Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Исследование поведения инвестора при различных схемах налогообложения 18
1.1. Базовая математическая модель 18
1.2. Развитие экономики в отсутствие налога 22
1.3. Влияние единого пропорционального налога на поведение инвестора 25
1.4. Теорема о магистрали при едином пропорциональном налоге 29
1.5. Модель поведения инвестора при прогрессивном налоге 43
1.6. Прогрессивный налог с постоянной скоростью изменения ставки налогообложения 47
1.7. Теорема о верхнем уровне управления при различных формах налогообложения 49
Глава 2. Влияние возмущения производственной функции на поведение инвестора 52
2.1. Базовая математическая модель возмущения производственной функции 52
2.2. Простейшая аддитивная модель возмущения производственной функции 54
2.3. Общий случай аддитивной модели возмущения производственной функции 61
2.4. Теорема о магистрали для аддитивной модели возмущения производственной функции 63
2.4.1. Вспомогательные утверждения 63
2.4.2. Исследование оптимальной стратегии инвестора 66
2.5. Мультипликативная модель возмущения производственной функции 78
2.5.1. Простейшая модель 79
2.5.2. Общий случай мультипликативной модели возмущения производственной функции 81
2.5.3. Влияние возмущения производственной функции на стратегию инвестора 83
2.6. Анализ модели функционирования одного машиностроительного объединения 84
Глава 3. Исследование двух уровней управления сложной экономической системы 92
3.1. Модель функционирования производства при прогрессивном налогообложении 93
3.2. Задача инвестора в иерархической системе 95
3.3. Исследование условий существования решения задачи инвестора 99
3.3.1. Исследование дифференциальных уравнений при q > 1 100
3.3.2. Исследование дифференциальных уравнений при q < 1 104
3.3.3. Построение фазовых диаграмм 109
3.4. Теорема о магистральном поведении инвестора при линейно возрастающей ставке налога 121
3.5. Исследование верхнего уровня управления в иерархической системе 126
Заключение 137
Список литературы
- Влияние единого пропорционального налога на поведение инвестора
- Простейшая аддитивная модель возмущения производственной функции
- Мультипликативная модель возмущения производственной функции
- Исследование дифференциальных уравнений при q >
Введение к работе
Полное решение проблемы оптимизации функционирования системы с иерархией в управлении, являющейся одной из наиболее сложных проблем математической кибернетики, до сих пор не получено. Показано [72], что простейшая по формулировке задача данной проблематики (двухуровневого линейного программирования) NP-трудна.
При изучении иерархической системы государство-инвестор-производство приходится согласовывать интересы государства и налогоплательщиков. Для этого необходимо одновременно решать две задачи: для инвестора — проблему потребление-инвестирование, а для государства — задачу роста налоговых поступлений. Начиная с первых исследований по данной тематике [27, 76, 82], проблему потребление-инвестирование принято рассматривать как задачу распределения дохода на инвестиции и потребление. Доходы в этой задаче моделируются различными производственными функциями [2, 5, 16, 39, 45, 74, 84, 85], а налоги считаются помехами функционированию системы. Таким образом, проблема оптимизации поведения инвестора при разных видах производственной функции и налога является одной из наиболее важных в теории управления сложными системами. Следовательно, является актуальным исследование трехуровневой системы государство-инвестор-производство с целью решения проблемы распределения доходов от производства между потреблением, инвестициями и помехами в виде налогов. Актуальность темы диссертации подтверждается также тем, что на протяжении многих лет данная тема активно исследуется [6], [20]-[23], [41, 55, 65, 75].
Внедрение математических методов в экономические исследования началось в 30-х годах XX в., хотя первые проникновения относятся к XVII — XVIII вв. В настоящее время можно выделить два основных подхода к решению проблемы оптимизации поведения инвестора — методы, использующие аппарат математического программирования, и
методы оптимального управления. Оба подхода моделируют "дуализм в поведении индивидуумов как потребителей (побольше потреблять сейчас) и как инвесторов (инвестировать сейчас так, чтобы иметь побольше в будущем), приводящий к рассмотрению оптимизационных проблем, которые в математической экономике формулируются как потребление — сбережение и размещение"1 [68]. Потребление — это конечная, завершающая стадия общественного производства, а также использование общественного продукта для удовлетворения экономических потребностей людей [62]. В рамках теории полезности и предпочтения эта проблема опирается на аксиомы (фон Неймана-Моргенштерна [49]) рационального поведения индивидуумов в условиях неопределенности, дающие подход и способ определять предпочтительность того или иного типа их поведения посредством количественного сравнения, например, средних значений функций полезности (см. [50]).
Моделирование поведения инвестора задачами математического программирования началось с основополагающих работ Л. В. Канторовича и Дж. Данцига [18,27, 28], в которых рассмотрены различные модели производственных процессов. Внедрение аппарата динамического программирования в экономико-математические исследования начато работами Р. Беллмана (см. [7]). В дальнейшем подобные методы активно разви-вались(см., например, работы И. И. Еремина, Ю. П. Иванилова и др. [24, 25]).
Особое внимание этому подходу было уделено в исследованиях, проводимых под руководством Л. В. Канторовича и В. Л. Макарова сотрудниками математико-экономического отдела Института математики СО РАН: В. Д. Маршаком, В. И. Шмыревым, С. М. Анцызом, В. А. Карда-шем, Э. О. Рапопортом и др. [3, 4, 26, 30, 31, 69]. В этих работах разрабатывались модели функционирования сложных экономических систем в различных отраслях и их математическое обеспечение. При этом были существенно использованы результаты Г. Ш. Рубинштейна, В. А. Бу-
лавского и др. (см., например, [8, 59, 69]) по исследованию методов решения задач математического программирования большой размерности с учетом специальной структуры. Конкретные задачи, в которых учитывалась иерархичность принятия решений в экономических системах, были рассмотрены в работах [3, 4, 31] и др. Подобные исследования проводятся и в отделе теоретической кибернетики ИМ СО РАН (см., например, [19,37]).
Близкий по инструментарию подход (балансовые уравнения) используется в работах А. А. Петрова, Г. С. Поспелова, И. Г. Поспелова и др. (см., например, [10, 22, 54, 55, 57]). В частности, в работе [22] для модели производственной системы при жестких финансовых ограничениях доказана теорема о магистрали, которая позволила рассматривать режимы сбалансированного экономического роста и получить численную оценку темпа роста ВВП, основываясь на параметрах технологической структуры, доли налогов и зарплаты. В работе [55] рассматривается математическая модель для оценки эффективности одного сценария экономического роста применительно к России.
Отметим, что во многих работах, использующих аппарат математического программирования, налоги рассматриваются как экзогенные параметры и поэтому влияние различных схем налогообложения на поведение инвестора исследовано недостаточно. Отметим также, что при подобном подходе получить алгоритмы поиска оптимальных стратегий функционирования удается только для специальных классов систем с иерархией в управлении.
Исследования динамических моделей поведения инвестора с помощью аппарата дифференциальных уравнений и вариационного исчисления начаты с пионерских работ Ф. Рамсея и Г. Хотелинга [76, 82] (см. также [35]). Для многих математиков модель Ф. Рамсея стала основой для дальнейших исследований (см. например, [5, 16, 42, 50, 84]). Вершиной этих результатов является теорема о магистрали в потреблении, кото-
рая утверждает близость траекторий оптимального роста к специальной траектории сбалансированного роста, на которой поддерживается максимальный уровень полезности потребления на душу населения. Весь продукт Y(t) распределяется между потреблением C(t) и накоплением I(t) (инвестициями). Больший объем накопления в настоящем периоде обеспечивает больший выпуск продукта в последующих периодах, обуславливая более высокий уровень потребления в будущем, однако за счет меньшего потребления в настоящем. При альтернативном подходе можно больше потребить в настоящее время за счет меньшего потребления в будущем. В каждый период времени осуществляется выбор между этими альтернативами с целью получения максимизации полезности потребления одного индивидуума. Эти рассуждения характеризуют наиболее распространенный подход к понятию правила оптимального накопления.
Развитие аппарата оптимального управления и постулирование принципа максимума Понтрягина [14, 15, 56] способствовали получению качественно новых результатов в исследовании динамических моделей поведения инвестора [1, 2], [5], [29, 33], [45,46], [48], [50, 61, 65, 71], [83], [85]. Большой вклад в эти исследования внесла школа математиков, основателем которой является В. Л. Макаров. В работах В. А. Васильева, Н. П. Дементьева, А. М. Рубинова и др. получены важные результаты в области экономической динамики [20, 21, 39, 40, 70].
В частности, в работе [40] исследовалась модель экономической динамики с учетом потребления в явном виде, дано определение общей технологической модели экономической динамики, общей модели экономической динамики и ее связь с технологическими моделями.
Одним из итоговых результатов в этой области является так называемое золотое правило накопления [81, 83]. Рассматривается производственная функция Y = F(K, L) — С + /, где Y — доход (валовой выпуск), С — потребление, / — инвестиции, L, К — объемы труда и капитала, соответственно. Золотое правило гласит, что инвестиции в
основные фонды должны равняться доходу, получаемому от капитала [5]. Отметим также работы Р. Солоу [84, 85], в которых в линейной дифференциальной форме связаны изменение величины фондов с износом капитала.
Заметим, что в большинстве работ, использующих методы оптимального управления так же как и в исследованиях, базирующихся на аппарате математического программирования, рассматриваются только вогнутые производственные функции. Требование вогнутости довольно естественно, но не отражает ряда существующих в экономике реалий. Поэтому важно исследовать новые классы возмущенных производственных функций. Дж. М. Кейнс писал [32]: "Весьма возможно, что [нео]классическая теория представляет собой картину того, как мы хотели бы, чтобы общество функционировало. Но предполагать, что оно и в самом деле так функционирует, значит оставлять без внимания действительные трудности".
Воздействие помех в виде налогов на цепочку сбережения-инвестиции является одной из центральных задач в проблеме оптимизации подобной иерархической системы. В долгосрочном аспекте рост сбережений сказывается на накоплении капитала и темпах экономического роста.
Из математических исследований проблемы налогообложения отметим работы [11,43, 63, 64, 73, 79]. Начиная с работ А. Лаффера, П. К. Ро-бертса и Дж. Ваницки [77, 78, 87], делается попытка поиска "оптимальной" ставки налогообложения [6], [12, 17, 44, 52].
Более четверти века назад американский экономист Артур Лаффер предложил свою кривую, которая изображает зависимость налоговых поступлений в бюджет от размера относительной совокупной налоговой нагрузки р = у, то есть доли налоговых поступлений Р в ВВП, равному Y. Согласно этой кривой, на начальном этапе по мере повышения налоговой нагрузки растут и налоговые доходы, но после определенной точки
("точки Лаффера"), где эти доходы достигают максимума, они начинают сокращаться.
До последнего времени не установлено преимущество одной из двух основных форм налогообложения: плоской шкалы или прогрессивного налога. Для того, чтобы определить какая из этих форм предпочтительней для развития экономики, необходимо подробное изучение влияния каждой из них на поведение инвесторов. Считается, что найти налоговую ставку, удовлетворяющую сразу всем субъектам экономики, задача невыполнимая. В заключение обзора заметим, что модель, в которой ставка налога на доход линейно возрастает в зависимости от величины дохода, достаточно адекватно отражает прогрессивную схему налогообложения.
Целью данной работы является сравнительный анализ параметров функционирования иерархической системы государство-инвестор-производство при различных формах налогообложения и разных видах производственной функции, доказательство теорем о магистральном поведении инвестора и рациональном поведении государства. Отметим, что всюду в работе под терминами предприятие и инвестор будем понимать одно и то же, чтобы подчеркнуть, что интересующая нас задача предприятия заключается в нахождении оптимальной стратегии инвестирования.
Перейдем к краткому изложению содержания диссертационной работы.
В первой главе изучаются модели поведения инвестора в случае вогнутой производственной функции при различных схемах налогообложения: едином пропорциональном налоге, прогрессивном налоге и прогрессивном налоге с постоянной скоростью изменения ставки налогообложения. Для того, чтобы определить, какая из схем налогообложения наиболее адекватно отражает экономическую ситуацию, необходимо получение для каждой из них соответствующих правил накопления.
Влияние единого пропорционального налога на поведение инвестора
Единый пропорциональный налог моделируется в задаче (1.7)-(1.10) функцией р(/) = х- Прежде, чем изучать влияние единого пропорционального налога на поведение инвестора сформулируем и докажем полезное утверждение. Рассмотрим следующую модификацию задачи (1.11)-(1.13): максимизировать функционал / С(1 - s(t))f(k(t))e-5tdt (1.17) Jo при ограничениях Ш = Cs(t)f(k(t)) - цк(і), (1.18) 0 s(t) 1, k{0) = ко 0, к(Т) кт 0. (1.19)
Здесь = 1-х, где х — ставка единого пропорционального налога, а все прочие величины введены ранее, их свойства прежние. Очевидно, что рассматриваемая в задаче (1.17)-(1.19) функция (f(k) неоклассическая (С .= const), поэтому в этой задаче, также как и в задаче (1.11)-(1.13), существует наилучшее стационарное значение фондовооруженности, которое обозначим через kjaXl. Лемма 1.1. Пусть f(k) — неоклассическая производственная функция и константа удовлетворяет условию 0 1. Тогда величина наилучшего стационарного значения фондовооруженности klaXi, полученная при решении задачи (1.17)-(1.19), меньше значения k , являющегося стационарным решением задачи (1.11)-(1.13).
Доказательство. Воспользуемся предложенным в разд. 1.2 методом решения задачи (1.11)-(1.13). Этой задаче соответствует рис. 1.2А с наилучшим стационарным значением к , а задаче (1.17)-(1.19) — рис. 1.2J5 с наилучшим стационарным решением kfaXi. А Рис. 1.2
В разд. 1.2 показано, что угол наклона касательной к графику функции f(k) в точке С — (& ,/(& )) равен \х. Аналогично доказывается, что в точке С — (&taXl,C/ft axi)) Угол наклона касательной к графику функции С/(&) равен ц (см. рис. 1.2В).
Поэтому, так как f {k ) = (л, Cf {tfaXl) — /z, получаем / ( ) = C/ fA&J, где 0 С 1. Следовательно, f (k taXl) / ( ). Так как f (k) — убывающая функция (в силу условия f"(k) 0), то получаем k aXl к , что и требовалось доказать.
Заметим, что инвестор строит свою стратегию, исходя из информации о значении p(Y), а государство корректирует эту стратегию, задавая величину А. Из леммы 1.1 следует, что в случае, когда дотации из бюджета отсутствуют, инвестор начинает уменьшать наилучшее значение фондовооруженности. Например, в модели государство-инвестор-народное хозяйство подобная реакция инвестора на налоги может привести к уменьшению валового продукта. Это обстоятельство показывает целесообразность определения 1.1, а также формулировку следующего понятия.
Уточняя определение фискально лояльной системы, схему налога будем называть рациональной, если она позволяет инвестору не замедлять рост производственных фондов.
Определение 1.4. Форма налогообложения называется рациональной, если выполняется неравенство к8 Цах, где к3 — фондовооруженность в ситуации без налога при заданном значении s, являющаяся стационарным решением уравнения (1.12), kstax — стационарное решение уравнения (1.8) при том же значении s и фиксированной схеме налогообложения.
Будем считать управление s(t) константой (s(t) = s), тогда для пропорционального налога уравнение (1.8) принимает вид k(t) = (l-X)sf(k)-iik + x№\. (1.20) Предложение 1.1. Для рациональности формы налогообложения в фискально лояльной системе в ситуации, когда налог прямо пропорционален доходу, необходимо и достаточно, чтобы доля налога, направленная на капиталовлоэюения, была бы не меньше, чем доля дохода, идущая на инвестиции, т.е. (К s А 1. ( )
Доказательство. Выпишем вначале следующие два уравнения, которые имеют место на стационарных траекториях (k(t) = 0): I) k = J/(fc) в задаче (1.11)-(1.13), П) к = r-f(k), где г = s + х(Л - s), (К А,« 1 в задаче (1.7)-(1.10) при р(/) = х 0.
Пусть А s. Тогда г )SH ввиду неотрицательности функции f(k) имеем rf(k) sf(k). Следовательно, ввиду неоклассичности функции f(k) решение к3 уравнения I) не больше решения kfaXi уравнения II), т.е. к8 к
Покажем, что если к\аХх к3, то Л s. Предположим противное. Пусть Л s. Из того, что X s следует, что г s, а значит rf(k) sf(k) и kstaxi ks. Получаем противоречие. Предложение доказано.
Отметим, что цель диссертационной работы состоит в отыскании магистральных траекторий, а это значит, что рассматриваться будет достаточно большой промежуток времени [0,Т]. Покажем, что lim k(i) — к\ах t-+oo при едином пропорциональном налоге, а значит актуально исследование стационарных траекторий ЦаХі.
Простейшая аддитивная модель возмущения производственной функции
В модели (1.11)-(1.13) производственная функция f(k) идеализирована. Рассмотрим простейшее возмущение вида (2.2): f(k) = f(k)+ +e2sin, 0 є -С 1. Изложим на этом примере метод нахождения оптимальной стратегии инвестора и определим, как в данном случае изменится правило накопления, сформулированное в разд. 1.2. В этом разделе было показано, что оптимальное управление для невозмущенных функций имеет вид s = -Ыг, где к — наилучшее стационарное значение фондовооруженности. Найдем s для функции /(&), модифицируя метод, предложенный в [5].
Перейдем к следующей задаче оптимального управления: максимизировать функционал , (1 - s(t))f(k(t))e-stdt (2.4) при ограничениях k(t) = s{t)f(k{t))-nk(t), (2.5) О s(t) 1, к(0) = к0 0, к(Т) кт 0, (2.6) / ) = /( ) + є2 sin -, О є 1, (2.7) где /(/г) — неоклассическая функция.
На рис. 2.1 приведены графики функций у = рк, у = f(k) и у = /(&). Рассмотрим стационарные траектории вида &() = к8, где fcs 0 — некоторое число. Пусть к3 — стационарная точка, где индекс s означает, что изучаются траектории при фиксированном управлении s (s(i) — const). Число ks определяет стационарную траекторию в том и только том случае, когда k{t) = 0, т.е. sf(k) — цк = 0, и к3 является корнем этого уравнения. Решение к8 данного уравнения для невозмущенной неоклассической функции f(k) существует и единственно для любого s О (см. разд. 1.2). Рис. 2.1
Вначале установим, что в случае рассматриваемого возмущения производственных функций существует максимальная ордината пересечения касательных к /, параллельных прямой /лк, с осью Оу. Другими словами, надо доказать, что существует "максимальная" касательная к / с углом наклона /л.
Докажем, что множество пересечений таких касательных с осью Оу ограничено. Проведем касательную д(к) — /лк + Ь к производственной функции f(k) параллельно прямой /лк. Здесь 6 — некоторая константа. Далее рассмотрим прямую /ik + 6 +- 1. Так как f"(k) О, то график f(k) лежит под прямой /лк + Ь. Мы имеем / — / є2 1, поэтому возмущенная функция лежит под прямой /лк + b + 1. Следовательно, любая касательная к возмущенной функции, параллельная /лк, лежит ниже прямой /ik + b + 1. Таким образом, ограниченность множества пересечений касательных к возмущенной функции, параллельных прямой у = цк, доказана.
Докажем теперь существование хотя бы одной касательной, параллельной /ik, к возмущенной функции, т.е. надо доказать, что f (k) = /і в некоторой точке. Так как f (k) непрерывная функция (как сумма двух функций с непрерывной производной), то достаточно найти две точки кі,кц, где f (k[) /л f (kn). В силу неоклассичности имеем: lim f{k) = оо, lim f {k) = О, fc-M) к-їоо поэтому существует значение кц такое, что / (кц) /л + 1. Так как \є2 sin )! 1, то / (кц) /і. Найдем точку kj такую, чтобы f(ki) /л. Существует последовательность величин кп - со при п -» со, для которых sin ) = 0. Ввиду того, что lim f (k) = 0, найдется кПо, где fc-Юо f(kno) /л. Отсюда / (U = f (kno) + e2sin ( ) = f(km) /і. Таким образом, существование искомой касательной к возмущенной функции для произвольного положительного /л доказано.
Замкнутость множества пересечений касательных, параллельных прямой у = fik, с осью Оу следует из непрерывности производных функций /( ) и sin(f).
Множество пересечений этих касательных с осью Оу замкнуто и ограничено. Следовательно, существует максимальная по ординате точка пересечения. Таким образом, мы доказали, что существует "максимальная" касательная в рассматриваемом случае возмущения производственных функций.
Заметим, что ввиду возмущенности производственной функции касательная к ней может иметь более одной точки касания. Вначале рассмотрим случай единственного решения уравнения [iks = sf(ks). В этом случае вертикальный отрезок АВ под прямой у = цк на рис. 2.1 равен по длине sf(ks). Поэтому длина f(ks) — sf(ks) отрезка ВС равна (1 — s)f(ks), т.е. подынтегральному значению максимизируемой функции без множителя e St. Таким образом, проблема максимизации интегрального потребления (2.4) вдоль стационарных траекторий свелась к поиску точки & , для которой длина отрезка ВС наибольшая.
Мультипликативная модель возмущения производственной функции
Будем изучать производственную функцию вида f(k) = f{k)(l + r(k)), где f(k), как и прежде, удовлетворяет условиям неоклассичности, функция т(к) из класса С1.
Рассмотрим функцию то(к) = є2 sin с амплитудой возмущения О є2 1 и частотой колебания . Уравнение, описывающее рост капитала в такой модели, имеет вид k(t) = s(t)f(k(t)) - fjLk(t) = s{t)f(k(t))(l + e2sm-) - »k(t), 0 є 1.
Задача поиска оптимального распределения формулируется следующим образом: максимизировать удельное потребление (2.4) при ограничениях (2.5), (2.6) и условиях / ) = /(A;)(l + e2sin-), 0 є«1, (2.20) где f(k) — неоклассическая функция.
Вначале докажем существование "максимальной" касательной к графику функции f(k). Тем самым будет обоснована применимость предложенного выше метода для поиска оптимальной доли отчислений на инвестиции 5 , соответствующей простейшей мультипликативной модели.
Для того, чтобы доказать существование касательной с углом наклона // надо найти точку к, в которой f (k) = [І. В силу непрерывности производной достаточно найти две точки, в которых / (&/) М и f (kn) Ц Продифференцируем возмущенную функцию f(k) = /(fe)(l+2sin) (при 0 є 1) и напомним некоторые условия неоклассичности для функции f(k): / ( ) = f(k) + f (k)e2 sin - + f(k)e cos -, (2.21) О С lim f(k) = со, lim f (k) = 0. (2.22) fc-И) fc-400
Построим последовательность точек kn = є( + 27гп), где кп - со при п - со. Так как cos = 0 и два первых слагаемых в (2.21) стремятся к нулю, lim f(kn) = 0. Отсюда следует существование точки кі, в которой П-+00 Из уравнения (2.21) и условий (2.22) вытекает, что limf(k) = оо, откуда следует, что существует точка кц, в которой Г{кц) \L. Тем самым, существование касательной с углом наклона /І доказано. Замкнутость множества пересечений касательных к графику f(k), где f (k) = fi, с осью Оу следует из непрерывности производных функций /( )И8Ш(4).
Ограниченность данного множества пересечений следует из того, что функцию / мажорирует функция (1 + є2)/(&), у графика которой существует единственная касательная с углом наклона fi, как и у функции f(k). Ордината пересечения этой касательной с осью Оу больше, чем ордината пересечения любой из рассматриваемых касательных с осью Оу.
Из замкнутости и ограниченности множества пересечений следует существование максимума. Таким образом, мы доказали, что имеется "максимальная" касательная в случае, когда возмущение производственной функции имеет вид (2.20).
Рассмотрим ситуацию, когда существует более одной точки касания прямой, параллельной fik, к возмущенной функции f(k). Выберем из них две точки С и С. Точке С соответствует значение к фондовооруженности k(t) и управление s\, а точке С соответствует значение Щ этого параметра и управление s , причем к\ Щ.
Используя метод отыскания оптимальной доли дохода, выделяемой на инвестиции (т.е. нахождение точек касания прямой fik с возмущенной функцией /(&)), отмечаем, что для точек С и С в стационарном случае выполняется равенство двух максимизируемых подынтегральных функций (і - з\)ПК) = (і - .5)/(4).
Возникает вопрос об устойчивости решения, а именно какую величину s надо выбрать из s ,i Є I, где І — некоторое индексное множество номеров решений уравнения (2.8). Так же, как и в аддитивной моде ли (см. разд. 2.2-2.4), в качестве меры устойчивости примем уровень гарантирования условия "экономического горизонта": к(Т) кт О, т.е. в случае неединственного решения уравнения (2.8) следует принимать k muhi = max(k ),i Є I я выбирать соответствующее этому k mult значение управления s . (Существование максимального элемента к ц доказывается аналогично аддитивному случаю.)
Таким образом, в случае мультипликативного возмущения получаем следующее правило накопления, показывающее, что для фиксированной максимальной фондовооруженности k mult = max(fc ) соответствующее управление s , оптимальное для стационарных траекторий, определяется по формуле _ mulh _ J V multJ mulh Тем самым, доказано следующее утверждение.
Исследование дифференциальных уравнений при q >
Для того, чтобы проверить адекватность приведенных выше результатов реальной экономике, рассмотрим историю функционирования группы предприятий одного машиностроительного министерства. Информация об этом объединении содержится в [3].
В таблице 2.1 приведены необходимые для рассматриваемых моделей данные: в качестве объемов выпуска /г- взяты объемы чистой продукции объединения в 1985-1990 гг. и план на 1995 г., в качестве инвестиций (sfi) — объемы капиталовложений, фондовооруженность к{ на этот же период известна. Здесь г = 1,...,7 — номер строки в таблице, соответствующий году.
Величины объемов чистой продукции определим по формуле: fi равняется объему товарной продукции минус себестоимость товарной продукции плюс общий фонд зарплаты. Фондовооруженность масштабирована множителем 0,2857 и для приведения к постоянной численности объема трудовых ресурсов величины кг умножены на значения L{ (численность промышленно-производственного персонала) и разделены на значение L\ (ср. [3], стр. 143-146).
Очевидно, что вид производственной функции f(k) не задан, поэтому рассмотрим несколько ее моделей. I способ. Вначале рассмотрим эту функцию на отрезке [к\, kj] в виде f{k) = ак2 + Ьк + с. (2.24)
Коэффициенты а, Ь и с найдем методом наименьших квадратов, минимизируя функционал г=1 по переменным a, b и с. Обозначим М = min G(f). Для этой модели а,Ъ,с производственная функция принимает вид f(k) = -0,00027&2 + 2,31468& - 4320,77.
Определим величину доли s, которая должна была быть направлена на инвестиции, для этой модели производственной функции по методу, изложенному в разд. 1.2. В результате получаем при темпе амортизации /л = 0,08 значение доли инвестиций s = 0,52138.
Если разделить покомпонентно элементы столбца объемов инвестиций на элементы столбца объемов чистой продукции, то получим вектор s реальных (1985-1990 гг.) и планировавшегося на 1995 г. значений долей инвестиций (см. табл. 2.2).
Очевидно, что эти значения существенно меньше, чем найденное аналитически "оптимальное" значение величины доли инвестиций s . Известно, что отрасль машиностроения уменьшила выпуск в 1995 г. в сопоставимых ценах по сравнению с 1990 г. более чем в 2 раза (см. [58], табл. 14.63, стр. 331), что, в основном, вызвано реформами экономики. Интересно заметить, что проведенный выше статистический анализ показывает нарушение "золотого правила" накопления в рассматриваемом периоде.
II способ. Заметим, что значение М = 1349,567 в модели (2.24) достаточно велико. Поэтому построим другие, более соответствующие исходным данным модели производственных функций следующих видов: 1) fei(k) = f2(k) + 2sinf = аєк2 + Ьєк + сє +.2sinf, 0 є « 1 (аддитивная модель); 2) /2W = /2(A;)(l+2sinf) = (afc2+6A;+c,)(l+52sinf), 0 є « 1 (мультипликативная модель).
Для того, чтобы определить величины ає,Ьє и сє, как и ранее, минимизируем функционал 6(/.,) = (/.,( »)-/ ) . J = 1 2 1=1 по переменным ає,Ьє и с при различных значениях є (є Є (0,1)). Обозначим Щ = min G(fj), j = 1,2. Приведем значения этого функци ає,Ье,се онала: Мг = 1349,15 и М2 = 1155,18 при є = 0,07; Mi = 1348,33 и M.2 = 957,75 при є = 0,1432. Эти значения меньше, чем число М, и, следовательно новые модели производственной функции точнее отражают реальность. Из полученных выражений также видно, что мультипликативная модель в свою очередь ближе к реальным параметрам, чем аддитивная. Найдем оптимальные значения доли инвестиций (не гарантированные стратегии) для этих моделей, используя алгоритмы, предложенные в п. 2.5.1.
Для величины возмущения є = 0,1и/л = 0,08 получаем s\ = А = = 0,52137 и а% = 7 = 0,5136, а для є = 0,05 и ц = 0,08 нахо дятся s\ = 0,52138 и Ц = 0,5197, где точки {Ц,/.{Ц)), j = 1,2 лежат на "максимальных" касательных. Как и в модели (2.24), оказалось, что теоретически полученные значения долей инвестиций существенно больше значений, применяемых на практике в плановом периоде (1985-1990 гг.). Заметим, что в этом примере увеличения в аналитически определенной доли инвестиций не наблюдается, потому что, в частности, вид производственной функции не совпадает с приведенным в п. 2.5.3, т.е. /( ) = о/к.
Приведенные в таблице 2.2 результаты, наряду с последующими, получены с помощью программы "Perturbation", написанной на языке Pascal (Delphi 5). На рисунках 2.7 и 2.8 проиллюстрированы возможности этой программы.
Рисунок 2.7 соответствует мультипликативной модели возмущения производственной функции и иллюстрирует случай, когда е = 0,29 (на рисунке є = Е), /z = 0,1 (на рисунке ц = М). По оси абсцисс отложены значения фондовооруженности, а по оси ординат — значения производственной функции, соответствующие таблице 2.1 (см. термин "значения" на рис. 2.7). На этом рисунке термины "приближение", "приближение 2" соответствуют графикам функций f(k) = ah2 + bk + с и fi{k) = ак2 + Ьєк + се, а термин "возмущение" — графику функции /2(fc) = /2(fc)(l + e2 sin ).
