Гладкость сумм кратных тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами Антонов Алексей Петрович

Введение к работе

Актуальность темы

Одним из наиболее интересных классов тригонометрических рядов являются ряды с монотонными коэффицентами. Для общих тригонометрических рядов справедлива следующая теорема, доказанная Харди и Литтльвудом.

Теорема А.

а) Пусть функция /(х) имеет ряд Фурье ^ а_п(/)е^шх. Тогда если 1 <

neN^m

р < 2 и /(х) Є Ц(Т^т)_; то

Е м/)і^рП(и ^{+ 1}г²<Ф, )н/н?-

neN^m j=l

б) Пусть 2 < р < оо и числа {а_п}пєм^т таковы, что

/ т \¹/Р

\пєМ^т j=l J

тогда найдется /(х) Є L_p(T^m) такая, что для любого п Є N^m

а_п(Я = а_п и ||/||_р < ф, m)J_p(a).

Для т = 1 доказательство этой теоремы можно найти в книге¹, а для т > 1 его можно получить применением индукции.

Что касается рядов с монотонными коэффициентами, то для них Харди и Литтльвуд заметили, что в одномерном случае справедлив более сильный результат, а именно :

Теорема Б. Пусть функция f(x) имеет ряд Фурье ^ а_пе^тх, где а\ > Q.2 > > 0, а_п —> 0 при п —> оо. Тогда для того, чтобы f(x) Є L_P(T), 1 <

Зигмунд А. Тригонометрические ряды, Изд."Мир"Л965. Т. 2.

p < oo_; необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

У^ а^р_пп^р~² < оо.

Для кратного случая возможны различные определения монотонности.

Определение 1. Будем говорить, что последовательность а_Пь __{; Пт} монотонна в смысле Харди, если для любых щ, ..., п_т > 1 верно неравенство

Л=0, ..., jm=0

где |j| = ji + ... +J_m.

Определение 2. Будем говорить, что последовательность а_Пь __{; Пт} монотонно убывает (возрастает) по каждому направлению, если для любых п\, ... , п_т > 1 и для любых ji, ..., jто > 0 верно неравенство

^ani, ..., п_т > ^ani+ji, ..., n_m+j_m \^ani+ji, ..., n_m+j_m ^ &ni, ..., n_mJ-

Очевидно, что если а_Пь ..._{; Пт} -^ 0 при max(ni, ..., п_т) —> оо, то из монотонности по Харди вытекает монотонность по каждому направлению.

Ряды с коэффициентами, монотонными по Харди являются достаточно узким классом рядов. Например, сферическое ядро Дирихле не принадлежит этому классу.

Позднее, теорема А обобщалась на кратный случай в работах Морица² и Вуколовой, Дьяченко³ (для коэффициентов, монотонных в смысле Харди). Дьяченко⁴ (для коэффициентов, монотонных по каждому направлению) установил такой результат

²MoriczF. On double cosine, sine and Walsh series with monotone coeffitiens,

Proc. Amer. Math. Sci. 1965.109. №2. P. 417-435.

³ВуколоваТ.М., Дьяченко М.И. Оценки норм сумм двойных тригонометрических рядов с кратно

монотонными коэффициентами, Изв. ВУЗ (серия Математика). 1994.133. №7. С. 20-28.

⁴ДьяченкоМ.И. Нормы ядер Дирихле и некоторых других тригонометрических полиномов в пространствах L_p, Мат. Сборник. 1993.184. №3. С. 3-20.

м Теорема (Дьяченко). Пусть т > 2, Q(x) = ^ а_пе^шх_;

п=1

последовательность а_п — монотонно убывает по каждому направлению и неотрицательна. Тогда для ^j < р < 2

/ м

||Q(x)||_pm)lj2<^i(n)f

\n=l

Им же было установлено, что при 1 < р < ^^г результат перестает быть верным. Утверждение теоремы Дьяченко было обобщено Драгошанским⁵ на анизотропный случай.

Также верны обратные теоремы. Например

Теорема (Дьяченко⁶). Пусть т > 2, I < р < ос, /(х) Є L_p(T^m)

и ^ a_ne^mx — её ряд Фурье, и коэффициенты монотонно убывают по

п=1

каждому направлению. Тогда

J2^p-\n)

\р \р-

п=1

Позднее Нурсултанов⁷ обобщил этот результат на более широкий класс рядов.

В связи с этим представляет интерес задача описания классов Липшица в метрике h_p и более общая задача описания классов Н^¹"^" и Щ" в терминах коэффициентов их тригонометрических рядов Фурье.

В одномерном случае для монотонных коэффициентов Фурье известны теоремы Лоренца⁸ и Конюшкова⁹.

⁵ ДрагошанскийО.С. Анизотропные нормы ядер Дирихле и некоторые другие нормы

тригонометрических полиномов, Мат. Заметки. 2000. 67. №5. С. 686-701.

⁶D'jachenko M.I. Multiple trigonometric series with lexicographically monotone coefficients,

Anal Math. 1990.16. № 3. P. 173-190.

⁷Нурсултанов Е.Д. О коэффициентах кратных рядов Фурье из L_p пространств, Изв. РАН

Матем. 2000. 64. № 1. С. 95-122.

⁸LorentzG.G. Fourier-Koeffizienten unci Funktionenklassen, Math. Z. 1948. 51. №2. P. 135-149. ⁹Конюшков A.A. О классах Липшица, Изв. Ак. Наук СССР. 1957. №21. С. 423-448.

Теорема В (Лоренц). Пусть 0 < а < 1, функция f(x) Є С(Т) и

^a_ncosnx — её ряд Фурье, причем а_п [ 0. Тогда для того, чтобы f(x) Є Lip(a)_; необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

а_п = О

_п1+а

при п —> оо.

То же утверждение справедливо для ряда из синусов. Теорема Г (Конюшков). Пусть 0 < о; < 1, 1<р<оо_; функция

f(x) Є Lp(T) и ^2 0"п cosпх — её ряд Фурье, причем а_п [ 0. Тогда для того, чтобы функция f(x) Є Lip(a, р), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

а_п = О

при п -^ оо.

То же утверждение справедливо для ряда из синусов.

Для двойных тригонометрических рядов с коэффициентами, монотонными в смысле Харди аналоги теорем Лоренца и Конюшкова были получены Т. Ш. Тевзадзе.

Мы обобщим эти результаты на случай произвольной конечной размерности и коэффициентов, монотонных по каждому направлению.

Цель работы

Целью работы является изучение взаимосвязи поведения коэффициентов тригонометрических рядов многих переменных и гладкости сумм этих рядов в пространствах L_p(T^m) и С(Т^т).

Методы исследования

В диссертации используется аппарат теории кратных тригонометрических рядов, метрической теории функций и действительного анализа.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми. Получены следующие основные результаты:

1. Получены оценки норм некоторых тригонометрических полиномов в пространствах L_p(T^m), при р больших ^tj, где т — размерность пространства.

2. Получены аналоги теорем Лоренца и Конюшкова в пространствах С(Т^т) и L_p(T^m), при р больших ^гг, ^гД^{е те} ~~ размерность пространства.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории кратных тригонометрических рядов, метрической теории функций и действительном анализе.

Апробация работы

Результаты автора докладывались на научно - исследовательском семинаре "Тригонометрические ортогональные ряды" под руководством акад. РАН П.Л. Ульянова, проф. М.К. Потапова и проф. М.И. Дьяченко в МГУ с 2004 по 2007 год (неоднократно), а также на международной конференции "Алгебра и Анализ" в Казани в 2004 году, 13 - ой Саратовской зимней школе в 2006 году, Воронежской зимней школе в 2007 году, международной конференции "Теория функций и вычислительные методы" в Астане в 2007 году.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы

Похожие диссертации на Гладкость сумм кратных тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами

Осцилляция частных сумм и коэффициенты ряда Фурье интегрируемой функцииРодин, Владимир Александрович

Коэффициенты Фурье и мажоранта частичных сумм рядов по системам типа ХаараАубакиров, Тойбек Уатаевич

Оценки сумм коэффициентов Фурье функций с заданным модулем гладкостиДьяченко Дмитрий Михайлович

Представление функций рядами Уолша и коэффициенты сходящихся рядов УолшаЛукомский, Сергей Федорович

Абсолютная сходимость рядов из коэффициентов ФурьеЧан Минь

Обобщенные интегралы и задача восстановления коэффициентов некоторых всюду сходящихся ортогональных рядовБайгожин, Ерлан Серикович

Равномерно-касательные приближения лакунарными степенными рядами и квазиполиномами со специальными коэффициентамиАрутюнян, Гоар Вагинаковна

Коэффициенты Фурье и теоремы единственности для рядов по обобщенным системам Уолша и ХаараБокаев, Нуржан Адилханович

О росте аналитических функций являющихся суммой рядов ДирихнеГамзаев, Октай Гамза оглы

Поведение частичных сумм тригонометрических рядов ФурьеАнтонов, Николай Юрьевич