Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Достаточные условия интегрируемости двойных тригонометрических рядов
I. Основные обозначения и определения 14
2. Достаточные условия типа Сидона-Теляковско-го интегрируемости двойных тригонометриче ских рядов из косинусов 16
3. Достаточные условия типа Сидона-Теляковско-го интегрируемости двойных тригонометриче -ских рядов из синусов и косинусов и из синусов 24
4. Достаточные условия типа Фомина интегриру -емости двойных тригонометрических рядов из косинусов 31
ГЛАВА II. Аппроксимативные свойства прямоугольных средних рисса двойных рядов Фурье
1. Оценка уклонения непрерывных функций двух переменных от их прямоугольных средних Рисса 39
2. Точная оценка уклонения непрерывных функций двух переменных от их прямоугольных средних Рисса четных показателей 59
3. Порядок уклонения от их прямоугольных средних Рисса 63
ГЛАВА III. Регулярность свойства средних типа Бернштейна двойных рядов Фурье
1. Регулярность средних типа Бернштейна-Рогозин-ского в случае частичных сумм по параллело - граммам и треугольникам 70
2. Средние Бернштейна-Рогозинского в случае частичных сумм по произвольным многоугольникам 88
3. Регулярность средних типа Бернштейна-Рогозинского в случае распределения меры по некоторым фигурам и линиям 94
4. Аппроксимативные свойства двумерных прямо - угольных средних Бернштейна и Рогозинского 100
- Достаточные условия типа Сидона-Теляковско-го интегрируемости двойных тригонометриче ских рядов из косинусов
- Достаточные условия типа Фомина интегриру -емости двойных тригонометрических рядов из косинусов
- Точная оценка уклонения непрерывных функций двух переменных от их прямоугольных средних Рисса четных показателей
- Средние Бернштейна-Рогозинского в случае частичных сумм по произвольным многоугольникам
Введение к работе
В диссертации изучаются линейные методы суммирования (линейные средние) двойных рядов Шурье. При этом основное внимание уделяется регулярности линейных средних двойных рядов Фурье непрерывных функций и аппроксимативным свойствам этих средних в терминах различных модулей гладкости рассматриваемых функций.
В одномерном случае эти вопросы изучались в работах многих авторов, и в большинстве случаев здесь найдены окончательные ответы, изложенные в фундаментальных монографиях Н.К. Бари [і] и А. Зигмунда [2] , [з] . Отметим также монографии Н.И. Ахие-зера [4] , А.Ф. Тимана [5] , В.К. Дзядыка [б] , широко и обстоятельно освещающие вопросы по данной тематике.
Иная ситуация в случае двойных (и вообще кратных) рядов Фурье. Теория этих рядов (кроме отдельных результатов Л. Тонел-ли, С. Бохнера) получила широкое развитие в последние 15-20 лет. По кратным рядам имеются отдельные главы в монографиях А. Зиг -мунда [з] , СМ. Никольского І7І , И.Стейна и Г. Вейса [8J , обзоры [9] , [10J , [її] (см. также [12] , [13] ). Среди отдельных результатов отметим здесь работы Ч. Феффермана, И. Стейна, К.И. Бабенко, В.А. Ильина, Ш.А. Алимова, Е.М. Никишина.
Тем не менее, теория кратных рядов Фурье развита значи -тельно слабее, чем в одномерном случае. Трудности, связанные с кратными рядами Фурье, являются как чисто техническими (порой они значительные), так и специфическими для кратного случая, связанными иногда с существенными отличиями отдельных моментов теории простых и кратных рядов Фурье (скажем, неоднозначность определения частичной суммы кратного (уже двойного) ряда, причем каждый отдельный случай здесь так же оправдан, как и все остальные).
Так что получение новых результатов по двойным рядам, несомненно, представляет интерес.
Отметим, что подавляющее большинство результатов диссертации (во всяком случае результатов глав I и II) может быть легко перенесено на К - мерный ( И 7 &) случай с использованием тех же методов доказательств.
Любой функции двух переменных f Є С(Т ) (обозначения в I главы I), 2* н - периодической по каждой переменной %< и J^ , поставим в соответствие ее ряд Фурье fM~L i— є ( С„ „ J - последовательность ее коэффициентов Фурье. Известно, что этот ряд может расходиться в каждой точке. Поэтому естественно рассмотреть линейные средние (метод суммирования) ряда Фурье определяемые матрицей /I Д **' || (в частности, здесь получаются различные частичные суммы ряда Фурье, например, прямоугольные, сферические при соответствующем выборе множителей X ).
Актуальными здесь являются две группы вопросов. Одна из них связана с нахождением условий регулярности рассматриваемых средних, а вторая - с выяснением скорости сходимости (аппроксимативных свойств) таких средних к порождающей их функции.
Как известно, изучение регулярности линейных средних ря дов Шурье» а часто и их аппроксимативных свойств непосредствен но связано с выяснением ограниченности констант Лебега. Провер ка ограниченности их часто затруднительна. Как правило, она осуществляется путем проверки (по возможности нетрудной) при- надлежности множителей \ некоторому классу множителей, для которого уже доказана ограниченность соответствующих констант Лебега.
Впервые эта задача в общем виде сформулирована, а в слу-
,((i) чае класса выпуклых \ и решена в работе СМ. Никольского [14] . После этого появился ряд работ, где определялись новые классы, как правило, в терминах различных разностей А„ ; от-метим здесь работы Надя [15] , А.В. Ефимова [іб] , С.А. Теляковского [17] - [22] ( см. также [23] ).
Поскольку константы Лебега представляют собой обычно ин -тегралы от модулей сумм некоторых тригонометрических рядов, то вопрос ограниченности констант Лебега, значит, тесно связан с вопросом интегрируемости сумм соответствующих рядов. По интегрируемости рядов в одномерном случае имеется большое количество работ. Сошлемся здесь на обстоятельный обзор в работе С.А. Теляковского [18] и отметим полученные позже результаты в работах [22]-[27] .
Сказанное выше относится к одномерным тригонометрическим рядам. В кратном же случае по вопросам интегрируемости сумм тригонометрических рядов имеются лишь единичные результаты. Отметим работы Я.С. Бугрова [28] , С.А. Теляковского [19] , [29].
Задача получения новых признаков интегрируемости двойных тригонометрических рядов является, таким образом, актуальной. P.M. Тригубом [41] впервые в одномерном случае получены двусторонние оценки уклонений функций от линейных средних их рядов Фурье через модули гладкости этих функций. Для средних Рисса такая задача решена P.M. Тригубом и В.В. Жуком. Представляют интерес оценки уклонений функций двух переменных от их прямоугольных средних Рисса через модули гладкости этих функций.
Средние типа Бернштейна-Рогозинского в общем виде введены P.M. Тригубом в [ЗО] . В этой же работе изучается регулярность этих средних в некоторых случаях. Средние типа Бернштейна-Рогозинского - довольно общие средние. Несомненный интерес представляют вопросы, связанные с их регулярностью в различных ситуациях (в частности, когда сходимость ряда понимается в смысле сходимости его частичных сумм по различным многоугольникам, а соответствующая мера дискретная).
Вопросы, близкие к затронутым, изучались в кратном случае рядом авторов. Отметим здесь работы P.M. Тригуба [30 ] - [3 Э.С. Белинского [33] , P.M. Тригуба и О.И. Кузнецовой [34] , А.Н. Подкорытова [35] , [36], СП. Байбородова [37], В.Т. Гаври-люк [38], А.И. Степанца [12, главы У и УІ] , А.Г. Лебедя Г39І, М.Ф. Тимана и В.Г. Пономаренко [55] .
Настоящая работа посвящена двойным рядам. Получены новые (для двумерного случая) признаки интегрируемости тригонометрических рядов. Затем исследуются аппроксимативные свойства прямоугольных средних Рисса, Бернштейна и Рогозинского двойных рядов Фурье непрерывных функций, а также исследуется регулярность группы линейных методов, а именно, средних типа Бернштейна-Рогозинского .
Остановимся подробнее на содержании настоящей диссертации. Работа состоит из введения, II параграфов, сгруппированных в три главы, и списка цитированной литературы.
Все полученные в работе результаты связаны между собой следующим образом. Результаты, относящиеся к интегрируемости двойных тригонометрических рядов, полученные в главе I, используются затем в главах II и III для выяснения регулярности и аппроксимативных свойств некоторых средних, а двусторонние оценки уклонений, полученные в главе II для случая средних Рисса, ис -пользуются затем в главе III для доказательства соответствующих уклонений в случае некоторых других средних.
В первой главе получены новые достаточные условия типа Си-дона-Теляковского (типа о- / ) и типа Фомина (типа F ) (названия связаны с тем, что в одномерном случае это - условия Си-дона в форме, найденной С.А. Теляковским, а также условия, по -лученные Г.А. Фоминым).
При изучении интегрируемости рядов нашей основной задачей является получение оценок интегралов от модулей сумм рядов. Именно такого типа результаты далее в работе используются для оценок констант Лебега.
I не содержит результатов. Здесь приведены только основные обозначения и определения, часто встречающиеся в работе.
В 2 обобщаются условия интегрируемости тригонометриче -ских рядов Сидона-Теляковского ( S-T) в случае рядов из косинусов на двумерный случай. Условия «J-/ достаточно простые, легко проверяемые, удобны в приложениях. Поэтому они послужили толчком к целому ряду работ. Известно, в частности, несколько усилений (в одномерном случае) этих условий в работах f40J, [24], [26], [27] .
В двумерном случае условия типа S—T также оказались достаточно простыми и легко проверяемыми (особенно в случае, когда коэффициенты ряда являются значениями некоторой финитной функции двух переменных), что и продемонстрировано при доказательстве некоторых последующих результатов.
Теорема I.I. Если коэффициенты ряда Л^ = -, у>окх=/>„,<, =-^ (к,*0, ^0),^^=1(^0,^ > 0) ) KJ0»k< V1.A tO.ib V^, \A^0, Д a |^A_ , Z! ZI A_ -—, то ряд является сходящимся всюду на [.0,ft] X [о, tr\ , кроме, быть может, точек, гдеУ-tf = 0, сумма его абсолютно интегрируема на
0,7г] X [0, frj и 7Г 7/ во о*» в*9 III L ZL/>^tf "^,v^
В 3 получены условия типа S-T интегрируемости двойных тригонометрических рядов из синусов и косинусов и из синусов. Для последних указаны условия, при которых эти ряды являются рядами Фурье.
4 содержит достаточные условия типа г интегрируемости двойных тригонометрических рядов из косинусов. В одномерном случае, как отмечено, эти условия получены Г.А. Фоминым [24). Теорема 1.4 переносит эти условия на двумерный случай.
В главе II изучаются аппроксимативные свойства прямоуголь- ных средних Рисса Q (/; X,,XZ) непрерывных (в 3 из Lp , 1 < р < о^^/СЖ- периодических по каждой переменной функций двух переменных.
В I получены двусторонние оценки уклонений указанных средних Рисса от породивших их функций через модули гладкости этих функций. Впервые такие двусторонние оценки для линейных средних рядов Фурье (в одномерном случае) получены P.M. Тригубом [41J (см. и [б] ), а для средних Рисса - P.M. Тригубом [42] и В.В. Жуком [43] в случае четных и нечетных показателей соответственно (см. также [44, глава УП] ). Оказалось, что в двумерном случае такие оценки существенно отличаются от одномерного.
Теорема 2.1. /t - периодической по каждой переменной ^ и Х^ 3 положительные константы С1 и Сх , не зависящие от & Уп,, h, , что ( % - четное)
Здесь bf - частные модули гладкости -f
Подобный результат получен и для нечетных показателей.
Теорема 2.2 утверждает, что оценки, полученные в теореме 2.1 являются окончательными в том смысле, что в левой части двойного неравенства теоремы нельзя поставить сумму частных модулей гладкости тех же порядков, что и в правой.
В 2 при условиях теоремы 2.1 ( М =*г ) получена оценка (теорема 2.4) где Я? - специальный модуль гладкости, введенный P.M. Тригубом [32] .
Оценка рассматриваемого уклонения для fcLPf 1^ ?<**=> получена в 3.
Теорема 2.5. V/6 Ь 1<~р < <^> t Zfr - периодической по каждой переменной, существуют положительные константы Сі и Сл , не зависящие от -f, У*>, п> , такие, что (76N,SeN)
В главе III получены условия регулярности средних типа Бернштейна-Рогозинского и исследованы аппроксимативные свойства двумерных прямоугольных средних Бернштейна и Рогозинского.
Средние типа Бернштейна-Рогозинского имеют вид [30J (один частный случай см. в [45] )
Здесь е)я - частичная сумма ряда Фурье f , порожденная областью Wq t К^А/,^6 Ry U - некоторая конечная борелева мера.
Сначала в I изучена регулярность таких средних при условии, что \Х/0 - некоторый параллелограмм, а мера дискретная.
Теорема 3.1. Пусть Wq - параллелограмм, симметричный относительно начала координат. Средние /?к регулярны лишь в случае, если носитель меры состоит не менее, чем из четырех точек. В случае четырех точек эти средние регулярны тогда и только тогда, когда эти точки являются вершинами параллелограмма V(/ , причем стороны \X/Q и Ц/j взаимноперпендикулярны, мера равномерно распределена в этих точках, а отношение произведений длин двух неперпендикулярных сторон Wo и \X/f равно отношению двух нечетных чисел.
Отметим, что в этой теореме содержатся как необходимые, так и достаточные условия регулярности средних типа Бернштейна-Рогозинского при указанном \)(/0 .
Кроме того, изучена регулярность средних |? в случае, когда - треугольник (теорема 3.2).
Пусть теперь vJq - многоугольник, обладающий свойствами: ни одна его сторона не лежит на прямой, проходящей через начало координат, W0 не содержит более двух параллельных между собой сторон, начало координат находится внутри Wo
В 2 найдены условия регулярности /?к в случае, если \a/q - рассмотренный выше многоугольник.
Теорема 3.3. Пусть Wp - многоугольник, удовлетворяющий свойствам I) - 3), а Шг - максимальное количество его сторон, никакие две из которых не параллельны между собой. Мож- ._. „ таких точек, что если мера расположена в них равномерно, то riк регулярны.
В 3 (теорема 3.4) изучается регулярность средних типа Бер-нштейна-Рогозинского в случае распределения меры по некоторым фигурам и линиям. Некоторые из этих результатов дополняют соответствующие результаты P.M. Тригуба [30] для двумерного случая (или являются промежуточными между результатами из [30J ).
Наконец, в 4 исследуется уклонение непрерывных функций от их прямоугольных средних Бернштейна и Рогозинского.
Отдельные результаты и главы диссертации были доложены на
Республиканской школе-семинаре по современным вопросам теории приближения функций (Кацивели, 1978), Зимней школе по теории функций и приближений (Саратов, 1982), Международной конференции по теории приближения функций (Киев, 1983).
В целом диссертация докладывалась на семинаре СБ. Стечки-на (отдел теории функций Математического института АН СССР, Москва, 1983), на семинаре лаборатории гармонического анализа Института математики АН УССР (Киев, 1983), на совместном семинаре по теории приближения функций Института прикладной мате -матики и механики АН УССР и Донецкого государственного университета (Донецк, 1983).
Основные результаты работы опубликованы в статьях [65 J --[72] .
Основные положения, вынесенные на защиту: достаточные условия типао-Т и F интегрируемости двойных тригонометрических рядов (теоремы I.I, 1.3, 1.4); двусторонняя оценка уклонения непрерывных функций двух переменных от их прямоугольных средних Рисса четных показателей через модули гладкости этих функций (теоремы 2.1, 2.2, 2.4); двусторонняя оценка такого же уклоне -ния по норме в L» , 1'* Р^-оо (теорема 2.5); необходимые и достаточные условия регулярности средних типа Бернштейна-Рогозинского в случае частичных сумм по параллелограмму и носителя меры из четырех точек (теорема 3.1); достаточные условия регулярности RK в случае частичных сумм по многоугольникам (теорема 3.2).
Автор искренне благодарен своему научному руководителю доценту P.M. Тригубу за постановку задач, постоянное внимание к работе и поддержку.
Достаточные условия типа Сидона-Теляковско-го интегрируемости двойных тригонометриче ских рядов из косинусов
Как известно, изучение регулярности линейных средних ря дов Шурье» а часто и их аппроксимативных свойств непосредствен но связано с выяснением ограниченности констант Лебега. Провер ка ограниченности их часто затруднительна. Как правило, она осуществляется путем проверки (по возможности нетрудной) при надлежности множителей \ некоторому классу множителей, для которого уже доказана ограниченность соответствующих констант Лебега. Впервые эта задача в общем виде сформулирована, а в слу ,((i) чае класса выпуклых \ и решена в работе СМ. Никольского [14] . После этого появился ряд работ, где определялись новые классы, как правило, в терминах различных разностей А„ ; от-метим здесь работы Надя [15] , А.В. Ефимова [іб] , С.А. Теляковского [17] - [22] ( см. также [23] ).
Поскольку константы Лебега представляют собой обычно ин -тегралы от модулей сумм некоторых тригонометрических рядов, то вопрос ограниченности констант Лебега, значит, тесно связан с вопросом интегрируемости сумм соответствующих рядов. По интегрируемости рядов в одномерном случае имеется большое количество работ. Сошлемся здесь на обстоятельный обзор в работе С.А. Теляковского [18] и отметим полученные позже результаты в работах [22]-[27] .
Сказанное выше относится к одномерным тригонометрическим рядам. В кратном же случае по вопросам интегрируемости сумм тригонометрических рядов имеются лишь единичные результаты. Отметим работы Я.С. Бугрова [28] , С.А. Теляковского [19] , [29]. Задача получения новых признаков интегрируемости двойных тригонометрических рядов является, таким образом, актуальной.
P.M. Тригубом [41] впервые в одномерном случае получены двусторонние оценки уклонений функций от линейных средних их рядов Фурье через модули гладкости этих функций. Для средних Рисса такая задача решена P.M. Тригубом и В.В. Жуком. Представляют интерес оценки уклонений функций двух переменных от их прямоугольных средних Рисса через модули гладкости этих функций.
Средние типа Бернштейна-Рогозинского в общем виде введены P.M. Тригубом в [ЗО] . В этой же работе изучается регулярность этих средних в некоторых случаях. Средние типа Бернштейна-Рогозинского - довольно общие средние. Несомненный интерес представляют вопросы, связанные с их регулярностью в различных ситуациях (в частности, когда сходимость ряда понимается в смысле сходимости его частичных сумм по различным многоугольникам, а соответствующая мера дискретная).
Вопросы, близкие к затронутым, изучались в кратном случае рядом авторов. Отметим здесь работы P.M. Тригуба [30 ] - [3 Э.С. Белинского [33] , P.M. Тригуба и О.И. Кузнецовой [34] , А.Н. Подкорытова [35] , [36], СП. Байбородова [37], В.Т. Гаври-люк [38], А.И. Степанца [12, главы У и УІ] , А.Г. Лебедя Г39І, М.Ф. Тимана и В.Г. Пономаренко [55] .
Настоящая работа посвящена двойным рядам. Получены новые (для двумерного случая) признаки интегрируемости тригонометрических рядов. Затем исследуются аппроксимативные свойства прямоугольных средних Рисса, Бернштейна и Рогозинского двойных рядов Фурье непрерывных функций, а также исследуется регулярность группы линейных методов, а именно, средних типа Бернштейна-Рогозинского . Остановимся подробнее на содержании настоящей диссертации. Работа состоит из введения, II параграфов, сгруппированных в три главы, и списка цитированной литературы.
Все полученные в работе результаты связаны между собой следующим образом. Результаты, относящиеся к интегрируемости двойных тригонометрических рядов, полученные в главе I, используются затем в главах II и III для выяснения регулярности и аппроксимативных свойств некоторых средних, а двусторонние оценки уклонений, полученные в главе II для случая средних Рисса, ис -пользуются затем в главе III для доказательства соответствующих уклонений в случае некоторых других средних.
В первой главе получены новые достаточные условия типа Си-дона-Теляковского (типа о- / ) и типа Фомина (типа F ) (названия связаны с тем, что в одномерном случае это - условия Си-дона в форме, найденной С.А. Теляковским, а также условия, по -лученные Г.А. Фоминым).
При изучении интегрируемости рядов нашей основной задачей является получение оценок интегралов от модулей сумм рядов. Именно такого типа результаты далее в работе используются для оценок констант Лебега. В 2 обобщаются условия интегрируемости тригонометриче -ских рядов Сидона-Теляковского ( S) в случае рядов из косинусов на двумерный случай. Условия «J-/ достаточно простые, легко проверяемые, удобны в приложениях. Поэтому они послужили толчком к целому ряду работ. Известно, в частности, несколько усилений (в одномерном случае) этих условий в работах f40J, [24], [26], [27] . В двумерном случае условия типа S—T также оказались достаточно простыми и легко проверяемыми (особенно в случае, когда коэффициенты ряда являются значениями некоторой финитной функции двух переменных), что и продемонстрировано при доказательстве некоторых последующих результатов.
Достаточные условия типа Фомина интегриру -емости двойных тригонометрических рядов из косинусов
Пусть теперь у/0 - многоугольник, обладающий свойствами: I) ни одна его сторона не лежит на прямой, проходящей через начало координат, Z)W0 не содержит более двух параллельных между собой сторон, 3) начало координат находится внутри Wo . Найдем теперь условия регулярности К в случае, если \л/о - рассмотренный выше многоугольник. Теорема 3.3. Пусть w0 - многоугольник, удовлетво -ряющий свойствам I) - 3), а /п - максимальное количество его сторон, никакие две из которых не параллельны между собой. Мож-но указать с таких точек, что если мера расположена в них равномерно, то Я к регулярны. При доказательстве теоремы используем следующее предложение, установленное В.П. Заставным [71, I] (если &]=0 па.1 ,6], то количество нулей f на \М,$1 считаем равным единице). Лемма А.З. Если/t - конечная комплексная борелева мера в К с компактным носителем, то функции рассматриваемые на [-#,#] как функции от У- и у , имеют ограниченное по другой переменной число нулей. Доказательство теоремы 3.3. Пусть К - угольник, удовлетворяющий условиям теоремы, с вершинами в точках А (й Vv ) , У= 4, .. .,/i (Л —А). Перенумеруем его стороны. Сторона с номером у - это сторона Д Д 1 с уравне Пусть мера точек (U ,1%) равна с6к 0 ( 21к -1). Следовательно, точки(ttK,Vi)лежат на прямой (Q fCtyjU-f + (-5- /2 = С , перпендикулярной У- той стороне \ХЛ В каждом уравнении последней системы по крайней мере по два слагаемых. Таким образом, для каждой точки ( ,, / в наборе этих точек должно быть еще хотя бы по одной, лежащей на перпендикулярах ко всем сторонам /% и, значит, на перпендикуляре к каждой стороне \% лежит по крайней мере по две точки. Так что если среди сторон vv0 имеются параллельные V- той стороне , то, выбирая точки, лежащие на перпендикулярах к ним, можно обойтись всего двумя (минимальное количество). Укажем теперь точки (и l j . В качестве первой возьмем произвольную точку плоскости (и, ія) , то есть Сместим далее эту точку в направлении, перпендикулярном первой стороне (в направлении вектора (&-/f, &? - & ) Имеем (U„, ъ) = (и, + (4f- О ,, - / - а?) і,). Параметры tj 0 (здесь и далее) пока считаем произвольными. Сместим теперь указанные выше две точки в направлении, перпендикулярном второй стороне \Х/0 (в направлении вектора (4 -4?, -вН б» =4, / " г, 6- , ) . Имеем всего« перь получили четыре ( Z )(точки. В наборе сторон \J(/0 найдем следующую, не параллельную двум предыдущим и сместим указанные четыре точки перпендикулярно этой стороне, то есть в направлении вектора[\ %, , &, " Л где ( І З J = (&Р up) и ли Р » ли Р 4- , а Ctq &р+1 f ЪАг) v +/ . Получим восемь ( Z2 ) точек.
Точная оценка уклонения непрерывных функций двух переменных от их прямоугольных средних Рисса четных показателей
Снова рассмотрим функцию 4ёС(Т ) ZTT - периоди ческую по каждой переменной Хл и Х± с рядом Фурье (2.1) и прямоугольными частичными суммами порядка /их h, УМЛ (У , Х&) (2.2). Построим средние Бернштейна и Рогозинского ряда (2.1), то есть соответственно средние
Выясним аппроксимативные свойства этих средних. В случае прямоугольных средних Рисса (2.II) эти свойства уже изучены. Следующая теорема позволяет оценить уклонение функции от ее средних Бернштейна и Рогозинского через уклонения ее же от средних Рисса соответствующих показателей. Теорема 3.5. Для любой функции 6 С(Т ) ZTT-периодической по каждой переменной У,, и Х существуют такие абсолютные положительные константы Cf и С такие, что Доказательство . Схема доказательства этой теоремы повторяет схему доказательства ряда предыдущих теорем: принцип сравнения, переходная функция, проверка ограниченности соответствующих констант Лебега. Ограничимся здесь лишь тем, в основном, что выпишем переходные функции в каждой ситуации (3.24) и (3.25) и укажем признак, с помощью которого проверя -ется ограниченность констант Лебега в конкретных случаях. Начнем с (3.24). Заметим, что средние О и о оп-ределяются множителями, являющимися значениями соответственно функций Это означает, что (см. доказательство теоремы 3.4, пункт III) константы Лебега средних с матрицей, порожденной функцией (PtX)4j-i ограничены. Приняв во внимание принцип сравнения, приходим к правому неравенству в (3.24). Левое неравенство доказывается аналогично. Докажем (3.25). Средние К и о определяются множителями, являющимися значениями соответственно функций Снова воспользуемся принципом сравнения линейных средних. Для правого неравенства в (3.25) в силу этого принципа переход Далее проверяем, что для 0 - 4 и 0 У 1 (tf&tp четная по У- и по у. ) I У \ С откУДа спомощыо теоремы I.I (или леммы А.2) следует ограниченность констант Лебега со -ответствующих функций Ч/(Х)Ц)- 1 (см. еще доказательство тео -ремы 3.4, пункт III). Правое неравенство в (3.25) доказано. Левое доказывается аналогично. Теорема доказана. Ниже С л , С} - также абсолютные положительные константы. Следствие 3.1. Если X удовлетворяет условиям теоремы 3.5, то где U?z как в теореме 2.4. Этот результат следует из теорем 2.4 и 3.5. Заметим, что утверждения теоремы 3.5 верны также и в слу чае.
Средние Бернштейна-Рогозинского в случае частичных сумм по произвольным многоугольникам
Сначала в I изучена регулярность таких средних при условии, что \Х/0 - некоторый параллелограмм, а мера дискретная.
Теорема 3.1. Пусть WQ - параллелограмм, симметричный относительно начала координат. Средние /?к регулярны лишь в случае, если носитель меры состоит не менее, чем из четырех точек. В случае четырех точек эти средние регулярны тогда и только тогда, когда эти точки являются вершинами параллелограмма V(/ , причем стороны \X/Q и Ц/j взаимноперпендикулярны, мера равномерно распределена в этих точках, а отношение произведений длин двух неперпендикулярных сторон Wo и \X/f равно отношению двух нечетных чисел.
Отметим, что в этой теореме содержатся как необходимые, так и достаточные условия регулярности средних типа Бернштейна-Рогозинского при указанном \)(/0 . Кроме того, изучена регулярность средних ? в случае, когда - треугольник (теорема 3.2). Пусть теперь VJQ - многоугольник, обладающий свойствами: 1) ни одна его сторона не лежит на прямой, проходящей через начало координат, 2) W0 не содержит более двух параллельных между собой сторон, 3) начало координат находится внутри Wo В 2 найдены условия регулярности /?к в случае, если \A/Q - рассмотренный выше многоугольник. Теорема 3.3. Пусть Wp - многоугольник, удовлетворяющий свойствам I) - 3), а Шг - максимальное количество его сторон, никакие две из которых не параллельны между собой. Мож ._. „ таких точек, что если мера расположена в них равномерно, то riк регулярны. В 3 (теорема 3.4) изучается регулярность средних типа Бер-нштейна-Рогозинского в случае распределения меры по некоторым фигурам и линиям. Некоторые из этих результатов дополняют соответствующие результаты P.M. Тригуба [30] для двумерного случая (или являются промежуточными между результатами из [30J ). Наконец, в 4 исследуется уклонение непрерывных функций от их прямоугольных средних Бернштейна и Рогозинского. Отдельные результаты и главы диссертации были доложены на Республиканской школе-семинаре по современным вопросам теории приближения функций (Кацивели, 1978), Зимней школе по теории функций и приближений (Саратов, 1982), Международной конференции по теории приближения функций (Киев, 1983). В целом диссертация докладывалась на семинаре СБ. Стечки-на (отдел теории функций Математического института АН СССР, Москва, 1983), на семинаре лаборатории гармонического анализа Института математики АН УССР (Киев, 1983), на совместном семинаре по теории приближения функций Института прикладной мате -матики и механики АН УССР и Донецкого государственного университета (Донецк, 1983). Основные результаты работы опубликованы в статьях [65 J --[72] . Основные положения, вынесенные на защиту: достаточные условия типао-Т и F интегрируемости двойных тригонометрических рядов (теоремы I.I, 1.3, 1.4); двусторонняя оценка уклонения непрерывных функций двух переменных от их прямоугольных средних Рисса четных показателей через модули гладкости этих функций (теоремы 2.1, 2.2, 2.4); двусторонняя оценка такого же уклоне -ния по норме в L» , 1 Р -оо (теорема 2.5); необходимые и достаточные условия регулярности средних типа Бернштейна-Рогозинского в случае частичных сумм по параллелограмму и носителя меры из четырех точек (теорема 3.1); достаточные условия регулярности RK в случае частичных сумм по многоугольникам (теорема 3.2). Автор искренне благодарен своему научному руководителю доценту P.M. Тригубу за постановку задач, постоянное внимание к работе и поддержку. которые будут неоднократно использованы на протяжении всей работы. Все они стандартные. Другие обозначения и определения либо приводятся в работе по мере их появления (и там же объясняются или фор -мулируются), либо же, будучи достаточно общепринятыми и не вызывая разночтений, употребляются без специальных пояснений. I. Через /2 обозначим двумерное вещественное евклидо -во пространство. ( УХЛ) - элемент из R — основной квадрат ъК , a Q -[fy, z): f- - , - - V — единичный квадрат в /? , 3. Через С [Т J и и С / обозначим соответственно пространства непрерывных на / и суммируемых на / Суетой степенью функций /6 7, Х-з.) .
![Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве p [a, b]](/i/i/4274/45259.png "Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве p [a, b] Кудрявцев Александр Иванович")