Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Асимптотика линейных функциональных форм для одного класса марковских функций 20
1. Общие замечания, основные формулы 20
2. Особые точки функций fk (ОС, IV) 31
3. Особые точки функции фслг 41
4. Асимптотические формулы. Некоторые обобщения 54
ГЛАВА II. О совместных аппроксимациях паде в случае конечного и бесконечного интервалов 65
1. Постановка задачи. Основные формулы . 65
2. Сходимость аппроксимаций ST0 (п/я) . 72
3. Асимптотика функций Р^ 81
ГЛАВА III. О совместном приближении нескольких линейных форм 96
1. Постановка задачи. Достаточные условия единственности 96
2. Чисто диагональные аппроксимации 119
Литература 143
- Особые точки функций fk (ОС, IV)
- Асимптотические формулы. Некоторые обобщения
- Сходимость аппроксимаций ST0 (п/я)
- Постановка задачи. Достаточные условия единственности
Особые точки функций fk (ОС, IV)
Таким образом мы видим, что величины / Р (п ) растут с ростом п быстрее любой геометрической прогрессии. Следовательно, аппроксимации ЗТ (п/&) не сходятся ни в одной точке комплексной плоскости.
Выше отмечалось, что как совместные аппроксимации Паде так и формы с полиномиальными коэффициентами находят самое широкое применение в различных областях математики. Причём обе эти конструкции тесным образом связаны между собой. В главе III мы даём дальнейшее развитие этой точки зрения доводя её до максимальной степени общности. Так что обе указанные конструкции становятся совершенно равноправными и формально не различимыми в нашей общей постановке. В 1 главы III мы даём постановку новой общей задачи, содержащей в качестве своих частных случаев задачи о классических и совместных аппроксимациях Паде, о линейной форме с полиномиальными коэффициентами, о матричных аппроксимациях. (Матричный аналог классической проблемы моментов, аппроксимаций Паде, ортогональных многочленов - все эти теории были в значительной степени разработаны М.Г.Крейном и успешно применялись им в спектральной теории симметрических операторов с конечнократным спектром; см. работы С33,[33], а также монографию С 1 "} , в которой имеется подробная библиография по данному вопросу.) Итак, пусть дана П т --матрица / из степенных рядов /. с центром в бесконечности. Ищутся многочлены (не все равные тождественно нулю) степени которых не превосходят заданные числа Ъл - 4 tz - 4 ,..., 7т - 4 соответственно, такие что для некоторых многочленов f ,..., рп ряды начинаются со степени 1 / % не меньшей чем где S ,..., Sh - заданные целые неотрицательные числа, связанные с числами ч ,..., 7m соотношением
При /72 - 4 поставленная задача сводится к задаче о совместных аппроксимациях Паде, а при п =. / - к задаче о линейной форме. В нашей общей постановке под двойственной задачей понимается та же самая задача, но с матрицей / вместо f. ( Здесь через / обозначена матрица, получающаяся из f транспонированием и переходом к комплексно сопряжённым коэф -фициеытам рядов.) Оказалось, что поставленная нами задача допускает развитие содержательной формальной теории. Так мы показываем, что мно -гочлены Q ,..., Q удоволетворяют соотношениям ортогональности специального вида; решения прямой и двойственной задач удоволетворяют некоторому соотношению биортогональности. Далее, беря различные наборы чисел f цЛ и { S,- j , связанных соотно шением (о. і2) у мы получим П +т- /-мерную таблицу &ff) ("решений общей задачи), являющуюся аналогом диагонали в классической и общей таблице Паде. Нами получены некоторые достаточные условия единственности решения общей задачи. При этом существенную роль играет введённое Е.М.Никишиным (см. I 32і) понятие АТ-системы. Имеет место . Пусть f і J " марковские функции: Предположим, что вьшолнено одно из следующих трёх условий. a) Для каждого / = /,..., п. отрезки А гі , . . . , дг/п совпадают между собой и равны отрезку д t- ; отрезки Д4,... Z) п попарно не перекрываются; ir - ( V f, . . . ,т% ) АТ-система на отрезке Д , содержащем все /i . ; f . мера на отрезке Z) г- , І -/,..., J7 , имеющая бесконеч ное число точек роста. Меры м t-y определены следующим образом
Асимптотические формулы. Некоторые обобщения
Доказательство. Пусть сперва Re x О , тогда точки ± w5 расположены ближе к началу координат чем точки - VA Y и ± w0 .Мы доказали, что ± \Уг - ветвления первого порядка фиксированной ветви функции F. , и имеет место ( 2. 13 ) Значит ± wх - особые точки на границе круга голоморфности F3 . При Re х ъ о , X lo, -г], по прежнему IA/J [ / w0 / и ± w5 - ветвления первого порядка. Но в этом случае ± w расположены ближе к на чалу координат чем ± \MZ . Однако, из пункта з" следует, что ± \л/і не являются особыми точками на границе круга го ломорфности F% . Следовательно, ± wx - по прежнему единственные особые точки на границе круга голоморфности. Пункт, а) доказан. Если ос е С о, і) , то + w0 - + Wj . Поскольку точки ± w5 - особые, а функция Fz С ос, w) имеет вещественные коэффициенты ряда Тейлора с центром в нуле, то ± VA/0 также будут особыми точками. Точки wr особыми не являются. Откуда следует пункт Ь) . Утверждение доказано. Исследование особых точек производящей функции F1 (x,w) проводится аналогичным образом. Имеет место Если ос е \ I-Л О ] , то функция F ( дг , w ) голоморфна в круге / w \ \w (х) ) и имеет на границе этого круга две особые точки ± w (х) , которые являются ветвлениями первого порядка. В проколотой окрестности точки ± v/, (ос) функция F1 имеет разложение Если x ( - , о) , то функция /1 голоморфна в круте / iv/ / и/, (х) \ (где под w4 (х) понимаются предельные значения из нижней полуплоскости ) и имеет на границе этого круга четыре особые точки ± \мл (х) и jt w с х) которые являются ветвлениями первого порядка. В проколотой окрестности точки ± wf с ) функция F, имеет разложение С 2- 1 &) , а в проколотой окрестности точки ± wf (х) -разложение /Г В этом параграфе мы исследуем особые точки функции ф с х , uv ) , лежащие на границе круга голоморфности с це нтром в нуле. Возможными особыми точками функции Ф (см. С і. 3 2 ) ) будут точки w = ± і , корни уравнения С -ху w) = о , точки vW х) , такие что для некоторого - = /, 2, 3 Тк ( х , w с ос) ) равно / или со . Пусть 7Гк = / . Подставляя это значение в уравнение ( /. 25) получим я: - / = о , то есть х = ± / . Пусть теперь = со , то есть tк =. О . По дставляя это значение в уравнение с -/. 2 о ) получим эс - о. Таким образом, если х о , ± / , то Гд. /, с , к - /, Z J З . Далее, из 22 следует, что точки ± І не являются особыми для Ф . Нам осталось рассмотреть 2. Введём топологическое пространство X » получа ющееся из комплексной плоскости исключением точек X - - 1 , ос = о , х - / и верхних берегов интервалов С - /, ? J и Ґ ? , /J . Пусть леХ0 , и w обходит точку w, С ос J один раз против часовой стрелки по окружности достаточно малого радиуса. Тогда, (см. 3 2 ) Таким образом, выражение для ф (см . С І. 32) ) после обхода не изменится. Однако, мы ещё не можем сделать вывод, что ф однозначна в окрестности точки iv , так как при изменении 2 3 —" т І и7/ _л 1 могли получить значения f ( Tt) и f С Т3 ) соответственно для других ветвей функции f . Проследим за изменением аргументов фун кции / в выражении С /. 31) . Пусть w пробегает кривую /f (х) Ссм 32 J. Тогда, пробегает кривую f с дг , а _ - обратную кривую. Следовательно, г, - ( д +&) / х пробегает кривую где о т ± / . Эта кривая выходит из точки ноль и идёт в точку - і / -х , не проходя через / И оо . ЛЕММА 3.1 Для всех ос е Xо кривые f С х) гомотопны в С \ { 19 оо}. Доказательство. Достаточно доказать, что для любого компакта К CL У 0 и для любого сЛ О найдётся f, такое что если ос, , xt j и / х,-х2 % 9 а - любое число из отрезка с о , І ] , то где под 5f (Ху , і ) понимается ветвь кубического корня, полученная аналитическим продолжением вдоль кривой і (X j ) . Положим ?f Г jcf , 0 - Sr, (xx,i)\ hbln (A , 3 PA 3) (3.6-) Из доказательства леммы 2.1 следует, что это можно сделать. Тогда, из CJ.S ) следует С з. 40 . Что требовалось доказать.
Сходимость аппроксимаций ST0 (п/я)
Мы фиксируем эту ветвь условием: д (х) о при ос - і . Выбор ветви обусловлен тем, что при х - і многочлен /1Л и функция w_ CJO принимают значения одного знака, тогда в силу ( 2. 2 ) А (х) должно быть положительным при X - і . Учитывая всё сказанное выше получим (2.3). Тем самым теорема 2.1 полностью доказана.
Интересно сравнить асимптотическое поведение многочленов У\ п с асимптотическим поведением классических многочленов Лежандра С ортогональных на отрезке 1-1,1] по мере Лебега ) или любых других многочленов, ортогональных на отрезке с- /, f ] по мере, удоволетворяющей условию Сегё (см. 172,191). Мы видим, что многочлен Ап (степени 2 п ) при п - оо ведёт себя также, как обычный ортогональный многочлен ("степени п. ) .В частности, нули многочлена У\. п , принадлежащие интервалу С - 4, 1 ) , в пределе дают стандартное чебышёвское распределение, а нули, принадлежащие интервалу С /, оо ) , с ростом п. стремятся к бесконечности.
Изучим теперь асимптотику функций второго рода Р (п\х\ Введём обозначения. Пусть ос G \ А0 , сг - достаточно малое положительное число, и точка w описывает следующую кривую, которую мы обозначим 1 ( х) . Сперва w прохо дит отрезок Е с, VA/ Cx)-cf ] , затем проходит против часовой стрелки окружность с центром в точке w_ с х) и ра диусом сЛ , после чего возвращается в точку w = о по тому же отрезку. При этом точка ъ х описывает некоторую кривую L С х) , не проходящую через точки ± і . Заме тим, что точка описывает при этом обратную кривую. Через і(х) и /, (х) будем обозначать предельные кривые при сР -+ О . Напишем явное параметрическое представление кривой L С ос ) : то у ± С эс ) строится аналогично кривой / ( х) t но для точки w+ ( х) вместо w_ С эс) . Если ос і , то кривая _ ( зО сперва проходит отрезок [о, w -«Р], затем обходит точку w_ focj по полуокружности радиуса с против часовой стрелки (по часовой стрелке ) , после чего проходит отрезок [ vv_ с х) + сР , W+ С х ) - сР 1 , обходит против часовой стрелки точку w+ с эс) по окружности радиуса сР , и наконец возвращается в точку w = о , проходя те же участки в обратном -направлении. В случае зс - / кривые ЭО ± х) строятся также как в случае х -у / , но с заменой направления обхода точки w_ сэс) на противоположное. Через fj. ( х) ( ос G В + J, Г _ С х) (хс В_) обозначим кривые, которые проходит точка tх , когда w проходит кривые Yj. + С ) и /. _ ( ) соответственно. Заметим, что точка І проходит при этом обратные кривые. Через У+ эс)и F± ( х) обозначим предельные кривые при Р- О . Аналогично лемме 2.1 доказывается ЛЕММА 2.2 Для х е 8+ ( ос є В_ ) все кРивые -78 Г+ С х) ( Г_ (ос) ) гомотопны между собой в Є \ {—/, 4]. Нас интересуют особые точки функции Фв С х, w) f лежащие на границе круга голоморфности с центром в нуле. УТВЕРЖДЕНИЕ 2.2 При х є \ А 0 функция ф0 (Х,\л/) голоморфна в круге I w с / v\4 (х) и имеет на границе этого круга одну особую точку w+ с ос) , которая является ветвлением первого порядка. В проколотой окрестности ТОЧКИ W+ Сх) функция Ф 0 имеет разложение -1/Z Доказательство. Возможными особыми точками функции Фв будут точки w ± С ) . Исследуем сперва ближайшую к началу координат точку w_ С ос) . Пусть \л/ обходит точку vv по окружности достаточно малого радиуса. После обхода получил: Тем самым выражение С 1. і S) для ф в после указанного обхода не изменится. Однако, при изменении tx v--» tto и Xj lx мы могли получить значения f0 "«,) и f0 Г х) соответственно для других ветвей функции f0 . Чтобы выяснить, как изменяются значения f0 (ix) и f„ ( t ) при обходе точки w_ с х) , изучим кривую L ( эс) .В силу леммы 2.1 достаточно рассмотреть эту кривую при одном каком-либо ее , Пусть эс У , тогда из явного вида С 2. Ч -2. ) кривой L (х) видно, что она представляет собой отрезок [ Л , оо ] . Поскольку L С х) не пересекает раз -реза Z) 0 , то после обхода точки \А/_ (ОС) значение f0(tk) -79 перейдёт в значение {0 ( і ) , f о ( t ) - в f „ С tx). Тем самым, после обхода точки W- (х) фо приходит к своему прежнему значению. То есть W_ (х) является точкой однозначного характера функции Ф0 . Более того, легко видеть, что w_ (х) - регулярная точка.
Постановка задачи. Достаточные условия единственности
Если m = / , то задача А является зада чей о совместных аппроксимациях Паде с общим знаменателем о для системы степенных рядов f , -f3l , . . .. , ffl1 с центром в бесконечности. Если п - і , то задача А является зада чей о линейной форме с полиномиальными коэффициентшш от сте пенных рядов f11 у т13 , . . - , firf7, тлеющей "нуль" максима льного порядка в бесконечности. В частности, при п =УП- 1 задача А сводится к классической задаче о диагональных аппро ксимациях Паде степенного ряда -f с центром в бесконеч ности. Введём матричные обозначения. Через f обозначим матрицу из ҐІ строк и Ю столбцов, элементы которой суть ряда ft у = / п » J= /? - m Д » І есть ґґі -мерный вектор-столбец, элементы которого - много -члены а , у 9 - - . Я m ; р - П -мерный вектор-столбец, элементы которого - многочлены pf , Ру у - у рп. Ограничения на степень многочленов у короче будем записывать в виде (ієя 9 7 - / . Если f - ряд вида то через Т С Т) будем обозначать индекс к первого отличного от нуля коэффициента Ук ряда f . (Если f = О , то Т ( )=+ оо ; если существуют как угодно большие по абсолютной величине отрицательные к , такие что f, 4 О , то т ( Y) = - . ) Если f - строка, столбец или матрица из степенных рядов вида ( У . & ) , то через Т ( f ) обозначим соответственно строку, столбец или матрицу из индексов т всех элементов У йспользуя матричные обозначения мы можем переписать соотношения ( і, у) в следующем виде Т ( {о — р ) Заметим, что решение задачи А, вообще говоря не единст -венно. Ниже мы дадим некоторые достаточные условия единственности. С Здесь и далее единственность понимается с точностью до умножения на отличное от нуля число.,) 2Пусть А І у , І -- /, -,nt j = і, - . .,mf _ отрезки действительной оси, f і j - конечная комплекснозначная борелевская мера с бесконечным числом точек роста и носителем, лежащим на отрезке А і j Пусть далее, -f y (Fj соответствующие этим мерам "марковские" функции: Напомним, что f f- у голоморфна в области \ Л у у ( и даже вне носителя меры уч / у ) и имеет в окрестности точки z = оо разложение вида ( і. 1 ) , где f , к -ый степенной момент меры Iй і j : УТВЕРЖДЕНИЕ I.I Пусть f - определённые выше мар-ковские функции, AS и - пара мультииндексов размерности п и т соответственно, связанных соотношением (1.2.) Пусть далее, ( 9 / ) " произвольное решение задачи А для этих рядов и мультииндексов. Тогда, многочлены t,- Яуп удоволетворяют следующим соотношениям ортогональности Доказательство. Пусть Г - окружность, охватывающая все отрезки // Умножим I -ое равенство в С і . Ц ) на л? , где v = О Sj-ff и проинтегрируем обе части равенства по окружности Г . Интеграл от р С z ) 7 v равен нулю Г по теореме Коши ). Далее, правая часть равенства голоморфна вне Г и имеет в бесконечности ноль по крайней мере второго порядка. Следовательно, интеграл от неё также равен нулю. Таким образом, мы приходим к соотношениям когда V = О,.., 5 у - / , 2 = /,... , /2 . Подставляя в (4. ) представления Г У. 6 ) , применяя теорему Шубини и формулу Коши мы придём к соотношениям ортогональности ( і . ) . Что требовалось доказать. Обозначим через 6,- , і f - - ft , вектор-столбец размерности П. , / -ая компонента которого равна / , а остальные компоненты равны нулю. Соотношения ортогональности С і . 7 ) в матричных обозначениях перепишутся следующим образом когда V = О, . ,-/,/ = /,- П . Где yw - п х m матрица из мер ґ і і » а символом мы обозначаем операцию эрмитового сопряжения матриц. Пусть снова ( у , р) - произвольное решение задачи А. Назовём многочлены pf , pz, р - многочленами второго рода (ъо отношению к многочленам ,,..., }, а функции (ряды ) УТВЕРЖДЕНИЕ 1.2 а) Пусть -f i - марковские функции. Тогда, для столбца многочленов второго рода Р и столбца функций второго рода Я имеют место следующие формулы
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")
