Оценка ряда Дирихле в полуполосе, показатели которого - нули произведения Вейерштрасса с нерегулярным поведением Сергеева Дина Ильдаровна

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Целые функции экспоненциального типа, имеющие правильное поведение на вещественной оси 30

1. Предварительные сведения 30

2. Оценка произведения Вейерштрасса с правильным распределением нулей 35

3. Эффективная оценка произведения Вейерштрасса налучах 46

Глава II. Построение целых функций с правильным поведением на вещественной оси 51

1. Специальные плотности распределения положительных последовательностей 51

2. Существование целых функций экспоненциального типа с правильным поведением 57

Глава III. Оценка суммы ряда Дирихле в полуполосе, последовательность показателей которого имеет нерегулярное распределение 66

1. Предварительные факты 66

2. Оценки порядка в полуплоскости через порядок в полуполосе 72

3. Основная теорема о точности оценок для порядка в полуплоскости 77

4. Примеры. Следствие для аналитических в единичном круге функций, представленных лакунарными степенными рядами 86

Литература 90

• Оценка произведения Вейерштрасса с правильным распределением нулей
• Эффективная оценка произведения Вейерштрасса налучах
• Существование целых функций экспоненциального типа с правильным поведением
• Оценки порядка в полуплоскости через порядок в полуполосе

Введение к работе

1. Исторические сведения

Изучение асимптотических свойств целых или аналитических в единичном круге функций в зависимости от поведения их тейлоровских коэффициентов является классическим направлением в теории функций и восходит к известным работам Ж. Адам ара, опубликованным в конце XIX века. Огромный вклад в развитие этого направления внесли такие известные математики, как Э. Борель, А. Виман, Ж. Валирон, Д. Пойа и другие.

Еще в 1892 году Ж. Адамар указал формулы, выражающие порядок и тип целой функции через коэффициенты Тейлора [1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций в терминах порядка и типа была решена М. Фуд-зивара [2], М.Н. Говоровым [3] и другими (см., например, в [4]).

Одной из важнейших проблем теории целых функций является проблема связи между ростом целой функции и распределением её корней, к которой сводятся многие задачи в различных областях, смежных с теорией функций комплексного переменного. Эта проблема исследована в работах Э. Бореля, Ж. Адамара, Линделефа и других математиков в конце XIX и начале XX в.

Известно, что показатель сходимости корней целой функции не превосходит её порядка. Этот результат обобщён и в некотором смысле усрілен в 1934г. А.О. Гельфондом.

Введение индикатора целой функции дало возможность установить зависимости между её ростом по различным направлениям и распределением её корней по аргументам. Особенно точные зависимости установлены для класса целых функций вполне регулярного роста. Теорию этих функций развили в 1937—1950 гг. одновременно Б.Я. Левин и А. Пфлю-гер. Теория целых функций вполне регулярного роста и её применения подробно изложены в монографии Б.Я. Левина [5].

В 1965г. Н.В. Говоров получил необходимые и достаточные условия для того, чтобы функция конечного порядка и нормального типа в полуплоскости была функцией вполне регулярного роста. В теоремах Говорова учитывается не только распределение корней функции, но и её поведение на границе. Для функций целого порядка и нормального типа в полуплоскости Говоровым также получены необходимые и достаточные условия вполне регулярного роста в открытой и замкнутой полуплоскостях.

В приложениях теории целых функций существенную роль играют целые функции, у которых все корни вещественны. Они называются целыми функциями класса А.

В 1960г. В.И. Мацаев рассматривал другой класс функций с вещественными корнями и установил, что из некоторых оценок снизу модуля целой функции следует оценка её роста.

Представляется важным вопрос определить условия, которым должны удовлетворять корни целой функции экспоненциального типа для того, чтобы она была ограничена в том или ином смысле на вещественной оси.

В теории аппроксимации системами из экспонент {е^А"~} на различных множествах комплексной плоскости, в теории

рядов Дирихле Y2 a_ne^XnZ особую роль играет бесконечное Протеї

изведение Вейерштрасса

оо / 2 \

Q(*) = П (¹ - J) ( < ^Л« Т оо),

определяющее целую функцию экспоненциального типа.

В этой связи актуальной задачей является изучение поведения данной функции на вещественной оси в зависимости от распределения её нулей. В общем случае функция Q на вещественной оси ведёт себя очень нерегулярно. Однако, может оказаться, что существует некоторая целая функция Qg на вещественной оси обладает достаточно хорошими свойствами. Вопрос о существовании такой функции д является принципиальным в различных вопросах анализа, например, в теории приближения непрерывных функций на вещественной оси линейными комбинациями функций е^гХпХ (Л_п > 0), где важно уметь строить целые функции экспоненциального типа, максимально быстро убывающие на Ш при \х\ —> оо. Впервые такое построение было сделано В.А. Марченко [6].

Пусть (f : R —» Ж удовлетворяет условиям: <р(х) > 0,

cp(x + y)< (p{x) + и

—oo

В [б] для любого є > 0 дан способ построения целой функции экспоненциального типа оу < е, удовлетворяющей неравенству

|/(х)| < С_ае-**\

где а > 0, С_а > 0. Отметим, что условие J[^?] < сю является необходимым, ибо для любой целой функции / , отличной от тождественного нуля и ограниченной на М, верно J(ln\f\) > —сю. При других ограничениях на функцию ip (условие (р(х+у) < ip(x)+ip(y) заменяется чётностью и её монотонностью на R₊ = [0, сю)), аналогичное построение проведено Л.И. Ронкиным и С. Мандельбройтом. Наиболее сильный результат был установлен Бёрлингом и Маллявеном [7]. Они доказали, что каждая целая функция класса Картрайт, то есть целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условию J[/n⁺|/|] < сю (а⁺ = тах(0, а)) имеет є — мультипликатор для любого б > 0 . Это означает, что существует такая целая функция экспоненциального типа гр_е, (Тф < е , что \ip(x)f(x)\ < const < сю, х Є Ш . Различные обобщения этого сильного результата в дальнейшем были получены П. Кусисом. То, что теорема Бёрлинга и Маллявена сильнее ранее доказанных теорем такого характера, следует из работы В.Э. Кацнельсона [8], который построил пример функции класса Картрайт, не имеющей мажоранты, удовлетворяющей

какому — нибудь из указанных выше условий и требованию J[ip] < со.

В диссертации ставится и решается следующая задача: при каких условиях на последовательность Л — {Х_п} (0 < Л_п |

со) существует целая функция вида P(z) = fj 1-^-)

n=i ^{v lx}~^nJ (0 < /i_n t oo) с простыми нулями в точках Х_п(п > 1), имеющая экспоненциальный тип и обладающая заданной асимптотикой на вещественной оси? Некоторые результаты такого типа приведены в обзоре [9]. Данная задача, представляющая самостоятельный интерес, является весьма актуальной в при-

ложениях, в частности, в теории рядов Дирихле ^2 a_ne^XnZ

(0 < Л_7г, t сю).

Ряды Дирихле естественно возникают в различных задачах анализа, теории чисел, в дифференциальных уравнениях. К рядам Дирихле мы приходим, например, если в степенном

оо оо

ряде ^2 a_nzⁿ сделаем замену z = e^s. Ряд ^2 ^an^^ns называется

n=l п—1

рядом Тейлора — Дирихле. В случае, когда Х_п (0 < Л_п | оо) — не целые, получаем ряд Дирихле общего вида.

Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятиями R — порядка и R — типа. Эти понятия в своё время были введены Ж. Риттом. Им же были установлены формулы для вычисления этих величин через коэффициенты ряда Дирихле [10].

Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в полуплоскости, в терминах обычного порядка и обычного типа исследовали Е. Дагене [11], В. Бойчук

[12], К. Нандан [13], [14], Ю. Шиа-Юн [15].

В конце 60-х годов для изучения роста целых или аналитических в единичном круге функций М. Н. Шеремета ввел понятия так называемых обобщенных порядков. Задача, связанная с применением обобщенных порядков к изучению роста рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была рассмотрена в [16]. Позже в терминахR- порядка иЛ- типа рост таких рядов в зависимости от коэффициентов был исследован A.M. Гайсиным в работах [17] - [21], а также в работах О.Б. Скаскива и В.М. Сорокивского [22], [23].

В начале 20 века с целью изучения связи между максимумом модуля целой функции и максимальным членом ее степенного разложения, а также поведения функции и ее производных в окрестности точки максимума модуля А. Виман и Ж. Валирон разработали метод, который впоследствии стал называться методом Вимана - Валирона. При помощи метода Вимана - Валирона решались также следующие задачи теории аналитических функций: исследование асимптотических свойств целых функций, представленных лакунарными степенными рядами, оценка роста решений дифференциальных уравнений и т.д.

В 1929 году была опубликована статья Д. Пойа [24], в которой помимо доказательств фундаментальных теорем об асимптотических свойствах функций, заданных лакунарными степенными рядами, был поставлен ряд задач. Исследования, начатые Д. Пойа, привлекли внимание многих математиков. Однако классический метод Вимана - Валирона и разрабо-

тайные рядом авторов его модификащш (см., например, в [25]) не дали возможности решить все актуальные задачи, поставленные в [24]. Но и в теории лакунарных рядов, а также рядов Дирихле со временем стали возникать всё новые и новые задачи. Это объясняется тем, что в связи с исследованиями А.Ф. Леонтьева, подытоженными в его монографиях [26] -[28] с 80-х годов прошлого века сильно возрос интерес к рядам экспонент, сходящимся в произвольных выпуклых областях. Стали усиленно исследоваться вопросы разложения аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы области регулярности, в ряды экспонент (см., например, [27] - [29]). В этой связи и в настоящее время представляются актуальными задачи о росте суммы ряда экспонент вблизи границы области регулярности в зависимости от ее роста в тех или иных подмножествах области, примыкающих к границе. В этой ситуации метод Вимана - Валирона (или его модификации) не всегда приводит к желаемой цели. A.M. Гайси-ным была разработана методика, которая нашла широкое применение в подобных исследованиях. В его работах систематически используется интерполирующая функция и формулы для коэффициентов А.Ф. Леонтьева, различные модификации теоремы Бореля - Неванлинны из [30], а также уточненный им вариант оценок Н.В. Говорова ограниченной аналитической в единичном круге функции снизу из [31], [32]. Эта методика нашла свое применение и дальнейшее развитие в работе [33], где изучались ряды Дирихле, абсолютно сходящиеся в полуплоскости и имеющие произвольный рост вблизи

прямой сходимости.

В настоящей диссертации исследуются ряды Дирихле, абсолютно сходящиеся в полуплоскости и имеющие конечный порядок в смысле определения, данного в статье [17]. Суть задачи следующая: при некоторых предположениях правиль-

⁰⁰ / 2\

ности поведения функции Q(z) = Yl (1 ^— y> ) ^на веществен-

п=1 \ ^A~^nJ

ной оси в [17] для порядка р в полуплоскости и порядка p_s в некоторой полуполосе была получена оценка: р < p_s 4- q ( q — величина, зависящая от последовательности Л). Вопрос о точности, данной оценки до сих пор оставался открытым. Более того, не было ясно, при каких условиях на Л функция Q обладает требуемым поведением на вещественной оси. В настоящей диссертации найдены условия (они сформулированы в терминах распределения последовательности Л), при выполнении которых справедливы точные оценки для величин р и p_s. При этом ширина соответствующей полуполосы зависит от некоторой специальной плотности распределения точек последовательности Л. Как следствие, получен критерий равенства соответствующих характеристик для суммы степенного ряда, сходящегося лишь в единичном круге.

2. Обзор результатов и постановка задач

В диссертации изучается поведение целых функций вида

QW = П (* - і) ( < ^Л" Т^от) . (¹)

имеющих экспоненциальный тип, на вещественной оси. Естественно ограничиться рассмотрением только тех последовательностей Л = {А_п}, для которых конечна верхняя плотность

— п D = lim —.

?г-»оо \_п

Актуальность обсуждаемых здесь задач вызвана тем, что в общем случае функция Q может вести себя очень нерегулярно.

Приведём ряд известных результатов, имеющих непосредственное отношение к исследуемым в диссертации задачам. Прежде всего, отметим следующую хорошо известную теорему.

Теорема А. [26, гл.1, 2, п.7] Пусть последовательность Л имеет конечную плотность

a = lim —.

Тогда для функции Q, заданной формулой (1), верны утверждения:

1) для z = ге^ів (9 Ф 0, 7г) существует предел,

lim —^!— = тга\ sine? ;

г—>оо Г

2) имеется число р > О и последовательность {г_п}_} О < r_n t оо_; ^¹ —> 1 'дрм п —* оо, такие, что при любом є > О

— є]г

для г_п — р < г < г_п + р, n > N(e)\

3) если дополнительно известно, что

К+1 -\_n>h>Q (п> 1), то в качестве г_п в 2) можно положить

Гп = -z (п > 1);

(2)

4) при условии (2)

д—>оо Л

ІІШ — ІП п

= 0.

При дополнительных требованиях на распределение точек последовательности Л можно получить более точные оценки (как сверху, так и снизу) для функции Q на вещественной оси.

Справедливы следующие теоремы (см.,н-р, в [9]).

Теорема В. (Пэли-Винер, 1934) Пусть 0 < \_п | оо_; и

Х_п — п\ < d < оо,

(3)

Тогда для функции

справедливы оценки:

⁰⁰ / ^2\

4. \xQ{x)\ < const\x\^4d]

5. для \x — X_n\ > є > 0 (n > 1)

\xQ(x)\ > const\x\~^4d (\x\ > 1).

Теорема С. (Б.Я.Левин, 1949) Если выполняется условие (3), то

\Q(z)\ < const (l + \z\^4d)e^^yl.

При условии inf \Х_п — Xj\ > О

\Q'{Xj)\>const\]^Ad С/>1).

Отметим, что функция Q, удовлетворяющая условиям теорем В или С принадлежит классу Картрайт.

Функции из класса Картрайт не могут вести себя слишком нерегулярно. Однако во многих случаях приходится предполагать, что сужения функций данного класса на вещественную ось удовлетворяют некоторым дополнительным условиям "правильности роста". Эти условия обычно имеют вид: существует неотрицательная и , например, возрастающая функция ip, такая, что In |/(ж)| < у?(ж), и

1 + х^:

-оо

^к ' dx < оо. (4)

В работе [34] показано, что существует чётная целая функция / с вещественными нулями, принадлежащая классу Картрайт и обладающая свойством: для любой возрастающей

функции (р(х) > О, удовлетворяющей условию 1п|/(ж)| < (р(х), интеграл (4) расходится.

Пусть L—класс положительных, непрерывных и неограниченно возрастающих на Ш₊ = [0, со) функций,

ujeL: [jM-dx²

В.И. Мацаев (1966) доказал, что если существует а > О, существует h Є W, такие, что

\n(t) - at\ < h(t), n(t) = ^2 ^x' (⁵)

A„

то целая функция Q_} определённая формулой (1), принадлежит классу Картрайт [35]. Из (5) видно, что последовательность Л имеет плотность а. Так что, при условии (5) сопряжённой диаграммой функции Q является вертикальный отрезок 1_а = [—7гаг,7гаг]. Через tp_n(t) (п > 1) обозначим функцию, ассоциированную по Борелю с целой функцией

Функции ip_n(t) аналитичны вне отрезка /_а, ^_n(oo) = 0 и образуют систему, биортогональную к системе экспонент {e^XnZ}:

1 [ _{л f} I 1, если п = т;

l/j_n(t)e^Amtdt = 5_щт

2m J О, если n ф т.

с ^к

Здесь С—граница прямоугольника

P = {t:\Ret\<5, \Imt\(& > а)}.

Во многих вопросах (например, в теории рядов Дирихле) полезно знать поведение функций ip_n(t) при п —* оо и \Ret\ = 5^0. Поскольку при \Re t\ = 5

Q{x)

-5x

О va>*Aj ,

x — Л

_Q'{K)

\Фп{і)\ <

то видим, что требуемая оценка для ф_п зависит от скорости убывания последовательности {Q (Л_п)} и оценки сверху для функции Q на вещественной оси. Отметим, что условие (5) ещё не гарантирует какое-нибудь условие правильности роста функции Q на вещественной оси. Так, согласно теореме 54 різ [9] имеет место утверждение: для любого а (0 < а < 1) существует последовательность Л натуральных чисел Л_п (п > 1), для которой выполняется условріе (5), но функция 1п⁺ |ф(ж)| не имеет мажоранту из класса W.

Естественно возникает желание заменить функцию Q на другую целую функцию Р, имеющую достаточно правильное поведение на вещественной оси, причем такую, что Р(А) = Q(\)g(\), Р(А_П) = 0, Р'(Х_п) ф 0- Для этого можно воспользоваться теоремой Бёрлинга-Маллявена о мультипликаторе (см., н—р, в [34] ).

Но теорема Бёрлинга-Маллявена никакой информации о нулях функции Р не даёт (доказательство теоремы не конструктивно). Поэтому в качестве биортогональной системы нет смысла рассматривать систему функций, ассоциирован-

ных по Б op елю с функцией

если даже Р (Х_п) ф О (п > 1). Дело в том, что последовательность {Р (Л_и)} может стремиться к нулю сколь угодно быстро. Ситуация упрощается, если

\n\Q(x)\ (6)

В этом случае мультипликатор д имеет вполне конкретный вид [36], но как было отмечено выше, оценка (6), вообще говоря, может не выполняться, если даже имеет место условие (5).

В диссертации решается следующая задача: при каких условиях на последовательность Л = {Л^} существует целая функция Р экспоненциального типа, Р(Х_п) = О, Р (Л_п) ф О, имеющая достаточно правильное поведение на вещественной оси?

Пусть Л = {Л_п} (0 < Х_п | оо)— последовательность, удовлетворяющая условию

lim —— = Н < оо. (7)

При изучении целых функций

F(s) = J2^an^eXnS {s = a + it), (8)

п=1

определённых всюду сходящимися рядами Дирихле, Риттом было введено понятие R—порядка [10] р = lim ^{п п1}_ ', где

<7—>+0О ^а

М(а) = sup \F{a + it)\. Ясно, что R—порядок не совпадает с

\t\

понятием обычного порядка целой функции. Так, для функции F(s) = e^s обычный порядок равен единице, а порядок по Ритту равен нулю.

Пусть область сходимости ряда (8)—полуплоскость П₀ = {s = a + it : и < 0}. При Н = 0, если ряд (8) сходится в полуплоскости По, то он сходится в По и абсолютно. Тогда сумма ряда F аналитична в данной полуплоскости. Класс всех аналитических функций, представимых рядами Дирихле (8), сходящимися лишь в полуплоскости По, обозначим через

Д>(Л).

Пусть S(a,to) = {s = a + it : \t — to\ < a, a < 0} —

полуполоса. Положим M_s(a) = max \F(a + it)\ (a > 0),

l*-*ol

;-# х+е

Устремляя є к нулю, видим, что при X > Х$ > Xj

х+Н

Г 2т + Н

-D / K(x_:u)udu=-xDln———>-C₁H(x), (1.18)
J 2х — ri

х~Н

где 0 < С\ < оо. Для х ф Х_п (п > 1)

х+Н Г / ж—h х+Н\ / х—е x+tk х+є

К(х, u)A(u)du = (/ + / + / + /) +

х-Н L \-Н x+h / \c-h х+є / х-є

К(х, u)K(u)du = J\ + Ji + J3.

Легко проверяется, что если х ф Х_п(п > 1), то Js —> 0 при є — 0. Далее,

А(и)

ж—h х+Н

rfi6 +

Л = 2аґ

du — І\ + %2-

и(х² — u²) J и(х² — и²)

-Н x+h

Но при X > Xj

x—h

гі > 2х²К(х -Н) J

х-Н

и(х² — и²)

>

^>Л(_Ж-Я)1п| ₊ Л(_Ж-Я)1п^|,

где h = ^-, Я = H(x). Учитывая то, что А(х) = 0(х\ Н(х) = о(х) при х —» оо, для х > xq > xg получаем, что

г₁>Л(_Ж-Я)1п-|-С₂Я(_Ж),

Я = Н(х), 0 < С₂ < оо. (1.19)

Аналогично оценим г₂- Тогда

г₂ > Л(ж + Я) In 4 + Л(ж + Я) In |^L

Я 2а; + Я

где h = ^-, Я = Н(х). Отсюда, при ж > Жю > жд, имеем i₂ > -А(х + Н)Ы^- - С₃Н(х),

Н = Н(х), 0<С₃<оо. (1.20)

Следовательно, учитывая (1.19), (1.20), при некотором С± > О для х > хц > а; 10 получаем оценку

Л = гі + г₂ > -С₄Н{х) - [А{х + Я) - Л(.т - Я)] In -^,

Н = Н(х). (1.21)

Далее, согласно теореме А существует последовательность

{г_п} (0 < г_п Т оо), такая, что Л П (J 7_П = 0, где /„ = {х :

|ж — г_п| < р (0 < р < оо)}. Убедимся, что последовательность {г_п} можно выбрать так, что г_п+\ — r_n = 0(Н(г_п)) при г_п —-> оо. Действительно, из (1.15) следует, что при t > to

/ілМі)) < (D + 3)|o;()|, cj(*) = [*,* + Я(*)),

где /za(w())- число точек Л_п из полуинтервала w(t). Следова-

тельно, [t₀, со) = IJ Ші, где ил = [ti,ti+H(U)), причём /іл(^г) <

г=0

^г+^г+1

Ь\ші\і Ь > 3 (г > 0). Не умаляя общности, можно считать,

(г > 0)—центр ь){. Тогда

что |cjo > 1. Пусть pi =

каждый полуинтервал ш_і = [с^,Д) с центром в точке р^

ИМеЮЩИЙ ДЛИНу 7}\СОДерЖИТ ОТреЗОК Ij = {х : \х — Г{\ <

^}, свободный от точек Л. Далее,

П+1 - П < -|cjj| + -|о;_Ш| < ~\^i+l\ = -H(t_i+i).

Так как Н Є 5, то отсюда получаем, что r_i+i — г і < dH(tj)

^{(і > о).}

Оценим Зъ в точках последовательности {г_п}. Пусть 0 < є < т,т = 2^. При т < h имеем

Л(ц)

гі(ж² — w²)

х—є х+т\ / х—т х+1

J₉ = 2х'

dix = 23+24-

-т х+е / \;—h х+т / _

Л (ж) при

При h < т считаем, что i± = 0. Так как А(и] и Є [х — г, х + т], х = г_п (п > 1), то

г₃ = Л (ж

2x — є J \2x + r

x — T

, . х — є\ Ґх + т\ , Ґ2х-\-є\ (2х — т
In ( I I I + In

X + є

>

= 0(1) + 0(1)

> A(x) In ^ + A(x) In

2ж + r ^v ' \x + є при x —> oo и є —» 0 соответственно. Значит, при х = г_п > #12 > #11, 0 < є < т

Ч>-С_ъ (0<С₅<оо).

(1.22)

Чтобы оценить Z4, воспользуемся тем, что для достаточно больших X

0< h = — <Я<Я1п^г, Н = Н(х). (1.23)

Имеем

ж—г x+h

U > 2х² А{х - К) I ——₀ г- + А(х + h) / - , _{9 9}. . .

\ у w(,T² — ir) J гцаг — гг) J

\ x-h x+T /

Отсюда, учитывая (1.23), получаем, что при ж —» оо

Ч > -[Л(ж + /і) - Л(ж - /i)] In - + 0(h) + о(1). (1.24)

Следовательно, из (1.21)-(1.24) при х = г_п > жіз > 'і2 заключаем, что

J₂ > -С₆Н(х) - \А(х Л-К)- А{х - /г)] In -, (1.25)

где 0 < Се < оо. Таким образом, из (1.17), (1.18), (1.21), (1.23), (1.25) окончательно получаем, что для ж = г_п > хи >

In \Q(x)\ > -6Я1п-: - С₇Н - [А(х + Я) - А(х - Я)] In ~

Я я

-Щх + h)- А{х - h)} In -, (1.26)

где /і = ^, Я = Я(ж), 0 < С₇ < оо.

Пользуясь условием (1.15), оценим разность Л(ж + Я) —

Л (ж — Я) сверху. Имеем

Л(ж+Я)-Л(ж-Я) = A{x+H)-D{x+H)+D(x-H)-A(x-H)+

+2DH < H(x + Я) + Н[х - Я) + 2DH(x) (х > Я). Но Н(х) < х при х > х-?. Так как Н Є К, то при ж > ж 7

Л(ж+Я)-Л(ж-Я) < H(2x)+H{x)+2DH{x) < (2D+3)H(x).

Так что при х > хг , Я = Я(ж)

[Л(ж + Я) - Л(ж - Я)] In ^= < {2D + 3)Я In -^. (1.27)

Я Я

Чтобы оценить разность Л(ж + /г) — Л (ж — Д), воспользуемся условием (1.14). Для этого положим у = ж — /г. Тогда из (1.14) следует, что

A(x + h) -A(x-h) = Л(у + 2Л)-Л(у) < 2ah + b+—^— <

In 2/і + 1

~ , , <р(#)

\n⁺h + l

Следовательно, учитывая то, что -^ = —Щ < Н(х), Я Є S, при ж > Жі5 > Жі4 получаем, что для любого є > О

h Я²

[Л(х + /г)-Л(ж-/і)]1п- <2а—In Я + Ъ + 2(р(х) <

I Ju

< 2a(d(H) + є)Н]п + 2<р(ж) + 6, Я = Я(ж). (1.28)

Таким образом, из (1.26)-(1.28) при ж = r_n > xiq > Х\$ окончательно получаем оценку

In |<Э(ж)| > -[8 + 2D + 2a(d(H) + є)]Н(х) In ^Х

< 2ah + b + ^ ^у

Н{х)

-С₈Н{х) - 2ip(x), 0 < С₈ < оо. Это означает, что для х = г_п —> сю справедлива оценка (1.16).

3. Эффективная оценка произведения Вейерштрасса на лучах

Пусть М = {/i_n}(0 < Mi < ^2 < < / < < \i_n —> схэ)—последовательность, имеющая конечную верхнюю плотность

т = lim —.

??,->oo ц_п

Положим

⁰⁰ Л²

_^^А_{) = П(! - ^)-}

п=1 ^

Наряду с индикатрисой роста

г-их> Г

для функции W вводится другая характеристика—коинди-катриса [39], [40]

h*(ip) = lim In

W(re^)

r—»oo

if ф 0, 7Г.

Если последовательность М имеет плотность, то h*((p) — — h(ip). В общем случае функция h*((p) не ограничена при <р —> 0 (см., н — р, в [38]).

Последовательность М имеет конечную верхнюю плотность тогда и только тогда, когда L < схэ, где

_ п(г) -п(г)
L = lim hm —^ ^L^^

-+1-0 г-»оо Г

—индекс насыщенности [41], п(г) =5^1- Отметим, что внешний предел всегда существует, так как функция

-— п(г) — п(г)

г—>оо Г

является возрастающей по . Если последовательность М имеет плотность, то L = 0. Если конечная максимальная плотность

_r*₌ Hm to ^П(Г| - "^

Є—1-0г->оо г(1 — )

конечна, то опять L = 0. В [38] показано, что для любого б > 0 при 0 < \ір\ < <ро(є)

{L - є) In —г < h*(4- є) In —т,

M М

где L—индекс насыщенности. Но в некоторых случаях удается найти более точную зависимость функции |W(re^2>|^-1 от переменных т и (р.

Имеет место

Теорема 1.3. Пусть последовательность М = {р,_п} имеет плотность а, причём

\n{t)-a(t)\(t>0), Не К. (1.29)

Тогда существует р > 0 такое, что при г > р для всех

0< М < f_; 0 < |тг - и < f

tf(r) 8тг#²(г)

Н-З/іісг. (1.30)

_ІИ ^r

|ln|I^(re^)| -7T(7|sin^|r| <6#(Г)ІП

Доказательство. Оценку (1.30) достаточно установить лишь для z = ге^щ из угла 0 <

сю

1пИф) = ]Г]тМ

и=1 ^

О

Интегрируя по частям, получаем, что

\nQ(z) = -2z² f

n(t)

t(t² - z²)

dt.

Положим m(t) = n(t) — at. Тогда n(t) = m(t) + at, и

lnW(z) = -2^²a /

t²-^²

_Л 9 / m(t)dt

t{t² - z²)

2z² I , } ^J ^ = I + J.

Первый интеграл равен

I = -z²a

-oo

dt . , 7i\

^-^ = -тгаг2: (0 < tp < -).

Рассматривая и остальные значения <р, заключаем, что Rel = 7ra| sin (р\г. Следовательно,

І1п|ІУ(ге^г,)| — 7ra|sin(^|r| <

m(t)dt t(t² - z²)

= \J\-

Пусть го—решение уравнения

Я (г) 1

Так как Я Є К, то 2Я(г) < г при всех г > tq. При любом г > 7*1 = max(ro, 2ді) интеграл J запишем в виде

^1 Я г—Я 7-+Я оо

t(² - г²)

О //і Я г-Н г+Н

_{J =} 2z4 ,+ ,+ , + /+'' ^mW^dt

Y^Ju (1.31)

г=0

где Я = Я"(г). Учитывая (1.29), то есть оценку \m(t)\ < H(t) (Я Є К), как в теореме 1.1 показывается, что при

г > Г2 > Гі

Г + fIi

Ш + |^2І + |^4І < 6Я(г)1п —^Т—-, \J₀\ < arIn

H(r) г — i±i

< Здіо-. (1.32)

Оценим теперь интеграл

г+Я г-Я

Имеем |t² — z²\ = \t — z\\t + z\. Если 2 лежит в угле 0 < (/? < |, то | + z| > t, |t — z\ > t sin ср. Значит,

r+H r+H

oH(r -Я Г

dt<2r²-^ —- \

t - Я J

2 f ^Н(ї) л, / о„2^Я(^Г -H) f ^dt

t\t² — z²\ r — H J t²\sin(p\

T-H r-H

_{Ш < 2ґ}

Так как в рассматриваемом случае | siny?| > fM> 2H(r) < г, то при г > г₀

. 4 Я²(г) / г \² 8тг Я²(г)

и/я < т^-: г — <

sin ^1 г \г — Я / |у?| г

Учитывая это, из (1.31), (1.32) получаем, что при г > р — Г2 для всех \(f\ < j,

I In IW(re^i,p)\ - тгсгі sin (p\r\ < 6Я(г) In -^- + flLEM. ₊ з_Міа.

H[r) \ip\ r

Оценка (1.30) доказана. Функция W чётная. Поэтому данная оценка верна и для z = ге^г{р из угла 0 < \п — ip\ < j.

Теорема доказана.

Оценка произведения Вейерштрасса с правильным распределением нулей

Изучение асимптотических свойств целых или аналитических в единичном круге функций в зависимости от поведения их тейлоровских коэффициентов является классическим направлением в теории функций и восходит к известным работам Ж. Адам ара, опубликованным в конце XIX века. Огромный вклад в развитие этого направления внесли такие известные математики, как Э. Борель, А. Виман, Ж. Валирон, Д. Пойа и другие.

Еще в 1892 году Ж. Адамар указал формулы, выражающие порядок и тип целой функции через коэффициенты Тейлора [1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций в терминах порядка и типа была решена М. Фуд-зивара [2], М.Н. Говоровым [3] и другими (см., например, в [4]).

Одной из важнейших проблем теории целых функций является проблема связи между ростом целой функции и распределением её корней, к которой сводятся многие задачи в различных областях, смежных с теорией функций комплексного переменного. Эта проблема исследована в работах Э. Бореля, Ж. Адамара, Линделефа и других математиков в конце XIX и начале XX в. Известно, что показатель сходимости корней целой функции не превосходит её порядка. Этот результат обобщён и в некотором смысле усрілен в 1934г. А.О. Гельфондом.

Введение индикатора целой функции дало возможность установить зависимости между её ростом по различным направлениям и распределением её корней по аргументам. Особенно точные зависимости установлены для класса целых функций вполне регулярного роста. Теорию этих функций развили в 1937—1950 гг. одновременно Б.Я. Левин и А. Пфлю-гер. Теория целых функций вполне регулярного роста и её применения подробно изложены в монографии Б.Я. Левина [5].

В 1965г. Н.В. Говоров получил необходимые и достаточные условия для того, чтобы функция конечного порядка и нормального типа в полуплоскости была функцией вполне регулярного роста. В теоремах Говорова учитывается не только распределение корней функции, но и её поведение на границе. Для функций целого порядка и нормального типа в полуплоскости Говоровым также получены необходимые и достаточные условия вполне регулярного роста в открытой и замкнутой полуплоскостях. В приложениях теории целых функций существенную роль играют целые функции, у которых все корни вещественны. Они называются целыми функциями класса А. В 1960г. В.И. Мацаев рассматривал другой класс функций с вещественными корнями и установил, что из некоторых оценок снизу модуля целой функции следует оценка её роста. Представляется важным вопрос определить условия, которым должны удовлетворять корни целой функции экспоненциального типа для того, чтобы она была ограничена в том или ином смысле на вещественной оси.

В теории аппроксимации системами из экспонент {еА" } на различных множествах комплексной плоскости, в теории оо рядов Дирихле Y2 aneXnZ особую роль играет бесконечное Протеї изведение Вейерштрасса оо / 2 \ Q( ) = П (1 - J) ( Л« Т оо), определяющее целую функцию экспоненциального типа. В этой связи актуальной задачей является изучение поведения данной функции на вещественной оси в зависимости от распределения её нулей. В общем случае функция Q на вещественной оси ведёт себя очень нерегулярно. Однако, может оказаться, что существует некоторая целая функция ?, такая, что произведение Qg на вещественной оси обладает достаточно хорошими свойствами. Вопрос о существовании такой функции д является принципиальным в различных вопросах анализа, например, в теории приближения непрерывных функций на вещественной оси линейными комбинациями функций егХпХ (Лп 0), где важно уметь строить целые функции экспоненциального типа, максимально быстро убывающие на Ш при \х\ — оо.

Эффективная оценка произведения Вейерштрасса налучах

Впервые такое построение было сделано В.А. Марченко [6]. Пусть (f : R —» Ж удовлетворяет условиям: р(х) 0, cp(x + y) (p{x) + p(y) и oo —oo В [б] для любого є 0 дан способ построения целой функции экспоненциального типа оу е, удовлетворяющей неравенству /(х) Сае- \ где а 0, Са 0. Отметим, что условие J[ ] сю является необходимым, ибо для любой целой функции / , отличной от тождественного нуля и ограниченной на М, верно J(ln\f\) —сю. При других ограничениях на функцию ip (условие (р(х+у) ip(x)+ip(y) заменяется чётностью и её монотонностью на R+ = [0, сю)), аналогичное построение проведено Л.И. Ронкиным и С. Мандельбройтом. Наиболее сильный результат был установлен Бёрлингом и Маллявеном [7]. Они доказали, что каждая целая функция класса Картрайт, то есть целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условию J[/n+/] сю (а+ = тах(0, а)) имеет є — мультипликатор для любого б 0 . Это означает, что существует такая целая функция экспоненциального типа гре, (Тф е , что \ip(x)f(x)\ const сю, х Є Ш . Различные обобщения этого сильного результата в дальнейшем были получены П. Кусисом. То, что теорема Бёрлинга и Маллявена сильнее ранее доказанных теорем такого характера, следует из работы В.Э. Кацнельсона [8], который построил пример функции класса Картрайт, не имеющей мажоранты, удовлетворяющей какому — нибудь из указанных выше условий и требованию J[ip] со.

В диссертации ставится и решается следующая задача: при каких условиях на последовательность Л — {Хп} (0 Лп со) существует целая функция вида P(z) = fj 1- -) n=i v lx nJ (0 /in t oo) с простыми нулями в точках Хп(п 1), имеющая экспоненциальный тип и обладающая заданной асимптотикой на вещественной оси? Некоторые результаты такого типа приведены в обзоре [9]. Данная задача, представляющая самостоятельный интерес, является весьма актуальной в при ложениях, в частности, в теории рядов Дирихле 2 aneXnZ (0 Л7г, t сю). Ряды Дирихле естественно возникают в различных задачах анализа, теории чисел, в дифференциальных уравнениях. К рядам Дирихле мы приходим, например, если в степенном оо оо ряде 2 anzn сделаем замену z = es. Ряд 2 an ns называется n=l п—1 рядом Тейлора — Дирихле. В случае, когда Хп (0 Лп оо) — не целые, получаем ряд Дирихле общего вида.

Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятиями R — порядка и R — типа. Эти понятия в своё время были введены Ж. Риттом. Им же были установлены формулы для вычисления этих величин через коэффициенты ряда Дирихле [10].

Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в полуплоскости, в терминах обычного порядка и обычного типа исследовали Е. Дагене [11], В. Бойчук [12], К. Нандан [13], [14], Ю. Шиа-Юн [15].

В конце 60-х годов для изучения роста целых или аналитических в единичном круге функций М. Н. Шеремета ввел понятия так называемых обобщенных порядков. Задача, связанная с применением обобщенных порядков к изучению роста рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была рассмотрена в [16]. Позже в терминахR- порядка иЛ- типа рост таких рядов в зависимости от коэффициентов был исследован A.M. Гайсиным в работах [17] - [21], а также в работах О.Б. Скаскива и В.М. Сорокивского [22], [23].

В начале 20 века с целью изучения связи между максимумом модуля целой функции и максимальным членом ее степенного разложения, а также поведения функции и ее производных в окрестности точки максимума модуля А. Виман и Ж. Валирон разработали метод, который впоследствии стал называться методом Вимана - Валирона. При помощи метода Вимана - Валирона решались также следующие задачи теории аналитических функций: исследование асимптотических свойств целых функций, представленных лакунарными степенными рядами, оценка роста решений дифференциальных уравнений и т.д.

Существование целых функций экспоненциального типа с правильным поведением

В 1929 году была опубликована статья Д. Пойа [24], в которой помимо доказательств фундаментальных теорем об асимптотических свойствах функций, заданных лакунарными степенными рядами, был поставлен ряд задач. Исследования, начатые Д. Пойа, привлекли внимание многих математиков. Однако классический метод Вимана - Валирона и разрабо 9 тайные рядом авторов его модификащш (см., например, в [25]) не дали возможности решить все актуальные задачи, поставленные в [24]. Но и в теории лакунарных рядов, а также рядов Дирихле со временем стали возникать всё новые и новые задачи. Это объясняется тем, что в связи с исследованиями А.Ф. Леонтьева, подытоженными в его монографиях [26] -[28] с 80-х годов прошлого века сильно возрос интерес к рядам экспонент, сходящимся в произвольных выпуклых областях. Стали усиленно исследоваться вопросы разложения аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы области регулярности, в ряды экспонент (см., например, [27] - [29]). В этой связи и в настоящее время представляются актуальными задачи о росте суммы ряда экспонент вблизи границы области регулярности в зависимости от ее роста в тех или иных подмножествах области, примыкающих к границе. В этой ситуации метод Вимана - Валирона (или его модификации) не всегда приводит к желаемой цели. A.M. Гайси-ным была разработана методика, которая нашла широкое применение в подобных исследованиях. В его работах систематически используется интерполирующая функция и формулы для коэффициентов А.Ф. Леонтьева, различные модификации теоремы Бореля - Неванлинны из [30], а также уточненный им вариант оценок Н.В. Говорова ограниченной аналитической в единичном круге функции снизу из [31], [32]. Эта методика нашла свое применение и дальнейшее развитие в работе [33], где изучались ряды Дирихле, абсолютно сходящиеся в полуплоскости и имеющие произвольный рост вблизи прямой сходимости.

В настоящей диссертации исследуются ряды Дирихле, абсолютно сходящиеся в полуплоскости и имеющие конечный порядок в смысле определения, данного в статье [17]. Суть задачи следующая: при некоторых предположениях правиль 00 / 2\ ности поведения функции Q(z) = Yl (1 — Y ) на веществен п=1 \ A nJ ной оси в [17] для порядка р в полуплоскости и порядка ps в некоторой полуполосе была получена оценка: р ps 4- q ( q — величина, зависящая от последовательности Л). Вопрос о точности, данной оценки до сих пор оставался открытым. Более того, не было ясно, при каких условиях на Л функция Q обладает требуемым поведением на вещественной оси. В настоящей диссертации найдены условия (они сформулированы в терминах распределения последовательности Л), при выполнении которых справедливы точные оценки для величин р и ps. При этом ширина соответствующей полуполосы зависит от некоторой специальной плотности распределения точек последовательности Л. Как следствие, получен критерий равенства соответствующих характеристик для суммы степенного ряда, сходящегося лишь в единичном круге. 2. Обзор результатов и постановка задач

В диссертации изучается поведение целых функций вида QW = П ( - і) ( Л" Тот) . (1) имеющих экспоненциальный тип, на вещественной оси. Естественно ограничиться рассмотрением только тех последовательностей Л = {Ап}, для которых конечна верхняя плотность — п D = lim —. ?г-»оо \п Актуальность обсуждаемых здесь задач вызвана тем, что в общем случае функция Q может вести себя очень нерегулярно. Приведём ряд известных результатов, имеющих непосредственное отношение к исследуемым в диссертации задачам. Прежде всего, отметим следующую хорошо известную теорему. Теорема А. [26, гл.1, 2, п.7] Пусть последовательность Л имеет конечную плотность a = lim —. Тогда для функции Q, заданной формулой (1), верны утверждения: 1) для z = геів (9 Ф 0, 7г) существует предел, lim —!— = тга\ sine? ; г— оо Г 2) имеется число р О и последовательность {гп}} О rn t оо; 1 — 1 дрм п — оо, такие, что при любом є О — є]г для гп — р г гп + р, n N(e)\ 3) если дополнительно известно, что К+1 -\n h Q (п 1), то в качестве гп в 2) можно положить Гп = -z (п 1); (2) 4) при условии (2) д— оо Л ІІШ — ІП п Э (А„) = 0. При дополнительных требованиях на распределение точек последовательности Л можно получить более точные оценки (как сверху, так и снизу) для функции Q на вещественной оси. Справедливы следующие теоремы (см.,н-р, в [9]). Теорема В. (Пэли-Винер, 1934) Пусть 0 \п оо; и хп Хп — п\ d оо, (3) Тогда для функции справедливы оценки: / 2\ 1. \xQ{x)\ const\x\4d] 2. для \x — Xn\ є 0 (n 1) \xQ(x)\ const\x\ 4d (\x\ 1). Теорема С. (Б.Я.Левин, 1949) Если выполняется условие (3), то \Q(z)\ const (l + \z\4d)e yl. При условии inf \Хп — Xj\ О \Q {Xj)\ const\]Ad С/ 1). Отметим, что функция Q, удовлетворяющая условиям теорем В или С принадлежит классу Картрайт. Функции из класса Картрайт не могут вести себя слишком нерегулярно. Однако во многих случаях приходится предполагать, что сужения функций данного класса на вещественную ось удовлетворяют некоторым дополнительным условиям "правильности роста".

Оценки порядка в полуплоскости через порядок в полуполосе

Эти условия обычно имеют вид: существует неотрицательная и , например, возрастающая функция ip, такая, что In /(ж) у?(ж), и оо + х: -оо к dx оо. (4) В работе [34] показано, что существует чётная целая функция / с вещественными нулями, принадлежащая классу Картрайт и обладающая свойством: для любой возрастающей функции (р(х) О, удовлетворяющей условию 1п/(ж) (р(х), интеграл (4) расходится. Пусть L—класс положительных, непрерывных и неограниченно возрастающих на Ш+ = [0, со) функций, ujeL: [jM-dx oo J 1 + x2 о В.И. Мацаев (1966) доказал, что если существует а О, существует h Є W, такие, что \n(t) - at\ h(t), n(t) = 2 x (5) A„ t то целая функция Q} определённая формулой (1), принадлежит классу Картрайт [35]. Из (5) видно, что последовательность Л имеет плотность а. Так что, при условии (5) сопряжённой диаграммой функции Q является вертикальный отрезок 1а = [—7гаг,7гаг]. Через tpn(t) (п 1) обозначим функцию, ассоциированную по Борелю с целой функцией Функции ipn(t) аналитичны вне отрезка /а, n(oo) = 0 и образуют систему, биортогональную к системе экспонент {eXnZ}: 1 [ л f I 1, если п = т; l/jn(t)eAmtdt = 5щт 2m J О, если n ф т. с к Здесь С—граница прямоугольника P = {t:\Ret\ 5, \Imt\ b (& а)}. Во многих вопросах (например, в теории рядов Дирихле) полезно знать поведение функций ipn(t) при п — оо и \Ret\ = 5 0. Поскольку при \Re t\ = оо Q{x) -5x О VA AJ , x — Л Q {K) \Фп{і)\ n то видим, что требуемая оценка для фп зависит от скорости убывания последовательности {Q (Лп)} и оценки сверху для функции Q на вещественной оси. Отметим, что условие (5) ещё не гарантирует какое-нибудь условие правильности роста функции Q на вещественной оси. Так, согласно теореме 54 РІЗ [9] имеет место утверждение: для любого а (0 а 1) существует последовательность Л натуральных чисел Лп (п 1), для которой выполняется условріе (5), но функция 1п+ ф(ж) не имеет мажоранту из класса W.

Общеизвестно, что в экстремальных задачах теории приближения функций большую роль играют точные неравенства, позволяющие установить новые связи между конструктивными и структурными свойствами функций. Поэтому в последнее время интенсивно изучались неравенства, содержащие оценки величины наилучшего приближения функции посредством модуля непрерывности высших порядков в различных пространствах аналитических функций. Отметим, что наиболее подробно вопросы приближения аналитических функций и вычисления поперечников классов функций изучены в пространствах Харди. В этом направлении укажем на основополагающие работы К.И.Бабенко [3], В.М.Тихомирова [30], Л.В.Тайкова [29], Ж.Т.Шейка [44], В.И.Белого [4], М.З.Двейрина [13], Н.Айнуллоева и Л.В.Тайкова [2], С.Б.Вакарчука [7], М.Ш.Шабозова [34], М.Ш.Шабозова и Х.Х.Пирова [38,39], М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова [42], М.Ш.Шабозова и О.Ш.Шабозова [40,41].

В данной работе мы изучаем вопросы наилучшего приближения классов аналитических в единичном круге функций алгебраическими комплексными полиномами в пространстве Бергмана Вр, 1 р со и вычисляем точные значения бернштейновского, колмогоровского, линейного и проекционного поперечников некоторых классов функций, определяемые модулями непрерывности высших порядков. Первые работы, в которых за тронуты вопросы нахождения точных значений поперечников в пространстве Бергмана, являются недавно опубликованные работы С.Б.Вакарчука [8-11]. Основной целью данной работы является: 1. Указать новые точные неравенства между наилучшими приближениями аналитических в круге функций алгебраическими комплексными полиномами и усредненными модулями непрерывности высших порядков производных в пространстве Бергмана Вр, 1 р со. 2. Нахождение точных значений наилучших приближений конкретных классов аналитических в круге функций в пространстве Бергмана. 3. Вычисление точных значений бернштейновских, колмогоровских, линейных и проекционных поперечников некоторых компактных классов аналитических в круге функций. Полученные в работе результаты имеют как теоретическое, так и при-кладное значение. Они могут быть реализованы в задачах определения є— емкости и є— энтропии компактных классов аналитических в круге функций. Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций в Хорогском госуниверситете (Хорог, 2000-2005 гг.), на семинарах по вопросом теории функций в Таджикском государственном национальном университете (Душанбе, 2001-2005 гг.), на международной конференции "Развитие горных регионов в XXI веке"(Хорог, Таджикистан, 26-29 августа 2001 г.), на научно-теоретической конференции, посвященной 10-летию Хорогского госуниверситета (Хорог, 26-28 октября 2002 г.), на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклас сические системы дифференциальных уравнений", посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А.Д.Джураева (Душанбе, 16-октября 2007 г.),на международной конференции "Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ "посвященной 80-летию академика АН РТ Л.Г.Михайлова (Душанбе, 29-30 мая 2008г).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21-24,36,37]. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 44 наименований и занимает 88 страниц машинописного текста. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

Похожие диссертации на Оценка ряда Дирихле в полуполосе, показатели которого - нули произведения Вейерштрасса с нерегулярным поведением

Некоторые свойства рядов Дирихле и систем экспонент с комплексными показателямиШаповаловский, Александр Владимирович

Асимптотические свойства целых рядов ДирихлеХерате Сафае

О росте целых функций, представленных рядами ДирихлеБалашов, Гуламали Гурбанали оглы

Тауберовы теоремы с остатком для кратных общих рядов Дирихле и их приложенияКаримова, Мухаббат Мамуровна

Асимптотические свойства аналитических функций, представленных степенными рядами и рядами ДирихлеСкаскив, Олег Богданович

Асимптотические свойства целых (кратных) рядов ДирихлеОрищин, Оксана Григорьевна

Асимптотические свойства максимума модуля и максимального члена рядов ДирихлеПритула, Ярослав Ярославович

Асимптотические свойства производных ряда ДирихлеФедыняк, Степан Иванович

Классы сходимости в теории рядов Дирихле и аналитических функцийМулява, Оксана Мирославовна

Асимптотические свойства рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости Белоус Татьяна Ивановна