Содержание к диссертации
Введение
1 Асимптотика максимального члена адамаровской композиции двух рядов Дирихле 37
1.1 Лемма типа. Бореля - Неванлинны 37
1.2 Доказательство теоремы 1.1 43
1.3 Доказательство теорем 1.2 и 1.3 59
2 Оценка на кривых функций, представленных в полуплоскости рядами Дирихле 64
2.1 Необходимые сведения. Уточнение теоремы о двух константах 64
2.2 Доказательство теоремы 2.1 70
2.3 Доказательство теорем 2.2 и 2.3 82
3 Оценка суммы ряда Дирихле, сходящегося лишь в полуплоскости, на луче 84
3.1 Доказательство теоремы 3.1 84
3.2 Доказательство теоремы 3.2 94
4 Литература 95
- Лемма типа. Бореля - Неванлинны
- Доказательство теорем 1.2 и 1.3
- Необходимые сведения. Уточнение теоремы о двух константах
- Доказательство теоремы 3.2
Введение к работе
0.1 Исторические сведения
С конца 19 века, а именно после выхода в свет известных работ Ж. Адамара стало развиваться новое направление в теории функций: изучение асимптотических свойств целых или аналитических в единичном круге функций в зависимости от поведения их тейлоровских коэффициентов. Огромный вклад в развитие этого направления внесли такие известные математики, как Э. Борель, А. Виман, Ж. Валирон, Д. Пойа и другие.
Еще в 1892 году Ж. Адамар указал формулы, выражающие порядок и тип целой функции через коэффициенты Тейлора [1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций в терминах порядка и типа была решена М. Фудзивара [2], Н.В. Говоровым [3] и другими (см., например, в [4]).
Непосредственным обобщением степенных рядов являются ряды Дирихле с положительными возрастающими до бесконечности показателями.
Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятиями R — порядка и й- типа. Эти понятия были введены Ж. Риттом. Им же были установлены формулы для вычисления этих величин через коэффициенты ряда Дирихле [5].
Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в полуплоскости, в терминах обычного по-
рядка и обычного типа исследовали Е. Дагене [6], В. Бойчук [7], К. Нандан [8], [9], Ю. Шиа-Юн [10].
В конце 60-х годов для изучения роста целых или аналитических в единичном круге функций М. Н. Шеремета ввел понятия так называемых обобщенных порядков. Задача, связанная с применением обобщенных порядков к изучению роста рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была расмот-рена в [11]. Позже в терминах R - порядка и R - типа рост таких рядов в зависимости от коэффициентов был исследован A.M. Гайсиным в работах [12] - [16], а также в работах О.Б. Скаскива и В.М. Сорокивского [17], [18].
В начале 20 века с целью изучения связи между максимумом модуля целой функции и максимальным членом ее степенного разложения, а также поведения функции и ее производных в окрестности точки максимума модуля А. Виман и Ж. Валирон разработали метод, который впоследствии стал называться методом Вимана - Валирона. При помощи метода Вимана - Валирона решались также следующие задачи теории аналитических функций: исследование асимптотических свойств целых функций, представленных лакунарными степенными рядами, оценка роста решений дифференциальных уравнений и т.д.
В 1929 году была опубликована статья Д. Пойа [19], в которой помимо доказательств фундаментальных теорем об асимптотических свойствах функций, заданных лакунарными степенными рядами, был поставлен ряд задач. Исследования, начатые Д. Пойа, были подхваченны многими математиками.
Однако классический метод Вимана - Валирона и разработанные рядом авторов его модификации (см., например, в [20]) не дали возможности решить все актуальные задачи, поставленные в [19]. Но, как и в любой теории, в теории лакунар-ных рядов, а также рядов Дирихле, остаются нерешенными многие важные проблемы, при решении которых возникают все новые и новые задачи. Это объясняется также тем, что в связи с исследованиями А.Ф. Леонтьева, подытоженными в его монографиях [21] - [23] с 80-х годов прошлого века сильно возрос интерес к рядам экспонент, сходящимся в произвольных выпуклых областях. Стали усиленно исследоваться вопросы разложения аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы области регулярности, в ряды экспонент (см., например, [22] - [24]). В этой связи и в настоящее время представляются актуальными задачи о росте суммы ряда экспонент вблизи границы области регулярности в зависимости от ее роста в тех или иных подмножествах области, примыкающих к границе. В этой ситуации метод Вимана - Валирона (или его модификации) не всегда приводит к желаемой цели. A.M. Гайсиным была разработана методика, которая нашла широкое применение в подобных исследованиях. В его работах систематически используется интерполирующая функция и формулы для коэффициентов А.Ф. Леонтьева, различные модификации теоремы Бореля - Неванлинны из [25], а также уточненный им вариант оценок Н.В. Говорова ограниченной аналитической в единичном круге функции снизу из [26], [27]. Эта методика нашла свое применение и
дальнейшее развитие и в данной диссертации.
В диссертации рассматриваются ряды Дирихле, абсолютно сходящиеся в полуплоскости и имеющие произвольный рост вблизи прямой сходимости. В тех или иных терминах, учитывающих глобальное поведение ряда Дирихле, установлены оценки для суммы ряда на всевозможных кривых, оканчивающихся на прямой сходимости. Соответствующие оценки получены и для лакунарных степенных рядов, сходящихся лишь в единичном круге. В случае, когда областью сходимости ряда Дирихле является вся плоскость, аналогичные оценки ранее были установлены A.M. Гайсиным.
0.2 Предварительные результаты и постановка задач
Сделаем краткий обзор результатов, приводящих к задачам, обсуждаемым в данной диссертации.
Пусть {рп} ~ возрастающая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющая условию
-<оо. (0.1)
В этом случае говорят, что последовательность {рп} имеет лакуны Фейера. Аналогично, целая функция
f(z)=J2cnzn (0.2)
п=0
имеет лакуны Фейера, если последовательность S(f) = {п > 1 : сп ф 0} имеет лакуны Фейера. В этом случае ряд (0.2) есть лакунарный степенной ряд вида
f{z) = c0 + J2 a"zPn К = cvn Ф )- (0-3)
n=l
Хорошо известно, что целая функция с лакунами Фейера принимает каждое комплексное значение бесконечно много раз [28]. Этот замечательный факт и другие соображения наводят на мысль о наличии у целых функций f(z)) заданных рядами (0.3), хороших асимптотических свойств. Это подтверждается многочисленными исследованиями, которые проводились специалистами по теории функций в течение
многих лет (см., н-р, [28] - [53]). В большинстве этих работ в основном указаны достаточные условия, при выполнении которых справедливо утверждение:
для любой кривой 7, уходящей в бесконечность, существует последовательность {п},п = 7> такая, что при п —> оо
\nM(\U /) = (1 + о(1)) In |/(60|.
Впервые эта задача была сформулирована в работе [30] и решена для одного класса целых функций f(z) вида (0.3), имеющих конечный порядок. В случае, когда функция f(z) имеет конечный порядок или конечный нижний порядок, в последние годы получены окончательные результаты [44] — [46] ( в [45] ,[46] соответствующие результаты установлены для более общих рядов - рядов Дирихле ). Когда же целая функция f(z) (даже имеющая лакуны Фейера) имеет произвольный рост, возникают существенные трудности, связанные с нерегулярным распределением точек последовательности {рп} и поэтому эта ситуация особенно актуальна.
Сделаем краткий обзор результатов, имеющих непосредственное отношение к обсуждаемым в диссертации задачам. Прежде всего отметим следующий факт, установленный в работе [29]: для того, чтобы любая целая функция вида (0.3) не была ограниченной на луче М+ = [0, оо), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (0.1). Аналогичное утверждение имеет место и для рядов Дирихле [53].
В работе [37] показано, что если
со і
гЄ7, 2-^00 In М(|г|;/)
где f(z) — целая функция, заданная рядом (0.3), а 7 — любая кривая, уходящая в бесконечность. Отметим, что в этой теореме равенство (0.4) получено без каких-либо ограничений на рост функции f(z). Ранее равенство (0.4) было установлено Т. Ковари для последовательностей {рп}, таких, что [33]
рп > п(1пга)1+б (га > по, е > 0).
В статье [42] аналог равенства (0.4) доказывается для более общих рядов — рядов Дирихле
F(s) = ^2 aneXnS {s = a + й), (0.5)
71=1
сходящихся во всей плоскости. При выполнении условия
п=1 Лп
ряды (0.5) будем называть рядами Дирихле с лакунами Фей-ера.
Пусть 0 < Лп t оо, q(Xn) = -ln|<2'(^)|, где
Справедлива следующая теорема [52].
Теорема 0.1. Пусть выполнено условие (0.6), и a(t) = maxg(An). Если
«(*)
dt < оо, (0.8)
d{F,l)= Ш ^Щ^ = 1, (0.9)
V " 5Є7, s^oo In M(Res)
где M(a) — sup |-F(
||<оо
бесконечность так, что если s Є 7 us ~^ оо, то i?es -> +оо.
Отметим, что для справедливости теоремы 0.1 условие (0.6) необходимо: для любой последовательности {Ап}, для которой
оо 1 п—1
существует целая функция F(s) вида (0.5), для которой d(F]R+) < 0, где R+ - [0,оо) [29], [53].
Актуальным является следующий вопрос: каковы минимальные ограничения на последовательность {Ап}, при которых для любой целой функции F(s), заданной рядом (0.5) и имеющей произвольный рост, было бы справедливо равенство inf d{F\^) = 1? Здесь Г = {7} — семейство всех кри-
вых 7, удовлетворяющих условиям теоремы 0.1. Еще в работе [50] было высказано предположение о справедливости равенства d(f; М+) = 1 для любой целой функции с вещественными
коэффициентами Тейлора, последовательность {рп} перемен знаков коэффициентов которой удовлетворяет лишь условию (0.1). В [50] было даже приведено доказательство этого сильного утверждения. Позднее обнаружилось, что в доказательстве есть серьёзный пробел, который М. Н. Шеремета не смог устранить, и гипотезу из [50] он сформулировал как открытую проблему. До сих пор существовала аналогичная гипотеза М. Н. Шереметы о справедливости равенства d(f\ R+) — 1 или более общего равенства inf d(f]j) = 1 для произвольных
целых функций (0.3), имеющих лакуны Фейера. Однако до последнего времени не был известен ответ ни на одну из этих гипотез, формулировки которых в той или иной форме неоднократно приводились в разделах открытых проблем ряда выпусков журнала " Математичні студії "(Львов) последних лет. В работе [51] возникла новая гипотеза о том, что условие (0.8) теоремы 0.1 не может быть ослаблено: если интеграл (0.8) расходится, то существует целая функция f(z) с лакунами Фейера, для которой mid(f\^f) < 1.
Утвердительный ответ на эту гипотезу (следовательно, отрицательный ответ на гипотезу М. Н. Шереметы) был получен в статье [55].
Цель диссертации — перенести основные результаты работы [55] на случай полуплоскости. Поэтому более подробно остановимся на результатах статьи [55].
Сформулируем результаты этой статьи.
Пусть Л = {Хп} (0 < ^п Т оо) — последовательность, удо-
влетворяющая условию
lim г—— = а < оо. (0.10)
n->oo In Л
Через D(A) обозначим класс всех функций F(s), представи-мых во всей плоскости рядами Дирихле
F(s) = ^2 aneXnS (s = + it). (0.11)
ra=l
Из условия (0.10) следует, что
lim —— = 0.
п—>оо Л
Так что ряд (0.11) сходится во всей плоскости абсолютно и равномерно, а его сумма F{s) — целая функция [21]. Наряду с рядом (0.11) введем в рассмотрение и ряд
F*(5) = J]aAeA"s, (0.12
n=l
где последовательность В = {Ьп} комплексных чисел Ьп (Ьп ф 0 при п > N) удовлетворяет условию
1п|Ьп
lim — < оо.
п—>оо X
Тогда ряд (0.12) также сходится во всей плоскости, причем абсолютно и равномерно, а F*(s) ~- целая функция. В дальнейшем будем предполагать, что
ЇЇЇп — 1п(|Ьп| + |ЬП|~Х) < оо. (0.13)
n-too \п
Это позволяет нам рассматривать также абсолютно сходящиеся во всей плоскости ряды Дирихле
n=N
Пусть fi>(cr) и fi*(a) — максимальные члены рядов (0.11) и (0.12) соответственно, то есть
fj,(a) = max< |an|eAna >, д*(а) — max \ \an\\bn\eXn
п>1 I I п>1 I J
Через W обозначим множество всех положительных, непрерывных и неограниченно возрастающих на [0,оо) функций w = и){х)) таких, что
w{x)
—~-ах < оо.
1 Имеет место следующая теорема [55].
Теорема 0.2. Пусть В = {Ьп} — некоторая последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая условию (0.13), р>{сг) и М*(а) ~" максимальные члены рядов (0.11) и (0.12) соответственно.
Для того, чтобы для любой функции F Є D(A) при а —» Н-оо вне некоторого множества Е С [0, оо) конечной меры имело место асимптотическое равенство
1п^(а) = (1 + о(1))тм>), (0-14)
необходимо и достаточно, чтобы для некоторой функции w Є W выполнялись оценки
Ы + т^ < ew{Xn\n> N).
"п\
\01
Эта теорема, хотя представляет и самостоятельный интерес, в случае В = {<2'(АП)} имеет весьма эффективное применение при доказательстве основной теоремы из [55].
Пусть последовательность Л = {Ап} имеет конечную верхнюю плотность D и конечный индекс конденсации 5, где
п — 1 , 1
D — lim —, 5 = lim -—In
n->oo An' u->oo An |Q'(An)|
Соответствующий класс целых функций F(s)y представимых во всей плоскости рядами Дирихле (0.11), будем обозначать через -В(Л).
Рассмотрим следующий измененный ряд
F*(s) = J>nQ'(A„)e4 (0.15)
где ап — коэффициенты ряда (0.11), a Q(z)—целая функция, определенная формулой из (0.7). Если последовательность {Ап} имеет конечную верхнюю плотность, то Q(z), следовательно и Qf(z), является целой функцией экспоненциального типа, и ряд (0.15) сходится во всей плоскости абсолютно и равномерно. Отметим, что если выполняется более сильное условие (0.6), то функции N(t) и In M(t;Q) принадлежат W [47], где t
N(t) - f7^dx, n(t) = ХЛ MfaQ) = max|Q(z)|.
о A3
Пусть Г = {7} — семейство всех кривых 7, удовлетворяющих условиям теоремы 0.1, а ц{о) и іл*(а) — максимальные члены рядов (0.11) и (0.15) соответственно.
В этих обозначениях связь роста и убывания суммы ряда (0.11) устанавливается следующей теоремой.
Теорема 0.3. Пусть выполняется условие (0.6), 7 Є Г. Тогда для любой функции F Є D(A) справедлива оценка
q(F) < d{F). (0.16)
Здесь
d(F) = infd(F;7), q(F) = ird М ^
7ЄГ є сте, ст->оо ІПД(а)
d{F\^f) — величина, определенная формулой (0.9), а точная нижняя грань и верхний предел в определении q(F) вычисляются no всем множествам е С К+, касисдое из которых получается исключением из М+ некоторой системы отрезков конечной суммарной длины.
Следствие 1. Пусть В = {Qf(Xn)}. Если асимптотическое равенство (0.14) имеет место при а — оо вне некоторого множества Е С М+ конечной меры, то q(F) — 1.
Следствие 2. Для любой целой функции F Є D(A), имеющей лакуны Фейера, имеют место оценки
0 < d(F) < 1, (0.17)
где d(F) = inf d(F\i).
уЄ Г
Оценки (0.17) неулучшаемы. Действительно, с одной стороны, точность правой границы следует из теоремы 0.1. С другой стороны, для любой последовательности {Ап}, удовлетворяющей условию (0.6) и имеющей конечный индекс кон-
денсации, но для которой интеграл (0.8) расходится, существуют функции Fx Є -О(Л), F-2 Є -О(Л), для которых q{F{) = d(F1) = 1, но q(F2) = d{F2\R+) = 0 [55]. Таким образом, смысл оценки (0.16) заключается в том, что величина q(F) может равняться 1 даже в том случае, когда условие (0.8) не выполняется.
В работе [55] доказано следующее
Утверждение. Для любой последовательности Л с лакунами Фейера, для которой интеграл (0.8) расходится, существует функция F Є D(A)1 такая, что q(F) = d(F) = 1.
Теорема 0.4. Для того, чтобы для любой функции F Є D(A) с лакунами Фейера было справедливо равенство d(F) = 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (0.8)
Оценки (0.17) устанавливают связь между ростом и убыванием целой функции F(s) на каждой кривой j G Г. Действительно, из оценки 0 < d(F\^y) следует, что существует функция е(г), е(г) 4- 0 при г —у оо, существует последовательность {п})п Є 7) т^кие, что при п —> оо
ln|F(e„)| > -бШІ)InМ(ЯеЄ„). (0-18)
Отметим} что аналогичная оценка для произвольных целых функций на фиксированном луче была установлена Берлин-гом в работе [56]: для любых е > 0, в Є [0, 2п) (в — фиксировано) множество
{г Є К+ : In |/(гег*)| > -(1 + е) In М(г; /)}
неограниченное.
Хейманом в работе [57] рассмотрена аналогичная задача в случае, когда вместо луча берется произвольная кривая, уходящая в бесконечность. Он показал, что если нижний порядок целой функции f(z) конечен, то на всякой кривой 7: уходящей в бесконечность, для любого є > 0 существует последовательность {zn}, zn є 7> zn —^ оо, такая, что [57]
\п \ f (zn)\ >-(l + e) InM(\zn\;f).
Там же утверждается, что эта оценка справедлива и для целых функций произвольного порядка .
Видим, что оценка (0.18) лучше соответствующих оценок Берлинга и Хеймана. Это объясняется тем, что в теореме 0.3 функция F(s) имеет специальный вид, а именно является суммой ряда Дирихле с лакунами Фейера. Смысл оценки (0.18) в том, что при выполнении условия (0.6) сумма целого ряда Дирихле (0.11) не может сколь угодно быстро убывать на любой последовательности точек {п}, стремящейся к бесконечности вдоль кривой 7-
Представляется интересным установить аналогичные результаты для произвольных функций, представимых рядами Дирихле, сходящихся лишь в полуплоскости, то есть получить оценки суммы ряда как снизу, так и сверху на кривых, примыкающих к мнимой оси.
В частности, актуальным является получение более точных оценок для суммы ряда Дирихле, сходящегося лишь в полуплоскости, на луче.
Исследованию этих вопросов и посвящена настоящая диссертация.
Диссертация состоит из трех взаимосвязанных глав, разбитых на разделы. Результаты глав 1 и 2 новые. Подобные вопросы в случае полуплоскости ранее другими авторами вообще не рассматривались. Теорема 3.1 из главы 3 носит принципиально новый характер. Теоремы 3.2 и 3.3 при более сильных ограничениях доказаны в работе [58].
0.3 Содержание главы 1
Лемма типа. Бореля - Неванлинны
Еще в 1892 году Ж. Адамар указал формулы, выражающие порядок и тип целой функции через коэффициенты Тейлора [1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций в терминах порядка и типа была решена М. Фудзивара [2], Н.В. Говоровым [3] и другими (см., например, в [4]). Непосредственным обобщением степенных рядов являются ряды Дирихле с положительными возрастающими до бесконечности показателями.
Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятиями R — порядка и й- типа. Эти понятия были введены Ж. Риттом. Им же были установлены формулы для вычисления этих величин через коэффициенты ряда Дирихле [5]. Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в полуплоскости, в терминах обычного по рядка и обычного типа исследовали Е. Дагене [6], В. Бойчук [7], К. Нандан [8], [9], Ю. Шиа-Юн [10].
В конце 60-х годов для изучения роста целых или аналитических в единичном круге функций М. Н. Шеремета ввел понятия так называемых обобщенных порядков. Задача, связанная с применением обобщенных порядков к изучению роста рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была расмот-рена в [11]. Позже в терминах R - порядка и R - типа рост таких рядов в зависимости от коэффициентов был исследован A.M. Гайсиным в работах [12] - [16], а также в работах О.Б. Скаскива и В.М. Сорокивского [17], [18].
В начале 20 века с целью изучения связи между максимумом модуля целой функции и максимальным членом ее степенного разложения, а также поведения функции и ее производных в окрестности точки максимума модуля А. Виман и Ж. Валирон разработали метод, который впоследствии стал называться методом Вимана - Валирона. При помощи метода Вимана - Валирона решались также следующие задачи теории аналитических функций: исследование асимптотических свойств целых функций, представленных лакунарными степенными рядами, оценка роста решений дифференциальных уравнений и т.д.
В 1929 году была опубликована статья Д. Пойа [19], в которой помимо доказательств фундаментальных теорем об асимптотических свойствах функций, заданных лакунарными степенными рядами, был поставлен ряд задач. Исследования, начатые Д. Пойа, были подхваченны многими математиками.
Однако классический метод Вимана - Валирона и разработанные рядом авторов его модификации (см., например, в [20]) не дали возможности решить все актуальные задачи, поставленные в [19]. Но, как и в любой теории, в теории лакунар-ных рядов, а также рядов Дирихле, остаются нерешенными многие важные проблемы, при решении которых возникают все новые и новые задачи. Это объясняется также тем, что в связи с исследованиями А.Ф. Леонтьева, подытоженными в его монографиях [21] - [23] с 80-х годов прошлого века сильно возрос интерес к рядам экспонент, сходящимся в произвольных выпуклых областях. Стали усиленно исследоваться вопросы разложения аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы области регулярности, в ряды экспонент (см., например, [22] - [24]). В этой связи и в настоящее время представляются актуальными задачи о росте суммы ряда экспонент вблизи границы области регулярности в зависимости от ее роста в тех или иных подмножествах области, примыкающих к границе. В этой ситуации метод Вимана - Валирона (или его модификации) не всегда приводит к желаемой цели. A.M. Гайсиным была разработана методика, которая нашла широкое применение в подобных исследованиях. В его работах систематически используется интерполирующая функция и формулы для коэффициентов А.Ф. Леонтьева, различные модификации теоремы Бореля - Неванлинны из [25], а также уточненный им вариант оценок Н.В. Говорова ограниченной аналитической в единичном круге функции снизу из [26], [27]. Эта методика нашла свое применение и дальнейшее развитие и в данной диссертации.
В диссертации рассматриваются ряды Дирихле, абсолютно сходящиеся в полуплоскости и имеющие произвольный рост вблизи прямой сходимости. В тех или иных терминах, учитывающих глобальное поведение ряда Дирихле, установлены оценки для суммы ряда на всевозможных кривых, оканчивающихся на прямой сходимости. Соответствующие оценки получены и для лакунарных степенных рядов, сходящихся лишь в единичном круге. В случае, когда областью сходимости ряда Дирихле является вся плоскость, аналогичные оценки ранее были установлены A.M. Гайсиным.
Доказательство теорем 1.2 и 1.3
Величина, определенная формулой (0.9), а точная нижняя грань и верхний предел в определении q(F) вычисляются no всем множествам е С К+, касисдое из которых получается исключением из М+ некоторой системы отрезков конечной суммарной длины. Следствие 1. Пусть В = {Qf(Xn)}. Если асимптотическое равенство (0.14) имеет место при а — оо вне некоторого множества Е С М+ конечной меры, то q(F) — 1. Следствие 2. Для любой целой функции F Є D(A), имеющей лакуны Фейера, имеют место оценки Оценки (0.17) неулучшаемы. Действительно, с одной стороны, точность правой границы следует из теоремы 0.1. С другой стороны, для любой последовательности {Ап}, удовлетворяющей условию (0.6) и имеющей конечный индекс кон- денсации, но для которой интеграл (0.8) расходится, существуют функции Fx Є -О(Л), F-2 Є -О(Л), для которых q{F{) = d(F1) = 1, но q(F2) = d{F2\R+) = 0 [55]. Таким образом, смысл оценки (0.16) заключается в том, что величина q(F) может равняться 1 даже в том случае, когда условие (0.8) не выполняется. В работе [55] доказано следующее Утверждение. Для любой последовательности Л с лакунами Фейера, для которой интеграл (0.8) расходится, существует функция F Є D(A)1 такая, что q(F) = d(F) = 1. Теорема 0.4. Для того, чтобы для любой функции F Є D(A) с лакунами Фейера было справедливо равенство d(F) = 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (0.8) Оценки (0.17) устанавливают связь между ростом и убыванием целой функции F(s) на каждой кривой j G Г. Действительно, из оценки 0 d(F\ y) следует, что существует функция е(г), е(г) 4- 0 при г —у оо, существует последовательность {п})п Є 7) т кие, что при п — оо Отметим} что аналогичная оценка для произвольных целых функций на фиксированном луче была установлена Берлин-гом в работе [56]: для любых е 0, в Є [0, 2п) (в — фиксировано) множество неограниченное. Хейманом в работе [57] рассмотрена аналогичная задача в случае, когда вместо луча берется произвольная кривая, уходящая в бесконечность. Он показал, что если нижний порядок целой функции f(z) конечен, то на всякой кривой 7: уходящей в бесконечность, для любого є 0 существует последовательность {zn}, zn є 7 zn — оо, такая, что [57] Там же утверждается, что эта оценка справедлива и для целых функций произвольного порядка .
Видим, что оценка (0.18) лучше соответствующих оценок Берлинга и Хеймана. Это объясняется тем, что в теореме 0.3 функция F(s) имеет специальный вид, а именно является суммой ряда Дирихле с лакунами Фейера. Смысл оценки (0.18) в том, что при выполнении условия (0.6) сумма целого ряда Дирихле (0.11) не может сколь угодно быстро убывать на любой последовательности точек {п}, стремящейся к бесконечности вдоль кривой 7 Представляется интересным установить аналогичные результаты для произвольных функций, представимых рядами Дирихле, сходящихся лишь в полуплоскости, то есть получить оценки суммы ряда как снизу, так и сверху на кривых, примыкающих к мнимой оси.
В частности, актуальным является получение более точных оценок для суммы ряда Дирихле, сходящегося лишь в полуплоскости, на луче.
Исследованию этих вопросов и посвящена настоящая диссертация. Диссертация состоит из трех взаимосвязанных глав, разбитых на разделы. Результаты глав 1 и 2 новые. Подобные вопросы в случае полуплоскости ранее другими авторами вообще не рассматривались. Теорема 3.1 из главы 3 носит принципиально новый характер. Теоремы 3.2 и 3.3 при более сильных ограничениях доказаны в работе [58].
Необходимые сведения. Уточнение теоремы о двух константах
Теорема 0.3. Пусть выполняется условие (0.6), 7 Є Г. Тогда для любой функции F Є D(A) справедлива оценка d{F\ f) — величина, определенная формулой (0.9), а точная нижняя грань и верхний предел в определении q(F) вычисляются no всем множествам е С К+, касисдое из которых получается исключением из М+ некоторой системы отрезков конечной суммарной длины.
Следствие 1. Пусть В = {Qf(Xn)}. Если асимптотическое равенство (0.14) имеет место при а — оо вне некоторого множества Е С М+ конечной меры, то q(F) — 1. Следствие 2. Для любой целой функции F Є D(A), имеющей лакуны Фейера, имеют место оценки Оценки (0.17) неулучшаемы. Действительно, с одной стороны, точность правой границы следует из теоремы 0.1. С другой стороны, для любой последовательности {Ап}, удовлетворяющей условию (0.6) и имеющей конечный индекс конденсации, но для которой интеграл (0.8) расходится, существуют функции Fx Є -О(Л), F-2 Є -О(Л), для которых q{F{) = d(F1) = 1, но q(F2) = d{F2\R+) = 0 [55]. Таким образом, смысл оценки (0.16) заключается в том, что величина q(F) может равняться 1 даже в том случае, когда условие (0.8) не выполняется. В работе [55] доказано следующее Утверждение. Для любой последовательности Л с лакунами Фейера, для которой интеграл (0.8) расходится, существует функция F Є D(A)1 такая, что q(F) = d(F) = 1. Теорема 0.4. Для того, чтобы для любой функции F Є D(A) с лакунами Фейера было справедливо равенство d(F) = 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (0.8) Оценки (0.17) устанавливают связь между ростом и убыванием целой функции F(s) на каждой кривой j G Г. Действительно, из оценки 0 d(F\ y) следует, что существует функция е(г), е(г) 4- 0 при г —у оо, существует последовательность {п})п Є 7) т кие, что при п — оо Отметим} что аналогичная оценка для произвольных целых функций на фиксированном луче была установлена Берлин-гом в работе [56]: для любых е 0, в Є [0, 2п) (в — фиксировано) множество Хейманом в работе [57] рассмотрена аналогичная задача в случае, когда вместо луча берется произвольная кривая, уходящая в бесконечность. Он показал, что если нижний порядок целой функции f(z) конечен, то на всякой кривой 7: уходящей в бесконечность, для любого є 0 существует последовательность {zn}, zn є 7 zn — оо, такая, что [57] Там же утверждается, что эта оценка справедлива и для целых функций произвольного порядка . Видим, что оценка (0.18) лучше соответствующих оценок Берлинга и Хеймана. Это объясняется тем, что в теореме 0.3 функция F(s) имеет специальный вид, а именно является суммой ряда Дирихле с лакунами Фейера. Смысл оценки (0.18) в том, что при выполнении условия (0.6) сумма целого ряда Дирихле (0.11) не может сколь угодно быстро убывать на любой последовательности точек {п}, стремящейся к бесконечности вдоль кривой 7 Представляется интересным установить аналогичные результаты для произвольных функций, представимых рядами Дирихле, сходящихся лишь в полуплоскости, то есть получить оценки суммы ряда как снизу, так и сверху на кривых, примыкающих к мнимой оси.
В частности, актуальным является получение более точных оценок для суммы ряда Дирихле, сходящегося лишь в полуплоскости, на луче. Исследованию этих вопросов и посвящена настоящая диссертация. Диссертация состоит из трех взаимосвязанных глав, разбитых на разделы. Результаты глав 1 и 2 новые. Подобные вопросы в случае полуплоскости ранее другими авторами вообще не рассматривались. Теорема 3.1 из главы 3 носит принципиально новый характер. Теоремы 3.2 и 3.3 при более сильных ограничениях доказаны в работе [58].
Доказательство теоремы 3.2
Если j = Tj, то j Xj и поэтому v(j) = I;(TJ) = tj = p(xj) p(j). Следовательно, учитывая (2.13), имеем Таким образом, учитывая (2.11), при ,- — О— окончательно получаем, что Мы воспользовались тем, что tj — сю при j — 0 — . Значит, Ш = 0. Дальнейшие рассуждения основаны на лемме 2.2. Рассмотрим круг D{a\ hf3 l) (h = /i(a), a = а+іту a Є 7). Поскольку a lh(a) = o(l) при a —» 0-, то при Т4 а О этот круг целиком содержится в полуплоскости П0. Пусть 7(0 часть кривой, содержащаяся в круге D(a\ hj3 l) (О /3 , /г = h(a)). Она не обязательно кусочно-гладкая и жорданова. Поэтому поступаем следующим образом. Пусть «і — какая-нибудь точка кривой т(а), принадлежащая окружности dD(a\ hj3 l). Соединим точку а\ с а ломаной 1(a) без самопересечений и такой, что где Є 1(a) ma = maxF(i). Это можно сделать. Дей 7(a) ствительно, для любого z Є 7(a) существует окрестность D(z; vz) (vz 0), такая, что \F{z)-F(0\ ma для любого Є Z)(z;i/Z). Поскольку 7(a) — компакт, то по лемме Гейне-Бореля из покрытия (J D(z\vz) можно выде zy(a) лить конечное подпокрытие: D(z0\v0), D(z\\ i ),..., D(zn\vn), где Є 7( ), 0 (г = 0, 1, ..., п). Можем считать, что z0 = a, zn = а\. Соединим между собой центры всех попарно пересекающихся кружков D(zi-iui) (г 0, 1, ..., п) отрезками прямых. Отбрасывая, если это необходимо, конечное число отрезков, получим жорданову ломаную /(a), соединяющую точки а и а\. Заметим, что 1(a) целиком содержится в объединении кружков D(zx\Vi) (г = 0, 1, ..., п). Осталось проверить оценку (2.27). Пусть Є 1(a). Тогда существует круг D(zl\ul)) содержащий эту точку. Поскольку \F(zi) — F()\ mQi то d() та. Вернемся теперь к оценке (2.26). Применяя лемму 2.2 для круга D(z0;P 1h) и кривой 1(a), получаем Но из (2.27) следует, что d(U = \F( )-F(za)\ ma для некоторой точки za Є f(a). Следовательно, Учитывая оценку (2.14), при a — 0— вне С [—1,0) имеем (2.29) Следовательно, с учетом оценок (2.28), (2.29) из (2.26) получаем, что при а — 0— вне множества Е@ = .ExU-E , т(ЕрП [Єі,0)) = О([ЄІІ), fc- o Следовательно, при а — 0— вне Учитывая еще раз оценки (2.29), отсюда получаем, что где 0 /3 і, е ф) = [-1,0) . Из (2.29) видно, что е (р) является /J-асимптотическим множеством для пары (и,/г), где и{а) = 1пЗ + In In/х(ст), h = h(a). Значит є (/З) Є е#, где е — /3-асимптотическое семейство для пары (u, К). Следовательно, из (2.30) имеем q{F) = inf sup lim , ,\ 2/3 + (1 - 2/?)d(F; 7), где еа(/3) Є ер, причем еа(/3) такое, что если а Є еа(/3), то Afc(cr) А ). Здесь fc = /с( т), і/ = z/(cr) — центральные индексы рядов (2.2), (2.3) соответственно. Поскольку левая часть этого неравенства от /3 и 7 не зависит, то, сначала устремляя /3 к нулю, а затем минимизируя правую часть по всем 7 Є Г, получаем требуемое неравенство (2.9). Теорема 2.1 полностью доказана.
