Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Условия конечности мажорант последовательностей операторов и сходимость рядов Фурье 35
1.1. Введение 35
1.2. Основная теорема 38
1.3. Сходимость тригонометрических рядов Фурье и рядов Фурье-Уолша 54
1.4. Оценки скорости роста сумм Фурье 59
Глава 2. Поведение сумм Фурье функций с ограничениями на L1 -модуль непрерывности 67
2.1. Обозначения и формулировки используемых известных ре зультатов 67
2.2. О расходимости рядов Фурье функций 68
2.3. Условия интегрируемости мажорант сумм Фурье 76
2.4. Вспомогательные предложения 87
2.5. О расходимости подпоследовательностей сумм Фурье функций с ограничениями на интегральный модуль непрерывности 99
2.6. Расходящиеся почти всюду подпоследовательности сумм Фурье функций из ip(L) П Щ 107
Глава 3. Поведение последовательностей кратных прямо угольных сумм Фурье 114
3.1. Введение 114
3.2. Вспомогательные утверждения 118
3.3. Основные леммы 127
3.4. Сходимость почти всюду последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье 138
3.5.О скорости роста последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье 145
Список литературы 157
- Сходимость тригонометрических рядов Фурье и рядов Фурье-Уолша
- О расходимости подпоследовательностей сумм Фурье функций с ограничениями на интегральный модуль непрерывности
- Расходящиеся почти всюду подпоследовательности сумм Фурье функций из ip(L) П Щ
- Сходимость почти всюду последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье
Введение к работе
Идея о возможности представления произвольной функции в виде суммы ряда (0.1.2) - (0.1.1) принадлежит Ж.-Б.Фурье и содержится в его работе "Аналитическая теория тепла", представленной в 1807 году. Исследования Фурье в области тригонометрических рядов, как и исследования его предшественников, были продиктованы необходимостью решения конкретных физических, астрономических и других естественнонаучных задач. При этом математическая строгость получаемых результатов этих исследователей мало заботила.
Однако, в начале XIX века в анализе назрела необходимость более точного определения используемых понятий и более строгого обоснования как уже в большом количестве имевшихся старых, так и получаемых новых результатов.
В этой связи возник интерес уже к чисто математической постановке задачи о сходимости рядов Фурье: какие (как можно более общие) условия надо наложить на функцию, чтобы эта функция всюду на периоде представлялась своим рядом Фурье. По-видимому, первый математически строго обоснованный факт, касающийся сходимости тригонометрических рядов Фурье, был получен в 1829 году Л.Дирихле. Результат Дирихле может быть сформулирован следующим образом: если определенная на отрезке [—7Г, 7г] функция f(x) непрерывна всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, и имеет конечное число точек максимума и минимума, то ее ряд Фурье (0.1.2) -(0.1.1) сходится в каждой точке х Є [—7Г, 7г] к полусумме левого и правого пределов функции в этой точке; в частности, если функция непрерывна в точке х , то Sn(f,x) сходится к f(x) . Дирихле был убежден в том, что это утверждение может быть распространено на произвольные непрерывные функции. Гипотезу о сходимости в каждой точке ряда Фурье произвольной непрерывной функции долгое время пытался подтвердить П.Дюбуа Реймон. В итоге он пришел к противоположному результату: существует непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится в одной точке [28]. Дюбуа Реймон видел, что модернизация его метода позволяет строить функции с рядами Фурье, расходящимися в двух, трех, любом конечном числе точек и даже на всюду плотном множестве.
Появление в самом начале XX века меры и интеграла Лебега привело к появлению новых задач и новых возможностей при изучении рядов Фурье. Поскольку множества расходимости рядов Фурье функций, построенных методом Дюбуа Реймона имели лебегову меру нуль, то задачу о поточечной сходимости рядов Фурье непрерывных и в более общем случае суммируемых (то есть интегрируемых по Лебегу) на [0, 2тт) функций, стало естественным переформулировать в следующем виде: какие условия нужно наложить на суммируемую функцию, чтобы ее ряд Фурье сходился почти всюду (то есть мера Лебега множества, где он не сходится, равна нулю).
Результаты диссертации докладывались на совместном семинаре отдела теории приближения функций и отдела аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН под рук. чл.-корр. РАН Ю.Н.Субботина и проф. Н.И.Черных (многократно), на семинаре под. рук. проф. В.В.Арестова в УрГУ (неоднократно), на семинаре "Ортогональные ряды" в МГУ (рук. — чл.-корр. РАН Б.С.Кашин и проф. С.В.Конягин), на Научно-исследовательском семинаре по теории функций под рук. чл.-корр. РАН Б.С.Кашина, проф. Б.И.Голубова, проф. М.И.Дьяченко и проф. С.В.Конягина, на семинаре под рук. проф. Ван Куньяна и проф. Лю Йон-пина в Пекинском нормальном университете, на Международной конференции "Теория приближения функций и операторов", посвященной 80-летию со дня рождения С.Б.Стечкина (Екатеринбург, 2000) , на Международной конференции "Гармонический анализ и приближения, И" (Ереван, 2001), на Международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной столетию со дня рождения С.М.Никольского (Москва, 2005), на традиционной Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, 2005, 2006), на IV Международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения" (Новороссийск, 2006), на Шестой и Восьмой международных Казанских летних научных школах-конференциях (Казань, 2003, 2007), на 11-ой, 13-ой и 14-ой Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2002, 2006, 2008), на 31-ой, на 32-ой, на 34-ой, на 36-ой, на 38-ой Региональ ных молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2000, 2001, 2003, 2005, 2007), на традиционной ежегодной Международной летней Школе С.Б.Стечкина по теории функций (Миасс, 1999-2006, 2008; Алексин, 2007). Результаты диссертации опубликованы автором в работах [56] - [62] .
Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту профессору Николаю Ивановичу Черных за ценные замечания, полезные обсуждения и внимание к работе.
Сходимость тригонометрических рядов Фурье и рядов Фурье-Уолша
Результаты диссертации докладывались на совместном семинаре отдела теории приближения функций и отдела аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН под рук. чл.-корр. РАН Ю.Н.Субботина и проф. Н.И.Черных (многократно), на семинаре под. рук. проф. В.В.Арестова в УрГУ (неоднократно), на семинаре "Ортогональные ряды" в МГУ (рук. — чл.-корр. РАН Б.С.Кашин и проф. С.В.Конягин), на Научно-исследовательском семинаре по теории функций под рук. чл.-корр. РАН Б.С.Кашина, проф. Б.И.Голубова, проф. М.И.Дьяченко и проф. С.В.Конягина, на семинаре под рук. проф. Ван Куньяна и проф. Лю Йон-пина в Пекинском нормальном университете, на Международной конференции "Теория приближения функций и операторов", посвященной 80-летию со дня рождения С.Б.Стечкина (Екатеринбург, 2000) , на Международной конференции "Гармонический анализ и приближения, И" (Ереван, 2001), на Международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной столетию со дня рождения С.М.Никольского (Москва, 2005), на традиционной Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, 2005, 2006), на IV Международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения" (Новороссийск, 2006), на Шестой и Восьмой международных Казанских летних научных школах-конференциях (Казань, 2003, 2007), на 11-ой, 13-ой и 14-ой Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2002, 2006, 2008), на 31-ой, на 32-ой, на 34-ой, на 36-ой, на 38-ой Региональ ных молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2000, 2001, 2003, 2005, 2007), на традиционной ежегодной Международной летней Школе С.Б.Стечкина по теории функций (Миасс, 1999-2006, 2008; Алексин, 2007). Результаты диссертации опубликованы автором в работах [56] - [62] .
Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту профессору Николаю Ивановичу Черных за ценные замечания, полезные обсуждения и внимание к работе. Пусть А = [а, /3] — некоторый отрезок, А 0 , (р : [А, +оо) - [0, +оо) — неубывающая функция. Обозначим через f(L) = /?(L)(A) множество всех определенных на А и измеримых по Лебегу функций / таких, что где (ро — функция, совпадающая с ср на [А, +оо) , и равная нулю в остальных точках полуинтервала [0, +оо) . Отметим, что данное определение в частном случае А = 0 совпадает с определением класса (p(L)(A) , ранее уже приводившимся во введении. Как уже говорилось во введении, в 1966 году Л.Карлесон [25] доказал, что если / Є L2([0,2ir)) , то тригонометрический ряд Фурье функции / сходится почти всюду. Используя метод Карлесона, Р.Хант [35] распространил утверждение о сходимости почти всюду тригонометрических рядов Фурье па функции из классов Lp([0,27r)) , р 1, и L(log+L)2([0, 2тг)) . (В настоящей главе нам будет удобно использовать log и = log2 и, и 0 , — логарифм по основанию 2 . Будем также в этой главе полагать, что log4" и = maxjlogi/, 0} , и 0 . Как нетрудно видеть, изменение функции log+ и в некоторой окрестности нуля, а также изменение основания лога рифма не приведут к изменению рассматриваемых ниже классов (p(L) , а следовательно, не изменится смысл получаемых ниже утверждений. Напомним, что через М(/, х) мы обозначаем мажоранту частичных сумм Sn(f, х) тригонометрического ряда Фурье функции / : Основным результатом работы Ханта [35] является следующая оценка для характеристической функции XF произвольного измеримого множества F С [0, 27г) : mes {х Є [0, 2тг) : M{XF, Х) у} (Вр)ру-р mF, (1.1.1) где у 0, 1 р со , Вр const -р2/(р—1). П.Шёлин [49] перенес оценку (1.1.1) на. случай мажоранты частичных сумм ряда Фурье по системе Уолша и доказал, что из (1.1.1) следует mes {х Є A : M{XF, Х) у} С- log ( - J mF, 0 у 1/2, (1.1.2) С = const , где в качестве М могут быть взяты мажоранты частичных сумм как тригонометрического ряда Фурье, так и ряда Фурье-Уолша, Д обозначает соответственно [0,2п) либо [0,1]. Используя (1.1.2), Шёлрщ доказал, что если / Є L(log+L)(log+log+L)(A) , то тригонометрический ряд Фурье либо соответственно ряд Фурье-Уолша функции / сходится почти всюду.
О расходимости подпоследовательностей сумм Фурье функций с ограничениями на интегральный модуль непрерывности
Как уже отмечалось, тригонометрический ряд Фурье произвольной функции / Є L([0,27r)) не обязательно сходится к ней почти всюду: А.Н.Колмогоровым [38] был построен пример интегрируемой функции, ряд Фурье которой неограниченно расходится почти всюду, а затем [40] — пример функции, ряд Фурье которой расходится в каждой точке. В то же время, ряд Фурье любой функции из L([0,27г)) сходится по мере. Отсюда следует, что последовательность частичных сумм любой интегрируемой функции имеет сходящуюся почти всюду подпоследовательность. Однако, не существует такой возрастающей последовательности натуральных чисел {nk}kL\ 5 чтобы для любой / Є L([0, 2-ЇЇ)) подпоследовательность Snk(f, х) сходилась бы почти всюду: для любой возрастающей последовательности {nk}kLi С N найдется функция / Є L([0, 27г)) такая, что Snk{f,x) расходится почти всюду [32] (всюду [54, теорема 1]).
Поведение подпоследовательностей сумм Фурье, в частности, условия сходимости почти всюду подпоследовательностей сумм Фурье интегрируе мых функций в терминах величин наилучших приближений этих функций тригонометрическими полиномами в пространстве L([0,2n)) , изучались К.И.Осколковым [14]. Пусть En(f) — величина наилучшего приближения функции / тригонометрическими полипомами порядка не выше п в пространстве Ь([0, 27г)) , {щ}с=1 — возрастающая последовательность натуральных чисел, ф(и) — положительная невозрастающая на (0,1] функция такая, что о Тогда [14, теорема 2] для любой / Є Ь([0, 27г)) при почти всех х Є [0, 27г) Snk(f, х) - f[x) = о (ЕПк(/)ф (EJlk(f)) In к). В частности, если то подпоследовательность Snk (/, х) сходится почти всюду, а если / — произвольная функция из L([0,27r)) , то Snk(f,x) = о{Ык) п.в. Из вышесформулированных результатов работы [14] с помощью неравенства Джексона En(f) Cw(/, l/n)i непосредственно вытекают следующие утверждения. Теорема 2.Б. Пусть { } — возрастающая последовательность натуральных чисел, ф{и) — положительная функция, невозрастающая на (0,1] и удовлетворяющая условию (2.5.1) , ш(5) — некоторый модуль непрерывности. Тогда для любой функции f Є Hf Теорема 2.F. Пусть возрастающая последовательность {п .} С N и модуль непрерывности со удовлетворяют условию со — Тогда для любой функции f Є Hf подпоследовательность Snk(f,x) сходится почти всюду. В настоящем параграфе рассматривается задача о границах возможного усиления теорем 2.Е и 2.F в случае, когда последовательность {7} удовлетворяет условию (2.4.21). Ниже будут доказаны следующие утверждения. Теорема 2.4. Пусть { jtj ii — последовательность, удовлетворяющая условию (2.4.21); со — некоторый модуль непрерывности, и последовательность и)(1/щ) Ink не убывает, и неограничеиа. Тогда существует функция F Є Щ такая, что для почти всех х Є [0, 2-7г) Snk(F,x) oL( )lnk). Теорема 2.5. Пусть для удовлетворяющей условию (2.4.21) последовательности {пк}Т=і и мдуля непрерывности со последовательность (со(1/пк) In А;)-1 ограничена. Тогда существует функция F Є Щ такая, что подпоследовательность Snk(F,x) расходится почти всюду.
Теоремы 2.4 и 2.5 будем доказывать одновременно. Доказательство теорем 2.4 и 2.5. Предварительно заметим, что теорему 2.5 достаточно доказать лишь для случая, когда модуль непрерывности со = со такой, что со (п 1) = (lnfc)-1 . В самом деле, пусть со — произвольный модуль непрерывности, удовлетворяющий условиям теоремы 2.5. Тогда найдется константа С 0 такая, что 1 Сш(±\ Ык \пк. Пусть 0 5 п 1 . Выбрав номер к так, чтобы п 6 щ.1, будем иметь откуда Щ С Щ , то есть функция F Є Щ , удовлетворяющая условиям теоремы 2.5, будет принадлежать всем классам Щ , удовлетворяющим условиям теоремы 2.5. Начиная доказательство теорем 2.4 и 2.5, обозначим h = /_lv (2.5.2) полагая таким образом, что Хк — неубывающая неограниченная последовательность такая, что {Ык/Xk} не убывает (в случае теоремы 2.4 {Іпк/Xk} не убывает и неограничена по условию, а в случае теоремы 2.5 в силу вышевысказанного замечания In k/Xj- = 1).
Расходящиеся почти всюду подпоследовательности сумм Фурье функций из ip(L) П Щ
Пусть d — натуральное число, Е С M.d, ср : [0, +оо) - [0, +оо) — неубывающая функция. Обозначим через tp(L)(E) множество всех определенных на множестве Е С Rrf и измеримых по Лебегу функций /, удовлетворяющих условию
Пусть Zd — целочисленная решетка в Rd, k = (&i,..., kd) Є Zd, х = (xi,..., xd) Є Rd, kx = kixi + ... + kdxd, — кратный тригонометрический ряд Фурье 2-7Г-периодической по каж дой переменной и суммируемой на [0,27r)d функции /, и для n = — n-я прямоугольная частичная сумма ряда (3.1.1). Пусть В — некоторое непустое подмножество множества первых d натуральных чисел: В = {гі,... , г/} С {1,..., d}. Ряд называется сопряженным к ряду (3.1.1) по переменным, номера которых входят во множество В , или В -сопряженным, а п -я прямоугольная частичная сумма 5п,в(/, х) ряда (3.1.2) определяется аналогично n-й прямоугольной частичной сумме ряда (3.1.1). При d — \ ряды (3.1.1) и (3.1.2) совпадают соответственно с обычным тригонометрическим рядом Фурье 27Г-периодической функции и его сопряженным рядом. В случае, когда множество В пустое, будем считать, что ряд (3.1.2) совпадает с рядом (3.1.1), a 0(/,х) — с Sn(f,x). Вообще, всюду далее произведение Yl , в котором множество сомножителей пусто, будем по определению считать равным единице. Будем полагать для и 0 1п+ и = Ы(и + е). Как уже отмечалось, в случае d = 1 Л.Карлесон [25] доказал, что если / Є 1/2([0,27г)), то тригонометрический ряд Фурье функции / сходится почти всюду. Р.Хаит [35] обобщил это утверждение о сходимости почти всюду рядов Фурье на функции из классов Lp([0,27г)), р 1, и L(ln+ L)2([0,27г)), а П.Шёлин [49] — па функции из класса L(ln+ L)(ln+ln+L)([0,27r)). Автором [23] (теорема 1.2 настоящей работы) было установлено, что условие / Є L(ln+ L)(ln+ ln+ ln+ L)([0, 2тг)) также является достаточным для сходимости почти всюду ряда Фурье функции /. Пусть d 2. Ряд (3.1.1) (ряд (3.1.2)) называется сходящимся по кубам (в случае d = 2 — по квадратам) в точке х Є [0, 27r)d, если последовательность кубических частичных сумм (то есть последовательность 5„(/, х) = 5П(/, х) ( 5„,в(/, х) = 5П)в(/, х)), где п = (п, п,..., п)) имеет предел при п —)сю. Сходимость почти всюду по квадратам рядов Фурье функций / Є L2([0,27r)2) была установлена Н.Р.Тевзадзе [18]. Ч.Фефферман [30] распространил этот результат на функции / Є 1 ((0,2 ) ), р 1, d 2, а затем П.Шёлин [50] доказал, что если функция / принадлежит классу L(ln+ L)d(ln+ ln+ L)([0, 27r)d), то ее ряд Фурье сходится по кубам почти всюду. Автором [57] доказана теорема, позволяющая переносить результаты о сходимости почти всюду одномерных рядов Фурье функций из 115 классов (L)([0,27г)) на кратные ряды Фурье функций из классов /?(L)(ln+ L)d_1([0, 27r)d) в случае сходимости по кубам. В качестве следствия этой теоремы и результата работы [23] (теорема 1.2 настоящей работы) получается утверждение о сходимости почти всюду по кубам рядов Фурье функций из класса / Є L(ln+ L)d(ln+ ln+ ln+ L)([0, 27r)d). Наилучший на сегодня результат, касающийся расходимости по кубам на множестве положительной меры кратных рядов Фурье функций из p(L)([Q, 27r)d), d 2, принадлежит С.В.Конягину [42]: для любой функции р(и) = o(n(lni4)d_1lnlnu) при и —У со существует / Є p(L)([0,27v)d) с расходящимся всюду по кубам рядом Фурье. В настоящей главе рассматриваются последовательности кратных прямоугольных сумм Фурье несколько более общего вида, чем последовательности кубических частичных сумм, а именно, мы будем рассматривать последовательности 5ПЛ(/, х) такие, что векторы щ. = (п]., п,..., п ) удовлетворяют условию п{ = аутк + 0(1), fceN, l j d, (3.1.3) где a = (ai,...,ad) — вектор с положительными координатами, а {mk}kLi последовательность натуральных чисел. В 3.2, 3.3, 3.4 будет доказано следующее утверждение. Теорема 3.1. Пусть непрерывная функция /? : [0,+оо) — [0,+оо) представимо, в виде ір(и) = иф(и), где функция ф{и) дифференцируема при и А 0; ф(и) и иф {и) не убывают на [А, +оо), а ф(и)и ъ и ф (и) не возрастают па [А, +оо) . Предположим, что тригонометрический ряд Фурье любой функции g Є (L)([0, 2ir)) сходится почти всюду. Тогда для любого d Є N, для всех f Є (p(L)(ln+ L)d_1([0, 27r)f/), каждого В С {1,2,..., с?} и последовательности щ, удовлетворяющей условию (3.1.3), последовательность 5 (/, х) сходится почти всюду. Из теоремы 3.1 и теоремы 1.2 о сходимости почти всю 116 ду тригонометрического ряда Фурье любой функции из класса L(ln+ L) (ln+ ln+ ln+ L) ([0, 2тг)) вытекает Теорема 3.2. Пусть d Є N, В С {1,2,..., d}, последовательность n& = inhnk - - іпк) удовлетворяет условию (3.1.3). Тогда, если f Є L(ln+ L)d(ln+ln+\n+ L)([0, 2n)d): то последовательность 5njfe!jg(/, x) сходится почти всюду на ([0,27r)rf). В 3.5 для функций / из классов L(ln+ L)d-1([0, 2-к)й) будет получена оценка скорости роста последовательностей прямоугольных частичных сумм щ в(/,х) вида (3.1.3). В заключение этого параграфа сделаем несколько существенно используемых далее замечаний относительно условий на функцию ір в формулировке теоремы 3.1. Можно считать, что в формулировке условий на функцию ф{и) А — 0; в противном случае можно рассматривать функцию фі(и) = ф(и + А), которая также удовлетворяет требуемым свойствам; при этом соответствующие классы /?() (ln+ L)d_1([0, 27r)d), d Є N, не изменятся.
Сходимость почти всюду последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье
Зафиксируем G Є Л . Обозначим через Бз множество тех j , для которых Gj = R , Через Бб — МНОЖеСТВО TeX J , ДЛЯ КОТОРЫХ Gj — R\[—7Г, 7г) . Положим В7 = ВгПВ5 , Б8 - БіПБе , Вд = В3П5, Бю = ДзПВб . Для произвольной функций А() , t Є R, и произвольного множества Set обозначим (л(і), Є, Тогда, используя введенные обозначения, интеграл по множеству G из суммы (3.4.4) можно записать следующим образом / П Huw) П D M П (-V J)LT) ШЗД))[-.- ld jeB7 ]ЄВд jeB2 l JB4 X П (- )) П (I)aimAfe))M\[-7r,7r)/l(x+ t) dt. (3.4.5 — ., -7Г.7Г) Положим do = cardBy + сагсШд . Переставим для удобства номера переменных ti, t2, ,td и точно так же номера переменных i, так, чтобы S7UBe = и, следовательно, JB2 U Д4 U 1 U Bw = {do + 1,..., d} . Положим Qk(tdQ+u...,и) = П [ткф)). , Ці Ш- , ) jB2 [ 7Г 7Г) ІЄ54 jeB8 jeBw 141 Отметим, что функции Qk ограничены в совокупности некоторой константой Сіз , зависящей лишь от d и от исходной последовательности {n .} . Пусть G такое, что BjUBg = {1,2,..., d]. Тогда do — d, Q = 1, и выражение (3.4.5), согласно обозначениям 3.3 и леммы 3.4, есть S% в (/, х) . Поэтому, в силу леммы 3.4, примененной к функции /i(x) , мера тех х Є [—7г, 7v)d С W1 , для которых верхняя грань по к модулей выражений (3.4.5) больше, чем у , не превосходит [ pd(\fiW\)dx = —2d [ Ы1/(х)Мх, Rd [-7T,ir)d где (fd определяется равенством (3.3.2). Если же G таково, что do d, то выражение (3.4.5) примет вид / Qk(tdo+l 5 d)x Х / П {-КтЛ)) ]lDljmk(t3)f1(x1 + tU...JXd td)dt1...dtA X Vo В J x do+ - Skifb x) Используя обозначения 3.3 при c?o вместо d и учитывая, что носитель рассматриваемой нами здесь функции f\ содержится в кубе [—27Г, 2ii)d , ДЛЯ X Є [—7Г, 7г) г ИМЄЄМ Sf(/i,x)= У 9 (tdo+i,..-, d)x [-47T,47T)d-d0 x )jB7(/i(-,..., -, +1+ 4+ +a5d), Ы,..., xd))dtdo+1... dtd. (3.4.6) Если /і Є d(Z/)(Rd) , то в силу ограниченности носителя функции f\ имеем /і Є (fd{L){Wi) , где (f d взято из формулировки леммы 3.5. Следовательно, при почти всех фиксированных ( /0+ь ,d) Є 142 [-4тг, 4тг) do функция /i(-,..., -,tdo+h -, ) принадлежит (pd(L)(Rd) С Pd0+i(L)(№.do) , откуда в силу леммы 3.5 следует, что))\dxi... dxdo J k i -7T,7T)d0 Kdn I / d0+i(l/i( i ,dtdo+1,.. .,td)\)dti.. .dtdo + 1 Vdo / Kdo I / d(/idtdo,dtdo+h ..., td)\)dti ...dtdo + l Отсюда и из (3.4.6), учитывая ограниченность функций Qk , получаем / sup5 (/i,x)dx / f / Сіз( / sup 5JJJ07 (/1(-,...,-, +1+ [—7Г,7г) -7T,7r)d-dO [-47T,47T)d-rf0 [-7T,7r)d0 +a:do+i,..., td + a;d), (жі,..., а 0))с/жі... dzdo J Gftdo+i... dtd j dxdo+i ...dxa Си I ( I (J (/i( i,..., db,tdb+i + [-7T;7r)d-d0 [-47r.47r)d-d0 +a;d0+i,..., td + ccd) )dti... dtdo + l) dtd0+i... dJ do+1... dzd = f Ы1/( ь---. )1) 1--- +1]. [—7T,7r)rf откуда k i 143 mesjx Є [-7r,7r)d : sup S(/i,x) y\ і с + У I pd(\f(t)\)dt \[-7Г,7г)Сг Объединяя все такие оценки для выражений вида (3.4.5) из сумм (3.4.4), т.е. из выражений вида (3.4.2), получаем mes х Є [-7Г, тг) : sup SnkjB(f, х) У От У (1/(х))(1п+(/(х))Г х+1 . (3.4.7) Из (3.4.7) и неравенства lim sup 2 sup Snk,B{f x) 5П(Ь,в(/,х) -5n()S(/,x) "-" k,l m следует / m fr,i m mes j x Є [—тг, тг) : Km sup Snk)B(f, x) - SniiB{f, x) 2Ci6 / (3.4.8) (/(х))(1п+(/(х))Г х + 1 . У [-7Г,7Г) Пусть у 0 . Для любого сколь угодно большого а О найдется кратный тригонометрический полином д такой, что 2Сіб 2/ j p(\af{x) - 0(x))(ln+(a/(x) - .?(х))) х 1. (3.4.9) [-7Г,7г) Каждый член последовательности { #(0, х)}) является (кратным) тригонометрическим полиномом, степень которого по каждой переменной не превосходит соответствующей степени полинома д . Так как для нашей последовательности векторов щ — {n\,ri2k, ...,nf) min п3к — оо при к — оо , то все полиномы 3Пк,в{д,Х-) , начиная с некоторого номера, совпадают между собой. Следовательно, для всех х Є [—7Г, 7г) lim sup = 0, щ,і?(#,х) -Зщ,в(9,х) 144 откуда lim sup m- k,l m Snk,B(af,x) - 5п,,в(а/,х) lim sup Snk}B(af - g,x) - SUhB(af - g,x) хє[-7г,тг)й. (3.4.10) m- Аг,г тп Применяя последовательно (3.4.10), (3.4.8) к функции а/(х) — р(х) и (3.4.9), получаем mes х Є [-7Г, Tr)d : lim sup SUk,B{f, x) - SnijB(/, x) ЗЛ mes хЄ [—7Г, 7r)d : lim sup Snk,B(af - 9, x) - Sni}B(af - g, x) Таким образом, для почти всех х Є [—7г, 7r)d at/ } AC ay lim sup щ;в(/,х)-5ПьВ(/,х) = 0, то есть для почти всех х Є [—7г, 7r)rf последовательность {SnkjB(f, x)} rl сходится. Теорема 3.1 доказана.
![Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве p [a, b]](/i/i/4274/45259.png "Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве p [a, b] Кудрявцев Александр Иванович")