Содержание к диссертации
Введение
1 Обращение правила Лопиталя для голоморфных функций 20
1. Постановка задачи и формулировки результатов . 20
2. Доказательства теорем 1.1 и 1.2 29
3. Некоторые примеры применения полученных результатов 34
2 Обращение правила Лопиталя для голоморфных в шаре функций 39
4. Формулировки результатов 39
5. Доказательство теоремы 2.3 52
6. Доказательство теоремы 2.4 57
7. Доказательство теорем 2.1 и 2.2 63
3 Граничное поведение полианалитических функций и их голоморфных компонент 75
8. Некоторые определения и известные результаты 75
9. Формулировки теорем и их доказательства 81
Литература
- Доказательства теорем 1.1 и 1.2
- Некоторые примеры применения полученных результатов
- Доказательство теоремы 2.3
- Формулировки теорем и их доказательства
Введение к работе
Изучению вопросов граничного поведения голоморфных функций посвящено большое количество монографий и статей. Среди многочисленных работ, опубликованных по данной тематике, отметим несколько наиболее важных на наш взгляд книг [8], главы 9, 10, [15—16, 19, 34, 50], а также некоторые статьи [7, 9—11, 17, 29, 35, 43, 46-47, 51] и [14].
Объектом исследования в данной диссертации является граничное поведение голоморфных функций одной и нескольких переменных в угле Штольца и в области Кораньи-Стейна, соответственно, а также изучение граничных свойств голоморфных в единичном круге Л = {z : \z\ < 1} функций, имеющих ограниченность порядка р < 0, и, как следствие, граничных свойств полианалитических функций, имеющих ограниченность порядка р < 0 в Д.
Один из вопросов, рассматриваемых в настоящей диссертации, связан с проблеммой обращения известного правила Лопиталя, которое утверждает, что если функции f(x) и д{х) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки a; \imf(x) = limp(a;) = 0 или оо; g'[x) / 0 и существует
предел отношения производных lim ,, . (конечный или бесконечный), то
F ґ x-*ag'(x) l ;
существует и предел lim . --, причем справедлива формула
у /О) у /'0*0 hm —т-f = lim ,. ..
х~*а д(х) х^а д'(х)
Впервые правило раскрытия неопределенности типа 0/0 было опубликовано маркизом М. де Лопиталем (1661—1704) в 1696 году в работе "Анализ бесконечно малых". Однако, вскоре после смерти Лопиталя в августе 1704 года И. Бернулли (1667—1748) выступил с первым печатным заявлением, в котором предъявил претензии на описанные в "Анализе" методы. Это была заметка "Усовершенствование моего, опубликованного в "Analyse des infiniment petits" в 163, метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают". Здесь И. Бернулли рассказал, что правило он сообщил лет 10 назад маркизу Лопиталю, в этой же заметке И. Бернулли "движимый любовью к истине", отметил, что иногда однократное применение правила к цели не приводит, получается опять неопределенность вида 0/0, поэтому его приходится применять еще один или несколько раз.
Дело в том, что в марте 1694 года И. Бернулли и Лопиталь заключили между собой договор, по которому И. Бернулли передает Лопиталю за 800 ливров авторские права на свои математические открытия, которые будут сделаны с 1694 по 1696 годы. Согласно этому договору Бернулли 22 июля 1694 года написал письмо Лопиталю, в котором информирует его о том как следует поступать, когда возникает неопределенность типа 0/0. Лекции и материалы, полученные Лопиталем в письмах И. Бернулли (они переписывались с 1692 г. в течение десяти лет), послужили Лопиталю основой при написании им "Анализа бесконечно
малых" и вошли в историю математики под его именем.
Утверждение, обратное правилу Лопиталя, вообще говоря, неверно: из существования предела отношения дифференцируемых функций f(x) и д{х) не следует существование предела отношения производных этих функций.
Задача обращения правила Лопиталя относится к так называемым тауберовым задачам. Если можно найти дополнительное условие, при котором будет справедлива обратная к прямой (абелевой) теорема, то это условие будет называться тауберовым, а обратная теорема называться тауберовой. Более подробные сведения , касающиеся истории тауберовых теорем, можно найти в книгах [18, 44—45], см. также [12—13, 41], В [18], в частности, описан метод, примененный Харди и Литтлвудом к доказательству тауберовых теорем о сходимости расходящихся рядов, при этом ими доказана такая
Теорема А [18, с.215—216]. Если функция f(x) дифференцируема на (О, l)j /'(#) возрастает на (0,1), с > 0, и Hm f{x)(l — х)с = А > 0, то существует предел lira f(x)(l — ж)с+1 = Ac.
Последнюю теорему можно отнести к утверждениям об обращении правила Лопиталя: в качестве функции д{х) в теореме А взята функция (1 — х)~с: с > 0, на функцию f(x) наложено дополнительное условие возрастания ее производной.
Вопрос обращения правила Лопиталя на классе выпуклых функций рассматривался в [3—5], в частности, в [5] автором получено такое утверждение; пусть функции f(x) и д(х) определены и дифференцируемы на (а,&), f(x) — неубывающая выпуклая функция, limg(x) = +оо, д{х) — наибольшая выпуклая лшноранта функции д{х) па (а, Ь)7 для того, чтобы
Ііх) при К Є (0,+оо), из существования предела lim --- = К вытекало
х-*Ь д(х)
f'(x) существование предела lim —у—г- = К, необходимо и достаточно, чтобы
х->ь д'(х)
q(x\
lim—г~т = 1 и для любого є Є (0,1)
^bg(x) ^ !
х-*Ъ д{х)
где tx — max{ : і < х, gf{i) < єд\х)}.
Известны и другие результаты, связанные с обращением правила Лопиталя. Например, в [42] (см. также [36]) в этом направлении доказан такой результат; пусть D — (а^Ь)\{х^}, где х$ — предельная точка (а, Ь), и предположим, что вещестпееппозпачные функции f(x) и д(х) дифференцируемы на D. Если gf(x) ^ 0 для любого х Є D и
lim fix) = lim g{x) = 0, +oo, или — oo,
я^хо g\x) ~ *-**о g(x) x^x g{x) x^x* g\x) ч J
Оценки противоположного смысла, чем (1), при дополнительных условиях получены в [2] и [31]: если функции f(x) и д(х) дифференцируемы и выпуклы па [0,оо), х — о(д{х)) при х —* +оо; О < t = lim
*-.+оо д(х) '
fix)
Т = lim ^~, mo
х->+эо д{х)
г- № . r f{x) г- f'{x) _- f(x)
<Ы lim -~—- < hm -77-г, lim ,, . < а2 lim —т~,
х->+са д[х) z->+co д'[Х) z-.+oo д'[х) i-4-oo д(%)
где а\ и а,2 — решения уравнения (р9{а) = — (Q < а\ < 1 < а^},
Рд(а) = JAlR
9{tx)^ag'(x){x-tx)
Ж-t+OO д(х)
tx = sup{ : gf(t) < agf(x)} (если множество в фигурных скобках пусто, то положим tx = О/
Для комплекснозначных функций правило Лопиталя, конечно, не выполняется. Например, пусть функции /(я), д(х) : (0,1) —> С, f(x) =
С ( \ f ( \
х, д(х) — х2ег/х . Тогда lim —7— = 00, но Нш ,; . = 0- Однако,
х-*+0 д{х) х->+а д'(х)
аналогично тому, как это делается в вещественном случае, можно доказать, что если функции f{x), д(х) : (0,1) —» С дифференцируемы на (0,1), Дт f(x) = Дт ф) = 0, Дт /'(г) = Л, Дт/М = В ^ 0, то
существует Дт _ = Дт — = -.
Годуля Я. и Старковым В, В. в [7] изучалось граничное поведение голоморфных в единичном круге функций при стремлении точки к границе круга Д в угле Штольца. Авторами доказан следующий аналог теоремы А для голоморфных функций.
Теорема В [7]. Пусть f(z) голоморфная в Д = {z : \z\ < 1} функция, і) Є (0, тг/2), сС, Wv — угол Штольца величиной 2г\ с вершиной в точке z =\, и существует конечный предел
wHm J/(*)(1-*)C] = A (2)
Тогда для любого є Є (0, rj) существует предел
w4-t
lim [/'(*)c+1
= Ac.
Теорему В можно рассматривать как теорему типа обращения правила Лопиталя для голоморфных в Д функции / и #, в частном случае g(z) = (1 - z)~\ с Є С.
В [40] теми же авторами изучалось граничное поведение голоморфных функций п комплексных переменных в области Кораньи-Стейна, до-
называлась теорема D — обобщение теоремы В на случай п—мерного комплексного пространства- Прежде чем теорему D сформулировать, введем некоторые обозначения и дадим определение области Кораньи-Стейна, которая часто играет роль угла Штольца в вопросах граничного поведения функций в Сп,
Пусть Сп — n-мерное комплексное пространство векторов z = (^1, - i^n)j где ъ^2>- - - ,2ц Є Сэ со скалярным произведением {Z)Vj) = z\Wi + ,., + znwn; Вп = {z : ||^|| < 1} — евклидов шар в пространстве Сп, \\z\\ =
Если а > 1, — ei = (1,0,...,0) Є Сп, то областью Кораньи — Стейна Qa — Q^ с вершиной в точке Єї назовем множество всех z Є Вп таких, что
|і-2і|2).
Теорема D. Пусть f(z) голоморфная е Вп функция, с Є С7 fiQ — область Кораньи — Стейна с вершиной в точке в\ и существует
Jm ei [f(z)(l - z\ - 4 - ». - z2ny] = Л ф оо. (3)
Тогда
1. для каждого к = 2, ..м?г существует ai < а такое, что выражение
—- (і — z\ — z\ — „. — z^) 2 ограничено в Паі7 при z —> e\7 но ни
для какого а\ не существует предел
Ш(1 _ 4 _ 4 _... _ #**
при с Ф 0;
2. существует а\ < а такое, что
df(Z)f, Л JZ 2^+1
= 2cA.
.(і _ 4 - 4 _... _ 4у
Возникает естественный вопрос: при каких дополнительных условиях теоремы В и D останутся верными, если вместо конкретных функций g(z) = (1 — z)~c, с С, в пределе (2) теоремы В и g(z) = [\ — z\ — #1 — "" z'i)~c> с Є С, в пределе (3) теоремы D рассмотреть произвольные голоморфные функции одной и нескольких переменных, соответственно? То есть речь идет о получении теорем типа обращения правила Лопиталя для голоморфных функций одной и нескольких переменных. Эта задача решена в первой и второй главе данной диссертации.
В исследованиях граничного поведения голоморфных функций видное место занимает изучение граничного поведения голоморфных функций класса Блоха: голоморфная в А функция пршіадлеоюит классу Блоха В) если sup [|/'(z)j(l — \z\2)] < оо. Исследованию класса Блоха В
посвященны сотни статей, см., например, обзор [29], а также работы [30, 32-33, 37-39, 48-50, 53-55] и др.
Как оказалось, существует связь между голоморфными функциями Блоха и голоморфными функциями, имеющими ограниченность порядка (—р), р Є N, в единичном круге А. Понятие ограниченных порядка р, р Є R, функций ввел Е. П. Долженко в [10]: прир < 0 функция f{z), локально ограниченная в G, называется ограниченной порядка р, если \f(z)\ — O(ff) при р — p(Zj dG) —> 0. Класс функций, имеющих ограниченность порядка р в Д обозначим ffltp.
Так как класс голоморфных функций Блоха В хорошо изучен, то установление связи между классами В и 9ЯР, р < 0, позволило бы с помощью известных свойств класса В изучать граничные свойства
голоморфных функций класса ЯЛР,
Функции ограниченного типа рассматривались в [10] в связи с изучением граничного поведения полианалитических функций и их голоморфных компонент. Функция /(z), z — x + iy} имеющая в области G С С непрерывные частные производные по х и у до порядка п > 1, называется полианалитической порядка п в (7, или п—аналитической
в 7, если она удовлетворяет обобщенному уравнению Коши—Римана
dnf(z) я_п — 0. Класс ^-аналитических в единичном круге Д функций
обозначим через Ап. Всякую полианалитическую порядка п в области G
функцию f(z) можно единственным образом представить в виде
/(*) - Pd(*) + zip^z) + ... + J^Wi(*), (4)
где функции tpk{z), к — 0,., - ,п — 1, голоморфные в G (см., например, [1]). В единичном круге Д представление (4) функции f Є Ап приводится к следующему виду:
№) = p(v) + ^) + (ih2|2)j,w + .^(n
P{z,z) -5PiW+ ...+5^-^.^), *ЄД, где 7 при /с > 1 — полином от z степени < [к — 1), 5*(^) голоморфные в Д функции. Функции ipk{z) w #&(^) называются голоморфными компонентами полианалитический функции f{z).
Граничные свойства полианалитических функций из класса 9JF, как это показано в [10], зависят от граничных свойств их голоморфных компонент, а свойства последних, как уже было сказано, можно получить из их связи с классом ?. Этому посвящена глава 3 настоящей работы.
Целью данной диссертации являются исследования граничного поведения в угле Штольца функций, голоморфных в области с достаточно произвольной границей, а именно получение утверждений типа обра-
щения правила Лопиталя для голоморфных функций при некоторых дополнительных предположениях; а также граничного поведения в области Кораньи-Стейна функций нескольких переменных, голоморфных в единичном евклидовом шаре, в том числе получение обобщения теорем В и D, и, как и для случая функций одной переменной, получения теорем типа обращения правила Лопиталя для голоморфных в шаре функций при некоторых дополнительных предположениях- Цель третьей главы диссертационной работы — исследование граничного поведения голоморфных в единичном круге Д и имеющих ограниченность порядка р < 0 функций и полианалитических функций ограниченного типа в Д, а именно, установление связи между голоморфными функциями Блоха и голоморфными функциями ограниченного типа р < 0 в Д: получение из этой связи новых свойств голоморфных функций, имеющих ограниченность порядка р < О, как следствие, получение свойств полианалитических функций, имеющих ограниченность порядка р < 0.
Перейдем к изложению основных результатов диссертационной работы.
Граничное поведение голоморфных функций одной переменной исследуется в первой главе. Результаты этой главы формулируются в первом параграфе, доказываются в 2, в третьем параграфе приводятся примеры применения полученных теорем.
В первой главе диссертации обобщается теорема В; для голоморфных функций доказывается обращение правила Лопиталя — теорема 1Л — когда из существования предела отношения двух голоморфных функций при стремлении z в угле Штольца с вершиной в граничной точке области голоморфности при выполнении некоторых дополнительных условий,
наложенных па функции, вытекает существование предела отношения производных этих функций в меньшем угле Штольца.
Теорема 1- 1 [25]- Пусть В — область, которая имеет на своей границе открытую аналитическую дугу Жордана 7; — внутренняя точка кривой 7? не являющаяся предельной для граничных точек, не принадлежащих 7/ К/ — такой угол Штольца величиной 2г) с вершиной в точке (биссектриса угла V^ ортогональна касательной к ^ в точке ), что Vv С В; функции f(z) и g(z) голоморфны в В; и существует предел
lim Щ = А со.
gf(z)
Если значения функции (g — z) отделены от 'пуля в Vv при z —> ,
то для любого є Є (О,?/) существует предел
lim V*3*-* g'{z)
= А.
Если lim
V4Bz->t
Ж)
К -z)
= О, то для любого є Є (О, г})
/'М
= 0-
i(-z
g{z)
В первом параграфе показано, что условия теоремы L1 являются существенными: если они не выполняются, то теорема 1.1 неверна. В теореме 1.2, также доказанной в первой главе, рассматривается случай, когда из существования предела произведения f(z)G/(z) следует существование предела ff(z)G{z).
Во второй главе диссертации исследуется граничное поведение в области Кораньи-Стейпа голоморфных в единичном шаре функций. Данная глава имеет такую же структуру, что и глава 1: в четвертом
параграфе результаты главы формулируются, доказываются в параграфах
5-7.
Следующая теорема 2.2 обобщает теорему D.
Теорема 2. 2 [28]. Пусть f(z) голоморфная в Вп функция, Па — область
Кораиьи — Стейна с вершимой в точке Єї, точка а = (а2,. -., ап) Є С-4^1
и число с Є С фиксированы, ||а||2 < max] 1, L и существует
[ а - 1J
Urn [Д*)(1 -4- 44 - ... - aj^)c] = А ф со. Тогда 1. для каждого к = 2, ...,п такого, что а& ф О, существует а\ < а
2 2\С+5
, 9f{z) (л 2
ограничена в
anzn
такое, что функция —— (1 — z{
Паі при z —> еі, но ни для какого ах не существует предел
2 Л
-zx- a2z2
при еф 0 и Аф 0f если А = 0 или с — 0, или а^ = 0, то существует агі < а такое, что
2w2\c+i
Мі) 5
(1-^-^-----ФІГ*
-0;
Й, существует аі < а такое7 что
*/W(l-z?-oH
= 2cA
*'
Как показано в 4, константа 1/2 в формулировке теоремы 2.2 является точной. В 5 доказывается сформулированная в четвертом параграфе теорема 2.3, которая является обобщением теоремы 1.1 на случай п—мерного комплексного пространства: при некоторых дополнительных условиях на голоморфные в шаре функции из существования предела отношения функций в области Кораньи-Стейна вытекает существование предела отношения частных производных этих функций,
Теорема 2, 3 [28]. Пусть f{z), g(z) — голоморфные в Bn функции, Па -область Кораньи ~ Стейна с вершиной ei и существует
lim Щ = А^ ос,
ftfl3z-*ei #(#)
тогда
L если для некоторого натурального к\, 2 < к\ < п, значения, функции
9g(z) Zk, -, л
отделены от нуля при z —> Єї е &2Л, mo существует а\ < а
dzkl g{z) такое, что
п^эг-d dg(z)/dzkl
Qa3z->ei dzfa g(z)
если дає lim — r-V = U, то существует ol\ < а такое, что
ft.
df(z) zkl
гвг^єі [ dzkl g{z)
= 0;
dg(z)(l-zi)
2. если значения функции — —— отделены от нуля при z —> е\ в
dzi g(z)
QQj то существует а\ < а такое, что
df{z)/dzl Л nai3z->ei ag(z)/oZi
= 0, то существует a\ < а такое, что 'df(z)i-z1
dg{z) 1-zi
если же lira _ . ч
sia3z->ei у dz\ g{z)
= 0.
dzi g(z)
В 4 показывается, что условия последней теоремы существенны. Многомерным аналогом теоремы 1,2 является, доказанная в шестом параграфе теорема 2.4.
Третья глава этой диссертации посвящена исследованию граничных свойств голоморфных функций, принадлежащих классу ЗЛ^, р < 0. В
данной главе устанавливается связь между голоморфными функциями класса Блоха В и голоморфными функциями класса ЯЯ~"Р, р Є N, из установленной связи получаются граничные свойства голоморфных функций ограниченного типа р < 0 в А. Исходя из свойств последних устанавливаются граничные свойства полианалитических функций из класса 9ЛР, р < 0, имеющих голоморфные компоненты ограниченного типа. Третья глава диссертации состоит из двух параграфов; восьмого и девятого. 8 носит вспомогательный характер, в нем формулируются некоторые определения и уже известные свойства функций Блоха. В 9 в теоремах 3.1—3,7 формулируются и доказываются свойства полианалитических функций из класса 9ЛР, р < 0, и их голоморфных
компонент. В частности, показано, что если f Є ЛпПШ"3, s Є {0} U
X — z
N, ф\(г) = T~>~ конформный автоморфизм единичного круга А,
Д(А,г) — ф\{гА), 0 < т < 1, тогда для любых фиксированных 0 < г < 1,
/ = 0,1,...5р>0 при |А| -> 1-:
(l-\z\2f+n+s)p-2d(j,^Q]
37М"
*/
(і-|2|2)(/+п+^-2(і-|^аИ№м-»о
і IS"
(см. теоремы ЗЛ и 3.2 и [26]).
Если голоморфные компоненты #&(z) тї-аналитической функции (5) представлены в А рядами:
9k{z) = f:a\k)z?, А = 0,...,п-1,
1=0
тогда
f{z) = P{zrz) + tbi{\z\)z\ bt{\z\) = af + af\l - \z\2) + ...4- а{Г1\і - \z\2)n~\ z 6 Д.
Для коэффициентов bi(\z\) в теореме 3. 4 получетіа точная оценка, зависящая от порядков ограниченности голоморфных компонент полианалитической функции.
Теорема 3.4 [26]. Пусть f Є АпПЯК~ру р > 0, записана в виде (5)} Мук = sup (\gk(z)\(l - \z\2)p+h) (Mgk < со), к = О, ...,п- 1, тогда для любых z Є Д? І Є N справедлива точная оценка
В данной главе исследуются также условия, при которых голоморфные компоненты полианалитических функций раскладываются в лакунар-ные ряды, и свойства самих полианалитических функций, которые отсюда вытекают.
Таким образом основными результатами данной диссертации являются:
доказательство теорем типа обращения правила Лопиталя для голоморфных в плоской области функций, при некоторых дополнительных условиях;
доказательство теорем типа обращения правила Лопиталя для голоморфных в единичном шаре функций, получение достаточных условий при которых утверждения имеют место;
установление связи между классом голоморфных функций Блоха и голоморфными функциями, принадлежащими классу ЯЯ1', р < О, получение свойств голоморфных компонент полиаиалитических функций и самих этих функций из класса 2ЛР, р < О,
Основные результаты диессертации опубликованпы автором в де-
сяти работах [20—28, 52], из них одна статья в Сибирском математическом журнале [25], две статьи в сборнике трудов Петрозаводского государственного университета [20, 26], статья в журнале "Известиях вузов. Математика" [28], шесть тезисов докладов на конференциях [21—24, 27, 52], в том числе тезисы международных конференций [22, 24, 52]. Полученные результаты докладывались на Eleventh summer St,Petersburg meeting in mathematical analysis (Санкт-Петербург, 2002), 12-й и 13-й Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2004, 2006). Международной школе-конференции по теории функций комплексного переменного (Петрозаводск, 2004), Воронежской зимней школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2005), Международной школе-конференции "Комплексный анализ и его приложения", посвященной памяти профессора И. П. Митюка (Краснодар, 2005), в Саратовском государственном университете на научном семинаре по геометрической теории функций комплексного переменного (2006 г., научный руководитель профессор Прохоров Д. В.) и на объединенном семинаре кафедр дифференциальных уравнений и прикладной математики, математического анализа, вычислительной математики и математической физики, теории функций и приближений, математической экономики (2006 г., научный руководитель профессор Хромов А. П.), в Казанском государственном университете на семинаре по геометрической теории функций (2006 г., научный руководитель профессор Аксентьев Л- А.), на научных семинарах по теории функций комплексного переменного в Лодзинском университете (2003 г., Лодзь, Польша, научный руководитель профессор 3, Якубовский), в Ягелонском университете (2003 г., Краков, Польша, научный руководитель профессор Я, Шичак), в Петрозаводском
государственном университете (2004 г., 2006 г., научный руководитель профессор Старков В. В.).
В 2002 г. и в 2004—2005 гг. диссертационные исследования были поддержаны Конкурсным центром фундаментального естествознания; гранты М02-2ЛД-244 и А04-2.8-719, соответственно, В марте 2003 г. работа отмечена грантом Ягелонского университета, Краков, Польша,
Работа носит теоретический характер. Результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях граничного поведения голоморфных функций одной и нескольких переменных, граничного поведения полианалитических функций и их голоморфных компонент, имеющих ограниченность порядка р, а также могут быть использованы в учебном процессе.
Диссертация состоит из 101 страницы, содержит введение, три главы, каждая из которых разбита на параграфы, список литературы из 55 наименований, список основных обозначений. Нумерация параграфов сквозная. Для теорем, следствий, определений, замечаний и формул используется двойная нумерация: первым указывается номер главы, затем - порядковый номер теоремы (соответственно следствия, замечания, определения или формулы) в этой главе.
Доказательства теорем 1.1 и 1.2
В данной главе исследуются также условия, при которых голоморфные компоненты полианалитических функций раскладываются в лакунар-ные ряды, и свойства самих полианалитических функций, которые отсюда вытекают.
Таким образом основными результатами данной диссертации являются: 1. доказательство теорем типа обращения правила Лопиталя для голоморфных в плоской области функций, при некоторых дополнительных условиях; 2. доказательство теорем типа обращения правила Лопиталя для голоморфных в единичном шаре функций, получение достаточных условий при которых утверждения имеют место; 3. установление связи между классом голоморфных функций Блоха и голоморфными функциями, принадлежащими классу ЯЯ1 , р О, получение свойств голоморфных компонент полиаиалитических функций и самих этих функций из класса 2ЛР, р О,
Основные результаты диессертации опубликованпы автором в де сяти работах [20—28, 52], из них одна статья в Сибирском математическом журнале [25], две статьи в сборнике трудов Петрозаводского государственного университета [20, 26], статья в журнале "Известиях вузов. Математика" [28], шесть тезисов докладов на конференциях [21—24, 27, 52], в том числе тезисы международных конференций [22, 24, 52]. Полученные результаты докладывались на Eleventh summer St,Petersburg meeting in mathematical analysis (Санкт-Петербург, 2002), 12-й и 13-й Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2004, 2006). Международной школе-конференции по теории функций комплексного переменного (Петрозаводск, 2004), Воронежской зимней школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2005), Международной школе-конференции "Комплексный анализ и его приложения", посвященной памяти профессора И. П. Митюка (Краснодар, 2005), в Саратовском государственном университете на научном семинаре по геометрической теории функций комплексного переменного (2006 г., научный руководитель профессор Прохоров Д. В.) и на объединенном семинаре кафедр дифференциальных уравнений и прикладной математики, математического анализа, вычислительной математики и математической физики, теории функций и приближений, математической экономики (2006 г., научный руководитель профессор Хромов А. П.), в Казанском государственном университете на семинаре по геометрической теории функций (2006 г., научный руководитель профессор Аксентьев Л- А.), на научных семинарах по теории функций комплексного переменного в Лодзинском университете (2003 г., Лодзь, Польша, научный руководитель профессор 3, Якубовский), в Ягелонском университете (2003 г., Краков, Польша, научный руководитель профессор Я, Шичак), в Петрозаводском государственном университете (2004 г., 2006 г., научный руководитель профессор Старков В. В.).
В 2002 г. и в 2004—2005 гг. диссертационные исследования были поддержаны Конкурсным центром фундаментального естествознания; гранты М02-2ЛД-244 и А04-2.8-719, соответственно, В марте 2003 г. работа отмечена грантом Ягелонского университета, Краков, Польша,
Работа носит теоретический характер. Результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях граничного поведения голоморфных функций одной и нескольких переменных, граничного поведения полианалитических функций и их голоморфных компонент, имеющих ограниченность порядка р, а также могут быть использованы в учебном процессе.
Диссертация состоит из 101 страницы, содержит введение, три главы, каждая из которых разбита на параграфы, список литературы из 55 наименований, список основных обозначений. Нумерация параграфов сквозная. Для теорем, следствий, определений, замечаний и формул используется двойная нумерация: первым указывается номер главы, затем - порядковый номер теоремы (соответственно следствия, замечания, определения или формулы) в этой главе.
Некоторые примеры применения полученных результатов
Будем придерживаться следующих обозначений. Пусть С" — n-мерное комплексное пространство векторов z = {zi,Z2}. . - ,2П), где Zi)Z2,... ,zn Є С, со скалярным произведением (z,w) = ZiWi + .,. + znwn; Вп — {z ; \\z\\ 1} — евклидов шар в пространстве Сп, \\z\\ — J{z,z). Если є 07 то обозначим В — еВп.
Пусть а О, С Є С"т ІІСЦ = 1, обозначим П — область Кораньи — Стейна с вершиной в точке — множество всех z Є Вп таких, что При а а в своем предельном положении при а — оо области П будут шаром Вп (см., например, [16]). Пусть а тогда область Кораньи — Стейна Qa — 0 с вершиной в точке ei задается неравенством
В многомерном случае при изучении многих вопросов граничного поведения функций область Кораньи — Стейна играет роль угла Штольца. Однако строение этой области отличается от строения угла Штольца. Проведем сечение fiQ плоскостью С; рассмотрим множество точек (1,0,,,.,0) Є fia. Это сечение представляет собой область, лежащую в единичном круге Л, в угле с вершиной в точке z — \ величины 2ту, COST? = —, и имеющую границу, состоящую из двух простых кривых, a выходящих из точки z = 1 и касающихся сторон угла, в котором данная область лежит. Таким образом в плоскости область Корапьи—Стейна является аналогом угла Штольца. Обозначим z\ = х + гу, х,у Є R, и проведем сечение Qa плоскостью у — 0, то есть рассмотрим множество точек z = (ж, 2, ...,#„) є .В71, тогда сечение Qa представляет собой шар вещественной размерности 2п - Х7 касающийся границы шара Вп С Ш2тг в точке Єї, и свойства некасателыюсти к границе области, которым обладает угол Штольца, область Кораттьи — Стейна не имеет и в этом смысле (в общем случае п переменных) аналогом угла Штольца не является.
В данной главе исследования граничного поведения голоморфных функций продолжаются для случая п переменных. Обобщением теоремы В па многомерный случай является
В данной главе продолжаются исследования граничного поведения функций, Основным инструментом получения результатов является связь, которая будет установлена между полианалитическими функциями, имеющими ограниченность порядка р} р 0? в единичном круге Д и голоморфными функциями класса Блоха. Используя связь между указанными классами функций, на основе свойств голоморфных функций Блоха доказываются новые свойства полианалитических функций и их голоморфных компонент. Сформулируем некоторые определения и известные свойства полианалитических функций и функций класса Блоха.
Определение 3.1. Функция f{z) — f{x,y)} имеющая в области G С С непрерывные частные производные по х и у до порядка п 1, называется полианалитической порядка п в G, или п—аналитической в G, если она dnf(z) удовлетворяет обобщенному уравнению Коши—Римана - — 0. Класс всех таких функций принято обозначать через An{G). При n = 1 класс Ai(G) совпадает с классом голоморфных в G функций, п-аналитические в единичном круге Д = {z : \z\ 1} функции будем обозначать через Ап. Всякую тг-аналитическую функцию f(z) можно единственным образом представить в виде
Класс функций, имеющих ограниченность порядка р в области G, обозначается $RP(G) [10]. Класс функций ОТР(Д) имеющих ограниченность порядка р в единичном круге Д, обозначим через 9ЛР.
В [10] доказано, что если функция f{z) G АпП 9ЯР, р Є R, то ее голоморфные компоненты в (3.1) (pk(z) Є BF"n+1, 0 k n — 1, и это утверждение нельзя усилить ни при каком наборе чисел п 1, р Є R, 0 fc n-l.
В этой же работе [10] доказан такой критерий принадлежности п—аналитической функции, представленной в виде (3,2), классу Из результатов [10] следует, в частности, что Легко можно установить связь между классом 5Я т, га Є N и классом голоморфных функций Блоха-Определение 3.3. Голоморфная в круге Д функция f называется функцией Блоха, если sup
Класс таких функций обозначается В, Класс Блоха — хорошо изученный класс функций. Его исследованию посвящены сотни статей. Нам, в частности, нужна будет следующая Лемма F ([34]). Следующие утверждения эквивалентны,; sup / пч )І(1 — \z\2)n оо для любого натурального п. Из определения класса критерия (3,3) и леммы F следует, что n-аналитическая функция
Используя эту связь между полианалитическими функциями из ЯЛ Ш, т Є N и функциями Блоха, в данной главе исследуются граничные свойства полианалитических функций и их голоморфных компонент. Сформулируем некоторые известные свойства функций Блоха.
Доказательство теоремы 2.3
Впервые правило раскрытия неопределенности типа 0/0 было опубликовано маркизом М. де Лопиталем (1661—1704) в 1696 году в работе "Анализ бесконечно малых". Однако, вскоре после смерти Лопиталя в августе 1704 года И. Бернулли (1667—1748) выступил с первым печатным заявлением, в котором предъявил претензии на описанные в "Анализе" методы. Это была заметка "Усовершенствование моего, опубликованного в "Analyse des infiniment petits" в 163, метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают". Здесь И. Бернулли рассказал, что правило он сообщил лет 10 назад маркизу Лопиталю, в этой же заметке И. Бернулли "движимый любовью к истине", отметил, что иногда однократное применение правила к цели не приводит, получается опять неопределенность вида 0/0, поэтому его приходится применять еще один или несколько раз.
Дело в том, что в марте 1694 года И. Бернулли и Лопиталь заключили между собой договор, по которому И. Бернулли передает Лопиталю за 800 ливров авторские права на свои математические открытия, которые будут сделаны с 1694 по 1696 годы. Согласно этому договору Бернулли 22 июля 1694 года написал письмо Лопиталю, в котором информирует его о том как следует поступать, когда возникает неопределенность типа 0/0. Лекции и материалы, полученные Лопиталем в письмах И. Бернулли (они переписывались с 1692 г. в течение десяти лет), послужили Лопиталю основой при написании им "Анализа бесконечно малых" и вошли в историю математики под его именем.
Утверждение, обратное правилу Лопиталя, вообще говоря, неверно: из существования предела отношения дифференцируемых функций f(x) и д{х) не следует существование предела отношения производных этих функций.
Задача обращения правила Лопиталя относится к так называемым тауберовым задачам. Если можно найти дополнительное условие, при котором будет справедлива обратная к прямой (абелевой) теорема, то это условие будет называться тауберовым, а обратная теорема называться тауберовой. Более подробные сведения , касающиеся истории тауберовых теорем, можно найти в книгах [18, 44—45], см. также [12—13, 41], В [18], в частности, описан метод, примененный Харди и Литтлвудом к доказательству тауберовых теорем о сходимости расходящихся рядов, при этом ими доказана такая
Теорема А [18, с.215—216]. Если функция f(x) дифференцируема на (О, l)j / (#) возрастает на (0,1), с 0, и Hm f{x)(l — х)с = А 0, то существует предел lira f(x)(l — ж)с+1 = Ac.
Последнюю теорему можно отнести к утверждениям об обращении правила Лопиталя: в качестве функции д{х) в теореме А взята функция (1 — х) с: с 0, на функцию f(x) наложено дополнительное условие возрастания ее производной.
Вопрос обращения правила Лопиталя на классе выпуклых функций рассматривался в [3—5], в частности, в [5] автором получено такое утверждение; пусть функции f(x) и д(х) определены и дифференцируемы на (а,&), f(x) — неубывающая выпуклая функция, limg(x) = +оо, д{х) — наибольшая выпуклая лшноранта функции д{х) па (а, Ь)7 для того
Известны и другие результаты, связанные с обращением правила Лопиталя. Например, в [42] (см. также [36]) в этом направлении доказан такой результат; пусть D — (а Ь)\{х }, где х$ — предельная точка (а, Ь), и предположим, что вещестпееппозпачные функции f(x) и д(х) дифференцируемы на D. Если gf(x) 0 для любого х Є D и
Формулировки теорем и их доказательства
Функции ограниченного типа рассматривались в [10] в связи с изучением граничного поведения полианалитических функций и их голоморфных компонент. Функция /(z), z — x + iy} имеющая в области G С С непрерывные частные производные по х и у до порядка п 1, называется полианалитической порядка п в (7, или п—аналитической если она удовлетворяет обобщенному уравнению Коши—Римана dnf(z) я_п — 0. Класс -аналитических в единичном круге Д функций обозначим через Ап. Всякую полианалитическую порядка п в области G функцию f(z) можно единственным образом представить в виде где функции tpk голоморфные в G (см., например, [1]). В единичном круге Д представление (4) функции f Є Ап приводится к следующему виду: полином от z степени голоморфные в Д функции. Функции ipk называются голоморфными компонентами полианалитический функции
Граничные свойства полианалитических функций из класса 9JF, как это показано в [10], зависят от граничных свойств их голоморфных компонент, а свойства последних, как уже было сказано, можно получить из их связи с классом ?. Этому посвящена глава 3 настоящей работы.
Целью данной диссертации являются исследования граничного поведения в угле Штольца функций, голоморфных в области с достаточно произвольной границей, а именно получение утверждений типа обра щения правила Лопиталя для голоморфных функций при некоторых дополнительных предположениях; а также граничного поведения в области Кораньи-Стейна функций нескольких переменных, голоморфных в единичном евклидовом шаре, в том числе получение обобщения теорем В и D, и, как и для случая функций одной переменной, получения теорем типа обращения правила Лопиталя для голоморфных в шаре функций при некоторых дополнительных предположениях- Цель третьей главы диссертационной работы — исследование граничного поведения голоморфных в единичном круге Д и имеющих ограниченность порядка р 0 функций и полианалитических функций ограниченного типа в Д, а именно, установление связи между голоморфными функциями Блоха и голоморфными функциями ограниченного типа р 0 в Д: получение из этой связи новых свойств голоморфных функций, имеющих ограниченность порядка р О, как следствие, получение свойств полианалитических функций, имеющих ограниченность порядка р 0.
Перейдем к изложению основных результатов диссертационной работы. Граничное поведение голоморфных функций одной переменной исследуется в первой главе. Результаты этой главы формулируются в первом параграфе, доказываются в 2, в третьем параграфе приводятся примеры применения полученных теорем.
В первой главе диссертации обобщается теорема В; для голоморфных функций доказывается обращение правила Лопиталя — теорема 1Л — когда из существования предела отношения двух голоморфных функций при стремлении z в угле Штольца с вершиной в граничной точке области голоморфности при выполнении некоторых дополнительных условий, наложенных па функции, вытекает существование предела отношения производных этих функций в меньшем угле Штольца.
Теорема 1- 1 [25]- Пусть В — область, которая имеет на своей границе открытую аналитическую дугу Жордана 7; — внутренняя точка кривой 7? не являющаяся предельной для граничных точек, не принадлежащих 7/ К/ — такой угол Штольца величиной 2г) с вершиной в точке (биссектриса угла V ортогональна касательной к в точке ), что Vv С В; функции f(z) и g(z) голоморфны в В; и существует предел
