Введение к работе
зртаций \Актуальность темы. Одним из центральних вопросов теории аналитических функций является задача исследования их асимптотических свойств. Среди прочих различных методов, применяемых при этом, хорошо известен, так называемый метод Вимана-Валирона, основывающийся на следующем элементарном замечании /см. Полна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анали-за.Т.1.М&: Наука,1976.Отдел 1,гл.3,задачи 122,123/. Пусть -^(2)=27^. гп - целая функция, а ряд $гСъ)=0 ^"г'*' in. 4 > имеет конечный радиус сходимости ял^ о и такой, что для каждого /t Є № найдется О <л < кл такое, что
I 4и.I л" = J*. іл) = wum[|6j)^I '-і>,о } - максимальный член. Тогда найдется & "> о ц найдется л < R< такие, что для всех я. ИГ
i**i r7^/r) a fa»//),<*> / 1 /
Действительно, достаточно рассмотреть целую функцию /ісг) = = X. Сосч-jSix) ?"" , называемую иногда функцией сравнения или рядом сравнения, воспользоваться определением максимального члена /Ja;) и положить ОС^л , где л<к* тшсое, что \)^(л) - VflLx), где і)^Сл)-т^х{п: \йп.\лп = Ц<-л)\ - центральный индекс соответствующего степенного ряда. Выбирая теперь функцию z специальным образом, получим из /1/ различные оценки сверху общего члена произвольной целой функции іц через максимальный член /*/, 1&) , из которых уже выводятся различные утверждения о самой целой функции, в частности о поведении функции и ее производных в окрестности точки максимума ее модуля на окружностях. Если ряд сравнения не сходится во всей плоскости, то уже получить какую-либо содержательную информацию о связи между , и {4 таким способом нельзя. Заметим, что долгое время отсутствовало четкое понимание того, как оптимальным образом следует выбирать fz , что в свою очередь рождало как новые подходы к получению результатов типа Вимана-Валирона /см., например, [1], С2І/, так и делало не
Ш. е»Лсп P.C./fTnans. A men. Matt- Sot W9- U-2 52 . P. 221 -231.
очень эффективным применение метода к лакунарним степенным рдцам и целым рядам Дирихле /см., например, [3-5]и т.п./. И лишь недавно для ряда задач это окончательно прояснилось, вследствие чего в различных классах целых функций были получены окончательные результаты. При этом использовалась модификация, предложенная М.Н.ШереметоИ применительно к целым рядам Дирихле, одного подхода на работ /6,пл* , %o\fa.jJT., применявшегося к ст(.'ношц:м рядам.
Отмстим также, что п работах Fe^l&n р.с. . Хомяк М.М. делались попытки излучения результатов типа Вш.ина-Валирона и в случаях, соответствующих случаю расходящегося ряда сравнения. О.Б.Скаскив предложил в этом случае некий подход, основывающийся на синтезе идей из работ М.Н.Шереметы, Feidm Р.С М.М.Хомяк. В диссертационной работе этот подход развивается применительно к целым рядам Дирихле, получаются оценки общего члена целого ряда Дирихле
Ftl)--Lae , o--\<2nU~ („_„-,«ч /2/
через максимальный член г(С~,р)? ничг { \осп\е : п >, о f t которые затем применяются для доказательства теорем об условиях выполнимости соотношения
Я*. Hie-, F)= (- -l+oct)) -См. Г (
при
Мсе.П* L-U001)) 9^, / 4 /
при б"—->--+.*> вне исключительного глножества, где L(tr,F)-нравосторошшя производная от -Сн, tf<
f-")J . 5ч#і,яилл&// Ha.ifi..z. -I9Z9- 3d. zo.
141 . АпилА В. // Маіі.г. Bd.31 - 4 930. 5-594-6(70.
F 5J . 5*ns 'U. R. І! Глос. LMuJifP- Mail, bee . (3) . 19 71-.
V 21 j N 3 . p. 521 - S33-
}&>?)= ynaxln: \&л\е * = f*<-
Цель работы. Пусть фс*)- всюду в дальнейшем неубывающая к + 0 при і -** + положительная на с-^, +&) функция. Обозначим через А = (3п.) .последовательность показателей ряда /2/, а 5 (.А) - класс абсолютно сходящихся всюду в С рядов Дирихле. Пусть
Целью настоящей диссертационной работы являются развитие методики типа Вимана-Валирона в случаях, отвечающих расходящемуся ряду сравнения, получение необходимых и достаточных условий в классах 5 С Л> ф) , 5* (. л і Ф) для того, чтобы соотношение / 3 / выполнялось при б-—» -+00 вне исключительного множества нулевой нижней плотности, а также получение необходимых и достаточных условий в классах S (л,ф) и S* LA\ <$ ^ для того, чтобы соотношение / 4 / выполнялось при с—» +*о вне исключительного множества нулевой нижней плотности, и, наконец, получение оценок скорости сходимости частных сумм ряда / 2 / в классах S ( л. Ф) и S* (л( <$ ).
Научная новизна и теоретическая ценность. Все полученные результаты являются новыми. В диссертации получены необходимые и достаточные условия в классах БСл, ф) и 5*(.Ліф) для того, чтобы выполнялось соотношение / 3 / при <Г—* +«> вне исключительного глножества нулевой нижней плотности, необходимые и достаточные условия в классах S(A, Ф) и 5«1Л.<$) для того, чтобы соотношение / 4 / выполнялось при с—^+3 вне исключительного множества нулевой нижней плотности, и получены оценки скорости сходимости частных сумм ряда / 2 / в классах s L л , ф) и S» СЛ,4>)
Методы исследования. В работе используются методы действительного и комплексного анализа, результаты работ
О.Б.Скаскива а также идеи работ Fen-іеп. р. с. , Шереметы М.Н., М.М.Хомяк и др.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Львовском межвузовском семинаре по теории аналитических функций /рук. проф. А.А.Гольдберг/.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 3 статьи.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти параграфов и списка литературы. Общий объем работы - 86 страниц.
