Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве p [a, b] Кудрявцев Александр Иванович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Методы суммирования Чезаро

1. Определение {С,а) -суммируемости 11

2. Свойства чисел Чезаро 14

Глава 2. Критерий (С,а)-суммируемости рядов Фурье в L [a,b],

1. Критерий (с,ос)-суммируемости рядов Фурье в L [а,&],

2. Критерий (С,а)-суммируемости рядов Фурье в L [a,b], 31

Глава 3. Достаточные условия (С,а)-суммируемости рядов Фурье в L [a,b], —<а<0 Р1 J 2

1. Достаточные условия (С, сг)-суммируемости рядов Фурье в L2[a,b] 36

2. Достаточные условия (Cta)- суммируемости рядов Фурье- В иленкина в пространстве L[o,\] 42

Заключение 59

Список литературы 60

• Свойства чисел Чезаро
• Критерий (С,а)-суммируемости рядов Фурье в L [a,b],
• Достаточные условия (С, сг)-суммируемости рядов Фурье в L2[a,b]
• Достаточные условия (Cta)- суммируемости рядов Фурье- В иленкина в пространстве L[o,\]

Введение к работе

з Актуальность темы. Пусть Ф = У„ (л)}"₌₀ - ортонормированная система в пространстве і₂[я,і], в общем случае комплексно значная, и

<*?.(*> О)

1=0

ь - ряд Фурье функиии /(*), то есть c_t =\ f{x)ip_k(x)dx. Величины

С *-

,о (а + 1)Са + 2)-...-(а + in)

где Л„ =——- — ' , а *-\,-2,..,-, т- 0,1,..., называют чезарове ким и

т'

средними порядка а или (с, а}-средними ряда (1). Говорят, что ряд (1)

суммируется методом {с,а) ((с,а)-суммируем) в метрике пространства

L_p[a,b], lSp

kV./)-/wI ^o(l),n->~, (2)

где |/| = Л/(л)|'гі* ,а а„ =о(1) означает, что iimn„=D.

Рассматриваемые методы суммирования были введены в 1890 году итальянским математиком Э.Чезаро ПО].

В диссертации рассматриваются методы (С,а), гле -1 < а < 0.

Известно, что равномерная суммируемость ряда (1) влечет его суммируемость в метрике пространства L_p[a,b], рїі. Поэтому можно

считать, что условия равномерной суммируемости ряда (I) методами (С,а) являются достаточными для (С, от)-суммируемости ряда (1) в метрике пространства L_p[a,b]. Один из первых результатов, относящихся к равномерной чезаровской суммируемости отрицательного порядка ряда (1) по тригонометрической системе Ф, был получен А. Зигмундом [14] в 1925 году. Он показал, что если 1л - периодическая функция f(x) всюду удовлетворяет условию Липшица порядка а (0 < а < 1), то ее ряд Фурье равномерно суммируем методом (С, 0) (Р>-а) к /(л). Позднее результат А.

С.П«т*р6 ?' .,
OS """

Зигмунда обобщался Г.Харди и Дж. Литтлвудом [И], К. Яно [12], Л.В.
Жижиашвили [5], Г.С. Сурвилло [9] и другими математиками. Первые
результаты по чезаровской суммируемости отрицательного порядка в
метрике пространства L_p[a,b] были получены Л.В. Жижиашвили
(анонсированы в 1975 году в работе [6] и доказаны в 1976 году в работе [7]).
Они относятся к рядам Фурье по тригонометрической системе Ф и
устанавливают интегральные условия на функцию f(x), достаточные для
выполнения соотношения (2). Позднее достаточные условия того же типа
были получены Т.П. Ахобадзе [I]. Обобщения на двойные

тригонометрические ряды Фурье рассматривали Л.В. Жижиашвили [8] и У. Гогинава [4].

Условия другого типа используют скорость стремления к нулю коэффициентов Фурье функции f(x). А. Зигмунд [14] заметил, что если 2л периодическая функция f(x) всюду удовлетворяет условию Липшица порядка а (О < а < 1),

4г ⁺ І (^fl-^cos "* ⁺ К ^sin ) (3)

- ее ряд Фурье по тригонометрической системе Ф, то коэффициенты Фурье

(2,1

f(x) удовлетворяют условию -Jal+b* =0(п~^а), то есть отношение У-1 —

ограничено. Сопоставив этот факт с полученным им результатом, отмеченным выше, А. Зигмунд [14] сформулировал задачу:

су.ммируем ли ряд (3) методом Чезаро отрицательного порядка, соответствующимпорядкукоэффициентов?

Л.В. Жижиашвили [7] отметил, что соотношение

[S/C^WcasJbr + fcjSinLt)! =о<»^1+я) (N-+-0

является необходимым и достаточным для. (с,а)-суммируемости ряда Фурье (З)функции /(л) к f(x) в метрике пространства L_p[-n,n\ ip^+,a>-l.

5 В 1985 году китайский математик Wang Zhengao [13] показал, что условие

является необходимым и достаточным для (с,«^-суммируемости ряда Фурье (3) функции f(x) к f(x) в метрике пространства [-я,тг} -1<а<0, а в случае квазимонотонных последовательностей {а„ },{&„} таким условием является условие а„ +Ь_п =о(л"). Кроме того, им доказана

Теорема А. Если -\<<Х<—, то \<у"(х,f)-f(x)\ =oi\) тогда и только

тогда, когда

KI+KI=<>(«").

Тем самым Wang Zhengao дал отрицательный ответ на вопрос А. Зигмунда для -1<а<— в пространстве Ц-я,я] и тем более в случае равномерной

суммируемости.

В 1988 году Г.С. Сурвилло и автор [16] распространили утверждение теоремы А на ряды Фурье-Виленкина по мультипликативным ортонормированным системам X. Естественно возникают задачи

(А) проверить, сохраняется ли утверждение Wang Zhengao для произвольных ортонормированных систем Ф в пространстве l\a,b\ и можно ли его перенести на пространства L_p\a,b],p> 1;

(Б) попытаться найти условия на коэффициенты Фурье функции f(x),

при выполнении которых соотношение (2) имеет место для —<а<0.

Целью работы является решение задач (А) и (Б).

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории приближения функций, а также при чтении спецкурсов.

Апробация Диссертации. Результаты диссертации докладывались на заседании кафедры математического анализа Московского государственного педагогического института в 1988 году, на заседаниях 5-й и 6-й Саратовской зимней школы по теории функций и приближений в 1990 и 1992 годах, на заседании Красноярского городского семинара по комплексному анализу в 2004 году.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15] - [19]. Из совместных статей в диссертацию включены лишь результаты, полученные лично автором.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на шесть параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 21 наименование. Объем диссертации 61 страница. Нумерация утверждений включает последовательно номер главы и порядковый номер утверждения в главе.

Свойства чисел Чезаро

В формулировке теоремы 3.2 последовательность {р„} простых чисел определяет ортонормированную систему Виленкина [4]. При доказательстве теоремы 3.2 существенно используются свойства ядра системы Виленкина X. Поэтому примененный метод доказательства может быть использован для доказательства утверждений, аналогичных теореме 3.2, только для систем Ф с похожими свойствами ядер этих систем. Автор выражает благодарность своему научному руководителю Сурвилло Геннадию Станиславовичу за постановку задачи и постоянное внимание к работе. Глава 1. Методы суммирования Чезаро 1. Определение (С, а) — суммируемости Методы суммирования числовых и функциональных рядов, названные позднее методами суммирования Чезаро (или чезаровскими методами суммирования), были предложены в 1890 году итальянским математиком Э.Чезаро [14]. Определение 1.1. Ряд со 2Х ал) с частичными суммами S„ , называется суммируемым методом Чезаро порядка а ((С, а) — суммируемым) к сумме S, если limcr? — ІІт—— = S л - оо ft—+й A (1.2) где А и S" определяются, как коэффициенты разложений »я = (і- Г-\ (1.3) 5#х" = (l-xr±Snx" = а-хГ-1 апх". (1.4) п-0 Цри этом S" и а" = — называются соответственно чезаровской суммой и чезаровским средним порядка а ряда (1.1), л числа А" - числами Чезаро порядка а. Сумму S в (1.2) называют чезаровской суммой ряда (1.1). о; В дальнейшем о будем называть также (С, а) -средним ряда (1.1). Получим явное выражение чисел Чезаро А" из равенства (1.3). Для этого воспользуемся разложением функции (І- )"""1 в биномиальный ряд по формуле 2! п\ " где т - любое действительное число, отличное от нуля и всех натуральных чисел. Положив т = -а -1, t = х, находим (1-хГ- =1Ц.(ч»-1Х-ж)+( "1 "2)(-х)а +... , , „ (а + 1)(аг + 2) j (-1)п(а + 1)(сг + 2)-...(а: + я) , „„ „ = 1 + (а + 1)х + - - -Xі + ... + -—— - І --(-1) х +...= 2! п\ К = 1 + (a + l)jc+ + 1 + 2 JC4...+ (g + 1Xa + 2)--(tr + ")x"+.... 21 и! Таким образом, (I - д:)- 1 = 1 + V (к + 1Хд + 2)----(ан-")хд л-1 "і и равенство (1.3) можно записать в виде (g +1 )(а+2) .,. (а + п) „ Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим ла — li лп . , л —i, z,.... я! Чтобы выразить S" через члены ряда (1.1), воспользуемся правилом умножения рядов. Имеем, используя (1.3), (1 - хУа-11 % = [1 4х" І S а/ = flo + W4 + йі) + 4 + 4 + +-- + 1 0 = +Цай0 + а1)х + ...+( І Л Л ]хл +... = 11 _Л Xй. V =0 ) /i=OU-0 У Из равенства (1.4) находим (1.6) я-0 n O V -0 И ЗГ-БСА (1.7) =0 Чтобы выразить 5" через частичные суммы S„ ряда (1.1), применим к правой части равенства (1.7) преобразование Абеля [3, стр. 17] я-1 » n=I -«w)f +«л» UO Jt-O где V„ = v0 + v, + „. + v„. Положив uk = AZ.k,vk=at получим $я - Zj И"- 4.- -I ) к + ""О "и к-й Но - Лп-к-ц \ п 4.r - ,jC Л- - [(„- )К« + 1)(а + 2)-...-(а + я- -0 J -А Л_ а _ а (fr + l)(g + 2)-...-(g + n-A:-l) _ -к } п к п-к {п-к \)\ _f(g-l)-HT(g-l) + 2l.....f(g-l) + i.-Al_ , к0 (и-А)! " Поэтому /1-І Поскольку АІ = А [ = 1, из последнего равенства получаем s:=±Aiist- (1-.8) 1.0 Используя равенства (1.7) и (1.8), получаем 1 = ±Л«п_как «\ ±At\Sk (1.9) Л" ft=0 Ля А=0 и соотношение (1.2) можно записать в виде Xxmo n=\\m A Sk=\\m Y; -bab=S- (ідо) Первоначально методы (С, а) были определены Э. Чезаро для натуральных значений параметра а . Позднее они были распространены на произвольные значения а, в том числе и комплексные.

При этом ясно, что нужно требовать выполнения условия a -1,-2,..,, так как при а — -1,-2,... соотношения (L2) и (1.10) теряют смысл согласно (1.6). Если а = 0, то из (1.6) получаем, что л =\п=0,1, 2,...,поэтому согласно (1.7) =5„ииз (1.2) (или (1.10)) видим, что ип -Sn , то есть суммируемость (С,0) совпадает с обычной сходимостью ряда (1.1). 2. Свойство чисел Чезаро Установим; свойства чисел Чезаро, используемые в дальнейшем при доказательстве основных теорем. Напомним, что согласно (1.6) Лемма 1.1. Если -1 а 0, /ио А убывает по п. Доказательство. Заметим, что для -1 а 0 имеем а+1 0, поэтому А? 0, п = 0, I, 2, .... Далее, Отсюда Л"+1 Л для всех натуральных значений п . Леммадоказана: Лемма 1.2. Если -1 а 0, то — убывает по и. Доказательство. Обозначим /.i„ = - и рассмотрим отношение - . В і і -4Т-И а + и.+ l доказательстве леммы 1.1 показано, что — - = , поэтому 1 + - при и 1 в биномиальный ряд и используя свойство остатка знакочередующегося ряда, вытекающее из теоремы Лейбница [13, стр. 303], получим іД Если и=1, то — = —: — = 2 —- = — = . Поскольку Mt Аа2 A? Aa2 (а + 1)(а + 2) a + 2 кривая y 2a+i и прямая y = a + 2 имеют общие точки A(-l ;1) и B(0;2) и y# = 2e+l (ln2)2 0, то для агє(-1;0) кривая у-2а х выпукла вниз и лежит ниже хорды Дтоесть а + 2 2а \ - = 1 и //2 //,. М\ а+ 2 Лемма доказана. Лемма 1.3. Если -1 а 0,то А па. Доказателъстео. Воспользуемся формулой Эйлера-Гаусса [13, стр. 754] Г( ) = 1іт„" Ь2-3-...-(»-1) (1Л1) "-» а(а +1)(« + 2) ... (а + и -1) - со где Г(о) = ха_1е - гамма- функция, которая определена для а 0. о Положим в (1.11). а = а + 1. Получим Г(а + 1) = 1ипи і = limn = hm—. и- в (a + l)(or + 2)-...-(a+«) "- e (a + I)(a + 2) ...-(a + n) п- я A" Отсюда, учитывая, что — убывает по п по лемме 1.2, по свойству предела последовательности получаем — Г(ог + 1), « = 1,2,.... С другой стороны, в силу убывания — по «.имеем — — = ,п-\, 2,.... Поэтому Полученное неравенство (1.13) и означает, что А п Лемма доказана. и Лемма 1.4. Если -1 а 0,то lim =0н lim — :Г(а +1) О я—ь» п- я А Доказательство. По лемме L2 последовательность j — убывает по п, а в силу неравенства (1-12) ограничена снизу числом Г(« + 1) 0. Поэтому существует lim — Т{а +1) 0.

Поскольку Нт иа = 0, отсюда получаем, что П-+СО Ja И lim Л = 0. Лемма доказана. Лемма 1.5. Если -1 а 0, /яо «/ш любом фиксированном к lim Доказательство. При доказательстве леммы 1.1 получено, что A"+l g + n + 1 л + 1 Поэтому л , Л ,., А п-к п п-к А„-м Ап-\ п к + \ п-к + 2 Аа Аа Аа 4а п-к+1+а п-к+2+а п+а 2 \\\ y...fi-_»_) п-к + l + a) v «-A + 2 + cr \ n + aj и ог lim "- - lim »—ко Ла л— оо п а 1- п—к + \ + а \ lim 1 «-даі я - + 2 + аг lim f1-—] \ n+aj = 1, так что lim «-да лп к і Л = 0. Лемма доказана. Лемма 1.6.Если -\ а —, \ q 2,mo Ч A=ii \ !иг _ -1 А і \ п / к4" = 0(1). Доказательство. По лемме 1.1 А" убывает по я, поэтому А"_к и — -\ возрастают по к=\, 2, ..., п, А" к А и - --\ Ъ для k=l, 2,..., п. А„ А, ш Поэтому, обозначая через — [ целую часть числа - , получим для и ЙЬ« \Ч -1 ч4 л " + L2 +1 \ч -1 л-А \ п J kqU [f 9« „ п 2 (1.14) Щ1 \ п J " 4 v ДЛЯ первого множителя первого слагаемого в (1-14) с учетом (1.13) получаем А" Чі] -1 л -if] ,а Hf Г(а + 1) :[а + 1)па} = \ ) и -i\ Т? ,9« (а + 1)Г(а + 1)« (а + \)Г(а + 1)п 9г ?і 2 " (а + Г/Т (л+ 1) то есть этот множитель ограничен числом 29а(а + \)чГ"(а + 1) Офаниченность второго множителя первого слагаемого в (1.14) следует из сходимости обобщенного гармонического ряда 2 77 для Г— І2І оо p = -qa \, то есть 2_ кча kqa - Mi оо. A-I =1 Таким образом, первое слагаемое в (114) ограничено числом = Ml. Второе слагаемое в (1.14) оценивается с помощью (1.13) следующим образом: ш її. -1 \9 W t. п к Аа Л9 - - U Г 4-1 1 ] "-1 1+ !?« 34"(a + l) Г (, в+1Чї] Mi 1 + 1+ = А/з. .с/я 34"(a+-l)" T4{a + \) Ґ-Г 1 гда 2ч"(а + іу 1+ f (п-кГ 4iJ n]rq(a + \) 1 m Г (a + !)«-! Окончательно получаем, что f I =1 \ ї n—к -1 \ n J к4" М2+Мз=М. (1.15) Лемма доказана. Замечание. В доказательстве леммы 1.6 использовано свойство целой п части числа: если натуральное число п 2, то —. Доказательство этого свойства проводится непосредственно по определению целой части числа: целой частью числа х называется наиболыиее целое число, не превосходящее х. Это означает, что целая часть [х] удовлетворяет и неравенству х -1 [х] х. Для получаем — 1 -. Из левой частиav

Критерий (С,а)-суммируемости рядов Фурье в L [a,b],

Доказательство. Необходимость условия (2.6), очевидно, вытекает из теоремы 2.1. Докажем достаточность этого условия. Учитывая (2.3), ортонормированность системы Ф и определение коэффициентов Фурье, найдем коэффициенты Фурье ck функции f(x) aa(xtf). Имеем Поскольку 2 p +vo, из условия —+- = 1 находим, что Р я - = \-—=2-—, q = S— = —2І_ = і+ и \ q 2. Поэтому по теореме q р р р-\ р-\ р-\ Ф.Рисса с учетом равенств (2.17) и полноты системы Ф в L [a, b] имеем 1/W- : Л м 2=1, ,1 2-і -Af U=0 4=11 = Л" (2.18) Покажем, что слагаемые 2 4= ,4 1- к-А » ; \а и I к стремятся к нулю при к=п+\ п — 00, п а П Обозначим ft = - -. Тогда \cj = „«а и первое слагаемое в правой части (2.18) примет вид «іЛ« м Jfc=l п-к і \. п J (2.19) Кроме того, из условия (2.6) имеем \ч = 0. (2.20) lira pi ч — Lim а П \ J Возьмем теперь Е 0 произвольно. Из (2.20) по определению предела последовательности найдется номер Л такой, что для всех n N выполняется неравенство " гм (2.21) где М— постоянная из неравенства (1.15). По лемме 1.5 при любом фиксированном к— 1,2,..., NQ lim и—мя лп-к і v Л" У = 0. Поэтому, по определению предела последовательности, при каждом к = 1,2, ...JVo найдется номер iVk такой, что для всех n Nb \Я а п-к і t А J N.. (2.22) Положим N = max (JVo, N\t N2, ..., NN ). Тогда для всех п N выполняются неравенства (2.21) и (2.22) и выражение (2.19) можно оценить сверху с использованием неравенства (L15) следующим образом: S А=1 v п-к Аа \ п -1 k=N+l v А А N. -і kqa — ) 2М 2ЛГ A=i 2Af jb-iv.+1 — 2 гм кЧа + -М = . kqa По определению предела последовательности это означает, что выражение (2.19) (или, что то же, первое слагаемое в правой части неравенства (2.18)) стремится к нулю при « - со. Теперь докажем, что второе слагаемое в правой части неравенства (2.18), , стремится к нулю при П —л— оэ у1 ЧТО . « = 1,2,. п Отсюда CJ? V ,« = 1,2„ (2.23) По условию теоремы -1 а —, поэтому да -1 и -да 1. Известно, что Ч со - « irQ ряд %К пча = %—_— при -qa \ сходится, так как он получен из а J сходящегося обобщенного гармонического ряда умножением каждого его члена на постоянное число К4. Поэтому по теореме сравнения рядов из (2.23) получаем, что сходится ряд Цс„\ и значит, остаток его Л с стремится к нулю при И — оо. Таким образом, выражение в правой части неравенства (2.18) стремится к нулю при п -»оо. Поскольку выражение в левой части этого неравенства Ах)-сга(х,Л . 0, по теореме о промежуточной переменной заключаем, что р lim п—»00 Ах)-а (x,f)l =0, Теорема доказана. Из теоремы 2.4 вытекает" Следствие 2.2. Пусть функция f(x) є Lp[a,b], 2 р + х , и Ф = { р„(х)} о хє[а,Ь] - полная в Lp[a,b] ортонормированная система,удовлетворяющая условию \ рп(х) М + х , и = 0, 1, ... почти всюду на [a,b], р +q =1. Если -\ а. а. —, то (С,аО - суммируемость ряда Фурье функции 1 пространстве. Доказательство аналогично доказательству следствия 2.1. Глава 3. Достаточные условия (С,а)-суммируемости РЯДОВ Фурье В L[a,b]9 -]- а 0 В этой главе устанавливаются достаточные условия (С,а) суммируемости рядов Фурье для — а 0 в 2[а,б] и рядов Фурье Виленкина для — а 0 в Z,[o,l].

В предыдущей главе установлен критерий (С,сс)- суммируемости рядов Фурье в пространствах L \a,b\\ р 2 для -\ а — и необходимое условие (С,ос)- суммируемости для —1 or 0 в L [a,b\p l. Вопрос о достаточных условиях (С,а)- суммируемости для — а 0 остается открытым. В этом параграфе мы установим достаточные условия для указанных значений а в пространстве 2, [я,б]. Предварительно докажем одно почти очевидное утверждение. Лемма 3.1. Если и 0, Нт и -0 и и = max и, .то Нт и -0. Доказательство. Возьмем А 0 произвольно. Поскольку Нт// =0, найдется номер N такой, что для всех п N выполняется неравенство [І 2N + 1 = ЛГ + 1. ц є. Положим N = 2N. Тогда для n N будет - +1 поэтому все ц в определении цп меньше є. Значит и цп є. Лемма доказана. Докажем теперь, что имеет место Теорема 3.1. Пусть f(x)eL2[a,b\ Ф = {р„( )} =0- полная в L2[a,b] ортонормированная система. Тогда 1) если с =о Г і и I :— (3.1) то 7„2(Х,Л-/(Х) = о(1); (3.2) 2) если с о 4п; (3.3) то т(х,Л-/(х) = о(1), — ог 0. 2 (3.4) Доказательство. Используя неравенство треугольника в і [а,б], для -- а 0 имеем ( ,/)-/( ) + 1 ( ,Л-/( )2 (х,/)-5л(х,Я где S ( ,/) - частичная сумма ряда Фурье функции f(x) по системе Ф. В силу полноты Ф в пространстве і2[а,й] Sn{x,f)-f{x)2=o(X). Поэтому достаточно доказать, что aan(xtf) Sn(x,/ =o(\). Согласно (2,8) 2 я И Л- Ч-Ї- -1 I 2 k-i А1 Отсюда для п I" ,4 -1 м A Z? = +1 Л n-k Aa -=—1 V « J (3.5) Надо доказать, что каждое из трех слагаемых в (3.5) при выполнении условий теоремы стремится к нулю, когда п т оо. Рассмотрим первое слагаемое в (3.5). Возьмем є 0 произвольно. Обозначим Уи = k n/w- Из (3.1) и (3.3) следует, что lim/ - lime К/и =0, 2 Поэтому найдется номер N такой, что для всех fi NQ будет Yn - По лемме 1.5 при любом фиксированном A = 1,2,,..,// найдется номер Nk такой, что для всех п N выполняется неравенство \2 п к \А \ п -1 2Nr Положив N = max\NQ%NV...,NN , для п N получим Е N Т. У-к Аа -1 V t=12N \с I \ к _ Для оценки суммы и X і=ЛГ + п-к А V А -1 \2 применим лемму 1.8. Получим Ак [-1 ["1 [1 2 --" 2 2 — = I -тг =-7 Г п тт 2 —2 = =лг0+іи = 2Л(П+]) = (и + 1) = ЄҐ + П Л + О = 3-2n2 3n ЗІ, «J ЗІ 2 J 2 Таким образом, при выполнении условий (ЗЛ) и (3.3) первое слагаемое в правой части (3.5) при n N меньше є, то есть стремится к нулю при Я— 00, Рассмотрим третье слагаемое в (3.5). Имеем I ( \2 —1 : , \с Отсюда с помощью неравенства (1.13) получаем (\ \\ і fki [лап] (« + D2"2" (а + 1) (a + l)J і то есть \ ——1 \ Ап ) —1 (а + \У г \гл2 с \-яп а+— Л 2 J (3.6) Поскольку при выполнении условий (ЗЛ) и (3.3) \c\[fn =о(1), а а + 0 при — а 0, видим, что правая часть неравенства (3.6) стремится к нулю при «-»оо. Поэтому при выполнении условий (3.1) и (3.3) Нт = 0. Аа Рассмотрим, наконец, второе слагаемое в (3.5). Чтобы проводить рассуждения для — а О, введем обозначение для п 1

Достаточные условия (С, сг)-суммируемости рядов Фурье в L2[a,b]

В этой главе устанавливаются достаточные условия (С,а) суммируемости рядов Фурье для — а 0 в 2[а,б] и рядов Фурье Виленкина для — а 0 в Z,[o,l]. В предыдущей главе установлен критерий (С,сс)- суммируемости рядов Фурье в пространствах L \a,b\\ р 2 для -\ а — и необходимое условие (С,ос)- суммируемости для —1 or 0 в L [a,b\p l. Вопрос о достаточных условиях (С,а)- суммируемости для — а 0 остается открытым. В этом параграфе мы установим достаточные условия для указанных значений а в пространстве 2, [я,б]. Предварительно докажем одно почти очевидное утверждение. Лемма 3.1. Если и 0, Нт и -0 и и = max и, .то Нт и -0. Доказательство. Возьмем А 0 произвольно. Поскольку Нт// =0, найдется номер N такой, что для всех п N выполняется неравенство [І 2N + 1 = ЛГ + 1. ц є. Положим N = 2N. Тогда для n N будет - +1 поэтому все ц в определении цп меньше є. Значит и цп є. Лемма доказана. Докажем теперь, что имеет место Теорема 3.1. Пусть f(x)eL2[a,b\ Ф = {р„( )} =0- полная в L2[a,b] ортонормированная система. Тогда 1) если с =о Г і и I :— (3.1) то 7„2(Х,Л-/(Х) = о(1); (3.2) 2) если с о 4п; (3.3) то т(х,Л-/(х) = о(1), — ог 0. 2 (3.4) Доказательство. Используя неравенство треугольника в і [а,б], для -- а 0 имеем ( ,/)-/( ) + 1 ( ,Л-/( )2 (х,/)-5л(х,Я где S ( ,/) - частичная сумма ряда Фурье функции f(x) по системе Ф. В силу полноты Ф в пространстве і2[а,й] Sn{x,f)-f{x)2=o(X). Поэтому достаточно доказать, что aan(xtf) Sn(x,/ =o(\). Согласно (2,8) 2 я И Л- Ч-Ї- -1 I 2 k-i А1 Отсюда для п I" ,4 -1 м A Z? = +1 Л n-k Aa -=—1 V « J (3.5) Надо доказать, что каждое из трех слагаемых в (3.5) при выполнении условий теоремы стремится к нулю, когда п т оо. Рассмотрим утверждение. Лемма 3.1. Если и 0, Нт и -0 и и = max и, .то Нт и -0. Доказательство. Возьмем А 0 произвольно. Поскольку Нт// =0, найдется номер N такой, что для всех п N выполняется неравенство [І 2N + 1 = ЛГ + 1. ц є. Положим N = 2N. Тогда для n N будет - +1 поэтому все ц в определении цп меньше є. Значит и цп є. Лемма доказана. Докажем теперь, что имеет место Теорема 3.1. Пусть f(x)eL2[a,b\ Ф = {р„( )} =0- полная в L2[a,b] ортонормированная система. Тогда 1) если с =о Г і и I :— (3.1) то 7„2(Х,Л-/(Х) = о(1); (3.2) 2) если с о 4п; (3.3) то т(х,Л-/(х) = о(1), — ог 0. 2 (3.4) Доказательство. Используя неравенство треугольника в і [а,б], для -- а 0 имеем ( ,/)-/( ) + 1 ( ,Л-/( )2 (х,/)-5л(х,Я где S ( ,/) - частичная сумма ряда Фурье функции f(x) по системе Ф. В силу полноты Ф в пространстве і2[а,й] Sn{x,f)-f{x)2=o(X). Поэтому достаточно доказать, что aan(xtf) Sn(x,/ =o(\). Согласно (2,8) 2 я И Л- Ч-Ї- -1 I 2 k-i А1 Отсюда для п I" ,4 -1 м A Z? = +1 Л n-k Aa -=—1 V « J (3.5)

Надо доказать, что каждое из трех слагаемых в (3.5) при выполнении условий теоремы стремится к нулю, когда п т оо. Рассмотрим первое слагаемое в (3.5). Возьмем є 0 произвольно. Обозначим Уи = k n/w- Из (3.1) и (3.3) следует, что lim/ - lime К/и =0, 2 Поэтому найдется номер N такой, что для всех fi NQ будет Yn - По лемме 1.5 при любом фиксированном A = 1,2,,..,// найдется номер Nk такой, что для всех п N выполняется неравенство \2 п к \А \ п -1 2Nr Положив N = max\NQ%NV...,NN , для п N получим Е N Т. У-к Аа -1 V t=12N \с I \ к _ Для оценки суммы и X і=ЛГ + п-к А V А -1 \2 применим лемму 1.8. Получим Ак [-1 ["1 [1 2 --" 2 2 — = I -тг =-7 Г п тт 2 —2 = =лг0+іи = 2Л(П+]) = (и + 1) = ЄҐ + П Л + О = 3-2n2 3n ЗІ, «J ЗІ 2 J 2 Таким образом, при выполнении условий (ЗЛ) и (3.3) первое слагаемое в правой части (3.5) при n N меньше є, то есть стремится к нулю при Я— 00, Рассмотрим третье слагаемое в (3.5). Имеем I ( \2 —1 : , \с Отсюда с помощью неравенства (1.13) получаем (\ \\ і fki [лап] (« + D2"2" (а + 1) (a + l)J і то есть \ ——1 \ Ап ) —1 (а + \У г \гл2 с \-яп а+— Л 2 J (3.6) Поскольку при выполнении условий (ЗЛ) и (3.3) \c\[fn =о(1), а а + 0 при — а 0, видим, что правая часть неравенства (3.первое слагаемое в (3.5). Возьмем є 0 произвольно. Обозначим Уи = k n/w- Из (3.1) и (3.3) следует, что lim/ - lime К/и =0, 2 Поэтому найдется номер N такой, что для всех fi NQ будет Yn - По лемме 1.5 при любом фиксированном A = 1,2,,..,// найдется номер Nk такой, что для всех п N выполняется неравенство \2 п к \А \ п -1 2Nr Положив N = max\NQ%NV...,NN , для п N получим Е N Т. У-к Аа -1 V t=12N \с I \ к _ Для оценки суммы и X і=ЛГ + п-к А V А -1 \2 применим лемму 1.8. Получим Ак [-1 ["1 [1 2 --" 2 2 — = I -тг =-7 Г п тт 2 —2 = =лг0+іи = 2Л(П+]) = (и + 1) = ЄҐ + П Л + О = 3-2n2 3n ЗІ, «J ЗІ 2 J 2 Таким образом, при выполнении условий (ЗЛ) и (3.3) первое слагаемое в правой части (3.5) при n N меньше є, то есть стремится к нулю при Я— 00, Рассмотрим третье слагаемое в (3.5). Имеем I ( \2 —1 : , \с Отсюда с помощью неравенства (1.13) получаем (\ \\ і fki [лап] (« + D2"2" (а + 1) (a + l)J і то есть \ ——1 \ Ап ) —1 (а + \У г \гл2 с \-яп а+— Л 2 J (3.6) Поскольку при выполнении условий (ЗЛ) и (3.3) \c\[fn =о(1), а а + 0 при — а 0, видим, что правая часть неравенства (3.6) стремится к нулю при «-»оо. Поэтому при выполнении условий (3.1) и (3.3) Нт = 0. Аа Рассмотрим, наконец, второе слагаемое в (3.5). Чтобы проводить рассуждения для — а О, введем обозначение для п 1

Достаточные условия (Cta)- суммируемости рядов Фурье- В иленкина в пространстве L[o,\]

Пусть = 1 , (х) Г. д: є [о, і]- мультипликативная периодическая ортонормированная система, впервые рассмотренная Н.Я. Виленкиным [4]. Каждая такая система определяется некоторой последовательностью простых чисел р 2, п = 0,1,2, Положим и обозначим Sn{x,f) = X ck%.(x), п = 0,1,2,. частичные суммы ряда Фурье-Виленкина, где ct = lAx)Zk(x)dx. В этом параграфе доказывается, что для (С,сс)- суммируемости рядов Фурье-Виленкина в пространстве L [o,l] при а=— достаточно выполнения условия (3.1), а при — а 0 - условия (3.3). Именно, справедлива Теорема 3.2. Пусть /(х) є i[o,l] и supp +QO. Тогда Второе слагаемое в (ЗЛЗ) оценивается сверху с помощью неравенств (ЗЛ2) и (1.29) числом 2п-1 А„ , -А. є 2п-\А. ,,-А, Е у і 2п-к-\ к с , & у 2ft-fc-I к . fc - А/ — =лг.+1 (2п-к)А"я 2М 2М №(2п-к)А"п Для первого слагаемого в (ЗЛЗ) с помощью неравенства (1ЛЗ) получаем 1 И (2Я-А-1Г, . Zn-Jt-lntl — при и N}. Полагая N max N N находим, что первое слагаемое в (ЗЛО) меньше є при « N , то есть стремиться к нулю при и - от. Второе слагаемое в (ЗЛО) стремится к нулю при я мв силу (3-11). Лемма доказана. При доказательстве следующего вспомогательного утверждения используются некоторые свойства функций хк{х) и обобщенного умножения , определенного на «модифицированном отрезке» [ОД], для которого - каждая точка вида — считается дважды — как правый конец отрезка т к-\ к _к_ к + \ т т п п [10, стр. 469 - 472]. п т т п п, и как левый конец отрезка

Свойства обобщенного умножения: 1. Имеет место равенство 0 х = х. Для каждого числа х отрезка [ОД] есть такое число дГ1, что дгх" =0, то есть нуль является единичным элементом относительно обобщенного умножения. 2. При обобщенном умножении на числа, принадлежащие отрезку О — т„ числа отрезка s s + l т„ та .v = 0.1,...,mn-l, переходят в числа того же отрезка. Свойства функций Хк(х) Г. Функции Хк(хУу. к 0у\;...,тп-1; постоянны-на промежутках вида. Г г 1+1 ,/ = 0,1,... тп-\, причем принимаемые ими значения являются VW« тп J корнями /ий-й степени из единицы. 2. Имеет место формула ХЛ ) Хп(У) = X»(х _1 \х,уе [ОД] 3. Справедливо равенство /п-1 tzki ) = =0 т ,если х є 0, если х 0, т т о, Лемма 3.4. Для последовательности уп , определенной равенствами (3. 8), и функции f(x) є Z[0,l] S і( .Л-/ )!. =o(l),«- «, (3.15) Доказательство. Учитывая определения частичной суммы ряда Фурье, коэффициентов Фурье, нормы в пространстве [0,1] и свойства интеграла Лебега, получим т -1 Sm _,( ,/)-/( = iSm _l(x,f) f(x)dx=lXckZk(x)-f(x) А=0 ч о 1 т -її = И/ УУЇ. Xk(x)x k(y)dy-f(x)dx. 0 0 =о & = (3.16) Положим &т У)= ±Хк{ )хк(У) k=Q По второму свойству функций %к(х) имеем -и т-\ D„{x,y)= 1:хЛх0у 1, Лс=0 (3.17) а на основании третьего свойства из (3 Л 7) получаем, что Л,( о0 = го ,еС7«д:;и є 0. есл» л @ у 0, т Поскольку по первому свойству хЛ ) (fc = 0,l,...,m -1) принимает постоянные значения на промежутках вида і т т \ п п ,/ = 0,1,...,/« -1, равные корням т -ой степени из единицы, для любых значений x,ys _/_ / + 1 /и т \ п и / имеем хк(х) = Хк0 ) поэтому Хк( ) Хк( ) 1 и D (х.у)= l = m =0 т т . п п / ,// + 1 Если же значения хну принадлежат разным промежуткам вида —, оЛ т п. -1 то х 8 у , так как в противном случае было бы \х y l J у = у , где у по второму свойству обобщенного умножения принадлежит тому же промежутку, что и у, и, с другой стороны, по первому свойству обобщенного умножения, \х 8 у 1 J у = х \у Э у]= х 0 = х, то есть х = у1 и, оЛ т п _ ху Й тем самым, х и у принадлежат одному промежутку. Поскольку , то D (х,у) = 0. т Таким образом мы установили, что t / + 1 m m \ n n ) Д ( ,У Ч / / + f . т т . \ и п / I U\ т , если х, у є ,yz 0, есш х є m m \ n n j (3.18) где / /, tj = 0,1,...,m„-l. Теперь, имея в виду равенство (3.18), преобразуем (3.16) следующим образом: dx = /+i1 m 5m _,( ,/) -/(x)IT m —i " = 1 Jі /=o / if(y)Dm(x,y)cfy-f(x)0 dx = т. 1+1 Ы / + 1 /+1 т -I w m PJ -1 "Ї w Г 1 = 2 JУ=0 _/_ if(y)mndy-f(x) /=0 J_ \[f{y)mn-mj(x)\iy m M 1+Ї m m m -1 m, /=0 J_ m_/_ dx. (3.

Похожие диссертации на Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве p [a, b]

Модули гладкости произвольных порядков и преобразованные ряды ФурьеТихонов Сергей Юрьевич

Об аппроксимативных свойствах классических средних и арифметических средних с пропусками тригонометрических рядов Фурье и их сопряженных рядов Леладзе Давид Вахтангович

О сходимости рядов Фурье почти-периодических функций и кратных тригонометрических рядов Гуния Николоз Григорьевич

Приближение классов периодических функций линейными средними их рядов Фурье Бушев Дмитрий Николаевич

Исследование отклонений линейных средних рядов Фурье на классах периодических функций Грона Вадим Леонидович

Приближение непрерывных периодических функций линейными средними их рядов ФурьеНовиков Олег Александрович

Линейные средние рядов Фурье функций нескольких переменных Нахман Александр Давидович

Регулярность и аппроксимативные свойства линейных методов суммирования двойных рядов Фурье Носенко Юрий Лаврентьевич

Сходимость простых и двойных рядов Фурье по полным ортонормированным системамГригорян, Мартин Геворгович

Поведение частичных сумм тригонометрических рядов ФурьеАнтонов, Николай Юрьевич