Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Тригонометрические и функциональные ряды с неотрицательными частными суммами . 58
1.0. Постановка задач и история их возникновения 58
1.1. Основные идеи оценки сверху коэффициентов функциональных рядов с условиями неотрицательности частных сумм 61
1.2. Об оценках коэффициентов тригонометрических косинус-рядов с неотрицательными частными суммами 70
1.2.1. Основные результаты 70
1.2.2. История результатов 79
1.2.3. Неулучшаемость результатов 81
1.2.4. Основные идеи получения оценок сверху частных сумм тригонометрического ряда через оценки снизу 91
1.3. О тригонометрических косинус-рядах с монотонными коэффициентами и равномерно ограниченными снизу частными суммами 97
1.3.1. Определения. Обозначения. Основные результаты 97
1.3.2. Необходимые и достаточные условия 108
1.4. О коэффициентах тригонометрических рядов с неотрицательными частными суммами 117
1.4.1. Постановка задачи, формулировка результатов и обсуждение 117
1.4.2. Доказательства теорем 1.4.1 и 1.4.2 и следствия 1.4.1..120
1.4.3. О поведении частных сумм тригонометрического ряда с неотрицательными частными суммами 124
1.5. О неулучшаемости доказанных оценок сверху частных сумм тригонометрического ряда через оценки снизу 129
1.6. О тригонометрических рядах с неограниченными снизу частными суммами 137
1.6.1. Постановка задачи и история вопроса. Формулировка и обсуждение основного результата 137
1.6.2. Доказательство основной теоремы параграфа 141
1.7. О тригонометрических рядах с неотрицательными частными суммами, которые не являются рядами Фурье-Лебега 147
1.7.1. Постановка задачи, формулировка результатов и обсуждение 147
1.7.2. Доказательство теорем 1.7.2 и 1.7.3 150
1.8. О тригонометрических рядах с лакунами, неотрицательность частных сумм которых означает, что они являются рядами Фурье-Лебега 160
1.8.1. Формулировка результатов и обсуждение 160
1.8.2. Доказательство теоремы 1.8.1 161
1.8.3. Доказательство теоремы 1.8.2 162
1.9. О переносе основного результата на
кратные тригонометрические ряды 162
1.10. Об одной экстремальной задаче 164
1.11. Об оценках коэффициентов конкретных функциональных
рядов с неотрицательными частными суммами 170
ГЛАВА 2. О примерах тригонометрических рядов с неотрицательными частными суммами 177
2.0. Введение. Основной результат. История вопроса 177
2.1. Обозначения и формулировка результатов 181
2.2. Обозначения и некоторые тождества 186
2.3. Основная идея метода оценки снизу частных сумм тригонометрического косинус-ряда с монотонными коэффициентами 191
2.4. Доказательство теоремы 2.1.2 200
2.5. Метод оценки снизу частных сумм специальных тригонометрических рядов 206
2.6. Доказательство теоремы 2.0.1 213
ГЛАВА 3. Об экстремальных задачах, связанных с неотрицательными тригонометрическими полиномами 223
3.0. Введение. Постановка задачи 223
3.1. Основные результаты. Формулировки и обсуждение 224
3.2. Доказательство теоремы 3.1.1 230
3.3. Схема доказательства теоремы 3.1.2 233
3.4. Доказательства лемм 3.3.2 и 3.3.3 235
3.5. Доказательства леммы 3.3.4 238
3.6. Доказательства леммы 3.3.5 242
3.7. Доказательства теорем 3.1.2 и 3.1.3 и следствия 3.1.3 245
3.8. Доказательства следствий 3.1.1 и 3.1.2 247
3.9. Доказательство и обсуждение теоремы 3.1.4 259
Литература 265
- Основные идеи оценки сверху коэффициентов функциональных рядов с условиями неотрицательности частных сумм
- О поведении частных сумм тригонометрического ряда с неотрицательными частными суммами
- Основная идея метода оценки снизу частных сумм тригонометрического косинус-ряда с монотонными коэффициентами
- Основные результаты. Формулировки и обсуждение
Введение к работе
\ 4 Ь^^/
Актуальность темы. Неотрицательные тригонометрические полиномы и тригонометрические ряды с неотрицательными частными суммами являются объектом математических исследований, по меньшей мере, на протяжении последних девяноста лет. Исследования Л. Фейера, Н. Штейнгауза, Д. Джексона, Т. X. Гронуолла, У. X. Юнга, У. Рогозинского, Г. Сегё, П. Турана, А. Сельберга, С. Човла, Й. Катц-нельсона и других, посвященные этой тематике, давно стали классическими (см. монографии [Zl,2], [Bl], [Е1]). Важность изучения неотрицательных тригонометрических полиномов не вызывает сомнений. Например, значение для теории функций неотрицательных тригонометрических полиномов, получивших название ядер Фейера, широко известно. Однако, несмотря на достаточно продолжительные и постоянные исследования в этой тематике остается еще много неизученных вопросов, представляющих несомненный интерес. Настоящая диссертация продолжает классические исследования в этой области математики.
Оценки коэффициентов тригонометрического ряда через оценки снизу его частных сумм начали изучаться довольно давно. В 1965 г. С. Човла в работе [С1] опубликовал результат, принадлежащий, как он пишет, А. Сельбергу и утверждающий, что если последовательность неотрицательных чисел {a*}*Lo удовлетворяет условию
m a/, cos(kx) > О для всех х и га =1,2,..., (1)
" ак=0( п'-+') для всех є > О. (2)
В частности, если неотрицательная последовательность {a*}Li монотонно стремится к нулю и верно (1), то
о„ = О (п-а+') для всех є > 0. (3)
Здесь постоянная а Є (0,1) является единственным корнем уравнения
f3ir/3
Га со8<А = 0\ (4)
Постоянная а = 0,308... , хорошо известна в теории тригонометрических рядов и введена в работе К. Грандьота, В. Ярника, Б. Ландау и Дж. Е. Литтлвуда [G2], опубликованной в 1929 году.
_1_ ОС НАЦИОНАЛЬНА*!
і СПетервург гту- і
М. и Ш.-И. Изуми [II] обобщили теорему Сельберга, заменив условие вида (1) на условие
2j ак cos{k ж) > -С mfi для всех х и п=1,2 (5)
Они доказали, что если последовательность неотрицательных чисел WlltLo Для некоторых /З є [0,1) и С > 0 удовлетворяет условию (5), то J2nLi " "7-1 < Для всех 7 < min{l - /3, а) .
М. И. Дьяченко [D2] в 1984 г. другим методом доказал частный случай теоремы Сельберга.
Човла [С1] рассмотрел также случай, когда условие (1) заменяется на условие
2^fc_6 а*/(*х) > 0 для всех х и га = 1,2,..., (6)
где функция / периодическая с периодом 1 и f(x) — 1 - 6х(1 - х) при х Є [0,1]. В этом случае для неотрицательной последовательности {a*}]tLo он также получил соотношение вида (2), но вместо а в этом случае следует взять число а/ = 2 — \/3. Отметим, что
2 + 5^*" к~а cos(Jtx) > 0 при всех ж и т = 0,1,2, (7)
С некоторой абсолютной постоянной вместо конкретного числа 2 неравенство (7) хорошо известно (см. [Z1, с. 307 и 592]) и, согласно А. Зигмунду, принадлежит Е. Литтлвуду, Р. Салему и М. Изуми. Из оценки (7) сразу вытекает, что соотношения (2) и (3) при < 0 уже могут не иметь места. Поэтому возникает вопрос о справедливости сформулированных выше результатов при е = 0.
Таким образом, приведенные результаты показывают необходимость дальнейших исследований: нахождение оценок, желательно не-улучшаемых, на коэффициенты (}^ при заданных условиях вида (1), (5) или (6).
Отметим также результат X. Хелсона [Ш], коюрый уїверждаег, Что если частные суммы
m (a/(Cos(*x) + bkdn(kx)), in > 0 , (8)
тригонометрическою ряда
(ак coa(kx) + Ьк sin(kx)) (9)
ограничены в метрике пространства I2r, в частности, если все они неотрицательны, то коэффициенты ряда (9) стремятся к нулю. Более того, в этом случае Салем и Зигмунд (см. [Z1, с. 456 и 597]) получили также неулучшаемую в порядковом отношении оценку роста 0(п/1пт») для суммы модулей первых п коэффициентов тригонометрического ряда (9). Эти результаты, а также исследования У. Дарсоу [D1], СВ. Конятина [К4] и других показывают необходимость получения оценок коэффициентов тригонометрического ряда или аналогичного функционального ряда, когда функция cos заменяется на достаточно произвольную функцию /, через равномерные оценки снизу частных сумм этого ряда. В частности, если все частные суммы тригонометрического ряда (9) неотрицательны, то что тогда можно сказать о коэффициентах ряда (9), о самом ряде (9) и о порядке роста различных норм его частных сумм, а также о сопряженном ряде? Аналогичные задачи, естественно, возникают и для кратных тригонометрических и функциональных рядов.
В 1953г. Туран (см. [В1, с. 239-242]) построил тригонометрический ряд по косинусам, все коэффициенты и все частные суммы которого положительны, но который не является рядом Фурье функции с интегрируемым квадратом. С другой стороны, в 1965г. Катцнельсон [К2] дал отрицательное решение проблемы Штейнгауза-Литтлвуда: он построил тригонометрический ряд, все частные суммы которого положительны на прямой, но который не является рядом Фурье-Лебега. Заметим, что среди коэффициентов построенного им ряда бесконечно много и положительных и отрицательных. В связи с этими результатами автор в статье [2 ] поставил вопрос: обязан или нет тригонометрический ряд по косинусам, у которого все частные суммы неотрицательны на прямой и все коэффициенты также неотрицательны, быть рядом Фурье? Этот вопрос интересен также потому, что, как следует из результата П. Л. Ульянова [U1], если все частные суммы тригонометрического ряда по косинусам неотрицательны и его коэффициенты монотонны, то он обязан быть рядом Фурье; более того, М. И. Дьяченко [D2] показал, что в этом случае он обязан быть рядом Фурье некоторой функции из L\v ПРИ всех 1 < Р < 1 + 2/(Зтг). Поэтому возникает задача выяснить важность условия монотонности коэффициентов в этом утверждении.
Исследованию частных сумм тригонометрического ряда на неотрицательность на некотором заданном промежутке посвящено довольно много работ. Пусть {а*}10 - произвольная последовательность действительных чисел. При всех целых неотрицательных п и
действительных х через
5"(*) = ELак сов^' &(*)=Е1=оа* 8in(*x) (10)
будем обозначать частные суммы, соответственно, косинус-ряда и синус-ряда
Известно, что Л. Фейер в 1910 г., как предположение, высказал утверждение:
E*-i ^jr^ > "Ри всех * Є (0, аг) и п > 1. (12)
В 1911 году Д. Джексон [Л] и в 1912 году Т. X. Гронуолл [G3] опубли
ковали доказательства этого утверждения. Затем появилось доволь
но много различных доказательств утверждения (12) разных авторов.
Дал свое доказательство и Фейер [F1]. Очень короткое доказательство
предложил Е. Ландау [LI], [Z1, с. 106]. Оригинальное доказательство
утверждения (12) и некоторых его обобщений принадлежит П. Тура-
ну [ТІ], [Т2]. Еще одно короткое доказательство предложили Р. Аски,
Ж. Фитч и Г. Гаспер [А2]. Ч
В 1912 году У. X. Юнг [Y1] доказал, что при /? = 0 сумма 1
5"(/3'г) = гЬ + ^ХГ^>0 при *1'*> и »>- (13)
У. Рогозинский и Г. Cere [R1] в 1928 г. установили (13) при /З є (-1,1] и заметили, что есть такая постоянная / > 1, что (13) верно при всех /? Є (-1, /), а при /? > /Зо найдется номер п и точка х такие, что Sn(0,x) < 0. При /? = / можно лишь утверждать, что Я„(/3,х) > 0 при п > 0. Г. Гаспер [G1] в 1969 г. определил константу / как корень алгебраического уравнения и вычислил, что / = 4,5678.... По поводу оценок (12) и (13) можно также посмотреть [Р1, с. 89-90, 290-292].
В 1958 году Л. Вьеторисом [VI] (см. [A3]) доказана следующая теорема, содержащая в себе как частный случай некоторые из приведенных выше результатов: если {ak}j*L0 - невозраствющая последовательность неотрицательных чисел, aj > 0 и
2Aa2A <(2*-l)a2jt_i при *>1, (14)
то в обозначениях (10) верны утверждения
S„(x)>0 при всех жЄ(0,іг) и п>1 (15)
S„(x) > 0 при всех х Є [0, я-) и п > 0. (16)
Из теоремы Вьеториса вытекает и (12), и (13) при всех р Є (—1,0].
В 1984 году Г. Браун и Е. Хьюитт [В2] обобщили теорему Вьеториса, доказав следующую теорему: если {
в2* = <»2*+i при всех к > 1, (17)
S2n-i(x) > 0 при всех х є (0, »г) и п > 1, (18)
и S2n(x) > 0 при всех х Є (0,7Г - п/(2п)] и п > 1. В работах [В2] и [А1] в формулировке этой теоремы отсутствует условие (17). Поэтому обратим внимание на то, что без условия (17) неравенства (18) могут не выполняться. Отметим, что применяемый в упомянутых выше работах метод доказательства утверждений вида (15) и (16) (см. (В1, с. 239-242], [A3], [В2]) использует или специфический вид сумм (10), или знание поведения сумм рядов (11) для некоторых имеющих специфический вид коэффициентов.
Изложенные результаты делают интересной задачу получения как необходимых, так и достаточных условий для того, чтобы все частные суммы тригонометрического косинус-ряда с монотонными коэффициентами были неотрицательны на прямой. Аналогичная задача возникает и для синус-ряда с монотонными коэффициентами на интервале (0, я-).
В последние 20 лет усилился интерес к изучению свободного члена неотрицательного тригонометрического полинома при различных условиях на коэффициенты полинома. Для у > 1 обозначим
А'(7) = infj - mjn Y1=1 а* «*»(**) } . (19)
где нижняя грань берется по всем действительным {«*}fcLi таким, что либо о* = 0, либо а/, > J и ]C*LiQ* = 7- При натуральном п
положим
М(п) = infj - mm ]Г~_ а„ coe(fcx) \ , (20)
где нижняя грань берется по всем действительным {а*}^! таким, что либо Qfc == 0, либо afc > 1 и число тех к, для которых Ctk > 1, равно п. Величины (19) и (20) рассматривал A.M. Одлыжко [01], который показал, что К(у) = 0((7^17)1^4) и М(п) = 0((n\nn)ll3).
Пусть п - натуральное число. Через Т+ обозначим множество всех тригонометрических полиномов вида
зд = ;С*=0 «*«(**) (2i)
с действительными коэффициентами, которые удовлетворяют условию Т„(х) > 0 при всех х, т.е. неотрицательных на всей прямой. При каждом натуральном п обозначим через Wn совокупность всех тригонометрических полиномов Т„ Є Т+ таких, что а* > 1 при всех Jfc = 1,..., n. Определим величину
М(п) = min{ во : Т„ Є W„ } . (22)
Минимум в экстремальной задаче (22) существует. Ясно, что М(п) < М{п) при всех натуральных п. СВ. Конягин [К5] доказал, что М(п) х М{п) х Inn при п > 2.
В силу приведенных результатов представляется интересной задача дальнейшего изучения функций (19), (20) и (22); в частности, порядковое решение экстремальной задачи (19), точное решение экстремальной задачи (22), исследование свойств соответствующих экстремальных полиномов, решение аналогичных экстремальных задач при дополнительных условиях на коэффициенты и так далее. Цель работы. Изучение тригонометрических и, более общо, функциональных как рядов, так и полиномов, все или только некоторые частные суммы которых неотрицательны на прямой или заданном заранее промежутке. Основное внимание уделено следующим задачам.
1. Для тригонометрического полинома с неотрицательными на прямой или заданном интервале частными суммами получить точную по порядку оценку коэффициентов или различных функций от коэффициентов, например,, сумм коэффициентов. Рассмотреть аналогичную задачу в более общем случае, когда для тригонометрического полинома или ряда задайы равномерные оценки снизу его частных сумм. Получить в этом случае равномерную оценку сверху для его частных сумм.
2. Выяснить вопрос существования тригонометрического ряда по
косинусам с положительными коэффициентами и положительными
частными суммами, который не являлся бы рядом Фурье-Лебега.
3. Получить достаточно общее и одновременно достаточно простое
условие на коэффициенты тригонометрического ряда по синусам с за
данными монотонными коэффициентами для того, чтобы все его част
ные суммы были положительны на интервале (0, п).
4. Точно решить экстремальную задачу о минимуме свободного члена
неотрицательного тригонометрического полинома по косинусам, все
коэффициенты которого не меньше единицы.
Методы исследования. Применяются как известные методы и результаты теории функций, так и новые методы, развитые в работе на основе понятий теории функций и функционального анализа. Характерной особенностью разработанных методов является то, что получаемые в диссертации на их основе результаты точны в том или ином смысле.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и получены новыми методами. Получена неулучшаемая равномерная оценка сверху для тригонометрического полинома и неулуч-шаемые оценки коэффициентов тригонометрического полинома через равномерную оценку снизу его частных сумм. Доказано существование тригонометрического ряда по косинусам с неотрицательными коэффициентами и положительными частными суммами, который сходится к нулю почти всюду и, в частности, не является рядом Фурье-Лебега. Найдены необходимые и достаточные условия на монотонные коэффициенты тригонометрического ряда по синусам для того, чтобы все его частные суммы были положительны на интервале (0, ж). Дано точное решение экстремальной задачи о минимуме свободного члена неотрицательного тригонометрического полинома по косинусам заданной степени, все коэффициенты которого не меньше единицы. Указаны приложения этого результата:
Теоретическая и практическая ценность. Основные результаты диссертации носят теоретический характер. Разработанные в ней методы и полученные результаты могут найти применение в теории тригонометрических рядов, в теории функций при исследовании локализации нулей тригонометрического полинома, при оценке минимума в теории экстремальных задач на множестве неотрицательных тригонометрических полиномов.
Апробация работы. Результаты диссертации и развитые в ней методы докладывались на научно - исследовательском семинаре по те-
ории функций действительного переменного в МГУ (руководители: П.Л. Ульянов и Б.С, Кашин) в 1992 и 2003 годах; на семинаре по теории функций действительного переменного в МГУ (руководители: В.А. Скворцов, Т.П. Лукашенко и Л.А. Балашов) в 1992 г.; на семинаре по теории функций в МГУ (руководители: СВ. Конягин, В.Б. Демидович и А.С. Кочуров) в 2002 г.; на математической школе по современным проблемам теории функций в г. Иркутске в 1987 г.; на математической школе по теории функций в г. Одессе в 1991 г.; на математических школах - конференциях по теории функций в г. Саратове в 1994, 1996 и 1998 годах; на математических школах - конференциях по теории функций в г. Воронеже в 1993, 1995 и 2003 годах; на международной конференции "Функциональный анализ, теория приближений, нелинейный анализ" в г. Москве в 1995 году.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 18 работах автора, список которых (см. [1] - [18]) приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, которые разбиты, соответственно, на 12, 7 и 10 параграфов, и списка литературы, содержащего 59 наименований. Объем диссертации - 269 страниц.
Основные идеи оценки сверху коэффициентов функциональных рядов с условиями неотрицательности частных сумм
Таким образом, даже если предполагать заранее, что коэффициенты ряда (75) удовлетворяют условию (76), то условие (48) в теореме 1.3.3 нельзя заменить на условие (70) так, чтобы выполнялось (71).
Штейнгаузом (см. [ТЗ], [HI], [В1, с. 236]) и Литтлвудом (см. [W1], [К2], [Е1, с. 100]) был возбужден интерес к следующему вопросу: обязан ли тригонометрический ряд, у которого все частные суммы неотрицательны на прямой, быть рядом Фурье? Поэтому в [Е1, с. 100] эта задача названа проблемой Штейнгауза-Литтлвуда.
В 1953г. Туран [ТЗ] (см. [В1, с. 239-242]) построил тригонометрический ряд, все частные суммы которого положительны на прямой, но который не является рядом Фурье функции с интегрируемым квадратом. В связи с этим отметим (см. (24)), что все частные суммы ряда положительны на прямой, но этот ряд не является рядом Фурье функции с интегрируемым квадратом.
С другой стороны, в 1954г. Хелсон [HI] (см. также [В1, с. 236-239]; [Z1, с. 453]) доказал, что если частные суммы тригонометрического ряда ограничены в метрике пространства L2TT, ТО коэффициенты этого ряда стремятся к нулю. Более того, в этом случае Салем и Зигмунд (см. [Z1, с. 456 и 597]) получили также неулучшаемую в порядковом отношении оценку роста 0(п/\пп) для суммы модулей первых п коэффициентов тригонометрического ряда. В 1959г. М. Вейс [W1] показала, что существует тригонометрический ряд, который не является рядом Фурье, т.е. Фурье-Лебега, но частные суммы которого ограничены в метрике пространства L . Отметим, что если все частные суммы тригонометрического ряда неотрицательны на прямой, то его частные суммы ограничены в метрике пространства І тг, но обратное не всегда верно. Наконец, в 1965г. Катцнельсон [К2] дал отрицательное решение проблемы Штейнгауза-Литтлвуда: он построил тригонометрический ряд, все частные суммы которого положительны на прямой, но который не является рядом Фурье. Заметим, что среди коэффициентов . построенного им ряда бесконечно много и положительных и отрицательных. Отметим также, что все коэффициенты косинус-ряда (77) положительны. В связи с этими результатами автор [ВЗ, с. 18] поставил вопрос:
Обязан или нет тригонометрический ряд вида (35), у которого все частные суммы неотрицательны на прямой и все коэффициенты также неотрицательны, быть рядом Фурье? Оказывается, не обязан. Доказательство этого и является основной целью 1.7. В частности, будет доказана Теорема 1.7.1. Можно построить тригонометрический косинус-ряд с положительными коэффициентами вида (35), у которого все частные суммы положительны на прямой и который не является рядом Фурье-Лебега. В связи с этим результатом обратим внимание на то (см. следствие 1.3.2), что если коэффициенты ряда (35) неотрицательны и монотонно не возрастают и все его частные суммы неотрицательны на прямой, то он является рядом Фурье функции / Є L\ п при всех рб(1,1/(1 — )), где а = 0,308... - корень уравнения (9). Таким образом, коэффициенты ряда, который удовлетворяет теореме 1.7.1, не могут, начиная с некоторого места, быть монотонными. В 1.7 будет доказана даже более общая, чем теорема 1.7.1, Теорема 1.7.2. Можно построить тригонометрический ряд с неотрицательными коэффициентами вида (35), у которого все частные суммы положительны на прямой и который сходится к нулю почти всюду. Теорема 1.7.2 и является основным результатом 1.7. Довольно легко (см. пункт 1.7.1) видеть, что теорема 1.7.1 вытекает из теоремы 1.7.2. Подробное доказательство теоремы 1.7.2 и является основной целью 1.7. При наложении условий на некоторые параметры, которые используются в доказательстве теоремы 1.7.2, будет заложен определен -32 ный произвол в их выборе. Если эти параметры выбрать более специальным образом, то получится Теорема 1,7.3. Пусть (р - произвольная неотрицательная неубывающая функция, определенная на (0, +оо), такая, что р{у) — Ч-оо при v — +оо. Тогда можно построить такой ряд вида (35), который удовлетворяет всем требованиям теоремы 1.7.2 и В 1.8 речь идет о тригонометрических рядах с лакунами, неотрицательность частных сумм которых означает, что они являются рядами Фурье-Лебега. Полученный здесь результат дополняет теорему 1.7.3. Будем тригонометрический ряд записывать в комплексной форме где черта над числом — переход к комплексно-сопряженному числу. Теорема 1.7.3 означает, что тригонометрический ряд может иметь сколь угодно длинные лакуны и удовлетворять условиям теоремы 1.7.2, т.е. для произвольной неотрицательной неубывающей и стремящейся к бесконечности функции ip, определенной на (0, +оо), можно построить ряд вида (78), у которого все частные суммы положительны на прямой, который не является рядом Фурье-Лебега и, к тому же,
В 1.8 будет доказана довольно несложная теорема 1.8.2, которая дополняет теорему 1.7.3, показывая, что даже в случае редкой заранее заданной лакунарности не всегда возможно построить тригонометрический ряд с неотрицательными частными суммами, который обладает этой лакунарностью и который не является рядом Фурье-Лебега.
Теорема 1.8.2. Пусть при некотором натуральном q все, кроме конечного числа, коэффициенты ряда (78), индексы которых кратны q, равны нулю. Тогда, если у ряда (78) бесконечное число частных сумм неотрицательно на прямой, то тригонометрический ряд (78) является рядом Фурье неотрицательной ограниченной функции.
В 1.8 также показывается, что теорема 1.8.2 и ее доказательство легко переносятся и на кратные тригонометрические ряды вида (78), но в этом случае векторный индекс к считается кратным q, если все компоненты индекса к, как вектора, кратны q. Более того, вместо частных сумм в теореме 1.8.2 можно брать, если угодно, и средние произвольного метода суммирования Теплица.
О поведении частных сумм тригонометрического ряда с неотрицательными частными суммами
В частности, для того чтобы частные суммы ряда (1.6.2) были равномерно ограничены снизу, необходимо, чтобы последовательность {па an} Ll была ограничена, и достаточно, чтобы для некоторого целого неотрицательного числа т последовательность {(п + 7г)а ап} =1 была, начиная с некоторого места, певозраст,ающей.
Как уже подчеркивалось в 1.2, пример (1.6.3) показывает, что оценка (1.6.5) неулучшаема по порядку. В 1.3 также доказана (см., теорему 1.3.3) Теорема 1.6.2. Пусть последовательность неотрицательных чисел {ап}( =1 не возрастает и ап — 0{п 1) при п — со. (1.6.6) Тогда частные суммы ряда (1.6.2) равномерно ограничены снизу. В связи с теоремами 1.6.1 и 1.6.2 возникает вопрос о том, для каких положительных последовательностей {с„} _0 останется верной теорема 1.6.2, если условие (1.6.6) заменить на условие ап = 0{сп) при п — со. (1.6.7) Оказывается, если последовательность положительных чисел {сп} _0 удовлетворяет условию пс„.— со при п — со, (1.6.8) то условие (1.6.6) в теореме 1.6.2 заменить на условие (1.6.7) нельзя. Это показывает следующая (см. [ВЗ, теорема 6]) Теорема 1.6.3. Для любой последовательности положительных чисел {сп}? _о і которая удовлетворяет условию (1.6.8), можно построить монотонно стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел {an} L0 так, что (in сп при всех п 0, (1.6.9) функция на интервале (0,27г) непрерывна и неограничена ни снизу, ни сверху, и при всех рЄ(0,оо). (1.6.11) В частности, частные суммы ряда (1.6.10) не являются равномерно ограниченными снизу. Напомним, что последовательность {ап} =о называется выпуклой, если А2 ап 0 при всех п 0 . Если последовательность {an} L0 выпукла и стремится к нулю, то она монотонно не возрастает и для функции (1.6.10) справедливо представление f{x) = ± anSi n + l 2) п—0 2sin (a:/2) В частности, в этом случае функция (1.6.10) неотрицательна на прямой. Поэтому возникает вопрос о том, можно ли ослабить условие (1.6.6) в теореме 1.6.2, заменяя его на условие (1.6.7), если заранее предполагается, что последовательность {ап} _0 являются выпуклой. Оказывается, этого также сделать нельзя, поскольку верна (см. [В4, теорема 1]) Теорема 1.6.4. Для любой последовательности положительных чисел {сп} _0 , которая, монотонно стремится к нулю и удовлетворяет условию sup{ п сп : п 1} = оо, можто построить монотонно стремящуюся к нулю выпуклую последовательность положительных чисел {«п} =о так что выполнено (1.6.9), функция (1.6.10) положительна на прямой, f(x) — оо при х — 0, и справедливо (1.6.11), но частные суммы ряда (1.6.10) не являются равномерно ограниченными снизу. Цель этого параграфа — доказательство следующего основного результата. Теорема 1.6.5. Для любой последовательности положительных чисел {сп} _01 которая удовлетворяет условию (1.6.8), можно построить монотонно стремящуюся к нулю выпуклую последовательность положительных чисел {an} Lo так что А-7 ап 0 при всех j 1 и п 0, (1.6.12) - 140 выполнено (1.6.9), функция (1.6.10) положительна на прямой и анали-тична на интервале (0,27г), справедливо (1.6.11), но частные суммы ряда (1.6.10) не являются равномерно ограниченными снизу. Таким образом, даже если предполагать заранее, что коэффициенты ряда (1.6.2) удовлетворяют условию (1.6.12), то условие (1.6.6) в теореме 1.6.2 нельзя заменить на условие (1.6.7) так, чтобы выполнялось (1.6.8). 1.6.2. Доказательство основной теоремы параграфа. Цель этого пункта - подробное изложение построения последовательности положительных чисел {an} LQ , которая удовлетворяет условиям теоремы 1.6.5.
Основная идея метода оценки снизу частных сумм тригонометрического косинус-ряда с монотонными коэффициентами
Штейнгаузом (см. [ТЗ], [НІ], [В1, с. 236]) и Литтлву-дом (см. [W1], [К2], [Е1, с. 100]) был возбужден интерес к следующему вопросу: обязан ли тригонометрический ряд, у которого все частные суммы неотрицательны на прямой, быть рядом Фурье? Поэтому в [Е1, с. 100] эта задача названа проблемой Штейнгауза-Литтлвуда.
В 1953г. Туран [ТЗ] (см. [В1, с. 239-242]) построил тригонометрический ряд, все частные суммы которого положительны на прямой, но который не является рядом Фурье функции с интегрируемым квадратом. В связи с этим напомним результат, который Зигмунд (см. [Z1, с. 307 и 592]) приписывает Литтлвуду, Салему и Изуми: существует постоянная А 1 такая, что все частные суммы ряда положительны на прямой, но этот ряд не является рядом Фурье функции с интегрируемым квадратом. Можно (см. (1.2.50)) взять, например, А = 2.
С другой стороны, в 1954г. Хелсон [Hi] (см. также [В1, с. 236-239]; [Z1, с. 453]) доказал, что если частные суммы тригонометрического ряда ограничены в метрике пространства Ьчж то коэффициенты этого ряда стремятся к нулю. Более того, в этом случае Салем и Зигмунд (см. [Z1, с. 456 и 597]) получили также неулучшаемую в порядковом отношении оценку роста 0(п/1пп) для суммы модулей первых п коэффициентов тригонометрического ряда. В 1959г. М. Вейс [W1] показала, что существует тригонометрический ряд, который не является рядом Фурье, т.е. Фурье-Лебега, но частные суммы которого ограничены в метрике пространства L . Например, таким является ряд, полученный формальным раскрытием скобок в произведении
Отметим, что если все частные суммы тригонометрического ряда неотрицательны на прямой, то его частные суммы ограничены в метрике пространства L2n , но обратное не всегда верно.
Наконец, в 1965г. Катцнельсон [К2] дал отрицательное решение проблемы Штейнгауза-Литтлвуда: он построил тригонометрический ряд, все частные суммы которого положительны на прямой, но который не является рядом Фурье. Заметим, что среди коэффициентов построенного им ряда бесконечно много и положительных и отрицательных. Отметим также, что все коэффициенты косинус-ряда (1.7.1) положительны. В связи с этими результатами автор [ВЗ, с. 18] поставил вопрос:
Обязан или нет тригонометрический ряд вид у которого все частные суммы неотрицательны на прямой и все коэффициенты также неотрицательны, быть рядом Фурье? Оказывается, не обязан. Доказательство этого и является основной целью этого параграфа. В следующем пункте будет доказана Теорема 1.7.1. Можно построить тригонометрический косинус-ряд с положительными коэффициентами вида (1.7.2), у которого все частные суммы положительны на прямой и который не является рядом Фурье Лебега. В связи с этим результатом обратим внимание на то (см. [ВЗ, с. 18]; следствие 1.3.2), что если коэффициенты ряда (1.7.2) неотрицательны и монотонно не возрастают и все его частные суммы неотрицательны на прямой, то он является рядом Фурье функции / Є Lv2lx при всех р Є (1,1/(1 - а)), где а = 0,308 ... - корень уравнения Таким образом, коэффициенты ряда, который удовлетворяет теореме 1.7.1, не могут, начиная с некоторого места, быть монотонными. В действительности, будет доказана более общая, чем теорема 1.7.1, Теорема 1.7.2. Можно построить тригонометрический ряд с неотрицательными коэффициентами вида (1.7.2), у которого все частные суммы положительны на прямой и который сходится к нулю почти всюду. Теорема 1.7.2 и является основным результатом этого параграфа. Легко видеть, что теорема 1.7.1 вытекает из теоремы 1.7.2. Действительно, пусть ряд (1.7.2) - это ряд, который удовлетворяет теореме 1.7.2. Тогда ао 0 и ряд (1.7.2) почти всюду суммируется к нулю методом средних арифметических. Поэтому он не может быть рядом Фурье. Тогда положительные коэффициенты имеет косинус-ряд все его частные суммы положительны на прямой и он не является рядом Фурье, т.е. это ряд, который удовлетворяет теореме 1.7.1. Подробное доказательство теоремы 1.7.2 и является основной целью этого параграфа. При наложении условий на некоторые параметры, которые используются в доказательстве теоремы 1.7.2, будет заложен определенный произвол в их выборе. Если эти параметры выбрать более специальным образом, то получится Теорема 1.7.3. Пусть (р - произвольная неотрицательная неубывающая функция, определенная на (0,+оо), такая, что (p(v) — +оо при v — -boo. Тогда можно построить такой ряд вида (1.7.2), который удовлетворяет всем требованиям теоремы 1.7.2 и card{ п 1: n i;,an O} ip(v) при всех v О . Теоремы 1.7.2 и 1.7.3 доказываются в следующем пункте 1.7.2 этого параграфа. 1.7.2. Доказательство теорем 1.7.2 и 1.7.3. Для доказательства теорем 1.7.2 и 1.7.3 нам потребуются четыре леммы. Будем использовать обозначение
Основные результаты. Формулировки и обсуждение
Доказательство. Из (2.3.9), (2.3.8) и (2.2.12) сразу следует (2.3.10). Пусть m - наибольшее натуральное число такое, что т — 1/2 (4д - 1)тг/(2.г). Тогда т + 1/2 {Aq - 1)тг/(2.г). Из (2.3.9), (2.2.18) и (2.2.19), где надо взять п — т, вытекает, что Vm-\(x) — xM iq{x) 0. Если целое число п (4г/-1)7г/(2х)-3/2 то п. т-1, и в силу (2.3.1) получаем, что Vn(x) 1гш і(х) 0, т.е. оценка (2.3.11) доказана.
Пусть теперь выполнено (2.3.12) и q = 1. Тогда (2.3.9) совпадает с (2.3.12), а (2.3.11) с (2.3.13). Из (2.3.12), (2.3.6) и (2.3.7) получим, что дх{а) 0 при всех а 0. Отсюда и из (2.2.12) сразу следует (2.3.14). Случай знака " " совершенно аналогичен. Теорема 2.3.1 доказана.
Отметим, что (2.3.14) не вытекает непосредственно из (2.3.13) и (2.3.2). Из (2.3.13) в дальнейшем изложении будет получена оценка снизу для частных сумм синус-рядов.
В связи с теоремой 2.3.1 интересно обратить внимание на равенства (2.2.21), которые показывают, что в точках вида х = 37г/(2т + 1), где т - натуральное число, из условия (2.3.14) вытекает (2.3.12), для этого достаточно в следствии 2.2.2 выбрать п — т.
Теорема 2.3.1 выявляет роль функций (2.2.9) при четных п для получения оценок вида (2.3.14). В частности, теорема 2.3.1 утверждает, что из (2.3.12) вытекает (2.3.14). Таким образом, чтобы доказать, что в некоторой точке х Є (0,27г) все частные суммы ряда (2.0.2) положительны (неотрицательны), достаточно доказать, что число М(х) положительно (неотрицательно). Это и есть основная идея нашего подхода к получению оценок снизу частных сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами. Если к теореме 2.3.1 добавить еще несколько теорем, позволяющих доказывать (2.3.12) и (2.3.9), то получается довольно гибкий метод доказательства утверждений вида (2.0.5) и (2.0.6). Некоторые из этих теорем будут изложены далее (см., например, теорему 2.3.2). После этих предварительных замечаний о методе перейдем к дальнейшему изложению.
Доказательство теоремы 2.1.1. Теорема 2.1.1 является частным случаем теоремы 2.3.1, достаточно заметить только, что в силу (2.1.5) утверждение (2.1.7) при х = 0 очевидно, из (2.1.6) вытекает справедливость (2.3.12), а значит и (2.3.13), и (2.3.14) при всех х Є (0,7г), и утверждение (2.1.8) эквивалентно выполнению (2.3.13) при всех х Є (0,7г). Случай знака " " совершенно аналогичен. Теорема 2.1.1 доказана.
Лемма 2.3.2. Пусть у Є (0,7г). Тогда следующие три условия эквивалентны: 1) Vi(x) 0 при х Є ( р , 7г); 2) Vi(x) 0 при х Є Ь,тг); 3) а0 а\ и Viif) 0. В частности, условие Vi(x) 0 при всех х Є [ ,7г) (2.3.15) выполнено тогда и только тогда, когда а0 аг и Vi( p) 0. (2.3.16) Доказательство. Из условия 1), очевидно, следует 2). Из условия 2) вытекает, что Уі(7г) 0 и V\(y) 0, а это в силу (2.2.14) эквивалентно выполнению условия 3). Пусть теперь выполнено условие 3) и P(t) = -ао + (2а0 - cii)t + {аЛ - а2)(Ы - 4 3 ). Тогда из (2.2.14) следует, что V\(x) = и .P(l) = Vi(ir) = 2(cio — ЙІ) 0. Отсюда в силу выпуклости вверх многочлена P(t) на [0,1] и условий (2.1.5) получаем, что P(t) 0 при t Є (sin(v?/2), 1), т.е. условие 1). Эквивалентность условий (2.3.15) и (2.3.16) сразу вытекает из эквивалентности условий 1) и 3). Теорема 2.3.2. Пусть выполнены условия (2.1.5). Тогда следующие шесть утверэюдений эквиваленты: 1) М(х) 0 при х Є [37г/5 , ж) ; 2) М(Зтг/5) 0 и «о «і ; 3) УІ(Зтг/5) 0 « «о «і; 4) 52(Зтг/5) 0 и а0 сц ; 5) 4а0 ( 5-1)01 + ( /5 + 1) 6) Sn(x) 0 грм всеат « 0 м .г- Є [37т/5 , ж). При этом т,еорема останется справедливой, если в утверждениях 1)-6) одновременно знак " " заменить на знак " ". Доказательство. Из (2.2.20) и (2.2.13) следует, что 7гМ(7г) = 2(«о — «i). Поэтому из утверждения 1) вытекает 2). Утверждения 2), 3) и 4) в силу (2.2.21) эквивалентны. Утверждение 4) совпадает с 5). Пусть теперь выполнено любое, а значит и все, из эквивалентных утверждений 2)-5). Из (2.2.20) и 3) по лемме 2.3.2, где р = 37г/5, сразу получаем, что хМ{х) = \ \{х) 0 при х Є [37г/5 , 7г), т.е. верно 1). Следовательно, утверждения 1)-5) эквивалентны между собой. Из утверждения 1) и теоремы 2.3.1 немедленно вытекает утверждение 6). Наконец, из 6) сразу следует 4), поскольку 5і(7г) = а0 — а\ Случай знака " " совершенно аналогичен. Теорема 2.3.2 доказана полностью. Следствие 2.3.1. Пусть выполнены условия (2.1.5). Тогда следующие два утверждения, эквивалентны: 1) Si(x) 0 и So{x) 0 при всех х Є (0,7г); 2) аг ао и 2«2/йо 1 + (1 - k ( ai/flo )2 ) Более того, если верно утверждение 1), то Sn(x) 0 при всех п 0 и х Є [37г/5 , ж). Доказательство- Эквивалентность утверждений 1) и 2) очевидна, достаточно заметить, что Si(x) = aQ + «і t, So{x) = «о — a2 + ai + 2a2 2 , где t cosx Є [—1,1] и рассмотреть случаи: а\ 4«2 я ах 4а Пусть теперь верно утверждение 1). Тогда а0 — а і = S\{TT) 0 и 52(37г/5) 0. Предположим, что S-2(37r/5) = 0. Тогда и 52(37г/5) = 0. Из последних двух равенств находим, что ai/cio = (6\/о — 2)/11 1, что противоречит (2.1.5). Следовательно, 52(37г/5) 0, т.е. выполнено утверждение 4), а значит и 6), теоремы 2.3.2, что и доказывает следствие 2.3.1. В заключении этого параграфа несколько дополним основную теорему 2.3.1. Лемма 2.3.3. Если х 6 (0, 7г], то условие (2.3.14) выполнено тогда и только тогда, когда [(4/с-і)7г/2.г] (х) 0 при всех к 1 . (2.3.17) При этом лемма останется верной, если в (2.3.14) и (2.3.17) одновременно знак " " заменить на знак " . Доказательство. Из (2.3.14), очевидно, следует (2.3.17). Пусть х Є (0 , 7г) и 7 = 7г/(2а;). Тогда при п = 0,..., [7] имеем Sn(x) ао 0. Если к - натуральное число, то Sn-\(x) Sn(x) при п = [(Ак — 3)7] + 1,... , [(4/е - 1)7] и Sn{x) 5n i(.r) при п = [(4fc - 1)7] + 1, , [(4fc + 1)7]. Поэтому Sn{x) S[(4jb ih](a:) при п = [(4А; - 3)7],... , [(4fc + 1)7] Отсюда и из (2.3.17) сразу получаем (2.3.14). Случай знака " " совершенно аналогичен. Лемма 2.3.3 доказана.
