Смешанные ряды по полиномам Мейкснера Гаджиева Зульфия Джамалдиновна

Содержание к диссертации

Введение

Глава I Смешанные ряды по полипомам Мейкснера 29

1.1 Основные свойства полиномов Мейкснера 29

1.2 Дальнейшие свойства полиномов Мейкснера 32

1.3 Дискретное преобразование Фурье-Мейкснера 37

1.4 Смешанные ряды по полиномам Мейкснера 41

1.5 Операторы n+r,q{d) 46

1.6 Операторы C^+rq(d) 49

1.7 Приближение функций на сетке {0,5,26,...} 53

1.8 Приближение полиномов на [0, со) 59

Глава II Приближение суммами Фурье-Мейкснера 64

2.1 Введение 64

2.2 Вспомогательные результаты 64

2.3 Оценка функции Лебега сумм Фурье-Мейкснера 70

2.3.1 Оценка функции \n,N{x) на G\ случай n/N < Л 72

2.3.2 Оценка функции \n,N{x) на Gi 77

2.3.3 Оценка функции ^n,N{x) на Gz и G 85

Литература 98

• Дальнейшие свойства полиномов Мейкснера
• Смешанные ряды по полиномам Мейкснера
• Оценка функции Лебега сумм Фурье-Мейкснера
• Оценка функции ^n,N{x) на Gz и G

Введение к работе

В настоящее время теория многочленов, ортогональных на дискретных сетках, стала бурно развиваться. Это было вызвано, прежде всего, потребностью их применения при решении многих теоретических и практических задач, многочисленными приложениями этих многочленов в математической статистике, вычислительной математике, теории кодирования, в квантовой механике и других областях. В частности, они применяются в задачах, связанных с обработкой, сжатием и передачей дискретной информации (например, использование быстрых преобразований Фурье и Фурье-Уолша, дискретного преобразования Фурье и т.д.), что позволяет значительно сократить количество арифметических операций и объем памяти ЭВМ; при решении интегральных и дифференциальных уравнений, путем разложения функций, входящих в эти уравнения, в ряды по ортогональным многочленам. Эти задачи, в свою очередь, приводят к вопросам приближения функций, заданных на дискретном множестве (сетках) и их конечных разностей. В настоящей работе (гла-веі) вводятся в рассмотрение новые ряды по полиномам Мейксне-ра, которым, следуя работам Шарапудинова И.И.[55]-[59], мы дали название "Смешанные ряды" и исследуются их аппроксимативные свойства. В ряде важных задач приближения функций, смешанные ряды обладают лучшими аппроксимативными свойствами по сравнению с рядами Фурье по соответствующим ортогональным полиномам. Исследования, проведенные в 1-й главе, показывают, что смешанные ряды по полиномам Мейкснера также не являются исключением в указанном смысле. Другая задача, рассмотренная в главе 2 настоящей работы, посвящена исследованию вопросов приближения непрерывных функций, заданных на полуоси [0, со) и дискретных функций, заданных на сетке, суммами Фурье-Мейкснера. Здесь, в свою очередь, возникают вопросы об оценке функции Л е-

бега указанных сумм.

Объект исследования.

В работе исследуются смешанные ряды по полиномам Мейксне-ра, ортогональным на равномерной сетке, изучаются их частичные суммы и аппроксимативные свойства этих сумм. Также рассматривается функция Лебега частичных сумм Фурье-Мейкснера.

Цель работы.

1. Построить смешанные ряды по полиномам Мейкснера, ортогональным на бесконечной равномерной сетке и изучить их свойства.

2. Исследовать частичную сумму смешанного ряда.

3. Получить оценки сверху отклонения частичной суммы смешанного ряда от дискретной функции, заданной на равномерной сетке и принадлежащей пространству І2,_р-

4. Получить оценки сверху отклонения конечных разностей частичной суммы ряда от дискретной функции.

5. Получить оценки сверху функции Лебега сумм Фурье-Мейкснера.

Общие методы исследования.

В диссертации применяются общие методы теории функций и функционального анализа, а также методы ортогональных многочленов.

Научная новизна.

Вводятся новые-смсшаииые ряды по полиномам Мейкснера, ортогональным на бесконечной равномерной сетке, и исследуются их аппроксимативные свойства. Главным преимуществом этих новых ("смешанных") рядов, по сравнению с рядами Фурье, является то, что их частичные суммы являются хорошим аппаратом для одновременного приближения дискретных функций из І2_>р и их конечных разностей (разностных производных).

Практическая ценность.

Полученные в работе результаты могут быть использованы в некоторых вопросах теории приближений и численного анализа, при построении смешанных рядов по различным классическим полино-

мам. Они могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов.

Апробирование работы.

Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались: па ежегодных научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (1999-2ООЗг), на Воронежской зимней математической школе (2003г.), на конференции профессорско-преподавательского состава ДГПУ (2003г.), на 6-й Казанской международной летней школе-конференции (2003г.), в Дагестанском научном центре (2003г.), на Саратовской зимней математической школе (2004г).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах. Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 60 наименований. Общий объем работы 103 страницы компьютерного набора.

В диссертации рассмотрены некоторые вопросы приближения непрерывных функций, заданных на полуоси [0, со) и дискретных функций, заданных на сетке lh = {0,/t,2/i, ...},(/i > 0), суммами Фурье по функциям Мейкснера

li_n(x) - fi_n{x, h) = m%,_h(x)e~^x/2, (1)

образующим ортонормированную систему на множестве 0,^ с весом

ф) = ф, a, h) = ^Г(^ + + ^1} (1 - е~"Г, (2)

т.е.

(1 - e~^h) Y, e-^(x)rnl_h(x)m^a_k)h(x) = 6_Пік. (3)

Здесь т"(ж) (п = 0,1,...) - ортоиормироваиные полиномы Мейкс-пера, которые определяются равенством

mZ(x) = {h»(q)}-V²MZ(x),

/(₅) = ("^^а)<Г"Г(а + 1),

а многочлены Мейкснера М(х), в свою очередь, определяются равенством

М«(х) = M^.g) = -Ь^А^п{р(х)хМ},

в котором &_п -фиксированное число, q ф О,

^)=^(^,^^)=^^^+^(1-^¹ (2')

ж^["^] = ж(ж - 1)...(а; - n + 1),

Д/(аг) = /(ж + 1) - /(а:), Д^п = А(Д^П"¹). При от > -1 многочлены М"(х) ортогональны на сетке П — Z+ — {0,1,...} с весом р(х), т.е.

Мы начнем с рассмотрения некоторых прикладных вопросов, которые привели к идее об использовании функций Мейкснера /л"(ж) в задаче приближения дискретных функций / = f(x), заданных на Slh и медленно стремящихся к нулю при х —> оо. В настоящее время все более широкое применение при решении многих теоретических и практических задач находят дискретные преобразования Фурье по дискретным ортонормированным системам (базисам). Результатом прямого применения каждого из этих преобразований является конечная последовательность коэффициентов {^)^=0 ^ результате обратного преобразования, исходная дискретная функция g(t)

будет точно восстановлена на соответствующем дискретном множестве Адг = {i(b*")n}} ^па котором ортогональна соответствующая система базисных функций. Точнее, если {tpk = ^йО^Ж^о ~" Д^на из указанных ортонормированных систем, то

fo ⁼ jr Yl ff(*i)v*(*j) (A: = 0,1,...,JV-1), (4)

JV-1

9(t) = J2 9kЄ A_N). (5)

fc=0

В частности, рассмотрим задачу сжатия дискретной информации, например, с целью ее передачи по каналам связи. Если число N велико, то непосредственная передача всех значений дискретной функции д = g(t) (t Є А^) займет слишком много времени. Возникает задача предварительного " сжатия" вектора д = ( i9{^N-i))- Часто применяемый на практике спектральный метод сжатия состоит в том, что вместо вектора д по сети передается вектор коэффициентов д = (д_П1, —д_Пт)) ^гД^{е т} существенно меньше, чем N. При этом считается, что если к < п_т и к . {п\, ...,n_m}, то д% = 0. Иными словами, считается, что среди gk{k — 0,..., N — 1) имеется несколько коэффициентов дпіі'"і9п_ті несущих основную нагрузку, а все остальные настолько малы по абсолютной величине, что их совокупный вклад для восстановления функции д — g(t) по формуле (5) пренебрежимо мал. Однако, это предположение далеко не всегда выполняется, если исходная дискретная функция д = g(t) не является "гладкой" в определенном смысле. Часто встречается ситуация, когда для к —> N — 1 коэффициент д% приближается к нулю очень медленно, но при этом новая дискретная функция /(&) ⁼ 9к (к Є {0,1,..., iV — 1}) является существенно более "гладкой" чем исходная функция g(t) в том смысле, что если через значения f(k) (к — 0,..., ЛГ — 1) провести плановую кривую (сплайн), то в пей содержится значительно меньшее число резких колебаний, чем

в аналогичной кривой для g(t). Поэтому возникает идея "сжимать" спектральным методом функцию / = f(k) (к = О,1,..., N — 1).

Пусть {Vv}i/=b - подходящая ортонормированная система на множестве {0,..., N — 1}. Тогда

N-1

/W = X)/иМ*)> (б)

*/=0

А = /(0іМ0- (7)

1=0

Предположим, что для восстановления функции / = f(k) с заданной точностью достаточно сохранить коэффициенты

fu\4"'tfv_m і ^гД^{е m} существенно меньше, чем N. Тогда вместо исходной дискретной функции g(t) мы можем передать по каналам связи вектор (Л-и ...,/i/_m) значительно меньшего размера, а декодирующее приемное устройство сначала приближенно восстановит функцию /(к) при всех к = 0,...., N — 1 по формуле

fk~ Ік = ^!щФщ{к), (8)

i=i

а затем по формуле

N-1

^2 їкМШ е A_N)

к=0

приближенно восстановит функцию g(t). Успешное решение описанной выше задачи существенно зависит от удачного выбора ор-тонормированной системы {г^}^,¹. С этой точки зрения среди известных классических систем, ортонормироваппых на дискретных множествах, обращает на себя внимание система функций Мейкснера (1). В самом, деле, если мы положим h = 1/N и

v = 0(h), то из асимптотических результатов, установленных в работах И.И.Шарапудинова [37], [50], [54] для полиномов Мейкснера т (х) следует, что функция

І«*)І = І/*Ї(*М)І

при 0 ^ kh ^ 4i/ + 2a + 2 ведет себя примерно как (&/ш)^-1/⁴. Другими словами, при к —У h(Av + 2a + 2) ф_и{к) не может приближаться к нулю по порядку быстрее, чем (/г/и/)^-1/⁴. В этом смысле функция ф_и(к) = fi^(kh,h) является медленно стремящейся к нулю при к —> N — 1 ^ h{Av + 2a + 2). Вместе с тем следует отметить, что функции ф_и{к) = fi^(khji) (v = 0,1,...), как это вытекает из (1) и (3), образуют ортонормированпую систему на бесконечной сетке {0,1,..-}. Следовательно, коэффициенты Фурье функции / = f{k) по системе {фі/(к) = fi^(kh, /г)}?_₀ имеют вид

f_n = (l-e-^h)J2f(Wn(k), (9)

к=0

поэтому функция /, заданная первоначально на конечном множестве {0,1,..., iV — 1}, должна быть продолжена на все множество {0,1,...} с сохранением свойств гладкости, которыми она обладала на {0, \,...N — 1}. Тогда, на первый взгляд может показаться, что вычисление коэффициентов /_п по формуле (9) потребует слишком большой объем вычислений. Но это не так. В самом деле, из весовых оценок для многочленов Мейкснера тп (х), установленных в работах [37], [50], [54] следует, что при к > 3/2/г(4тг + 2a + 2) имеет место оценка ф_п(к) = 0(e~^kh^⁴). Кроме того, мы можем считать, например, что при 3(JV -1)/2 > к имеет место оценка /(&) = Q(e~^kh/²). (Возможность " гладкого" продолжения функции f(k) с {0, l,...,iV— 1} на {0,1,...,} с соблюдением условия f(k) = 0(e^_fcfl/²) может быть обоснована без особого труда). Итак, если d = [h(An + 2a + 2)], где [7] - целая часть 7> d ^ 3/2max{7V —

1, h(4n + 2a -+ 2)}, то представляя сумму (9) в виде

d f_n = (l-c-^h)Y,f(Wn(k)+

к=0

получим

|5₂| = 0(е-^Л^⁴) и, стало быть,

^{/„ = (і - e-h) х; /№«*>+o(e-^/4).}

fc=0

Вычисляя конечную сумму S\, мы найдем значение коэффициента f_n с необходимой точностью.

Перейдем теперь к более подробному описанию содержания диссертации. Она состоит из настоящего введения и двух глав.

В первой главе вводятся в рассмотрение новые-смешанные ряды по полиномам Мейкснера и исследуются их аппроксимативные свойства.

Остановимся на более подробном описании результатов этой главы.

Пусть а > — 1, 0 < (7 < 1, функция р(х) = p(x,a,q) определена равенством (2'). Для двух функций d и д, заданных на множестве Z+ = {0,1,... }, мы определим скалярное произведение

№,9)р= J2 d{x)g(x)p{x). (10)

Гильбертово пространство всех дискретных функций вида d : Z₊ —> R, для которых

||d||_p=(d,d)j/²

мы обозначим І2_лР. Если d h,_P, то мы можем определить коэффициенты Фурье-Мейкснера

^dk = ^2 d(x)p{x,a,q)m%{x,q), (11)

m%{x,q) = {f%{q)}-^1/2M{x,q) (n = 0,1,...) (12)

ортонормированные полиномы Мейкснера. Система {тп"(х,(?)}^_₀ является базисом пространства 1%_)Р, поэтому, если d Є /э,р > то

d(x) = Y,^dk^mk(^x^)^ ^x&z+- (¹³)

fc=0

Рассмотрим частичную сумму ряда (13) порядка п

S_n(d) = 5^,*) = ^djmgfog). (14)

fc=0

Она дает функции d — d(x) наилучшее приближение в пространстве h,p среди всех алгебраических полиномов степени п, т.е.

-SlM\\_l2iP =inf ||d-p„||i_3iP = E_n(d)_h>p, (15)

где нижная грань берется по всем алгебраическим полиномам р_п = Рп(х) степени п.

Если р_п = р_п(х) произвольный алгебраический полипом степени п, то

^Sq,n(Pn,^) = Рп(х), ХЄМ. (16)

Воспользовавшись ядром Кристоффеля-Дарбу K^_n{t,x) (см. (1.1.8) из гл.1), мы можем записать

Slnid,x) = Е K?_tn(t_tx)_t (17)

в частности, если х = О, то

%.(<* ) = г^ТТ) ^ ^м"^+1(і ~ ¹>№*>- <¹⁸>

Равенство (18) можно использовать при исследовании поведения разности d(0) ~ S_n (d, 0), когда п —> со для различных классов дискретных функций. На этом пути можно показать, что аппроксимативные свойства сумм Фурье-Мейкснера Sg_n(d,x) существенно зависят от параметра а, а именно, вместе с ростом а > —1/2 аппроксимативные свойства ?_п(с(, ж) ухудшаются. Мы здесь ограничимся рассмотрением одного характерного примера.

Обратимся к производящей функции для полиномов Мейкснера

d{x) = ф(г, х) = ф(г, х, a, q) =
\-z/q\^x 1

1-z J (І-г)^¹' ^¹⁹⁾

определенной равенством (1.1.16) (см.гл.1), из которого мы находим

d{x) - SIMx) = J^ Щ(Ф^к- (20)

к=п+\

Рассмотрим вопрос об использовании сумм Фурье-Мейкснера S^_n (d, х) для приближения разностной производной функции d[x). В главе 1 показано, что

Ad(0) - AS«„(d,0) = Отсюда следует, что

|Ad(0)-ASJ_n(d,0)|>

fn 4- a + 1\ ,,

^ _n J^^+l>c(a)-

l-qfn + a+l\ _n+l ^ _(Л 1 -J^_n+1^_Q+1

9 С другой стороны имеем

Дф) =

+1

І-г/gV 1 fl-z/qY

_(т

V 1-2 у (1-^)^+¹ v 1-2 у 1-^+¹

(l-z/qy 1 2 q-l ₌

V 1 - z У (1 - z)^Q+1 1-2 g

_jn ^ 9-І

ф)- ,

\ — z q

поэтому

Сопоставляя эти равенства, замечаем

АФ) - ^,„_і(Аф) - з4і^- Е ^М*(Ф

fc=n

В частности, для х = О находим

МО) - s?.._, (М о) = ^ ^ (* Г)²*

fZ^— ТІ

откуда, в свою очередь, получаем оценку

lAd(O) - ^.„-^Ad, 0)| ^с(а)¹ _q^qZ^\n^a.

Далее, из (15) следует, что

^{- As;}_tn^(d)\\_htP ^{> ы \\Ad-pn^w^ =}

Pn — l

\\Ad - S^Ad)^ (27)

Из неравенства (27) видно, что полином ASg_n(d,x) приближает функцию Ad(x) в метрике постранства \ч^ не лучше, чем полином Sq_Tl_₁(Ad, х). Более того, из (22) и (26) следует, что полином ASq_n(d,x) приближает функцию Ad(x) в точке х = 0 n-раз хуже (по порядку), чем полином Sq,_n~i(Ad,х), который является полиномом наилучшего приближения к функции Ad(x) в метрике пространства І2,р- Это означает, что суммы Фурье-Мейкснера Sg_n {d>x) не являются хорошим аппаратом, пригодным для одновременного приближения дискретных функций из І2,_р и их конечных разностей (разностных производных). Это обстоятельство побудило пас ввести новые ряды по полиномам Мейксиера, лишенные указанного недостатка, которые мы назвали смешанными рядами по полиномам Мейксиера.

Определение смешанных рядов основывается на разложении г-той конечной разности исходной функции в ряд по полиномам Мейксиера и последующем г-кратном суммировании полученного разложения. Остановимся более подробно на этом определении.

Пусть г > 1, П(г) ~ {-г, -г + 1,... , О,1,... }, 0< -1, р — р(х) ~ p(x;a,q). Рассмотрим дискретную функцию d — d{x), заданную на П(г) и такую, что на множестве Q(0) она принадлежит пространству І2,_р. Тогда функция d{x) — d{x — г) определена на Z₊ и принадлежит пространству 1ъ_лР. Вместе с d(x) пространству І2,_р принадлежит также функция b(x) — A^rd(x) = A^rd(x — г). Поэтому мы можем определить коэффициенты Фурье-Мейкснера этой функции

Y,&^rd(x)m%(t_iq)p(t). (28)

Общий член смешанного ряда по полиномам Мейксиера иолуча-ется в результате умножения числа -,, а/'Дт;^ ^на полином Мейксиера вида M"^(x,q). Отсюда и название смешанный ряд. Прежде, чем перейти к точному определению смешанного ряда, мы сформулируем следующий результат, установленный в главе 1.

Теорема 1.4.1. Пусть г > 1, П(г) = {—г, —г + 1,... ,0,1,... }, 0 < 5 < 1, а>— 1, р = р(х) = p(x\a,q), d = d(x) - дискретная функция, заданная на Щг) и такая, что на множестве Q{0) она принадлежит пространству l^_p, d(x) = d(x — г). Тогда

X^і У г,и

^=0

(9/(д-1))^г-" ^ r(k + a+l)

Г(у - r + a + 1) ^ {Л^Ы}¹/² Г(А; + г - і/ + 1)

Правую часть равенства (29) мы будем называть смешанным рядом по полиномам Мейксиера. Отметим еще раз, что этот ряд составлен по полиномам Мейксиера M^^(x,q), которые при a — г ^ — 1 не являются ортогональными, И тем не менее аппроксимативные свойства смешанных рядов по полиномам Мейксиера Mb+r(x,q), в ряде важных задач, оказались лучше, чем соответствующие аппроксимативные свойства рядов Фурье по полиномам Мейксиера Mg (х, q).

- 1G -

Для изучения аппроксимативных свойств смешанных рядов по полиномам Мейкснера мы рассмотрим частичную сумму ряда (29), которую обозначим через n+r,q{d).

Пусть а > — 1, 0 < g < 1, р(х) = p(x,a,q), г > 1, d : Гї(г) —> М, d = d{x) — d(x — г), d Є І2_іР- Тогда мы можем определить смешанный ряд (29). Положим

Тогда

E?__hq(d, x + r) + J^_q(d, x + r), (31)

где E?_i _g(d,x) - полином степени г— 1, определенный равенством

(g/(g - 1))^г-" f^ <%* r(fe + a+l) 1

Г^-г + а + Ц^^М^/гг^ + г-ї/Ч-І)] ^{V ;}

Тогда из (29)-(32) имеем

d(x) = «_+ГіЧ&х) +V?_iniq(d,x + r), (33)

/ \^г .⁰ d^a

Pr.n.M,x) = yy —^A^s,), (34)

Из (30)-(32) следует, что C"_+rAd, х) представляет собой алгебраический полином степени п + г.

В случае а = 0 оператор C^_+rq (d) принимает следующий вид

l>=0

(35)

^₀(^1),«Ы}^1/2

Из (33) имеем

d(x) = C_n+rtq(d,x) + R_n{d,x,q), (36)

(37)

^{^,,,-(.^,^^}

Мы будем рассматривать C_+r^(d) = _+Г)? (е, re) как аппарат приближения дискретных функций из І2,_р. Прежде всего отметим следующее важное свойство операторов "_+г „ (d):

A"d(x - г) - A"CZ_+riq(d_tx - г) = V?__Uintq(A"d,x) =

)т оо Ja

_щмИ*^^{в)1 (38)}

где О^ї/^г— 1. В случае a = 0, из (38), с учетом свойств полиномов Мейкснера, выводим

A»d(x) - A»»_n+rJd,x) = 11_г^_п(А^,х,_Я) =

оо ^0 к/2

(_!)'-'(,._{+ Г})[г-] ff МГЧХ + „,,). (39)

Аппроксимативные свойства операторов jC_+T%(J(d) и их разностных производных выводятся путем оценивания правой части равенства (38) .В случае а = 0 более удобным средством оценивания разности \A"d(x) — A^l/C_n+r^_q(d,х)\ является равенство 39). При этом существенную роль играют весовые оценки для полиномов Мейкс-нера, установленные в работах [37], [50], [54], [17]. Мы здесь более подробно рассматриваем случай а = 0. Обозначим через

E_n(A^rd_tl_2tq) ^mf\\A^rd~ p_n\\_hq

наилучшее приближение функции A^rd алгебраическими полиномами р_п = р_п{х) степени не выше п в пространстве І2,_д — І2,р> где р — р(х, 0, q) — q~^x . В главе 1 установлено следующее утверждение

Теорема 1.6.1. Пусть г > 1, 0<^< 1, d Є І2,_я. Тогда имеют место соотношения

(¹ -«) Е ^тт № - +г,,№*)]²

х=0

оо / ,0 ^ ²

оо П/2

p-^Ej^jH^w-^+r.^^)]"

^ ^^{~^Е_п(А%1_2Л

В качестве следствия этой теоремы выводится поточечная оценка отклонения полинома C^_+rq(d) от функции /. Точнее, установлено

Следствие 1.6.2. Если х Є {—г, — г + 1,... , —1, 0,1,2,... }, то

при соблюдении условий теоремы 1.6.1 справедлива оценка

Эта оценка показывает, что полипом >n+r,q (^> ^) приближает функцию d(x) вблизи точки х = 0 значительно лучше, чем вдали от нее. При этом, как показывает теорема 1.6.1, он имеет хорошие аппроксимативные свойства на всем множестве {0,1,... }.

Перейдем теперь к вопросу о приближении функций, заданных на сетке {0,5,25,...}. Пусть 0 < N - произвольное число, 6 = 1/N, 1$ = {0,5, 25,... }. Здесь мы рассмотрим функции вида f : ls —> Н&-Полагая fs{j) ~ 1{3$)-> ^мы получим дискретную функцию, заданную на О, = {0,1,...}, которую мы предположим принадлежащей h,p (см. 1.3). Рассмотрим функцию d(t) = f$(t-\-r) — f(tS-\-rS), заданную на множестве Щг) = {—г, —г + 1,... ,0,1,...}, для которой мы можем построить смешанный ряд по полиномам Мейкснера M(x,q) (см. пункт 1.4). Мы имеем

f(Sx) = f₅(x) = d(x) = E?_^(d_)X) + J_q(d,x) + P_r%_iff(d,a:), (40)

Мы МОЖЄМ ДЛЯ фуіїКЦИИ d = d(x) рассмотреть Оператор n+r,q(^i ^х)

Тогда

f(6x) - d{x) = Cl_+rt4(d_tx- г) + V_ntq(d,x) =

E?__ltg(d, x) + J«_g(d, x) + V?,_n,_q(d_t x). (41)

Далее (x Є ЩО))

AU(xS)-A^^a_n+r^x~r) =

)T — U OO JQ

^_+iW#7,^₊--(^), (42)

где A$f(xS) - конечная разность порядка v с шагом S, кроме того

при а = 0 мы имеем (х Є Щг))

Am(x + r)S)-A"C»_n+rJd,x) =

оо ^0 fc/2

(43)

Введем следующие обозначения

^(і) = <№е-^), (44)

Л^+г,лг(/, 0 = ^_+r,_e-i/^ (rf, iVt - г). (45)

Тогда (і Є fi

Г-1/ ОО і_а

(46)

k_

,Є 2ЛГ

⁰⁰ d

(-1)-(^)^ -^--М— (і-(г-1/)5). (47)

Мы остановимся более подробно па вопросе об аппроксимативных свойствах операторов <Л/_+т%лг(/) = Л/*^_+ГіЛГ(/, і) -Положим

[2N²t]

S = *^-* V -^^_ (49)

t=r~b ^[6^^] \d?_k\N^r

^ss - _мг-„₊і 2^ 7 ₂ ' ГІД' (⁵)

^S?= E гт; e-^(fc + l)-^|^_fc|iV^r, (51)

где t_n = max{[l/t],n + 1}. Имеет место следующий результат. Теорема 1.7.1. Пусть t Є Гїа \{0}. Тогда справедлива оценка

в которой фигурируют величины T>f (1^г^4), определенные равенствами (48)-(51).

Заметим, что числа N^rd^_k представляют собой коэффициенты Фурье-Мейкснера функции 6~^rA^rd = 6~^rA$f(x6) по полиномам Мейкснера Mg(x,e~⁵) = Mf?_N(t) (t = 6х, а; = 0,1,...), другими словами N^rd^_k - это коэффициенты Фурье-Мейкснера г-той разделенной разности функции /(ж), заданной на сетке Q$ = {0,6,26,... }. При этом, оценка (52) получена для t Є Q5 \ {0}. Что касается точки = 0, то в этом случае из имеет место равенство

ДЇ/(0)-Д^«_+ГіЛГ(/,0) =

. ч r—v оо / a+k \

ї³^) ]^₊₁Wl^W^dh' ⁽⁵³⁾

В случае a = 0 получен следующий результат

Теорема 1.7.2. Пусть t Г2<5 \ {0}. Тогда имеет место оценка

7НЛШ0 - Д^„+г^(/,01 ^ Ф, А)(Е? + S + + Е₄),

Г,ЙІ

_{=!= Е}

-IV '

Af|d?,

*Hd.

[2N²t]

r.fcl

r-f і 1 '

^{ss=^-i 5:}

*=_(и+1 № + г) Ї ⁺ *

1 )

- oo

^s_{2 = ^ E «-*^K»I.}

ft=[6N³t]

где t_n = max{[l/t], n + 1}.

Упомянутые выше результаты позволяют оценить сверху отклонение оператора Л/*"_+г дг(/) от функции / = f(t), заданной на сетке H(j = {0,(5*,...} и такой, что функция d(j) = /(j<5) (j 6 П(0)) принадлежит пространству І2,_р. Здесь рассмотрим вопрос о приближении операторами M^_{+r N}(f) алгебраических полиномов p_m = р_т(х) достаточно высокой степени т на полуоси [0, со). Точнее, мы будем рассматривать случай, когда п = O(N), т = O(N). Подобная задача возникает, например, в следующей ситуации. Предположим, что для достаточно гладкой функции / = f(x), определенной па полуоси [0,со), сконструирован алгебраический полином р_т = p_m(t), приближающий на сетке 1$ функцию / с точиостьтю є в следующем смысле

если при этом оказалось так, что число m велико, то сразу возникает задача об "укорачивании" полинома р_т = р_ш(), т.е. требуется заменить полипом p_m(t) некоторым другим полиномом р_п^т — Pn,m{t), степень п которого существенно меньше, чем т. Одновременно возникает вопрос об оценке погрешности є^-з ]р_П)Ш() — p_m(f)|, проистекающей в результате замены полинома p_m(t) полиномом Рп,т() Мы здесь рассмотрим один из способов "укорачивания" полинома р_т (t), основанный на использовании оператора Л/"^_{+г N} (f). Поскольку d(j) = Pm{j5) Є І2,_р, то мы можем записать

д^_т(*)-дулг«_+Г|ЛГ(/,о =

где p" _k (S) - коэффициенты Фурье-Мейкспера функции

p(j) — Ь?р_ш{їу2 — r)6), j Є Z+ по полипомам Мейкспера m^(j, e~^)

( = 0,1,...), т.е.

p?,_fc(J)= А^гр(І-г«(і,ф(і).

Поскольку p(i) = A^rp_m((i—r)i5) представляет собой алгебраический полином степени 7П ~ г, то Ру_к(5) = 0 при к > т — г, поэтому (54) мы можем переписать так

ДЇРт(*)-ДЇЛ^_+ГііУ (/,<) =
, , ч r-„ т-г _р? (J)

1-е⁶ J

^ о/(е^Пі/₂^М^^Г-^^' (55)

—п+1 * & ^ ^

в частности, если v = О, то правая часть равенства (55) дает нам погрешность, возникающую в результате замены полинома p_m(t) полиномом ,Л/""_+г дг (/, t). Мы оценим правую часть равенства (55)

при условии т ^ AiV, где 0 < А - произвольное фиксированное число. Пусть

/ m-r \ ^Х/2

t№= Е (p?,*W)² С⁵⁶)

В главе 1 доказана следующая

Теорема 1.8.1. Пусть 5 > О, Л > О, А > О, N ~ 1/5, та < \N, р_тп = p_m(t) - алгебраический полином степени т. Тогда, если 0 ^ и ^.г — 1, 0 ^.t ^ А, то имеет место оценка

е⁵-1

(

^{1 N} |Д?Р_т(*)-Д^_+Г1* (/,*Ж

cCa.r.A.A^mWf^-j

(1 ₊ ^-„-с-1/2 _n-r₊u+l/_{2) г} _ _v _ _а ^ 1/2,

„-аг+г^+а+і^ г-і/-а<1/2,

где величина r}^_rn(S) определена равенством (56).

Перейдем к обзору результатов, полученных во второй главе
диссертации. Рассмотрена задача о приближении дискретных функ
ций / = f(x), заданных на сетке Qh — {0, /г, 2/г, } посредством

сумм Фурье-Мейкснера S^_N{f,x) в случае a = — k. Точнее, пусть h > 0, через Zo^/t обозначим нормированное пространство дискретных функций / = f(x),заданных на сетке Од, для которых определена норма \\f\\h = sup I/fa:)|. Мы рассмотрим задачу о приближе-

нии функции / Є icoj суммами Фурье-Мейкснера вида

Sn,N{f,x) = S~_t%{f,x) = Е^^И (⁵⁷)

k=0

где N = і

( \ г і \ — —

х —1

fik{x) = ц_к{х,}і) = е ²m_k²_N(x) (58)

h = /wwMwMTiTt¹ - ^e~ ⁽⁵⁹⁾

Сумма (57) представляет собой линейный ограниченный функционал, определенный на пространстве 1^^,норма которого

_ і K,n{x) = А_п^(ж) = 11^,^(^)11 = sup \S_n>N{f,x)\ =

(1--^^^+

(60)

^2^k{t)tik(x)

<єп„ ^Г<^т + Ч

fc=0

Функцию А_П)л? {^х) будем называть функцией Лебега для сумм Фурье-Мейксиера.

Среди всех систем полиномов Мейкснера {т ^{х)} _ систе-

ма < т_п дг (х) > выделяется тем, что асимптотические свойства

функций е ²т_п²м{%) при п = O(N) существенно не зависят от расположения точки х в расширяющемся сегменте вида [0, "уп] ,где

_ і _ і

га А_пдг(ж) для сумм Фурье-Мейкснсра 5^ |Д/_} х) имеет порядок 0(1п п) при х Є [0,"уп], где 7 < 4. Для сравнения отметим, что, как показывают не очень сложные расчеты, А^ jy(0) > cn^aJr* , при а > — |. Это показывает,что рост функции Лебега \ _N{x) делает резкий скачок при переходе параметра о: через значение a = -^-Это обстоятельство вызывает особенный интерес к исследованию аппроксимативных свойств сумм Фурье- Мейкснсра S" _N(f,x) при

«= -\

Итак, мы рассмотрим задачу о приближении функций / Є ^co,h суммами Фурье-Мейкснера.

S_n>N{f,x) = S~^²(f,x)

Через V_n обозначим множество полипомов вида (р_п = <р_п(х) = е~^х/²р_п(х), где р_п = р_п(х) - алгебраический полином степени п. Заметим, что если ip_n 6?«, то

Sn,N(VnW (61)

Воспользовавшись равенством (61) мы можем записать следующую цепочку соотношений

\f{x) - S_niN(f,x)\ = \f{x) -_n{f,x) -S_n,_N{f,x)\ ^

\f(x) -ip_n{f,x)\ + \if_n(f,x) - Sn_tN(f,x)\

^ E_n{fji) + |S„_lJV(v>» - /,0:)1, (62)

где ipnif) = Фп{Іі^х) -элемент из V_nосуществляющий наилучшее приближение к функции / loo^h,

E_n(f, ft) = ||/ - ^_п(/)||д = inf ||/ - _n\\_h (63)

Далее

\SnM_n,_N{x) (64)

Сопоставляя эти оценки, находим

I/W - S_n,_N{f,*)\ ^ (1 + А„д(х)) Д_п(/, /г) (65)

Отсюда возникает задача об оценке функции Х_Пік(х) при х Є fZ/_t, n, iV н->- oo. Заметим, что формула (60) определяет функцию A_njjv(a;) для произвольных неотрицательных значений переменной х. Поставленная задача в главе 2 решена при 0 ^ х ^ 4n + l+2(4n+1)¹'³,

nh ^ А, где А- произвольное фиксированное положительное число. Перейдем к более точным формулировкам результатов, полученных в главе 2, Для этого нам понадобятся следующие множества (0 = 4п+1).

Gi = [0,3/0], G₂ = [3/0,9/2], G₃ = [9/2,9-9^% О_л = [9-6^х^,9 + в¹!\ Gb = [e + 6^l!^z,W/2),

Gq = [39/2,00).

Получены верхние оценки функции А_Пт^(гс) на множествах Gk (к = 1,2,...,4). Что касается множеств Gk при к = 5 и к — б, то при х Є Gk {к — 5,6) функция \_п,ы{х) оценивается аналогично тому, как это сделано для случая х 6 С?з > поэтому этот случай не рассматривается.

В главе 2 установлены следующие результаты

Теорема 2.3.1. Пусть А > 0,n/N ^ А, х Є G\. Тогда имеет место следующая оценка

K,n{x) ^ с(А) ln(n + 1).

Теорема 2.3.2. Пусть А > 0, rc/iV ^ А, х Є G2- Тогда имеет место оценка

K,n(x) К с(А)1п(п + 1).

Теорема 2.3.3. Пусть А > 0,n/N ^ А, х Є С?з- Тогда имеет место оцемка

Л_п,лг(#) ^ с(А)

n^1/4Mx,/>)|+ln(n + l) -

Теорема 2.3.4. Пусть Л > 0, n/N < А, х Є G₄. Тогда имеет место оценка

Х_п{х, h) ^ с(Л)[1п(п + 1) + пЧ⁴\ц_п{х, h)\].

Дальнейшие свойства полиномов Мейкснера

Мы начнем с рассмотрения некоторых прикладных вопросов, которые привели к идее об использовании функций Мейкснера /л"(ж) в задаче приближения дискретных функций / = f(x), заданных на Slh и медленно стремящихся к нулю при х — оо. В настоящее время все более широкое применение при решении многих теоретических и практических задач находят дискретные преобразования Фурье по дискретным ортонормированным системам (базисам). Результатом прямого применения каждого из этих преобразований является конечная последовательность коэффициентов { ) =0 результате обратного преобразования, исходная дискретная функция g(t) будет точно восстановлена на соответствующем дискретном множестве Адг = {i(b ")n}} па котором ортогональна соответствующая система базисных функций. Точнее, если {tpk = йО Ж о " Дна из указанных ортонормированных систем, то

В частности, рассмотрим задачу сжатия дискретной информации, например, с целью ее передачи по каналам связи. Если число N велико, то непосредственная передача всех значений дискретной функции д = g(t) (t Є А ) займет слишком много времени. Возникает задача предварительного " сжатия" вектора д = ( ?( о) -i))- Часто применяемый на практике спектральный метод сжатия состоит в том, что вместо вектора д по сети передается вектор коэффициентов д = (дП1, —дПт)) гДе т существенно меньше, чем N. При этом считается, что если к пт и к . {п\, ...,nm}, то д% = 0. Иными словами, считается, что среди gk{k — 0,..., N — 1) имеется несколько коэффициентов дпіі "і9пті несущих основную нагрузку, а все остальные настолько малы по абсолютной величине, что их совокупный вклад для восстановления функции д — g(t) по формуле (5) пренебрежимо мал. Однако, это предположение далеко не всегда выполняется, если исходная дискретная функция д = g(t) не является "гладкой" в определенном смысле. Часто встречается ситуация, когда для к — N — 1 коэффициент д% приближается к нулю очень медленно, но при этом новая дискретная функция /(&) = 9к (к Є {0,1,..., iV — 1}) является существенно более "гладкой" чем исходная функция g(t) в том смысле, что если через значения f(k) (к — 0,..., ЛГ — 1) провести плановую кривую (сплайн), то в пей содержится значительно меньшее число резких колебаний, чем в аналогичной кривой для g(t). Поэтому возникает идея "сжимать" спектральным методом функцию / = f(k) (к = О,1,..., N — 1).

Пусть {Vv}i/=b - подходящая ортонормированная система на множестве {0,..., N — 1}. Тогда Предположим, что для восстановления функции / = f(k) с заданной точностью достаточно сохранить коэффициенты fu\4" tfvm і гДе m существенно меньше, чем N. Тогда вместо исходной дискретной функции g(t) мы можем передать по каналам связи вектор (Л-и ...,/i/m) значительно меньшего размера, а декодирующее приемное устройство сначала приближенно восстановит функцию /(к) при всех к = 0,...., N — 1 по формуле приближенно восстановит функцию g(t). Успешное решение описанной выше задачи существенно зависит от удачного выбора ор-тонормированной системы {г } ,1. С этой точки зрения среди известных классических систем, ортонормироваппых на дискретных множествах, обращает на себя внимание система функций Мейкснера (1). В самом, деле, если мы положим v = 0(h), то из асимптотических результатов, установленных в работах И.И.Шарапудинова [37], [50], [54] для полиномов Мейкснера т (х) следует, что функция при 0 kh 4i/ + 2a + 2 ведет себя примерно как (&/ш)-1/4. Другими словами, при к —У h(Av + 2a + 2) фи{к) не может приближаться к нулю по порядку быстрее, чем (/г/и/)-1/4. В этом смысле функция фи(к) = fi (kh,h) является медленно стремящейся к нулю при к — N — 1 h{Av + 2a + 2). Вместе с тем следует отметить, что функции фи{к) = fi (khji) (v = 0,1,...), как это вытекает из (1) и (3), образуют ортонормированпую систему на бесконечной сетке {0,1,..-}. Следовательно, коэффициенты Фурье функции / = f{k) по системе {фі/(к) = fi (kh, /г)}?_0 имеют вид поэтому функция /, заданная первоначально на конечном множестве {0,1,..., iV — 1}, должна быть продолжена на все множество {0,1,...} с сохранением свойств гладкости, которыми она обладала на {0, \,...N — 1}. Тогда, на первый взгляд может показаться, что вычисление коэффициентов /п по формуле (9) потребует слишком большой объем вычислений. Но это не так. В самом деле, из весовых оценок для многочленов Мейкснера тп (х), установленных в работах [37], [50], [54] следует, что при к 3/2/г(4тг + 2a + 2) имеет место оценка фп(к) = 0(e kh 4). Кроме того, мы можем считать, например, что при 3(JV -1)/2 к имеет место оценка /(&) = Q(e kh/2).

Смешанные ряды по полиномам Мейкснера

В работе исследуются смешанные ряды по полиномам Мейксне-ра, ортогональным на равномерной сетке, изучаются их частичные суммы и аппроксимативные свойства этих сумм. Также рассматривается функция Лебега частичных сумм Фурье-Мейкснера. 1) Построить смешанные ряды по полиномам Мейкснера, ортогональным на бесконечной равномерной сетке и изучить их свойства. 2) Исследовать частичную сумму смешанного ряда. 3) Получить оценки сверху отклонения частичной суммы смешанного ряда от дискретной функции, заданной на равномерной сетке и принадлежащей пространству І2,р 4) Получить оценки сверху отклонения конечных разностей частичной суммы ряда от дискретной функции. 5) Получить оценки сверху функции Лебега сумм Фурье-Мейкснера. Общие методы исследования. В диссертации применяются общие методы теории функций и функционального анализа, а также методы ортогональных многочленов. Научная новизна. Вводятся новые-смсшаииые ряды по полиномам Мейкснера, ортогональным на бесконечной равномерной сетке, и исследуются их аппроксимативные свойства. Главным преимуществом этих новых ("смешанных") рядов, по сравнению с рядами Фурье, является то, что их частичные суммы являются хорошим аппаратом для одновременного приближения дискретных функций из І2 р и их конечных разностей (разностных производных). Практическая ценность. Полученные в работе результаты могут быть использованы в некоторых вопросах теории приближений и численного анализа, при построении смешанных рядов по различным классическим полиномам. Они могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов. Апробирование работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались: па ежегодных научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (1999-2ООЗг), на Воронежской зимней математической школе (2003г.), на конференции профессорско-преподавательского состава ДГПУ (2003г.), на 6-й Казанской международной летней школе-конференции (2003г.), в Дагестанском научном центре (2003г.), на Саратовской зимней математической школе (2004г). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 60 наименований. Общий объем работы 103 страницы компьютерного набора. В диссертации рассмотрены некоторые вопросы приближения непрерывных функций, заданных на полуоси [0, со) и дискретных функций, заданных на сетке lh = {0,/t,2/i, ...},(/i 0), суммами Фурье по функциям Мейкснера lin(x) - fin{x, h) = m%,h(x)e x/2, (1) образующим ортонормированную систему на множестве 0, с весом ф) = ф, a, h) = Г( + + 1} (1 - е "Г, (2) Здесь т"(ж) (п = 0,1,...) - ортоиормироваиные полиномы Мейкс-пера, которые определяются равенством а многочлены Мейкснера М(х), в свою очередь, определяются равенством в котором &п -фиксированное число, q ф О, При от -1 многочлены М"(х) ортогональны на сетке П — Z+ — {0,1,...} с весом р(х), т.е. Мы начнем с рассмотрения некоторых прикладных вопросов, которые привели к идее об использовании функций Мейкснера /л"(ж) в задаче приближения дискретных функций / = f(x), заданных на Slh и медленно стремящихся к нулю при х — оо. В настоящее время все более широкое применение при решении многих теоретических и практических задач находят дискретные преобразования Фурье по дискретным ортонормированным системам (базисам). Результатом прямого применения каждого из этих преобразований является конечная последовательность коэффициентов { ) =0 результате обратного преобразования, исходная дискретная функция g(t)

Оценка функции Лебега сумм Фурье-Мейкснера

Часто применяемый на практике спектральный метод сжатия состоит в том, что вместо вектора д по сети передается вектор коэффициентов д = (дП1, —дПт)) гДе т существенно меньше, чем N. При этом считается, что если к пт и к . {п\, ...,nm}, то д% = 0. Иными словами, считается, что среди gk{k — 0,..., N — 1) имеется несколько коэффициентов дпіі "і9пті несущих основную нагрузку, а все остальные настолько малы по абсолютной величине, что их совокупный вклад для восстановления функции д — g(t) по формуле (5) пренебрежимо мал. Однако, это предположение далеко не всегда выполняется, если исходная дискретная функция д = g(t) не является "гладкой" в определенном смысле. Часто встречается ситуация, когда для к — N — 1 коэффициент д% приближается к нулю очень медленно, но при этом новая дискретная функция /(&) = 9к (к Є {0,1,..., iV — 1}) является существенно более "гладкой" чем исходная функция g(t) в том смысле, что если через значения f(k) (к — 0,..., ЛГ — 1) провести плановую кривую (сплайн), то в пей содержится значительно меньшее число резких колебаний, чем в аналогичной кривой для g(t). Поэтому возникает идея "сжимать" спектральным методом функцию / = f(k) (к = О,1,..., N — 1).

Пусть {Vv}i/=b - подходящая ортонормированная система на множестве {0,..., N — 1}. Тогда Предположим, что для восстановления функции / = f(k) с заданной точностью достаточно сохранить коэффициенты fu\4" tfvm і гДе m существенно меньше, чем N. Тогда вместо исходной дискретной функции g(t) мы можем передать по каналам связи вектор (Л-и ...,/i/m) значительно меньшего размера, а декодирующее приемное устройство сначала приближенно восстановит функцию /(к) при всех к = 0,...., N — 1 по формуле приближенно восстановит функцию g(t). Успешное решение описанной выше задачи существенно зависит от удачного выбора ор-тонормированной системы {г } ,1. С этой точки зрения среди известных классических систем, ортонормироваппых на дискретных множествах, v = 0(h), то из асимптотических результатов, установленных в работах И.И.Шарапудинова [37], [50], [54] для полиномов Мейкснера т (х) следует, что функция при 0 kh 4i/ + 2a + 2 ведет себя примерно как (&/ш)-1/4. Другими словами, при к —У h(Av + 2a + 2) фи{к) не может приближаться к нулю по порядку быстрее, чем (/г/и/)-1/4. В этом смысле функция фи(к) = fi (kh,h) является медленно стремящейся к нулю при к — N — 1 h{Av + 2a + 2). Вместе с тем следует отметить, что функции фи{к) = fi (khji) (v = 0,1,...), как это вытекает из (1) и (3), образуют ортонормированпую систему на бесконечной сетке {0,1,..-}. Следовательно, коэффициенты Фурье функции / = f{k) по системе {фі/(к) = fi (kh, /г)}?_0 имеют вид поэтому функция /, заданная первоначально на конечном множестве {0,1,..., iV — 1}, должна быть продолжена на все множество {0,1,...} с сохранением свойств гладкости, которыми она обладала на {0, \,...N — 1}. Тогда, на первый взгляд может показаться, что вычисление коэффициентов /п по формуле (9) потребует слишком большой объем вычислений. Но это не так. В самом деле, из весовых оценок для многочленов Мейкснера тп (х), установленных в работах [37], [50], [54] следует, что при к 3/2/г(4тг + 2a + 2) имеет место оценка фп(к) = 0(e kh 4). Кроме того, мы можем считать, например, что при 3(JV -1)/2 к имеет место оценка /(&) = Q(e kh/2). (Возможность " гладкого" продолжения функции f(k) с {0, l,...,iV— 1} на {0,1,...,} с соблюдением условия f(k) = 0(e_fcfl/2) может быть обоснована без особого труда). Итак, если d = [h(An + 2a + 2)], где [7] - целая часть 7 d 3/2max{7V — Вычисляя конечную сумму S\, мы найдем значение коэффициента fn с необходимой точностью. Перейдем теперь к более подробному описанию содержания диссертации. Она состоит из настоящего введения и двух глав. В первой главе вводятся в рассмотрение новые-смешанные ряды по полиномам Мейкснера и исследуются их аппроксимативные свойства. Остановимся на более подробном описании результатов этой главы. Пусть а — 1, 0 (7 1, функция р(х) = p(x,a,q) определена равенством (2 ). Для двух функций d и д, заданных на множестве Z+ = {0,1,... }, мы определим скалярное произведение

Оценка функции ^n,N{x) на Gz и G

Из неравенства (27) видно, что полином ASgn(d,x) приближает функцию Ad(x) в метрике постранства \ч не лучше, чем полином SqTl_1(Ad, х). Более того, из (22) и (26) следует, что полином ASqn(d,x) приближает функцию Ad(x) в точке х = 0 n-раз хуже (по порядку), чем полином Sq,n i(Ad,х), который является полиномом наилучшего приближения к функции Ad(x) в метрике пространства І2,р- Это означает, что суммы Фурье-Мейкснера Sgn {d x) не являются хорошим аппаратом, пригодным для одновременного приближения дискретных функций из І2,р и их конечных разностей (разностных производных). Это обстоятельство побудило пас ввести новые ряды по полиномам Мейксиера, лишенные указанного недостатка, которые мы назвали смешанными рядами по полиномам Мейксиера.

Определение смешанных рядов основывается на разложении г-той конечной разности исходной функции в ряд по полиномам Мейксиера и последующем г-кратном суммировании полученного разложения. Остановимся более подробно на этом определении.

Пусть г 1, П(г) {-г, -г + 1,... , О,1,... }, 0 ? 1, а -1, р — р(х) p(x;a,q). Рассмотрим дискретную функцию d — d{x), заданную на П(г) и такую, что на множестве Q(0) она принадлежит пространству І2,р. Тогда функция d{x) — d{x — г) определена на Z+ и принадлежит пространству 1ълР. Вместе с d(x) пространству І2,р принадлежит также функция b(x) — Ard(x) = Ard(x — г). Поэтому мы можем определить коэффициенты Фурье-Мейкснера этой функции

Общий член смешанного ряда по полиномам Мейксиера иолуча-ется в результате умножения числа -,, а/ Дт; на полином Мейксиера вида M" (x,q). Отсюда и название смешанный ряд. Прежде, чем перейти к точному определению смешанного ряда, мы сформулируем следующий результат, установленный в главе 1.

Теорема 1.4.1. Пусть г 1, П(г) = {—г, —г + 1,... ,0,1,... }, 0 5 1, а — 1, р = р(х) = p(x\a,q), d = d(x) - дискретная функция, заданная на Щг) и такая, что на множестве Q{0) она принадлежит пространству l p, d(x) = d(x — г). Тогда

Правую часть равенства (29) мы будем называть смешанным рядом по полиномам Мейксиера. Отметим еще раз, что этот ряд составлен по полиномам Мейксиера M (x,q), которые при a — г — 1 не являются ортогональными, И тем не менее аппроксимативные свойства смешанных рядов по полиномам Мейксиера Mb+r(x,q), в ряде важных задач, оказались лучше, чем соответствующие аппроксимативные свойства рядов Фурье по полиномам Мейксиера Mg (х, q).

Для изучения аппроксимативных свойств смешанных рядов по полиномам Мейкснера мы рассмотрим частичную сумму ряда (29), которую обозначим через n+r,q{d). Пусть а — 1, 0 g 1, р(х) = p(x,a,q), г 1, d : Гї(г) — М, d = d{x) — d(x — г), d Є І2іР- Тогда мы можем определить смешанный ряд (29).

Похожие диссертации на Смешанные ряды по полиномам Мейкснера

Тригонометрические ряды и полиномы с неотрицательными частными суммами Белов Александр Сергеевич

Аппроксимативные свойства смешанных рядов по полиномам ЛагерраПирметова, Саида Ямудиновна

Ряды Фурье по ортогональным полиномамОсиленкер, Борис Петрович