Введение к работе
Актуальность темы диссертации. В последнее время широко используются методы обработки данных, основанные на всплеск-преобразованиях. Термин "всплеск" появился в 1980-х, хотя первый всплеск был сконструирован А. Хааром еще в 1909 году. Всплески позволяют анализировать функции, частотные характеристики которых изменяются во времени. Всплеск-анализ может быть охарактеризован как альтернатива классическому анализу Фурье. Теория всплесков, так же как и анализ Фурье, имеет две важные части: непрерывное всплесковое преобразование и всплесковые ряды. Всплеск-ряды активно используются при сжатии данных, в том числе видео- и аудио-информации, применяются в цифровой обработке изображения, обработке сигналов и анализе данных.
Всплеск-системы получаются посредством кратных сжатий и равномерных сдвигов одной фиксированной функции. Системы равномерных сдвигов функций широко используются помимо теории всплесков в таких классических областях математики, как теория функций вещественного и комплексного переменного, теория ортогональных рядов; при изучении преобразования Фурье и других интегральных преобразований, в функциональном анализе. В качестве примеров можно указать базисные сплайны, описанные в работах Ю.С. Завьялова, Б.И. Квасова, В.Л. Мирошниченко, СБ. Стечкина, Ю.Н. Субботина, Н.И. Черных, Ч. Чуй; дискретные ортогональные и биортогональные всплески, исследованные И. Добеши, С. Малла, И. Мейером, И.Я. Новиковым, К.И.Осколковым, В.Ю. Протасовым, М.А. Скопиной.
В последние годы большое распространение в прикладных задачах получили системы целочисленных сдвигов функции Гаусса
(f(x) = ехр (
которые будем обозначать следующим образом
( л ( (х-к)2\ 7 г,
(рк(х) = ехр[ —2— I, fceZ.
В работах по квантовой оптике, таких авторов как Э. Вольф, Р. Глау-бер, Л. Мандель, A.M. Переломов, используются когерентные состояния, представляющие собой функции вида
// \ ( (х — а)2 — ibx\
гр{х) = ехр I —-^ 1 , а, о Є К.
с фиксированным параметром а .
В квантовой вычислительной химии (П. Гилл, Ф. Иенсен) произведения сдвигов функции Гаусса на многочлены невысоких степеней лежат в основе расчетов сложных молекул . Особенно популярной эта тематика стала после появления пакета прикладных программ "Gaussian" . Его основные авторы У. Кон и Д. Попл отмечены Нобелевской премией по химии за 1998 год.
В цикле работ В. Л. Вендланда, В. К ар лина, В. Г. Мазьи, Г. Шмидта показано, что системы сдвигов функции Гаусса могут быть применены для аппроксимации различных потенциалов, а также для решения линейных и нелинейных граничных задач математической физики. Предельное поведение таких систем при стремлении параметра а к бесконечности описано в работах Н. Шивакумара. Различные аспекты интерполяции с помощью системы сдвигов функции Гаусса изучались в работах С.Ф. Бойса, К. Калкатерры.
Семейства функций, используемые во всех перечисленных выше задачах, оказываются неортогональными. Актуальными являются следующие задачи: оценка устойчивости разложения по этим функциям; изучение констант Рисса для систем сдвигов функции Гаусса и отвечающей ей функции Лагранжа; ортогонализация с сохранением структуры сдвигов;
предельное поведение функции, являющейся результатом ортогонализа-ции целочисленных сдвигов функции Гаусса.
Цель работы. Изучение неортогональных систем целочисленных сдвигов функции Гаусса. Основные задачи работы состояли: в получении явных выражений для констант Рисса, в исследовании зависимости этих констант от параметра а , в реализации процедуры ортогонализации для системы сдвигов функции Гаусса, в вычислении коэффициентов функции Лагранжа с помощью дискретного преобразования Фурье.
Методика исследований. В работе используются методы теории функций, линейного функционального анализа, теории всплесков и теории специальных функций.
Научная новизна и значимость полученных результатов. Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.
Получены явные выражения для констант Рисса в случае систем целочисленных сдвигов функции Гаусса и полученной при интерполяции функции Лагранжа.
Показано, что при стремлении значения параметра а к бесконечности отношение верхней и нижней констант Рисса для случая функции Лагранжа не стремится к единице, хотя система сдвигов переходит в пределе к ортонормированной системе.
Предложен способ приближенного вычисления коэффициентов функции Лагранжа с помощью дискретного преобразования Фурье.
Для функции Гаусса реализован процесс ортогонализации с сохранением структуры сдвигов. Показано, что при стремлении значения параметра а к бесконечности полученная при ортогонализации функция стремится в среднеквадратичной норме к функции отсчетов
, ч sin ж
sine ух) = .
Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет тео-
ретический характер. Результаты диссертации теоретически обосновывают свойства неортогональных систем целочисленных сдвигов функции Гаусса. Предлагаемые в работе методы могут быть использованы и для других систем сдвигов, порожденных функциями, отличными от функции Гаусса.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на международной конференции "Всплески и приложения" в г.Санкт-Петербурге в 2009 г., на международной конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" в г. Казань в 2011 г., в Воронежской зимней математической школе в 2011 г., а также на семинарах Воронежского государственного университета в 2010 - 2011 гг.
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах автора [1] — [4] . Из совместных публикаций [1], [4] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [2] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 80 наименований. Общий объем диссертации 83 стр.
