Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Смешанные ряды по полиномам Лагерра 26
1.1 Основные свойства полиномов Лагерра 26
1.2 Дальнейшие свойства полиномов Лагерра 28
1.3 О рядах Фурье-Лагерра 33
1.4 Смешанные ряды по полиномам Лагерра 41
1.5 Операторы +r(f) 48
1.6 Операторы +r(f) и классы WJ? 51
1.7 Смешанные ряды в случае а = 0 54
ГЛАВА II. Аппроксимативные свойства смешанных рядов по полиномам Лагерра С%(х) 56
2.1 Введение 56
2.2 Вспомогательные результаты 57
2.3 Аппроксимативные свойства операторов l+r(f) на классах Wr(Q, со) 62
2.3.1 Оценка функции Лебега 1тп{х) на G\ 65
2.3.2 Оценка функции Лебега 1гп(х) на G i 71
2.3.3 Оценка функции Лебега 1гп{х) на G$ 79
2.3.4 Оценка функции Лебега Vn{x) на G 101
2.4 Оценка снизу функции Лебега 1гп(х) при х = 0 102
Список литературы
- Дальнейшие свойства полиномов Лагерра
- Смешанные ряды по полиномам Лагерра
- Аппроксимативные свойства операторов l+r(f) на классах Wr(Q, со)
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время получила бурное развитие теория ортогональных многочленов. Прежде всего такое развитие обусловлено необходимостью их применения при решении целого ряда практических и теоретических задач, а также приложениями этих в теории кодирования, вычислительной математике, математической статистики и других областях. Например, они применяются при решении интегральных и дифференциальных уравнений, путем разложения функций, входящих эти уравнения, в ряды по ортогональным полиномам; при решении прикладных задач, связанных с обработкой и сжатием информации.
В настоящей работе вводятся в рассмотрение и исследуются аппроксимативные свойства новых рядов по полиномам Лагерра, которым мы дали название "Смешанные ряды", следуя работам Шарапу-динова И.И. [4]-[9]. Смешанные ряды по полиномам Лагерра имеют столь же простую конструкцию, что и ряды Фурье по указанным полиномам, но обладают значительно лучшими, чем ряды Фурье аппроксимативными свойствами вблизи начала координат. В частности, новые смешанные ряды успешно могут быть использованы для одновременного приближения функции и ее нескольких производных. Следует отметить также, что, например, смешанные ряды по полиномам Лагерра L"(x) при а = 0 обладают тем свойством, что частичные суммы этих рядов кратно интерполируют исходную функцию в точке 0. Это свойство имеет важное значение при решении ряда прикладных задач. В ряде важных задач приближения функций, смешанные ряды обладают лучшими аппоксимативными свойствами по сравнению с рядами Фурье по соответствуюшим ортогональным полиномам. Смешанные ряды по полиномам Лагерра не являются исключением в данном смысле.
Актуальными задачами, рассмотреными в данной работе, являются: изучение аналога неравенства Лебега для частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лагерра и получение оценок функции Лебега частичных сумм смешанного ряда.
Объект исследования.
Работа посвящена исследованию смешанных рядов по полиномам Лагерра, ортогональным на полуоси [0; оо), изучаются их частичные суммы и аппроксимативные свойства этих сумм, кроме того, рассматривается функция Лебега частичных сумм Фурье-Лагерра.
Цель работы.
Построить смешанные ряды по полиномам Лагерра, ортогональным на бесконечной равномерной сетке и изучить их свойства.
Исследовать частичную сумму смешанного ряда.
Получить оценку отклонения частичной суммы смешанного ряда от дискреной функции, заданной на равномерной сетке и принадлежащей пространству WL ,.
Общие методы исследования.
В диссертации применяются общие методы теории функций и функционального анализа, а также методы ортогональных многочленов.
Научная новизна.
Результаты данной работы являются новыми и состоят в следующем: рассматривается частный случай смешанных рядов по полиномам Лагерра L"(x) при а = 0; рассмотрены также аппроксимативные свойства частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лагерра; изучен аналог неравенства Лебега для частичных сумм смешанного ряда; изучено поведение функции Лебега 1тп{х) частичных сумм смешанного ряда ,г(/, ж) на полуоси [0;оо)
Теоретическое значение и практическая ценность.
Работа носит теоретический характер. Полученные в работе результаты могут быть использованы в вопросах теории приближений и численного анализа, при построении смешанных рядов по различным классическим полиномам. Они могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов. Смешанные по полиномам Лагерра ряды успешно могут быть использованы для одновременного приближения функции и ее нескольких производных. Следует отметить также, что, например, смешанные ряды по полиномам Лагерра L"(x) при а = 0 обладают тем свойством, что частичные суммы этих рядов кратно интерполируют исходную функцию в точке 0. Это свойство имеет важное значение при решении ряда прикладных задач.
Апробирование работы.
Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались:
- на научных семинарах кафедры математического анали
за Дагестанского государственного педагогического университета
(2003-2007 гг.);
на Саратовской зимней математической школе (2008 г);
в Дагестанском Научном Центре (2008 г).
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах [1]-[3]. Работа [1] входит в список изданий, рекомендованных ВАК РФ при защите кандидатских диссертаций.
Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 83 наименования. Общий объем работы 118 страниц компьютерного набора.
Дальнейшие свойства полиномов Лагерра
В настоящее время получила бурное развитие теория ортогональных многочленов. Прежде всего такое развитие обусловлено необходимостью их применения при решении целого ряда практических и теоретических задач, а также приложениями этих многочленов в теории кодирования, вычислительной математике, математической статистики и других областях. Например, они применяются при решении интегральных и дифференциальных уравнений, путем разложения функций, входящих эти уравнения, в ряды по ортогональным полиномам; при решении прикладных задач, связанных с обработкой и сжатием информации. В настоящей работе (главе 1) вводятся в рассмотрение и исследуются аппроксимативные свойства новых рядов по полиномам Лагерра, которым мы дали название "Смешанные ряды", следуя работам Шарапудинова И.И. [34]-[45]. Смешанные ряды по полиномам Лагерра имеют столь же простую конструкцию, что и ряды Фурье по указанным полиномам, но обладают значительно лучшими, чем ряды Фурье аппроксимативными свойствами вблизи начала координат. В частности, новые смешанные ряды успешно могут быть использованы для одновременного приближения функции и ее нескольких производных. Следует отметить также, что, например, смешанные ряды по полиномам Лагерра Щ{х) при а = О обладают тем свойством, что частичные суммы этих рядов кратно интерполируют PI сходную функцию в точке 0. Это свойство имеет важное значение при решении ряда прикладных задач. В ряде важных задач приближения функций, смешанные ряды обладают лучшими аппоксимативными свойствами по сравнению с рядами Фурье по соответствующим ортогональным полиномам.
В главе 1, показывают, что смешанные ряды по полиномам Лагерра не являются исключением в данном смысле. Актуальными задачами, рассмотреными в данной работе, являются: изучение аналога неравенства Лебега для частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лагерра и получение оценок функции Лебега частичных сумм смешанного ряда.
Объект исследования. В работе используются смешанные ряды по полиномам Лагерра, ортогональным на полуоси [0;оо), изучаются их частичные суммы, аппроксимативные свойства этих сумм, поведение функции Лебега частичных сумм Фурье-Лагерра при х Є [0;оо).
Цель работы. 1) Построить смешанные ряды по полиномам Лагерра, ортогональным на полуоси [0; со) и изучить их свойства. 2) Исследовать частичную сумму смешанного ряда. 3) Получить оценку функции Лебега 1тп{х) для смешанных рядов по полиномам Лагерра. Общие методы исследования. В диссертации применяются общие методы теории функций и функционального анализа, а также методы ортогональных многочленов.
Научная новизна. Рассмотрены новые смешанные ряды по полиномам Лагерра, ортогональные на полуоси [0; сю), и исследованы их аппроксимативные свойства на классах гладких функций. В частности, показано, что новые смешанные ряды успешно могут быть использованы для одновременного приближения функции и ее нескольких производных.
Практическая ценность. Полученные в работе результаты могут быть использованы в вопросах теории приближений и численного анализа, связанных с применением ортогональных многочленов; при исследовании смешанных рядов по различным классическим полиномам. Они могут быть использованы в учебном процессе пррі чтении специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов.
Апробирование работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались: - на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (2003-2007 гг.); - на Саратовской зимней математической школе (2008 г.); - в Дагестанском Научном Центре (2008 г.); - на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного университета (2010 г.). Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах, одна из которых [21] входит в список изданий, рекомендованных ВАК РФ при защите кандидатских диссертаций. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 83 наименования. Общий объем работы 118 страниц компьютерного набора.
В диссертации рассмотрены некоторые вопросы исследования аппроксимативных свойств смешанных рядов по классическим полиномам Лагерра. Остановимся сначала на некоторых проблемах, возникающих в связи с применением метода рядов Фурье по выбранной ортонормированной системе
Смешанные ряды по полиномам Лагерра
Выбрав N достаточно большим, мы можем добиться требуемой точности в приближенных равенствах (5) и (6) и тогда частичную сумму 5дг(/, х) — 5дг (/, х) можно взять в качестве приближенного решения (с требуемой точностью) уравнения (1). Однако, может случиться так, что некоторые из рядов (3) сходятся очень медленно (чаще всего это характерно для рядов (3), соответствующих случаю v 1 ) и тогда для достижения удовлетворительной точности в приближенных равенствах (5) и (6) потребуется взять N черезмерпо большим. Это создает целый ряд неудобств, связанных с практическим использованием (хранением, численной реализацией и другими) разложений в (5). Естественно возникает задача о замене "длинных"разложений в (5) существенно более "короткими" , но без существенной потерии точности приближенных равенств (5). Такая ситуация является типичной, например, в задачах, в которых в качестве ортонор-мированной системы { Pk(x)}kLo берется одна из систем классических ортогональных полиномов Лежандра, Чебышева, Якобн, Лагерра или их дискретных аналогов.
Хорошо известно, что аппроксимативные свойства разложений по полиномам Лагерра существенно зависят от асимптотических свойств самих ортогональных полиномов. Поскольку при росте степеней ортонормированных полиномов Лагерра их производные неограниченно (и достаточно быстро) растут вблизи точки О, то, как следствие, существенно ухудшаются аппроксимативные свойства разложений по этим полиномам. В частности, это существенно ограничивает возможности применения рядов Фурье по полиномам Лагерра в задаче одновременного приближения исходной функции и ее производных. Кроме быстрого роста вблизи точки 0, отметим еще одно свойство полиномов Лагерра, из-за которого суммы Фурье-Лагерра плохо проявляют себя в задаче одновременного приближения дифференцируемой функции и ее производных. Речь идет об асимптотическом поведении нулей полинома Лагерра, когда его степень становится большим. Дело в том, что как хорошо известно, нули полинома Лагерра сильно сгущаются около точки 0 когда его степень растет и, следовательно, сам полином Лагерра быстро колеблется вблизи; точки 0. Это обстоятельство неизбежно вызывает/резкие колебания"частичной; суммы. Фурье-Лагерра.вблизи точки, 0 и ,как; следствие,. производная суммы Фурье-Лагерра функции j; плохо аппроксимирует производную самой функции // даже-: если она обладает высокой гладкостью; Фраза плохо, аппрюксимирует производную "означает,, что для достижения удовлетворительной: точности приближения производной функции-/ посредством производной п-той частичной суммы. Фурье-Лагерра, число п- (порядок частичной суммы) приходится брать слишком большим,-И все же, применение1 рядов Фурье по полиномам Лагерра для решения целого ряда типов дифференциальных и интегральных уравнений является естественным. Это объясняется тем, что часто удается найти простые алгорйтмьг для нахождения коэффициентов Фурье-Лагерра неизвестной функции (решения уравнения). В этом случае возникает идея, решать такие задачи в два этапа. На первом этапе решается исходное уравнение методом рядов Фурье и находят достаточное число коэффициентов Фурье-Лагерра для искомого решения уравнения: Если при этом потребовалось привлечь слишком большое число ЭТРГХ коэффициентов, то на втором этапе решается задача "сжатия "вектора, составленного из них. Решить эту задачу простым "отбрасыванием "некоторых из них не удается. Требуется осуществить более глубокие пре образования, учитывающие информацию о дифференциальных свойства искомого решения, содержащуюся во всех найденных коэффициентах. Одна из целей настоящей работы заключается в том, чтобы осуществить подобные преобразования "длинных" частичных сумм Фурье-Лагерра.
Детальный анализ причин, из-за которых возникают указанные выше недостатки рядов Фурье по ортогональным полиномам привели нас к построению смешанных рядов по полиномам Ла-герра, имеющих столь же простую конструкцию, что и ряды Фурье по указанным полиномам, но обладают значительно лучшими, чем ряды Фурье аппроксимативными свойствами вблизи начала координат. В частности, новые (смешанные) ряды успешно могут быть использованы для одновременного приближения функции и ее нескольких производных. Следует отметить также, что, например, смешанные ряды по полиномам Лагерра L%(x) при а = 0 обладают тем свойством, что частичные суммы этих рядов кратно интерполируют исходную функцию в точке 0. Это свойство имеет важное значение при решении ряда прикладных задач.
Теперь перейдем к более подробному описанию содержания диссертации. Она состоит из настоящего введения и двух глав.
В главе 1 приведены условия сходимости смешанных рядов по полиномам Лагерра и их аппроксимативные свойства, полученные ранее [45] и необходимые для наших дальнейпшх исследований. Теоремы, приведенные в главе 1, показывают, что в ряде важных задач приближения функций смешанные ряды по полиномам Лагерра обладают лучшими аппроксимативными свойствами по сравнению с рядами Фурье по соответствующим ортогональным полиномам.
Аппроксимативные свойства операторов l+r(f) на классах Wr(Q, со)
Лемма 1.3.4 дает утвердительный ответ на поставленный выше вопрос о существовании функции / Є СЬ(0, оо); для которой имеет место оценка (1.3.21) при rik = Ак (к = 1,2,...).
Лемма 1.3.4 показывает, что в метрике пространства 7о(0, оо) суммы Фурье-Лагерра S(fa, х) при а —1/2 приближают функцию fa хуже па+1/2 раз , чем полином наилучшего приближения pn(f)- Этот отрицательный факт является следствием того, что константа Лебега AJJ(O) для сумм Фурье-Лагерра S%(f,x) в СЬ(0, сю) неограниченно растет вместе с п по порядку как па+1/2 (см. лемму 1.2.2). Другой существенный недостаток сумм Фурье-Лагерра 5"(/, х) заключается в том, что они не могут обеспечить хорошего одновременного приближения функции f(x) и ее нескольких производных в метрике пространства Со(0, сю). В самом деле, если, например, / r-раз непрерывно дифференцируема на [О, оо) и /( ) Є L2 „ то
Сопоставляя (1.3.37) и (1.3.38), мы замечаем, что производная ((/, ж))(т) приближает /(m)(z) в точке х = 0 хуже, примерно, nm раз, чем некоторый полином (а именно (—l)mS%_m(f, х)) той же степени, что и (S%(f,x)yK Это обстоятельство побудило ввести новые (смешанные) ряды по полиномам Лагерра, которые обладают при 0 х А, где А - произвольное фиксированное число, значительно лучшими, чем ряды Фурье по тем же полиномам аппроксимативными свойствами.
Смешанные ряды по полиномам Лагерра Перейдем к построению смешанных рядов по полиномам Лагерра Щ(х) для произвольного а, удовлетворяющего условию —1 а 1. Через Wr (0, со) (р 1) обозначим подкласс функ-ций / = f(x) из CPiP, непрерывно дифференцируемых г — 1 раз, для которых /(г г\х) абсолютно непрерывна на произвольном сегменте [а, Ь] С [0, оо), а /(г) Є РіР. Тогда мы можем рассмотреть коэффициенты Фурье-Лагерра функции f r\x) по полино мам Лагерра L ix):
Ряд J(f,x) будем называть смешанным рядом по полиномам Лагерра Щ(х), этим же термином мы обозначим правую часть равенства (1.4.10). Смешанный ряд содержит коэффициенты ffk (к = 0,1,...) г-той производной функции f(x) по полиномам Лагерра Щ(х), умноженные на полиномы Лагерра вида L%+l(x). В этом заключается принципиальное отличие смешанного ряда (1.4.12) по полиномам Лагерра Щ[х) от ряда Фурье (1.3.1) по этим же полиномам. Перейдем к рассмотрению достаточных условий на функцию f(x), обеспечивающих сходимость смешанных рядов и справедливость равенства (1.4.10).
Тогда смешанный ряд (1.4-12) сходится равномерно относительно х Є [О, А] и для произвольного х Є [0, оо) имеет место равенство (1.4-Ю).
Доказательство. Мы начнем с оценки полинома Щ+1{х) при а —1, г 1 и х Є [0, оо). Если а — г —1, то пользуясь оценкой (1.2.33), мы можем записать (s = 4& + 2r — 2а+ 2) вытекает оценка (1.4.13). Но если г = 1, то а — г + 1 = а —1, а — г + 2 = а + 1 Ои поэтому оценки (1.4.17) вытекают из (1.2.33). Тем самым, оценка (1.3.13) для г = 1 доказана. Предположим теперь, что оценка (1.4.13) верна для 1 г п. Тогда из (1.4.14) - (1.4.16) следует справедливость оценки (1.4.13) для г = тИ-1. Тем самым доказана справедливость оценки (1.4.13) для произвольного целого г 1. Оценим теперь остаточный член смешанного ряда (1.4.12), который равен
В настоящей главе рассмотрена задача об аппроксимативных свойствах операторов С +г — п+ДЛ х) на классах ТУ (0, со), состоящих из функций / = f{x), непрерывно дифференцируемых на полуоси [0; ос) г раз и удовлетворяющих условию e x \f{r\x)\ 1 (0 х со). Основные результаты, установленные в этой главе, касаются вопроса об изучении аналога неравенства Лебега для частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лагерра. Точнее, для / Є Wr(Q, со) нами установлено следующее неравенство dt это функция Лебега частичных сумм смешанного ряда 2+r(f, х). Полученные в настоящей главе результаты касаются поведения функции Лебега 17п(х) при х Є [0; со). Поведение 1гп(х) при п — со существенно зависит от расположения точки х на полуоси [0; со). Мы разбили полуось [0; со) на части следующим образом Это неравенство представляет собой аналог неравенства Лебега для частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лагерра п(х) в К0Т0Р0М величина 1гп(х) - является функцией Лебега частичных сумм смешанного ряда по полиномам %(х). Если мы заменим здесь f(x) на f m\x) и воспользуемся равенством (1.7.9), то получим (0 т г — 1)
