Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Асимптотика логарифма максимального членаизмененного ряда Дирихле 47
1.1 Доказательство теоремы 1 47
1.2 Доказательство теоремы 2 55
Глава 2. Асимптотическое поведение суммы ряда Дирихле заданного роста на кривых 63
2.1 Доказательство теоремы 3 63
2.2 Доказательство теоремы 4 72
2.3 Доказательство теоремы 5 74
2.4 Доказательство теоремы 6 82
Глава 3. Оценка ряда Дирихле с лакунами Фейера на вещественной оси 84
3.1 Доказательство теоремы 7 84
3.2 Доказательство теоремы 8 86
3.3 Доказательство теоремы 9 92
4. Список литературы 100
Введение к работе
Важное значение в теории функций, дифференциальных уравнениях, теории чисел и других разделах анализа имеет изучение асимптотических свойств целых или аналитических в произвольных областях функций. Огромный вклад в развитие данного направления внесли такие известные математики, как Э.Борель, А. Виман, Ж. Валирон, Д. Пойа и другие.
В 1882 году Ж. Адамар вывел формулы, выражающие порядок и тип целой функции через коэффициенты Тейлора [1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций была решена М. Фудзивара [2], Н. В. Говоровым [3] и другими (см. [4]).
Обобщением степенных рядов являются ряды Дирихле с положительными возрастающими показателями.
Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятиями Я-порядка и Я-типа, которые были введены Ж. Риттом. Он же выразил эти величины через коэффициенты ряда Дирихле [5].
Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в полуплоскости, в терминах обычного порядка и обычного типа исследовали Б. Дагене [6], В. Бойчук [7], К. Нандан [8], [9], Ю. Шиа-Юн [10.
В конце 60-х годов М.Н. Шереметой было введено понятие обобщенного порядка для изучения роста целых или аналитических в круге функций. Задача, связанная с применением обобщенных порядков к изучению роста рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была рассмотрена в [11. Позже в терминах Я-порядка и Я-типа рост рядов
Дирихле в полуполосах и на луче вблизи прямой сходимости в зависимости от коэффициентов был исследован A.M. Гайсиным в работах [12]-[16], а также в. работах О.Б. Скаскива и В.М. Сорокивского [17], [18].
В начале 20 века А. Вимап и Ж. Валирон разработали метод, который впоследствии стал называться методом Вимапа-Валиропа, для изучения связи между максимумом модуля целой функции и максимальным членом ее степенного разложения и ее производных в окрестности точки максимума модуля. Метод Вимана-Валирона позволял решать следующие задачи теории аналитических функций: исследование асимптотических свойств целых функций, представленных лакунарными степенными рядами, оценка роста решений дифференциальных уравнений и т.д.
В 1929 году была опубликована статья Д. Пойа [19], в которой помимо доказательств фундаментальных теорем об асимптотических свойствах функций, заданных лакунарными степенными рядами, был поставлен ряд задач. Исследования, начатые Д. Пойа, были продолжены многими математиками. Метод Вимана-Валирона и разработанные рядом авторов его модификации (см. [20]) не позволили решить все актуальные задачи, поставленные в [19]. Поэтому в теории лакунарных степенных рядов, тем более рядов Дирихле, долгое время оставались нерешенными многие проблемы. После исследований А.Ф. Леонтьева [21]-[24] сильно возрос интерес к рядам экспонент, сходящимся в произвольных выпуклых областях. Стали активно исследоваться вопросы разложения аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы области регулярности, в ряды экспонент (см., например, в [23]-[25]). И в настоящее время представляются актуальными задачи о росте суммы ряда экспонент вблизи границы области регулярности в зависимости от ее роста в тех пли иных подмножествах области, примыкающих к границе. В этой ситуации метод Вимана-Валирона не всегда себя оправдывает. За последние годы A.M. Гайсиным была разработана другая методика, которая нашла полезное применение в подобных исследованиях. В его работах систематически используются интерполирующей функция и формулы для коэффициентов А.Ф. Леонтьева, различные модификации теоремы Бореля-Неванлинны из [26]. Эта методика нашла свое применение и дальнейшее развитие и в данной диссертации, где рассматриваются целые функции как заданного, так и произвольного роста, представимые рядами Дирихле, абсолютно сходящимися во всей плоскости. В тех или иных терминах, учитывающих глобальное поведение ряда Дирихле конечного Я-порядка (конечного нижнего R-порядка), установлены оценки для суммы ряда на кривых, уходящих в бесконечность. Данные результаты обобщают и усиливают известные результаты Г.Пойа [19], М.Н. Шереметы [34] и A.M. Гайсина [29], [37]. Аналогичные оценки для целых рядов Дирихле, имеющих произвольный рост, и потому при более сильных условиях ранее были доказаны A.M. Гайсиным [30]. Для рядов Дирихле, абсолютно сходящихся ЇЇ полуплоскости, соответствующие оценки были получены Т. И. Белоус. Для рядов Дирихле произвольного роста, показатели которых удовлетворяют условию типа Левинсона, в диссертации получены неулучшаемые оценки их роста на вещественной оси. Такого рода оценки до сих пор не были известны и ранее в литературе не встречались. v 0.2 Предварительные результаты и постановка задач Пусть Л = {Л,,} (0 Л„ t оо) — последовательность, удовлстворяющая условию: г-— шп lim -—-— = а оо. (0.1) " 0° In А„ v ; Через D(A, R) и 22(Л, R) обозначим классы всех функций F, представимых во всей плоскости рядами Дирихле оо . F(s) = a7,eVs (s = а + it) (0.2) и имеющих конечные порядки pn(F) и конечные нижние порядки pR{F) по Ритту (Я-порядки). По определению In In М (a) lnlnM(cr) Pn(F) = lim , PniF) = lim где M(G) = sup \F(a + it)\. / oo Из условия (0.1) следует, что In Гі hm —- = 0. 0.3 ЇІ-ЇОО \ V / Так что ряд (0.2) сходится во всей плоскости абсолютно, а его сумма F - целая функция [21]. Хорошо известно, что при условии (0.3) величина рц может быть вычислена по формуле [21] : 1 _ In \ап\ = lim . (0.4) PR °0 К In Аи Наряду с рядом (0.2) введем в рассмотрение и ряд оо . » (а) = Е оАв " , (0.5) /i=l где последовательность b = {bn} комплексных чисел bri (bT, О при п N) удовлетворяет условию hm — оо. (0.6) Тогда ряд (0.5) также абсолютно сходится во всей плоскости, а F/ - целая функция. Более того, если F Є D(A, R), то из условия (О.б) и формулы (0.4) для вычисления й-порядка следует, что F, Є Z)(A, і?,). В дальнейшем будем предполагать, что пП 1п(Ь„ + Ь„-1) ТО. (0.7) Это позволит нам рассматривать также абсолютно сходящиеся во всей плоскости ряды Дирихле оо л . avb enh Пусть Е С [0, оо) — измеримое по Лебегу множество. Верхней DE и нижней d,E плотностями множества Е называются величины mes(E П [0, a]) mes(E П [0, о-]) DE = lim І - , dE = Hm а- оо j а- оо (j Верхней D\nE и нижней rfinjB логарифмическими плотностями множества і? называются величины і— 1 г dt ,1-,-, 1 г dt D\nE = lim / --, din7 = hm / —. В дальнейшем считаем, что все исключительные множества Е С [0, оо), вне которых будут получены асимптотические оценки, представляют собой объединения отрезков вида [ап, a J, где О а\ а[ а-) а!2 ... а71 а п ... . Через L обозначим класс всех непрерывных и неограниченно возрастающих на к+ = [0, со) положительных функций w = w(x). Пусть W = \w Є L : J — dx со І і x ( w(x) 1 w(t) 1 weL:y/x ги(х), lim - - = 0, Hm -— [ — -dt = 0 , ТГ = \w € L : V5 w(x), lim f- -dt = 0 . ЗАМБЧАНИЕ.Если w(x) ги Є L, lim — - = 0, то легко показать, что lim -— / -Ar-dt = 0. r °° In x { t2 (0.8) Обратное утверждение не верно. Приведем соответствующий пример (см. рис. 1). У п+1 !Jn рис. 1. а(х) w(x\ ж„_і = 22 жи = xv+\ — 2"+1 Определим две последовательности xv — 2 и yv = 22 . Пусть а (ж) = ут если х„ х xv+\. Тогда lim = 1. и— оо а X Имеем h)+la(x) , Л 1 , X хп+\ Пусть х„ х х71+\. Тогда In х dt = o(l), X —)- oo. y7l 1 /In In X E 1+ —-— = 0 \nx ,J I xTI\nx V InX Найдется функция w(x) Є L такая, что 2) а(ж„) = w(x„); з) Т -Т л r?" Видно, что для функции u () условие (0.8) выполнено, но Будем говорить, что последовательность {b„} (Ь„ ф 0 при п N) W— нормальна, если найдется функция в Є L, такая, что 1 }0(t) lim , , п / - оо 1п У t2 [A±dt = о, -1п6и 6(\„) (п N). Если, например, то последовательность {bn} W— нормальна. Через D(A) обозначим класс всех целых функций F, представимых абсолютно сходящимися во всей комплексной плоскости рядами Дирихле (0.2). Пусть /j.(a) и f4(a) максимальные члены рядов (0.2) и (0.5) соответственно, т.е. fi(a) = max{a„eA lfT}, //,» = тах а е ""}. В работах [30], [35] доказана следующая ТЕОРЕМА А. Для тощ чтобы для любой функции F Є D(A) при а — со вне некоторого множеетва Е С [0, оо) копанной лебеговой меры имело меето асимптотическое равенство 1пМ т) = (1 + 0(1))1п№», необходимо и достаточно, чтобы существовала функция, w Є W, такая, что 1п6„ ЦЛ„) (n N). (0.9) Пусть Л = {Л„} (0 ХТ) t оо) последовательность, имеющая конечную верхнюю плотность л D= lim -— со. (0.10) ТІ—»0О \ ч Тогда оо / Z Q(z)= П 1J (0.11) - целая функция экспоненциального типа не выше 7i\D , где D — усредненная верхняя плотность последовательности Л : ь 0 ,ь j t Всегда D D eD (см. [22)). Напомним также, что величина S = lim — In и— оо \ /\Г1 называется индексом конденсации последовательности Л. Если inf(A„+1 - А„) = г 0, то S 3[3-\U(TD)]D оо [22, гл. 2, §5]. Отметим, что если индекс конденсации S последовательности Л равен нулю, то последовательность {Q (A,7)} будет W -нормальной. Введем в рассмотрение следующий измененный ряд оо F (s) = o„Q (A„)eA"\ (0.12) 7/ = 1 Так как Q — целая функция экспоненциального типа, то ряд (0.12) абсолютно сходится во всей плоскости, а его сумма F — целая функция. При помощи формулы (0.4) проверяется, что если F Є (Л, R), то F Є D(h, R), причем p R рП) где p R и рл - R - порядки функций (0.12) и (0.2) соответственно. Если индекс конденсации S оо то р п — рц. Пусть Г = {7} семейство кривых, где 7 — любая кривая, уходящая в бесконечность так, что если s 6 7 и 5 4 оо, то Res — +00. Для любой функции F € D(A), 7 € Г положим уде, М(а) = sup \F((T + it)l / оо Пусть, далее, р{а) — максимальный член ряда (0.2), а {a) = m {\an\\Q (Xn)\e "}. В работе [30] доказана следующая ТЕОРЕМА В. Пусть выполняется условие оо ]_ Е т оо. , (0.14) ?t=l лп Тогда для, любой функции F Є D(A) справедлива оценка q(F) d(F). Здесь d(F) = inf d(F; 7), q(F) = inf Jim - -f, d(F;j) величина, определенная формулой (0.13), a точная, нижняя грань и верхний предел, в определении q(F) вычисляются, по всем множествам е С к+, каоїсдое из которых получается удалением из к+ некоторой системы отрезков конечной суммарной длины. Пусть выполняется условие (0.14). Тогда справедливы утверждения: СЛЕДСТВИЕ І.Если при а — оо вне некоторого множества Е С к+ конечной меры In // (сг) = (1+о(1)) In /ІИ, w«g(F) = d(F) = l. СЛЕДСТВИЕ 2. Для ./шбгш еушй функции F Є (Л) с при в е дли в ы ой, ей к,и 0 d{F) l. (0.15) Оценки (0.15) неулучшаемы [30]. Они указывают на связь между ростом и убыванием целой функции F на каждой кривой 7 Є Г. что существуют функция є = є (г) I 0 при г — • со, и последовательность {„}, frt Є 7? такие, что при „ —у со lnF(,)l -є(„)1пМ(Деп). (0.16) Отмстим, что аналогичная оценка для произвольных целых функции па фиксированном луче была установлена Бёрлингом в работе [31]: для любых є 0, в Є [0,27г) (0 фиксировано) множество {г Є м+ : ln/(re") -(1 + є) InM(r;/)} неограниченное, где M(r; f) = max/(z). г=г Видим, что оценка (0.16) лучше соответствующей оценки Бёрлинга. Это объясняется тем, что в теореме В функция F имеет специальный вид, а именно является суммой ряда Дирихле, для последовательности показателей которой выполняется условия (0.14). Смысл оценки (0.16) в том, что при выполнении условия (0.14) сумма целого ряда Дирихле (0.2) не может сколь угодно быстро убывать на любой последовательности точек {г,}, стремящейся к бесконечности вдоль кривой 7 Цель диссертации - доказать аналоги теорем А и В (глава 1 и 2) для функций F из класса D(A,R) или Д(Л, Я). Будет показано, что если функция F из класса D(A, R) в теореме В условие (0.14) можно заменить на требование (теорема 3): lim -— — = 0. (0.17) - °° In х хп х Л„ J Для W — нормальной последовательности {Q (XV)} условие (0.17) необходимо и достаточно для того, чтобы для любой функции F Є D(A,R) выполнялось равенство d(F) = 1 (теорема 4). А із случае когда F из класса Д(Л, R) в теореме В условие (0.14) можно заменить на требование (теорема 5): Я&іЬ &І 0- (0Л8) Для W — нормальной последовательности {Q (\n)} условие (0.18) необходимо и достаточно для того, чтобы для любой функции F Є J2(A,R) выполнялось равенство d(F) = 1 (теорема 6). В главе 3 изучаются асимптотические свойства рядов Дирихле с лакунами Фейера на вещественной оси. При этом на рост суммы ряда Дирихле никаких условий не накладываем. Будем говорить, что ряд Дирихле (0.2) имеет лакуны Фейера, если оо \ Е т- °°- (°-19) »»=1 Ам Для того, чтобы любая функция F Є D(A) была не ограничена на луче к+ = [0, оо), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось (0.19) [32]. Изучению связи между ростом М(а) = sup {\F(a + it)\} и / 00 поведением F па ш+ посвящены многочисленные работы. Так, в работе [33] доказана ТЕОРЕМА С. Пусть выполняется условие (0.19), оо ( А2 , 5 = lim — In v— оо \ Лп АН оо, Q(A)= П 1-77 - (0.20) \ n=i Если F Є D(A), и \F(a)\ L(a) (а Є м+), где L положительная, неубывающая функция, то для любого с 0 имеется, постоянная А, не зависящая от F и L, такая, что во веси, плоскости \F{s)\ AL{a + S + e). (0.21) Из (0.21) вытекает, что если F на луче к+ имеет конечный R-порядок, то F и во всей плоскости имеет конечный і?-порядок. Для класса целых функций F Є D(A), имеющих конечный /?-порядок, это утверждение имеет место при более слабых условиях [34]. Окончательный для этого класса функций результат установлен в [29]. Как и в теореме С, здесь будут рассматриваться ряды Дирихле с лакунами Фейера, имеющие произвольный рост. Пусть F Є (Л), — In IjF (cr)І . ч п і \/г-. d(F:u+) = hm , ; . , u(a) = max{\av\еЛп(Т\. Через В (Л) будем обозначать класс целых функций F из -D(A), последовательность Л показателей которых имеет конечный индекс конденсации S (величина S определена формулой (0.20)). Имеет место ТЕОРЕМА D [30], [35]. Пусть выполняется условие (0.19). Для, того, чтобы для, .тобой функции F Є В (А) было справедл/иво равенство d(F]R+) — 1, необходимо и достаточно, чтобы, J -j -dt со, (0.22) і 2 где a(t) = maxg(A„), q(\n) = - In Q (A„). ЗАМЕЧАНИЕ. При условиях (0.19) и (0.22) справедливо также равенство D(F; иц.) = 1, где Р- \n\F(a)\ D(F]R+)= hm . r, 7 "- + In М(сг) ч Это усматривается из доказательства теоремы D.
Следует отметить, что теорема D является окончательной и дает ответ на одну проблему, возникшую в связи с исследованиями Пойа [19]. Достаточная -часть теоремы D установлена в [36].
В настоящей работе изучается поведение суммы ряда Дирихле (0.2) при выполнении единственного условия (0.19) или более сильного требования — условия типа Левинсона (глава 3). При этом интеграл (0.22), вообще говоря, может и расходиться.
В работе [35] установлено, что для любой последовательности Л, удовлетворяющей условию (0.19), но для которой интеграл (0.22) расходится, существует функция F Є В (А) такая, что d(F]m+) = 0. До сих пор в этой ситуации не известна асимптотика суммы ряда (0.2) на луче Е+. Однако, если положить L((T) = max F(), то оказывается, что при условии (0.19) рост функции L можно достаточно точно оценить снизу через некоторую правильную функцию, зависящую только от коэффициентов и показателей ряда (0.2). В диссертации показано, что при выполнении условия типа Левинсона (а это условие сильнее, чем (0.19)) функция In .Р(сг) имеет неулучшаемую оценку снизу.
Все результаты диссертации получены под непосредственным руководством A.M. Гайсина, которому выражаю глубокую признательность.
Доказательство теоремы 2
Важное значение в теории функций, дифференциальных уравнениях, теории чисел и других разделах анализа имеет изучение асимптотических свойств целых или аналитических в произвольных областях функций. Огромный вклад в развитие данного направления внесли такие известные математики, как Э.Борель, А. Виман, Ж. Валирон, Д. Пойа и другие. В 1882 году Ж. Адамар вывел формулы, выражающие порядок и тип целой функции через коэффициенты Тейлора [1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций была решена М. Фудзивара [2], Н. В. Говоровым [3] и другими (см. [4]). Обобщением степенных рядов являются ряды Дирихле с положительными возрастающими показателями. Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятиями Я-порядка и Я-типа, которые были введены Ж. Риттом. Он же выразил эти величины через коэффициенты ряда Дирихле [5]. Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в полуплоскости, в терминах обычного порядка и обычного типа исследовали Б. Дагене [6], В. Бойчук [7], К. Нандан [8], [9], Ю. Шиа-Юн [10. В конце 60-х годов М.Н. Шереметой было введено понятие обобщенного порядка для изучения роста целых или аналитических в круге функций. Задача, связанная с применением обобщенных порядков к изучению роста рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была рассмотрена в [11. Позже в терминах Я-порядка и Я-типа рост рядов Дирихле в полуполосах и на луче вблизи прямой сходимости в зависимости от коэффициентов был исследован A.M. Гайсиным в работах [12]-[16], а также в. работах О.Б. Скаскива и В.М. Сорокивского [17], [18]. В начале 20 века А. Вимап и Ж. Валирон разработали метод, который впоследствии стал называться методом Вимапа-Валиропа, для изучения связи между максимумом модуля целой функции и максимальным членом ее степенного разложения и ее производных в окрестности точки максимума модуля. Метод
Вимана-Валирона позволял решать следующие задачи теории аналитических функций: исследование асимптотических свойств целых функций, представленных лакунарными степенными рядами, оценка роста решений дифференциальных уравнений и т.д. В 1929 году была опубликована статья Д. Пойа [19], в которой помимо доказательств фундаментальных теорем об асимптотических свойствах функций, заданных лакунарными степенными рядами, был поставлен ряд задач. Исследования, начатые Д. Пойа, были продолжены многими математиками. Метод Вимана-Валирона и разработанные рядом авторов его модификации (см. [20]) не позволили решить все актуальные задачи, поставленные в [19]. Поэтому в теории лакунарных степенных рядов, тем более рядов Дирихле, долгое время оставались нерешенными многие проблемы. После исследований А.Ф. Леонтьева [21]-[24] сильно возрос интерес к рядам экспонент, сходящимся в произвольных выпуклых областях. Стали активно исследоваться вопросы разложения аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы области регулярности, в ряды экспонент (см., например, в [23]-[25]). И в настоящее время представляются актуальными задачи о росте суммы ряда экспонент вблизи границы области регулярности в зависимости от ее роста в тех пли иных подмножествах области, примыкающих к границе. В этой ситуации метод Вимана-Валирона не всегда себя оправдывает. За последние годы A.M. Гайсиным была разработана другая методика, которая нашла полезное применение в подобных исследованиях. В его работах систематически используются интерполирующей функция и формулы для коэффициентов А.Ф. Леонтьева, различные модификации теоремы Бореля-Неванлинны из [26]. Эта методика нашла свое применение и дальнейшее развитие и в данной диссертации, где рассматриваются целые функции как заданного, так и произвольного роста, представимые рядами Дирихле, абсолютно сходящимися во всей плоскости. В тех или иных терминах, учитывающих глобальное поведение ряда Дирихле конечного Я-порядка (конечного нижнего R-порядка), установлены оценки для суммы ряда на кривых, уходящих в бесконечность. Данные результаты обобщают и усиливают известные результаты Г.Пойа [19], М.Н. Шереметы [34] и A.M. Гайсина [29], [37]. Аналогичные оценки для целых рядов Дирихле, имеющих произвольный рост, и потому при более сильных условиях ранее были доказаны A.M. Гайсиным [30]. Для рядов Дирихле, абсолютно сходящихся ЇЇ полуплоскости, соответствующие оценки были получены Т. И. Белоус. Для рядов Дирихле произвольного роста, показатели которых удовлетворяют условию типа Левинсона, в диссертации получены неулучшаемые оценки их роста на вещественной оси. Такого рода оценки до сих пор не были известны и ранее в литературе не встречались.
Доказательство теоремы 4
Достаточность. Последовательность {Q (XV)} W - нормальна. Следовательно, существует 9 Є L, такая, что ,4l&i :/irrfi = 0 -inQ (An) e(A„) (п 1). Положим гу(ж) = max(7V(e),#(), \Д). Ясно, что w Є Ж. Но тогда существует функция W2 Є Ж, такая, что ги(ж) = o(wo(x)), х - оо. Пусть v = г ( т) — решение уравнения Ш-2(Ї ) = 3In/І(СГ), где fi{a) — максимальный член ряда (0.2). Из теоремы 3 следует, что для любых /3 (0 /3 ) существует множество Еа С [0, со), dEp — 0, такое, что iS 2/3+(1-2/W7) (2-2) гг- оо г \ J где е, = [0, оо)\Ер. Пусть к — /с(а) — центральный индекс измененного ряда оо . F {s) = а„0 (Ап)р \ В ходе доказательства теоремы 3 было установлено, что \ца) v(a) для а Є Є/j. Следовательно, для сг Є е# ,,{а) /t» //(aje" " 7» = //»/І( Т)"(1). Э (А„) Так что для а Є е/? и а —» сю (1 + 0(1)) In/і(а) ln (a). Но тогда из (2.20) следует, что 1 2/? +(1-2 ( 17) 1 (0 /3 ). Устремляя j3 к нулю, отсюда окончательно поучим равенство d(F;j) = 1. Следовательно, d(F) — 1. Необходимост ь. .Будем доказывать от противного. Пусть для любой функции F D(A,R) выполняется равенство d(F) = 1, но ІІШ ; Е т- 0. (2.21) о In х хп т К Рассмотрим функцию = 1,0 ) (s = ff+ii) (2 22) где „=і \ ЛГ1/ 77=1 V А;, Поскольку п(х) = 0(х), х — оо, то из (2.21) следует, что [29] In у?(я) — dx In ж + d (х 0), где 0 d оо. Следовательно, ряд (2.22) абсолютно сходится во всей плоскости, и R - порядок его суммы не превосходит d [ оо. В работе [29] показано, что -F( r) М оо для 0 а оо. Это означает, что d(F; [0, оо)) 0. Так что d(F) 0. Получили противоречие. Следовательно lim -— т- = 0. J- oo In х А„ , An
Теорема 4 полностью доказана. 2.3 Доказательство теоремы 5 Последовательность Л = {Л„} имеет конечную верхнюю плотность. Следовательно, .г— оо V— П(Х) і— оо X lim оо, г- Щх) lim —— оо. X В пункте 2.1 было показано, что A„ r / () С п(д) (д) X ж Отсюда следует, что Лп 1 лг) 0 fc а оо. Значит, из (0.35) получаем, что ІІГГ1 / — Gft = 0. Положим w(t) = тах( Д, N(et)). Ясно, что w Є W. Тогда существует функция w (x) Є W такая, что w (x) = /3(x)w(x) (0 P(x) t оо). Пусть v = ;( т), jp = p(a) — решения уравнений w\(v) = 31n/x(cr), w\(p) = 2 In/i (or), (2.23) где Ї/;І(.Т) = J/3(x)w(x), а // ( т) — максимальный член ряда oo F (s) = a„Q (An)eA"\ ТІ = 1 (2.24) 71 = 1 Так как A„ //- oo — lnlQ;(A») , lim —L- —— oo, то данный ряд абсолютно сходиться во всей комплексной плоскости и согласно лемме 3 его сумма имеет конечный нижний R - порядок. Положим Так как последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность, то оо \ 1ту оо. Следовательно, \п 1 f " где (pit) = 2 In f — /it, С — E -57. Поскольку /? () = 0 в точке 2 v v г U) = T = 2—тт 2 = = 2V = vW h w\[v) y/v при a «jo, то при a — со Д„ C/x(a + Л) ехр[-«(1 + o(l))h] = = C/z( 7 + Л) ехр[-(1 + o(l))Wl(v)]. { ] Положим и (а) = 1пЗ 4- In In//(а), и (а) — In 2 + lnln/z (cr). Поскольку F D(A,R), то согласно лемме 3 найдется последовательность {гу} (0 т, f 00), такая, что и(а) Ма, и и {&) " при a = rt (О М оо). Следовательно, с учетом (2.23) при a = Tj (j 1) имеем \nwi(v(a)) — и(а) Ма, \nwi(p(a)) = и (а) Ма (0 М оо). Но у/х wi(x). Следовательно, 1 2М 1 2М , - і—ГТ 1 ГТ a = TJ ІЗ !) (2-26) Далее, поскольку w Є W, то w (x) Следовательно из (2.26), (2.28) получаем, что Різ (2.26) следует, что lnv(r;) = 0(т7), Tj -» со. Так как 7 (ж) ш (х ), видим, что для пары функций и и w\ все условия леммы 1 выполнены. Поэтому, применяя лемму 1 и учитывая при этом (0.75), вне некоторого множества Е » С [0,оо), v(Tj) W,\ тез{Щ, П [0, т,]) O{\HV(TJ)) + 4 / - т,- - со, (2.29) «fa) Г при a — со получаем, что //(a + (/Г1 + l)h{a)) = v(a)1+M (0 p 1). (2.30) Следовательно, из (2.25), (2.30) получаем, что при а - оо вне Л„ С/(( 7)1+" 1) expf-w Xl + о(1))] = //,(о-)-2(1+" 1». (2.31) Пусть Pn(s)= Е «пЄЛ;Л (s = (7 + #). А7, я Как в пункте 2.1, имеем где ) = 77 / Г е Л Л Л)= п (1 Й (2-33) а С — любой замкнутый контур, охватывающий сопряженную диаграмму q(n то есть начало координат.
Положим а — v(a), а в качестве С возьмем контур {t : \t\ = h(a)}. Пусть а — а-\-іт, где г такое, что а Є J. Поскольку для 17 77 7 (п 1), k,(A,J - \Q (K)\ то из (2.32), (2.33) получаем, что для любого Лп v(a) \a„\\Q (\n)\ex»" h{a){ max F(f)+ Є-« Л(«т) + a/eA 7+/ ]/M(r + 2; )e-/ r. (2 34) \j u о Далее, учитывая определения величин г = и( т), h h(a), при сг —» ею имеем In М(Я; „,) = „ И In (l + J) + 2Я2 / )dt -R + 2N(v) = o{l)h(a)R + о(1) Inц(а). Следовательно, учитывая (2.30) и оценку типа (2.31), из (2.34) получаем, что для всех Ar, v(a) при а — сю вне Е р a,MQ (K)\e "" Г2(1+"11))+К г)"{1\е тж \F(0\. (2.35) ПУСТЬ Но її (а) Ма при а — т7 ({г,} — последовательность введенная выше), где и (a) = In 2 + In In /І (а). Поэтому, применяя лемму 1, из тех же рассуждений, при помощи которых была получена оценка для Rlh получаем, что я; C7z»-2(1+o(1)\ С = —\ Л если а - со вне некоторого множества Е\ С [0, сю) (Е[ от /? не зависит), mcs(Ei П [0, т,]) о(\пр(т,)) + 4 / — -dt, г, - оо. (2.36) / (п) Отсюда следует, что Лца) р(ст), если сг аьа 2. Здесь /J( T) - - центральный индекс ряда (2.24). Следовательно, при а — сю вне Z?i А/ И МИЄ"«"» = / ( ) [//(сг)]" 1», ТО есть (l + o(l))ln// ) In/i(a-). (2.37) Пусть Efi = 5 U ?i. Тогда, учитывая (2.26), (2.29),(2.36) и то, что ш Є IV, при гу — сю получаем, что mes{Efi ҐІ [0, ту]) г, 2М = 0(1). mcs{E fi П [0, г,]) 7/165( П [0, т,]) In г;(г,) 1пр(г;) Поскольку /?г; 1, R 1 (?; = v(a), р = р(с)) при сг а2, сг 2 то, очевидно, 1) К{а) v(cr); 2) Хк(а) р((т),
Доказательство теоремы 6
Достаточность. Последовательность {Q (XV)} W - нормальна. Следовательно, существует 9 Є L, такая, что ,4l&i :/irrfi = 0 -inQ (An) e(A„) (п 1). Положим гу(ж) = max(7V(e),#(), \Д). Ясно, что w Є Ж. Но тогда существует функция W2 Є Ж, такая, что ги(ж) = o(wo(x)), х - оо. Пусть v = г ( т) — решение уравнения Ш-2(Ї ) = 3In/І(СГ), где fi{a) — максимальный член ряда (0.2). Из теоремы 3 следует, что для любых /3 (0 /3 ) существует множество Еа С [0, со), dEp — 0, такое, что iS 2/3+(1-2/W7) (2-2) гг- оо г \ J где е, = [0, оо)\Ер. Пусть к — /с(а) — центральный индекс измененного ряда оо . F {s) = а„0 (Ап)р \ В ходе доказательства теоремы 3 было установлено, что \ца) v(a) для а Є Є/j. Следовательно, для сг Є е# ,,{а) /t» //(aje" " 7» = //»/І( Т)"(1). Э (А„) Так что для а Є е/? и а —» сю (1 + 0(1)) In/і(а) ln (a). Но тогда из (2.20) следует, что 1 2/? +(1-2 ( 17) 1 (0 /3 ). Устремляя j3 к нулю, отсюда окончательно поучим равенство d(F;j) = 1. Следовательно, d(F) — 1. Необходимост ь. .Будем доказывать от противного. Пусть для любой функции F D(A,R) выполняется равенство d(F) = 1, но ІІШ ; Е т- 0. (2.21) о In х хп т К Рассмотрим функцию = 1,0 ) (s = ff+ii) (2 22) где „=і \ ЛГ1/ 77=1 V А;, Поскольку п(х) = 0(х), х — оо, то из (2.21) следует, что [29] In у?(я) — dx In ж + d (х 0), где 0 d оо. Следовательно, ряд (2.22) абсолютно сходится во всей плоскости, и R - порядок его суммы не превосходит d [ оо. В работе [29] показано, что -F( r) М оо для 0 а оо. Это означает, что d(F; [0, оо)) 0. Так что d(F) 0. Получили противоречие. Следовательно lim -— т- = 0. J- oo In х А„ , An Теорема 4 полностью доказана. 2.3 Доказательство теоремы 5 Последовательность Л = {Л„} имеет конечную верхнюю плотность. Следовательно, .г— оо V— П(Х) і— оо X lim оо, г- Щх) lim —— оо. X В пункте 2.1 было показано, что A„ r / () С п(д) (д) X ж Отсюда следует, что Лп 1 лг) 0 fc а оо. Значит, из (0.35) получаем, что ІІГГ1 / — Gft = 0. Положим w(t) = тах( Д, N(et)). Ясно, что w Є W. Тогда существует функция w (x) Є W такая, что w (x) = /3(x)w(x) (0 P(x) t оо). Пусть v = ;( т), jp = p(a) — решения уравнений w\(v) = 31n/x(cr), w\(p) = 2 In/i (or), (2.23) где Ї/;І(.Т) = J/3(x)w(x), а // ( т) — максимальный член ряда oo F (s) = a„Q (An)eA"\ ТІ = 1 (2.24) 71 = 1 Так как A„ //- oo — lnlQ;(A») , lim —L- —— oo, то данный ряд абсолютно сходиться во всей комплексной плоскости и согласно лемме 3 его сумма имеет конечный нижний R - порядок. Положим Так как последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность, то оо \ 1ту оо. Следовательно, \п 1 f " где (pit) = 2 In f — /it, С — E -57.
Поскольку /? () = 0 в точке 2 v v г U) = T = 2—тт 2 = = 2V = vW h w\[v) y/v при a «jo, то при a — со Д„ C/x(a + Л) ехр[-«(1 + o(l))h] = = C/z( 7 + Л) ехр[-(1 + o(l))Wl(v)]. { ] Положим и (а) = 1пЗ 4- In In//(а), и (а) — In 2 + lnln/z (cr). Поскольку F D(A,R), то согласно лемме 3 найдется последовательность {гу} (0 т, f 00), такая, что и(а) Ма, и и {&) " при a = rt (О М оо). Следовательно, с учетом (2.23) при a = Tj (j 1) имеем \nwi(v(a)) — и(а) Ма, \nwi(p(a)) = и (а) Ма (0 М оо). Но у/х wi(x). Следовательно, 1 2М 1 2М , - і—ГТ 1 ГТ a = TJ ІЗ !) (2-26) Далее, поскольку w Є W, то w (x) Следовательно из (2.26), (2.28) получаем, что Різ (2.26) следует, что lnv(r;) = 0(т7), Tj -» со. Так как 7 (ж) ш (х ), видим, что для пары функций и и w\ все условия леммы 1 выполнены. Поэтому, применяя лемму 1 и учитывая при этом (0.75), вне некоторого множества Е » С [0,оо), v(Tj) W,\ тез{Щ, П [0, т,]) O{\HV(TJ)) + 4 / - т,- - со, (2.29) «fa) Г при a — со получаем, что //(a + (/Г1 + l)h{a)) = v(a)1+M (0 p 1). (2.30) Следовательно, из (2.25), (2.30) получаем, что при а - оо вне Л„ С/(( 7)1+" 1) expf-w Xl + о(1))] = //,(о-)-2(1+" 1». (2.31) Пусть Pn(s)= Е «пЄЛ;Л (s = (7 + #). А7, я Как в пункте 2.1, имеем где ) = 77 / Г е Л Л Л)= п (1 Й (2-33) а С — любой замкнутый контур, охватывающий сопряженную диаграмму q(n то есть начало координат. Положим а — v(a), а в качестве С возьмем контур {t : \t\ = h(a)}. Пусть а — а-\-іт, где г такое, что а Є J. Поскольку для 17 77 7 (п 1), k,(A,J - \Q (K)\ то из (2.32), (2.33) получаем, что для любого Лп v(a) \a„\\Q (\n)\ex»" h{a){ max F(f)+ Є-« Л(«т) + a/eA 7+/ ]/M(r + 2; )e-/ r. (2 34) \j u о Далее, учитывая определения величин г = и( т), h h(a), при сг —» ею имеем In М(Я; „,) = „ И In (l + J) + 2Я2 / )dt -R + 2N(v) = o{l)h(a)R + о(1) Inц(а). Следовательно, учитывая (2.30) и оценку типа (2.31), из (2.34) получаем, что для всех Ar, v(a) при а — сю вне Е р a,MQ (K)\e "" Г2(1+"11))+К г)"{1\е тж \F(0\. (2.35) ПУСТЬ Но її (а) Ма при а — т7 ({г,} — последовательность введенная выше), где и (a) = In 2 + In In /І (а). Поэтому, применяя лемму 1, из тех же рассуждений, при помощи которых была получена оценка для Rlh получаем, что я; C7z»-2(1+o(1)\ С = —\ Л если а - со вне некоторого множества Е\ С [0, сю) (Е[ от /? не зависит), mcs(Ei П [0, т,]) о(\пр(т,)) + 4 / — -dt, г, - оо. (2.36) / (п) Отсюда следует, что Лца) р(ст), если сг аьа 2. Здесь /J( T) - - центральный индекс ряда (2.24). Следовательно, при а — сю вне Z?i А/ И МИЄ"«"» = / ( ) [//(сг)]" 1», ТО есть (l + o(l))ln// ) In/i(a-). (2.37) Пусть Efi = 5 U ?i. Тогда, учитывая (2.26), (2.29),(2.36) и то, что ш Є IV, при гу — сю получаем, что mes{Efi ҐІ [0, ту]) г, 2М = 0(1). mcs{E fi П [0, г,]) 7/165( П [0, т,]) In г;(г,) 1пр(г;) Поскольку /?г; 1, R 1 (?; = v(a), р = р(с)) при сг а2, сг 2 то, очевидно, 1) К{а) v(cr); 2) Хк(а) р((т),
Доказательство теоремы 8
Отсюда получаем, что Поскольку /?,у t ПРИ j - со, то тах(—7У/і/ 4- 7уС") = Н(о) существует при любом фиксированном а 0. Далее, при а а{) имеем: 0 Н(а) = -7 // + 7 4rJ,(—Л„ + сг) Adu{—hv -f а), где 7 , 7// r" // " ближайшая к г и точка скачка функции g(t) из интервала Д„. Тогда из (3.35) получаем, что где rf, — ближайшая к г } точка скачка функции g(t) из интервала Д, = (г у,г"). Пусть 7?„_t (т Rjn где числа Яг, определены формулой (3.30). Поскольку i?„ t оо, то для таких а [21, гл.2, 6, п.2] Коэффициенты ряда R(&) выбраны нами специальным образом, а именно они таковы, что построенная выше ломаная L где {//„,} = {dj)[}{Xk :ХкеА\А}. Следовательно, при Rn-i а Rn, из (0.19), (3.36), (3.37) получаем, что Оценим т(ст) сверху.Для Rn-\ cr Rv, имеем где t v — наибольшая точка скачка функции g(t) из интервала (rj,,r") (па участке [trrpdn+i) функция g{t) постоянна !). Поскольку по построению С другой стороны, для тех же а имеем: \п/л(а) In \а п\ + Ь пст, где a v — коэффициент ряда (3.33), соответствующий показателю t in а ц(сг) максимальный член этого ряда. Поскольку r v t n г", то с учетом (3.37), (3.32) для Яп_і а Rr, полу чаем, что In //(a; b) nhn + t[,a + In 6n + In ——- m{a) + b{Q + In —L 6(0 - 2тг«)Л) = (3-4) = b{Q + 0(l)t7(0 = (1 +0(1))6(0, " - CO. Здесь мы учли то, что t n Є X, т.е. w(t n) b{t v). Таким образом для Rn-\ а Rn из (3.38) — (3.40) окончательно получаем, что при п — со lnF(o-) In С , т(а) 1п// (сг;6) " 1П/І (СГ;6) "1п/1 (а;6) ,3 41ч 0(1)+ (1 + о(1)). Х Ж) Поскольку оо X Ет" 00 г; = 1 Л;, то из результатов работы [32] следует что supF(a) = т () Следовательно, из (3.41) окончательно получаем, что In \F(a)\ О—ЮО rf :(F;i+)= wiwo = a Необходимость и теорема 9 доказаны. Идея построения примера заимствованы из [30]. Список литературы [і [2 [3 [4 [6 [7 [8 [9 Hadamard J. Essai sur I etude des fonctions donnees par leur developpement de Taylor// J. Math, pures et appl. 1892. V. 8. P. 154 - 186. Fiijiwara M. On the relation between M(r) and coefficients of a power series// Proc. Imp. Acad. Japan. 1932. V. 8, № 6. P. 220 - 223. Говоров H.B. О связи между ростом функции, аналитической в круге, PI коэффициентами ее степенного разложения//
Труды Новочеркасск, политехи, ин-та. 1959. Т. 100. С. 101 - 115. Мак-Лейн Г. Асимптотические значения голоморфных функций. М.:Мир, 1966. - 104С. Ritt J.F. On certain points in the theory of Dirichlet series// Amer. Math. J. 1928. V. 50. P. 73 - 83. Дагене Е.Я. О центральном показателе ряда Дирихле// Литовский мат. сб. 1968. Т. 8, № 3. С. 504 - 521. Бойчук B.C. О росте абсолютно сходящихся в полуплоскости рядов Дирихле// Мат. сб. К.: Наукова думка, 1976. С. 238 - 240. Nandan К. On the. Sur la croissance et la repartition se Dirichlet qyi ne convergent que dans un demi-plan// Comptus rendus Acad. Sci. 1979. AB288, № 19. A891 - A893. [11] Галь Ю.М., Шеремета M.H. О росте аналитических в полуплоскости функций, заданных рядами Дирихле// ДАН УССР. Сер. А, 1978. № 12. С. 1065 - 1067. [12] Гайсин A.M. Оценка роста функции, представленной рядом Дирихле, в полуполосе// Матем. сб. 1982. Т. 117 (159), № 3. С. 412-424. [13] Гайсин A.M. О типе функции, представленной рядом Дирихле, в полуполосе// Вопросы аппроксимации функций комплексного переменного. Уфа.: БФАН СССР. 1982. С. 3 - 14. [14 Гайсин A.M. Разложение функций, аналитических в полуплоскости и имеющих конечный Я-тип, в ряды экспонент// Вопросы аппроксимации функций вещественного и комплексного переменных. Уфа.: БФАН СССР. 1983. С. 30 - 42. [15] Гайсин A.M. Рост функции, представленной рядом Дирихле, на луче// Исследования по теории аппроксимации функций Уфа.: БФАН СССР. 1984. С. 20 - 29. [16 Гайсин A.M. Поведение суммы ряда Дирихле в полуполосах// Матем. заметки. 1987. Т. 42, № 5. С. 660 - 669. [17[ Скаскив О.Б., Сорокивский В.М. О росте на горизонтальных лучах аналитических функций,
