Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена теории единственности представления функций ортогональными рядами по системам Хаара и Уолша и примыкающим к этой теории вопросам обобщенного интегрирования.
Истоком і/гоп проблематики является классическая теория единственности тригонометрических рядов, развитая в работах Г.Кантора, Л.Лебега, Ш.Палле-Пуссена, А.Дадауа, Д.Е.Меньшова, Н.К.Бари и др .
Ряды по системам Хаара и Уолша начали интенсивно изучаться в последние'три десятилетия, інтерес,к 'уттл системам вызван, главным образом, двумя обстоятельствами. С одноіі стороны, он связан с возросшим использованием*этих систем в прикладных вопросах, прежде всего - в теории кодирования, в щ<Ь-ропой обработісе сигналов, -в распознавании образов10. С другої! стороны,- ати системы, презде всего - система Хаара, оказались полезными в решении многих ва:шнх вопросов общей теории ор'то-тональных рядов0.
1. БАРП U.K. Тригонометрические ряды. І.І.: Физматгиз, 1961;
Зі-іШУВД А.''Тригонометрические ряди. М.: Мир, 1965, т.І,?...
2. ХАРМУТ X. Теория секвентного анализа. М.: Мир.. 1980.
3." УЛЬЯНОВ П.Л. Расходящиеся ряды чіурье// МІ, 1961, т.16,
053,, с.61-142; Расходящиеся ряды.'по системе Хаара и по базисам// ДАН СССР,'1961, т.130, К'-З, с.556-559; 0 множителях Вейля для безусловной'сходимости// Мат.сб., 1968,т.60, №1, с.39-62; СЛЕВСНИЙ A.M.'Расходящиеся ряды из La по'поЛ-
ным системам// ДЛИ СССР, т.133, 1961,'Ш, с.545-548;Scatter хШйЛо wiiL teifaect to (tfiMsinaL CrtlkooouaJL &&-{ж\Л II І2хгп2іи,, -іотікпял. ^шххл, 1<Ш.
- і
Таким образом, как усиливающееся применение систем Хаара и Уолша в различных, прикладных вопросах, так и их роль в общей теории ортогональных радов делает актуальным детальное теоретическое исследование вопросов разложения функций по ьтим систекш.
Первые результаты по теории единственности разложения по системе Хаара били получены в 1964 г. !>.Г.Арутюняном и Л.А. Талаляном, М.Б.Петровской и В.А.Скворцовым . Вопрос о восстановлении коЦфіциентов всюду сходящегося рада Хаара по его сумме с помощью формул Фурье полиостью был решен в I' 60 году В.А.Скворцовым . Им был построен интеграл, названный HD-ин-тегралом, для которого любой всюду сходящийся ряд Хаара является рядом !>уръе своей суммы. В том же году В.А.Скворцовым построен двоичный перроновский интеграл по производным относительно бинарных сетей, который, такие решает указанную выше задачу восстановления коофшциентов. Позднее им же било показано, что ltot интеграл может противоречить широкому интег-
-
.АРУТШЯН'Ф.Г., ТАЛАЛЯП А.А. 0 единственности рядов по системам Хаара и Уолша// Известия АН СССР, серия мат., 1964, т.28, К,'с.1391-1403; ШР0ВСІШІ М.Б.. Некоторые теоремы . единственности по системе Хаара// Вестник МГУ, мат., мех., ІУ64, №5, с.15-28; СКВОРЦОВ В.А. Теоремы типа Кантора для системы Хаара// там же, с.3-6.
-
СКВОРЦОВ В.А. Вычисление коэффициентов леюду сходящегося рада Хаара// Мат.сб., 1968, т.75, с.349-360. .
-
СКВОРЦОВ В.А. О рядах Хаара, сходящихся по подпоследовательности частичных сумм//ДАН СССР,1968, т.103, с.784-7-6.
-
SKV0RT50V V.A. iome. prtoj»eatlt4 4 <*yodbc jzrdmLtUUu II dejdvnx, 7lott& X^Wedk., W9 0988), рМЫН79.
ралу Дуихуа и HD-интегралу, причем неопределенный двоичный перроновский интеграл может не обладать N -свойством Лузина. - Цель работы. Построить такое сужение двоичного перронов-ского интеграла, который, решая ту не задачу о вычислении коэффициентов, одновременно являлся бы сужением и HD-интеграла, тем самым не противореча ему, и обладал бы рядом хороших свойств, которыми не обладает двоичный перроновский интеграл, но обладает классический интеграл Перрона. Методы исследования.
-
Применение обобщенного ди-иференцирования к теории ортогональных рядов по центрированным системам. Впервые'Связь ыезду такого рода дифференцированием и центрированными системами использовалась В.А.Скворцовым8.'
-
Испольсэвание мартпнгальных свойств частичных сумм рассматриваемых ортогональных рядов.
-
Применение различних подходов (дескриптивного, конструктивного и да.) к определению обобщенных интегралов.
-
Общие методы метрической теории функций и теории интеграла. .
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
1) Построен новый интеграл перронавского типа, позволяю
щий вычислять коэффициенты-всюду сходящихся рядов по системе
Хаара или.Уолша как.коэффициенты ^урьв их-сумм и обладающий
N-свойством Лузина. . '
2) Доказано, что для введенного интеграла справедлив
аналог теоремы Марцинкевича о достаточном условии интегрируе-
8. СКВОРЦОВ В.А,-Дифференцирование относительно сетей и ряды Хаара// Мат.заметки, 1968, т.4, №1, с.33-40.
мости по Перрону.
-
Найдены дескриптивное, конструктивное и др. определения построенного интеграла.
-
доказано, что введенный интеграл является минимальным на некотором классе интегралов.
-
Решена задача восстановления членов всюду сходящегося ортогонального ряда относительно некоторой центрированной системы, являющейся обобщением таких иэвестша систем как системы Хаара и Уолша, мультипликативные и Н-системы, по его сушо.
Приложения. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут представлять научный интерес с точки зрения применения обобщенных интегралов к теории ортогональных рядов. ...
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах "Теория ортогональных и тригонометрических рядов" под руководством член-корреспондента РАН И.Л.Ульянова, профессора М.К.Потапова, доцента М.И.Дьяченко; "Теория функций действительного переменного" под руководством профессора В.А.Скворцова, профессора Т.П.Лукашенко, доцента Л.А.Балашова, на конференции молодых ученых МГУ (1992 г.).
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в трех работах автора, список которых помещен в конце автореферата.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 10 параграфов, и списка литературы, содержащего 31 наименование. Общий объем диссертации 126 страниц.
