю, приходим к формуле; Здесь последний интеграл вновь представляет собой коэффициент С. Г.

Самко, нормирующий обычные г.с. интегралы с центрированной ко нечно-разностной регуляризацией (см. [28, 29]). Этот коэффициент вновь обозначим за S ti(a). Он вычисляется по формуле; а отношение при целом четном а снова понимается как Поэтому, также как для обычных г.с. интегралов, конструкция общего В-г.с. интеграла является тождественным нулем в случае применения смешанной центрированной о.к. разности нечетного порядка: Е = 0. Таким образом, в конструкции оператора (1.2.1) смешанную центрированную о.к. разность нужно брать только четного порядка. В этом случае нормирующий коэффициент (1.2.12) заведомо отличен от нуля и вычисляется но формуле dfi,f,t(a) — 5дг,;(а) C(iV,7), где 5 Да) коэффициент С.Г. Самко, нормирующий обычный г.с. интеграл в случае центрированной конечно-разностной регуляризации (см. [28] или книгу [29], стр. 372-376), который вычисляется по формуле (1.2.9), а коэффициент C(N,j) вычисляется по формуле (1.2.11). Таким образом, в случаях пецентрировашюй и центрированной разностей мы получаем следующее утверждение. Теорема 1.2.2 Представление общего В-г.с. интеграла (1.2.1) с нормирующими константами (1.2.6) и (1.2.7) в образах смешанного интегрального преобразования Фурье-Бесселя имеет вид Из сказанного в двух предыдущих пунктах и из результатов работы С.Г. Самко [28] (см. также [29] стр.373, теорема 26.1) вытекает следующее обобщение теоремы С.Г. Самко о нормирующих константах. Теорема 1.3.1 Пусть а 0. Нормирующие множители rfjvt7);(a) в (1.2.1) являются аналитическими функциями параметра а и вычисляются по формулам где в случае смешанных пецентрированиой и центрированной о.к. разностей соответственно за исключением случал нечетного порядка I, когда с?дг,7Да) = 0. Постоянная djv,7,z(a) отлична от нуля при всех а 0 в случае смешанной центрированной о.к. разности четного порядка I = 2,4,6,..., а в случае нецентрированпой о.к. разности она обращается в нуль при а 0 только в точках а = 1,3,5,... ,2[1/2] - 1.

Из этой теоремы следует корректность определения общего В-г.с. интеграла Щ во всех случаях, кроме а=1,3, — В противном случае, т. е. когда нечетное натуральное число а I, также как и в [28], мы сталкиваемся с явлением "аннигиляции" (уничтожению всех функций, к которым применяется оператор (1.2.2): Е / = 0). При п = N (этот случай исследован в [4]) достаточно было потребовать, чтобы / — а, если число а-нечетпос, при этом аннигиляции не наступает и, кроме того, В-г.с. интеграл является абсолютно сходящимся на достаточно гладких четных по каждой из переменных xi,...,хп функциях, что следует из специфического свойства (не смешанной) о.к. разности ([4]). В общем же случае, исследуемом в данной работе, чтобы избежать аннигиляции необходимо пользоваться рекомендациями С.Г. Самко Q28]): при нечетном а применять центрированную смешанную о.к. разность (1.1.4) четного порядка. Это означает, что надо использовать обобщенную разность повышенного порядка, что не всегда ирием-лимо (в этом принципиальное отличие от В-г.с. интегралов, введенных в [4] и сходство с обычными г.с. интегралами). В ряде случаев удобнее воспользоваться условной сходимостью общих В-г.с. интегралов, а именно справедлива следующая теорема.

Преобразование Киприянова-Радона смешанного обобщенного сдвига и обобщенной свертки

Известно, что в классическом случае для обращения преобразования Радона могут использоваться не только соответствующие степени оператора Лапласа, но и производные (целого порядка) по одномерному параметру р, характеризующему расстояние соответствующей гиперплоскости от начала координат. И эти формулы оказывались очень удобными но сравнению с громоздкими формулами, использующими дифференциальный оператор в частных производных. В этом параграфе получен принципиально другой результат — дифференцирование осуществляется не обыкновенной производной, а производной (в общем случае, І7І— положительное число) дробного порядка, и лишь в исключительных случаях порядок этой производной есть целое число. Одним из исключений как раз и является классическое обращение преобразования Радона, если предположить, что преобразуемая функция является центрально симметричной по некоторым группам переменным (т.е. когда 7 — натуральное число).

Пусть 0 а 1. Для функции f(x), заданной па отрезке [а, Ь], каждое из выражений называется дробной производной Римана-Лиувилля порядка а, соответственно левосторонней и правосторонней. Отметим, что в приложениях приходится рассматривать обе эти В этих рассуждениях мы частично следуем подходам из [7J, используя методику работы с обобщенным сдвигом и KR-преобразованием из работ [5] и [31]. Как и ранее мы будем работать с пространством Sev(E ) — подпространства шварцевского пространства основных функций четных по каждой из переменных ж,-, і — 1,2,...,71. По определению, четная функция принадлежит Sev(E ) тогда и только тогда, когда для любого многочлена Р, четного по каждой из переменных Х\,... ,хп и любого целого числа т О Пусть / принадлежит пространству Sev(E ). Обозначим через Рдг пространство всех гиперплоскостей в Ех, снабженное очевидной топологией. Рассмотрим гиперплоскость Г = {х Є Е : (ж,) — р}, где = — единичный вектор, ареії. Заметим, что пары (,р) и (-, -р) приводят к одной и той же гиперплоскости. Следуя [7], введем отображение (,р) —Г, Э _л xR —» FN, при котором отож дестшшются непрерывные (дифференцируемые) функции р на Рдг е непрерывными (дифференцируемыми) функциями ц на S _j х R, удовлетворяющими условию р(,р) = ( , —J3) Лемма 3.1.1 Функция / С (Е ) принадлежит Sev(E ) тогда и только тогда, когда для любой пары целых чисел k,l Доказательство. Ограничимся доказательством достаточности. Так как Sev(E ) инвариантно относительно преобразования Фурье-Бесселя, доказательство произведем в образах Фурье-Бесселя. Однако, для того, чтобы использовать производные нечетного порядка но направлениям х\,...,хп удобнее воспользоваться преобразованием Фурье-Бесселя-Киприянова-Катрахова (ФБК-преобразованием) следующего вида: ЫЖ) = ff(x)f[ \j №k)-i 32&(xk&)]e &rdx. к Произвольному многочлену P() ставится в соответствие сингулярный дифференциальный оператор P(D B, D"), где , при а нечетном. Пусть функция і в [/]{) С(Eft), и пусть для любых целых k, I О справедливо неравенство sup l + (A /)() oo. (3.1.2) Возьмем произвольный многочлен и целое число к 0. Рассмотрим произведение \x\2hP(DBinD")f(x) и применим к нему ФБК-преобра-зование. Получим Учитывая, что FB[ ]{0={4JWB[MI 3=1,2,...,N, имеем Воспользуемся представлением Гаусса однородных многочленов: Р() = J2j=i I P COi гДе (0 В-гармоническис многочлены от , Из неравенства (3.1.2) и произвольности к и I следует неравенство Откуда, в силу инвариантности пространства Sev(E ) относительно преобразования Фурье-Бесселя приходим к неравенству так как большая степень \х\ только ухудшает поведение функции на бесконечности. Доказательство закончено. По аналогии с Sev(E ) определим Sev(S x_i х R) как пространство, состоящее из функций tp{,p), S x_1,p Є R, принадлежащих которые для любых..целых k,l 0 и любых 0,6 дифференциального оператора D D , удовлетворяют условию Тогда пространство SV{ ) определяется как множество всех функций ір Є 5et,(5j_! х R), таких что (р{,р) — (-, -р). Лемма 3.1.2 Для KR-преобразования любой функции / Є Sev(E ) интеграл / K1[f][ p)pkdp при каждом целом к 0 может бить за R писан как однородный многочлен степени к от переменных ь... , N R m k Доказательство. Учитывая определение KR-преобразования, имеем / 41} (; P)v% JpkdPjf(z) П Доказательство закопчено. В соответствии с этой леммой введем пространство S 1(FN) функций р принадлежащих 5ев(Ря), таких что для любого целого к О интеграл J p(;p)pkdp является однородным многочленом степени к R Известно, что преобразование Фурье отображает пространство S(RN) В себя. Аналогично действует и преобразование Фурье-Бесселя FB[I] Sev(Etf) - Sev(Ex). Мы докажем сейчас теорему, определяющую образ пространства Sev(E ) под действием KR-преобразования.

Преобразование Киприянова-Радона некоторых основных функций

Известно, что в классическом случае для обращения преобразования Радона могут использоваться не только соответствующие степени оператора Лапласа, но и производные (целого порядка) по одномерному параметру р, характеризующему расстояние соответствующей гиперплоскости от начала координат. И эти формулы оказывались очень удобными но сравнению с громоздкими формулами, использующими дифференциальный оператор в частных производных. В этом параграфе получен принципиально другой результат — дифференцирование осуществляется не обыкновенной производной, а производной (в общем случае, І7І— положительное число) дробного порядка, и лишь в исключительных случаях порядок этой производной есть целое число. Одним из исключений как раз и является классическое обращение преобразования Радона, если предположить, что преобразуемая функция является центрально симметричной по некоторым группам переменным (т.е. когда 7 — натуральное число).

Пусть 0 а 1. Для функции f(x), заданной па отрезке [а, Ь], каждое из выражений называется дробной производной Римана-Лиувилля порядка а, соответственно левосторонней и правосторонней. Отметим, что в приложениях приходится рассматривать обе эти В этих рассуждениях мы частично следуем подходам из [7J, используя методику работы с обобщенным сдвигом и KR-преобразованием из работ [5] и [31]. Как и ранее мы будем работать с пространством Sev(E ) — подпространства шварцевского пространства основных функций четных по каждой из переменных ж,-, і — 1,2,...,71. По определению, четная функция принадлежит Sev(E ) тогда и только тогда, когда для любого многочлена Р, четного по каждой из переменных Х\,... ,хп и любого целого числа т О sup \\x\mP{Bx,,Dx»)f{x)\ оо. (3.1.1) хЕ+ Пусть / принадлежит пространству Sev(E ). Обозначим через Рдг пространство всех гиперплоскостей в Ех, снабженное очевидной топологией. Рассмотрим гиперплоскость Г = {х Є Е : (ж,) — р}, где = (Сьб,) — единичный вектор, ареії. Заметим, что пары (,р) и (-, -р) приводят к одной и той же гиперплоскости. Следуя [7], введем отображение (,р) — Г, Э _л xR —» FN, при котором отож- Лемма 3.1.1 Функция / С (Е ) принадлежит Sev(E ) тогда и только тогда, когда для любой пары целых чисел k,l Доказательство. Ограничимся доказательством достаточности. Так как Sev(E ) инвариантно относительно преобразования Фурье-Бесселя, доказательство произведем в образах Фурье-Бесселя. Однако, для того, чтобы использовать производные нечетного порядка но направлениям х\,...,хп удобнее воспользоваться преобразованием Фурье-Бесселя-Киприянова-Катрахова (ФБК-преобразованием) следующего вида: ЫЖ) = ff(x)f[ \j №k)-i 32&(xk&)]e &rdx. к Произвольному многочлену P() ставится в соответствие сингулярный дифференциальный оператор P(D B, D"), где D B = (DBi ,, DBX„) И Пусть функция і в [/]{) С(Eft), и пусть для любых целых k, I О справедливо неравенство Возьмем произвольный многочлен и целое число к 0. Рассмотрим произведение \x\2hP(DBinD")f(x) и применим к нему ФБК-преобра-зование. Получим Воспользуемся представлением Гаусса однородных многочленов: Р() = J2j=i I P COi гДе (0 В-гармоническис многочлены от , j = 1,2,...,к. Тогда Из неравенства (3.1.2) и произвольности к и I следует неравенство Откуда, в силу инвариантности пространства Sev(E ) относительно преобразования Фурье-Бесселя приходим к неравенству так как большая степень \х\ только ухудшает поведение функции на бесконечности.

Похожие диссертации на Формулы обращения преобразования Киприянова-Радона и аналоги теоремы типа Планшереля и теоремы о носителе

теоремы типа Фрагмена-Линделефа для пространственных отображений с ограниченным искажением и их приложения Ботвинник Владимир Абрамович

Аппроксимации функций на всей прямой посредством весовых экспонент и теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера Прошкина Анастасия Владимировна

Теорема типа Левинсона - Щёберга. Квазианалитические классы функций. ПримененияКинзябулатов, Ильнур Галиянович

Модельные подпространства пространств Харди: неравенства Бернштейна, системы воспроизводящих ядер, теоремы типа Берлинга-МальявенаБаранов, Антон Дмитриевич

Шаровые покрытия банаховых пространств и теоремы единственности для потенциалов мер в бесконечномерных пространствах типаКим Ён Чжин

Теоремы плотности и функциональные представления для симметричных алгебр операторов в пространстве Понтрягина типа П1Машарипова, Софья Шариповна

Применения преобразования радона к аппроксимационным задачам многомерного комплексного анализаСекерин, Алексей Борисович

Преобразование Радона аналитических функцийЛомакин Денис Евгеньевич

Восстановление функций по неточно заданному преобразованию Радона и неравенства для норм некоторых операторовБаграмян, Тигран Эммануилович

Сходимость мер и преобразование Радона в бесконечномерных пространствахЛукинцова Мария Николаевна