Введение к работе
- з -Актуальность rwm. У.-ііі>чрор« чгорс.чц пли ге^реі'и 'п;,'б'зр'"tippF'J(llIfI рчсхиллпрг/еп рядов
Никяксії vero'i, не p еилтк су»'і'іц;ог!оть слішчшч бистро рясходя -іцийся ряші илк слішінсм модтенно рчсхоцфциїт.'п ргідн. Тйорпиц. а кото|Яч оеучгстндпотсп стот пршіїїпп, нпзннптеп ігйрр»<"ч*'" тпу-бспор'ї типа.
В Ш97 году wr^wrnic ю IVtiifi Л'.Таубяр утгрр-кдпл, что челн
rn-o сходится при |х| < 1
tirn f(ее; - s
ma пі— о, m — <«-
то > am сходится к m-o Прямое обращение известной теоре>.«ы Лбелп' о непрерывности
степенного ряда: ^
если /, Чгл сходится К ' S , то
Еіт У amTcrn" S
1-0 ^-1
ь'є всегда периэ. Оно верно лить при определённых огрчничениах,
»
нчклчднгяеміх на общий член ряда, т.е., при выполнении так на-зыпясимх некоторых тяуберовнх условий. Услоїч-іе fnarn-,-0 ня-
ЯЫВЗеТСЛ ТЯ>'б
їрор^'-ч, где по эядшшоИ псиичтотике рядя ^ ^ Off! X при -* 1-0 находится асимптотика
щи'(Щ'ицицёншх гауберошл условиях Лйаыь&шк.к хъуОсроьиш;
Іс0[«і.к:ми дли. сїеШіниих рядов.
V2" -> О' ,
Tf;oj,ti.iu, где по заданной М'.имптотике ' 0.щЄ <и , ь -* и
ьихоци'Н'.и асимптотика
2, Q|» '""*" ~' х"~ ~ Am* і ари определении»: TtiyOtipoBUX условиях niiaiJbawruri 'іеО(<ьмани rayOt
poua Tiifih для обіцяв ряд^ь Дирихле.
. b iyi// году тауберова теорема для оОщіїх. (эдои Диры.ль Ъыл
доказам Ландау : если
F(o'J - Ja„,trA"10'
сходится при СГ> О -, 0.|П - ьвщисгвешаї
^о^о, АП1,,-- А/п , _\п.—. оо при m~- <~
F(cr) —- S при о~-~ '0 uj
х-.. Лт '
ап* о ' ^""Ат-»
Х,„ / (3),
то ряд У ат сходится.в S
Іа.убероЕо услоьие (JJ тем сильнее, чем медленнее A m — ».
так am-roU~) .
\ ш ' ,ьсли I П) = гп ;
а«^(шЬг) . ec Ьт = 19П1.
В 1910 году Литтльвуд доказал теорему предыдущую,
заменив условие (3) , условием
Qn, - (Д лт / .и
b 19И голу Хпрлч и Литтльвуд докидали reoppvy
Кпнппу, зяг.'оннр условно (3) одностороннем тчуберории услсисе*/ п s _ Н -ArtcAm-J-
пріг«і,< Хтл{ ~~ Л.,г,
Литтльруд указмиоег, что теорема его вернп и (;ео усло-
вия '(;). Олн'ш'О, л'ж.'кятяльстро этого момента п І9<"« голу onyfi-
лг.когч» ічіиргьір Лнпндп-Г.ту Пример , иомапврпминП необхо-
димость ус.ломл ИЛ при докчл'ітельстпе теорргы г уилорием (5)
принадлежит Анпн'у\-Гпу . В ]Э<9 голу 0. Szasz
и Аня!нп -Fay .цокпэялч.'п'о если
го Лп, необ.чопи'п удовлетворяет условии» (Б) . Это условие
in р-ле" суічесї'впнную роль при получении тчуберовнх теорем с ослят
K'jf. В 1930 голу 0. SKfiSF. докгкьчл: если
, -*т!Г
(Г — ^ 0 .
ф < о
ВНІГ'.ЧНі-НЮ \С>) 1!
С1ЛТ1 (1,,,3-0 , (7)
*.< ,л~ ~*
то ряд ) Qm СХОДЯТСЯ к S .
Эта теоро-.'я сі),!'С:['".чт и себе '''есрему Хорци-Литтльвула , ii:v'i.4:,'itf\ уг'Л'.-рчн lb) и (6) влекут rv7) .
li l'-j 1С' голу Р>..!гкягс!Ю.л доказчд георе.м.у с суммкро -
иэнпкм Рис с а пс-риого порядка: г.-л и
- ь ~
Yaa6kmir ~ S,
m'.~o 0" О
її шпомійш условия (Ь) и 16) , ча
лі »в
В 19Ы году поаьилась монографии Г.Хардн " Расходящиеся ряди ", где иалоа.ани классические таубсрош теореии. Подсчет осгыков к ним изучен М.А.Субханкулоьим. Получение сановных результатов здесь связана с методо-, №іра»<ата, усовершенствованный А.Г.ІІостішкоьич, Гліройдом, Я.Ко реваа рои, М.А.Субхоїікулошм. Л.Г.Постников усовершенствовал метод, используя равномерное приближение фушщкй алгебраическими полиномами Метод Карамата-4іройдц-Корзьаарі. основан на (, приближение функций алгебраическими полиноцачи с учетом быстроты приближения и величини суимц модулей коэффициентов аппроксимирующих полиномов. В этом направлении работы А.Г.Постникова ,' Г.їроГіда/Я.Кореиаара пояі>ид лись в пятидесятые года одновременно. В ник и а работах М.А,СуО% ханкулсва обобщены и уточнены классические 'пуо'еронц теоремы Литтльвуда и Харди-Лигтльпуда.
Тауберовы теоремы 'находят применение в различных областях математики и приводят к весьма глубоким результатам. Точность многих асимптотических -формуй', нарример', в теории чисел, а гармоническом анализе, спектральной теории., математической физике, теории вероятности и теор.и-и .дифференциальных уравнен;;": зависит от точности'остатка применяемых для этой цели тауберошх теорем.
Если в геораме условие на сумму ряда накладывается в некс -торой комплексной области, та её: называют-комплексной тауберовой теоремой. Первая ко»шлекснаг георема с остатком для степенных
рндов была получена А.Г.Постниковым в 1961 году.
В 1964 году М.Л.Субхянкулов впервые получил результат с остатков для обобщённых рлдоэ Дирихле в комплексной области ( од -мерный случаи ).
Сравнительно мало исслідогспм тауберовы теоре"к о- остатком для рядов Дирихле причЗм дня кратных общих рпдов Дирклле эта теория вообще не рассматривалась.
Дпойкш рядам посзященя монография А.И.Янупиускаса " Двои -?гае ряды " , изданная в 1980 году,
Лбсолотняя сходимость кратных рядов Дирихле рассмотрены в известиях статьях В.П.Громова " К теории кратных рядов Дирихле " .
Многомерным тауберошм теоремвм посвгацены работа Г.Харди, И.Диттльвуда, К.Кноппа, Г.Деланжа, Дурянона Ведия, В.Г.Челидэо. М.Ф.Ткмяна, С.Б.Топурия, В.С.Владимирова, Ю.Н.Дроястиновя, В.И. Завьялова, Монография В.С.Владимирова. Ю.Н.Дрожжиновя и Б.И. Завьялова " Многомерные тауберовы теоремы для обобщённых функций " внесла существенный вклад и явилась принципиальным сдвигом в многомерной тауберовой теории.
Однако, вышеуказанные рчботы совсем не касались вопросов , связанных с остаточними членами в многомерных таубсровых теоремах. Теоремы Хврди-Литтльвуда, Кноппа, Дуранона Ведая-, Дзланжа выделяют только главный член роста искомой асимптотики и не содержат никакой информации о порядке отклонения искомой величины от главного члена асимптотики.
Вот эти трудные вопросы изучаются в исследуемой работе.
їяуберош теоремы с остатком для кратных обобщённых 'рядо» Дирихле впервые рассмотрены в 70-е года автором и некоторые
- Б -
из огих результатов доложены на семинарах М.А.Субханкуйоьа,
Таким образом, актуальность те><и обус;>...ьлош разработкой теории таубероьых теорем с остатки» для кратных общих рядов Дирихле кок а действительной так и в комплексної! областях: , тем более тауберовы теоремы с остатком в настоящее время находят все большее прукеисние и различных областях: математики и приводят к весьма глубоки»' результата"; точності многих асимптотических формул зависит от точности остаточного члена , приме няемых для отой цели теорем тауберова типа.
Цель работы. I. Построить теория таубероаых теорем с ос татком для кратних общих радов Дирихле.
-
Получить действительные тауберовы теорем с остатком для интегралов Стилтьеса и кратных общих рядов Дирихле.
-
Получить двусторонние и односторонние комплексные тауберовы теоремы с остатком для кратных общих рядов Дирихле.
\. Исследовать тауберовы теоремы с остатком для кратных общих рядов Дирихле при средних Рисса целых неотрицательных порядков.
-
Получить тауберовы теоремы со степенной функцией в главном члене роста.
-
Дать применение полученных результатов к цратным ряда?? Тейлора-Дирихле.
Метод исследования. В реферируемой работе получены действительные и комплексные тауберовы теоремы с остатком и их при -ложения.
Для изучения действительных тауберовых теорем с остатком автор применяет метод, основанный на L ,. приближение функции Двух переменных алгебраическими полиномами, где учитывается
- У -
быстрота приближения и оценкя модулей, 'коэффициентов ппироксн'-чр ругецего почино"*. Этот метод полуоси автором и тпуберорой ма -тематической, школо М.Л.Субхлнкуловч.
При исслецппяжпг многомерных комплексных тауберовых теорем с остатком использовался метод обобщенной формули обращения интегрчлыюго преобразования , полученный автором при помощи методов теория функции комплексного лорсепного.
Научная понизил . Основные новые научные результаты.
1. Пол.учеїм действительные тпуберорц теоремы с остптноч длл
кратних интегралов Стилтьесп, длл крптіщх общих рядов
Дирихле.
-
Для кратных общих рчдов /Дирихле докязшм комплексные тау беропы теоремы с остаткам
-
Получены односторонние тзуберовн Teopevu с остатком. Найдены оценки cy»,v» коэффициентов кратних общих сядет Дирихле, оценки сумм коэффициентов рядов Тейлора-Дирихле, оценки сучи кезф+ициентоз крятных рядов 'Тейлора-Дирихле.
'1. Доказаны комплексные тэуберовн теоремы с остатком при ри -сопоких средних целых неотрипятельтах порядков, Дени приложения этих теорем к кр.ттідін ряда» Тейлоре-Дирихле. Приведены сравнения полуденних результатов с реэулгга т.-"-.' класс, > :ких тяуб< ропых таорем.
к Иссмеловпин теорены типа Тяубера при средних Рисса со степенно!! функцией в главном члене роста для общих и кра.т!мх о обк'.их рядов Дирихле. Приведён призер неулучвземости ^.ср-^м,
Длл кратных общих рядов Дирихле нпЕА.эгле построена. теория тчуберошх теорем '* "-CTaTKOU.
Теоретическая и практическая ценность. Результаті исследования представляют прежде всего теоретический интерес, «бо они могут быть испольаовани при решении некоторых вопросов теории чисел» теории дифференциальных уравнений.
Методі рааработки могут бить прмененц при получении таубе-ровых теорем с остатком для кратных рядов iypt-e ,
Диссертац'лаиная работа может служить в некоторой степени основой для чтения специальных курсов по тауй'еропои теории, при проведении затем спецсеминаров, при подготовке курсовых и дипломных работ на математических и механико-математических факультетах университетов.
Агшробацил работы. Основные резулыс.и исследования докладывались и обсуждались н$ научных семинарах:
кафедр общей математики, математического анализа ДП1У, 1Т5 ( Г. Душанбе ),.
кафедр математического анализа ЛҐПИ (г,Санкт-Петербург,- I9?d 1983 г.г.,рук.прсф.В.С.6иденскнй ), ЛГУ ( 1988 г. рук.прар
Г.И.Натансон ), ЛОМИ " Аналитическая теории чисел " ( 1983 рук. проф. А.В.Малышев ),
кафедры математического анализа МГУ ( г.Москва, 1986 , 1988, рук. проф. В.Л.Садовничий ), " Дополнительные глава анализ, и тригонометрические ряда и их суммирование " ЙГУ ( i=do г, рук. проф. В.Н.Чубаркков ),
" Аналитическая теория чисел и её приложение " АН СССР и МГУ ( 1936 г., рук. проф. А.А.Карацуба ),
" Несамосопрятешиё операторы " ИГУ ( 1933 г., рук. доктор
физ,-мат.'наук А.А.Шкаликов ),
на н.сем, матем.института ш.В.И.Стеклова РАН ( 1932 г.,
- II -
"рук., академик С.Н.Никольский ).
Результаты исследования сообщались и докладывались:
на Всесоюзной летней математической школе-конференции ЛН СССР, и АН Таджикистана (г.Душанбе, 1986,рук.проф.С.Б.Стечкин),
на Всесоюзной научной конф.,поев.275-летив М.В.Ломоносова ( г.Москва, 1986,пред.секции проф. А.А.Карацуба ),
на Всесоюзной научной конференции " Современные проблемы теории функций " ( г. Баку, 1989 г. ),
на герценоБских чтениях, Всероссийски и Всесоюзных конференциях (г.Санкт-Петербург, 1973,1983,1985,1988 г.г. ),
нл Всесоюзной, Международной научных конференциях ( г. Днепропетровск, 1990, 1993 г.г. ),
на Международной научной конференции ( г.Самара, 1992 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы, s 23 работах, список которых приведён в конце автореферата.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, где приводится краткий исторический обзор и краткое содержание работы, пяти глав, списка литературы и оглавления.Объём диссертации -2Є2 страниц машинописного текста.
Похожие диссертации на Тауберовы теоремы с остатком для кратных общих рядов Дирихле и их приложения
