Введение к работе
Актуальность темы. Локальные приближения сплайнами исследовались такими математиками, как А. И. Гребенников1, К. де Бур и Дж. Фикс2, Т. Лич и Л. Шумейкер3 и др. Например, в работе последних двух авторов строится оператор вида
Q/ = E^)4, (і)
где Вгп — последовательность >-сплайнов степени п (здесь и далее под степенью сплайна понимается максимальная из степеней многочленов, из которых производится "склейка" сплайна), a {q} — набор явно заданных линейных функционалов, как правило, определяемых путём решения некоторой системы линейных уравнений. Функционалы выбираются так, что
оператор Q применим к широким классам функций, включающим, например, непрерывные или интегрируемые функции;
оператор Q является локальным в том смысле, что значение Qf(x) зависит только от значений / в малой окрестности точки х\
Qf приближает гладкие функции / с порядком точности наилучшего приближения сплайнами;
Q воспроизводит многочлены степени ^ п.
Приводятся явные формулы для вычисления коэффициентов оператора (1) как по значениям функции / или её производных в точках, так и по значениям интегралов от произведения / на некоторые вспомогательные функции. Интегральные коэффициенты для аппроксимирующего сплайна используются в работах Ю. Н. Субботина4 и Т. П. Лукашенко5. В последней статье рассмотрена конечная система на отрезке [0,1],
1 А. И. Гребенников, Об одном методе построения интерполяционных кубических и бикубических сплайнов на равномерных сетках, Вестн. Моск. ун-та. Сер. Выч. мат. и кибернетика, № 4, 1978, 12-17.
2C.de Boor, G.Fix, Spline approximation by quasi-interpolants, J. Approx. Theory, 8:1, 1973, 19-45.
3T. Lych, L. L. Schumaker, Local spline approximation methods, J. Approx. Theory, 15:4, 1975, 294-325.
4Ю. H. Субботин, Экстремальные задачи функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны, Тр. МИАН СССР, 138, 1975, 118-173.
5Т. П. Лукашенко, О новых системах разложения и их свойствах, Чебышевский сборник, 5:2, 2004, 77-78.
состоящая из сдвигов одной функции системы Фабера-Шаудера:
(Pi(x) = фкх -i),i = 0,...,2k, ф) = (1 - |ж|)х[-і,і](ж).
Любая кусочно-линейная функция / на [0,1] с изломами в точках ^, і = 0,..., 2к, однозначно разлагается в сумму
Кх) = ^2сгсрг(х), где а = Іу-у;)-
Для кусочно-линейных функций такой способ определения коэффициентов эквивалентен следующему:
-к
с0 = 6-2к l(x)^fo(x)--^dx,
о 1
с2к = б 2к / l(x)((f2k(x) — -) dx}
l-2-fc
3-2fc / 1(х)(шг(х)--)(іх, 0
(i-l)2-k
Вычислять коэффициенты Сі по последним формулам можно для любых интегрируемых по Лебегу функций. Функцию 1{х) можно рассматривать как линейный оператор вида (1), определённый на классе интегрируемых функций. Использование интегральных формул для вычисления коэффициентов позволяет применять оператор к достаточно широкому классу функций — интегрируемым функциям, а также повысить устойчивость метода к измерительным и вычислительным ошибкам.
Цель работы. Исходя из приведённого случая кусочно-линейных функций, сформулируем задачу: построить линейный оператор Тп со следующими свойствами:
Значение оператора Tnf представляет собой линейную комбинацию (1) сдвигов >-сплайна степени п с коэффициентами q(/) — линейными функционалами.
Оператор Тп является точным на некотором классе сплайнов степени п.
Оператор является локальным, т. е. поведение Tnf в какой-либо области зависит от поведения функции / в некоторой окрестности этой области.
Функционалы q(/) определяются с помощью интегралов от произведения функции / на некоторые вспомогательные функции.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
Построен оператор Тп со свойствами 1—4, для п = 1, 2, 3 явно предъявлены формулы для вычисления коэффициенты Ci(f).
Доказано, что оператор Тп приближает функции с точностью, по порядку совпадающей с наилучшим приближением сплайнами степени п.
В работе показывается, что при п = 1 данный метод является оптимальным с точки зрения сочетания локализации и приближения в среднеквадратичной метрике.
Часть результатов перенесена на случай функций двух переменных.
Методы исследования. В работе применяются некоторые методы теории функций, теории сплайн-аппроксимаций, вариационного исчисления. Из области линейной алгебры используются свойства систем линейных уравнений, квадратных матриц и их собственных значений.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер, однако, её результаты с успехом могут найти применение на практике. Использование локальных сплайнов наряду с интегральным способом вычисления коэффициентов можно приложить к таким задачам, как измерение, хранение и передача сигналов, обработка изображений и т.п.
Апробация результатов. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре "Ортоподобные системы" под руководством проф. Т. П. Лукашенко, доц. Т. В. Родионова, доц. В. В. Галатенко (2004—2008), на семинаре по теории тригонометрических рядов под руководством академика П. Л. Ульянова (2005), на семинаре по теории функций под руководством член-корр. РАН Б. С. Кашина и проф. С. В. Ко-нягина (2008), на семинаре по теории приближений под руководством
проф. С. А. Теляковского в Математическом институте им. В. А. Стек-лова (2008, 2009), на Седьмой международной Казанской летней научной школе-конференции (2005), на 13-й Саратовской зимней школе (2006), на Воронежской зимней математической школе (2007), на конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего (2009).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах автора. Список этих работ приведён в конце автореферата [1] - [7].
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и списка литературы из 32 наименований. Общий объём диссертации составляет 66 страниц.
