Системы экспонент в весовых гильбертовых пространствах на R Башмаков Рустэм Абдрауфович

Геометрические характеристики выпуклых функций и их свойства

Диссертация посвящена проблеме разложения в ряды из экспонент элементов гидьбертова пространства L2(I,exph), в частности вопросам существования базисов Рисса, вопросам полноты и минимальности систем экспонент.

Пусть / — интервал вещественной оси, h(t) — выпуклая функция на этом интервале и t?(I,cxph) пространство локально интегрируемых функций на /, удовлетворяющих условию Оно является гильбертовым пространством со скалярным произведением Определение. Семейство {e kt, к = 1,2,...} называется безусловным базисом в пространстве L2(/, ехр/г), если 1) семейство {еЛ [, к = 1,2,...} полно в пространстве 2(/,ехрЛ); 2) существуют положительные постоянные m, М такие, что для любой конечной последовательности 0 ЄС справедлива двусторонняя оценка Мы здесь придерживаемся определения из работы (43]. Как отмечено в этой работе, если система {еЛ } образует безусловный базис в пространстве Ь2{1, ехр/(), то любая функция / Є L2(I,exph) единственным образом разлагается в безусловно (перестановочно) сходящийся ряд по этой системе: Известно, что если система {еЛ г, к = 1,2,...} образует безусловный базис Рисса в пространстве А , то любой элемент / этого пространства представляется единственным образом в виде суммы ряда по данной системе экспонент: . k=l Поэтому задача о существовании базисов Рисса относится к проблематике представления функций посредством рядов экспонент. В диссертации показывается, что базисы Рисса из экспонент достаточно редкое явление. Приводятся необходимые условия базисное систем экспонент в пространстве L2(I.exph), условия отсутствия базисов из ъкспоиент и обсуждаются вопросы полноты и минимальности систем экспонент в L2(/.exp/t). Тема представления функций посредством рядов экспонент стала объектом пристального внимания многих математиков после появления в 19G5 году работы А. Ф. Леонтьева [26], в которой было показало, что при некоторых А можно указать области D, в которых произвольные аналитические в замкнутой области D функции допускают разложение в ряд по системе экспонент ехр(А г). За последующие два десятилетия A. Ф. Леонтьевым и его учениками и коллегами была создана стройная теория представления рядами экспонент, в которой были изучены и при мыкающие вопросы - теоремы единственности, восстановление функций по коэффициентам и т.д. Результаты в этом направлении подытожены в монографиях [25], 27. 28]. С начала семидесятых годов под влиянием таких работ как L. Eh-renprois ([59]), В. A. Taylor ([G2]), P. Oliver ([GO]), D. М. Schneider ([01]}, B. В. Напалков ([41], [42]). в данной проблематике систематически стали применяться методы функционального анализа. В классической теории рядов экспонент сходимость рядов рассматривалась как сходимость в естественной топологии равномерной сходимости на компактах, Одним из следствий функционального подхода стало изучение сходимости ря дов в различных топологиях счетно нормированного типа, Другими сло вами, стало возможным представление рядами экспонент функций из заданного локально выпуклого пространства, с естественным условием, что ряды сходятся is топологии этого пространства. Еще одним следстви ем функционального подхода явилось распадение проблемы представле ния рядами экспонент на две составляющие задачи: описание сильно со пряженного пространства в терминах преобразования Лапласа и постро ение целых функций с заданной асимптотикой. В связи с тем, что каждая из этих составляющих задач имеет применения в других проблемах ком- плексного анализа, они стали объектом самостоятельного интенсивного исследования. Применительно к пространствам счетно нормированного типа обе задачи получили законченное решение к концу восьмидесятых годов. По описанию сопряженных пространств в терминах преобразования Лапласа следует отметить работы 2], (16], [39]. По существу в этих работах получено описание сопряженного пространства к весовым пространствам, замкнутым относительно дифференцирования. По проблеме целых функций с заданной асимптотикой окончательный в общей постановке результат получен в работе [51]. Таким образом, к началу девяностых годов стала актуальной задача представления рядами экспонент функций из нормированных пространств. В пространствах нормированного типа более естественным оказалось не просто разложение в ряды экспонент, а изучение базисов Рисса из экспонент. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Смирнова на выпуклых многоугольниках были сконструированы в работе [24]. Напомним, что пространство Смирнова на области D — это пополнение пространства многочленов относительно нормы где ds(z) — элемент длины границы области D. Анализ работы [24 показывает, что и задача о безусловных базисах из экспонент распадается на две составляющие части: описание сопряженного пространства и построение целых функций с тонкими асимптотическими оценками. В указанной работе [24] доказано, что сопряженное пространство к пространству Смирнова E2(D), где D выпуклый многоугольник, в терминах преобразования Лапласа совпадает с пространством целых функций F(X), удовлетворяющих условию

Здесь лучи ге"рк, г 0 перпендикулярны сторонам многоугольника D, a h{ip) — опорная функция этого многоугольника. Целая функция S(X) с простыми нулями Хк, к = 1,2,..., названа функцией типа синуса для области D, если она при некоторых положительных константах с,С,6 удовлетворяет условию: круги {X:\X — Xk\ 5} попарно не пересекаются и вне этих кругов выполняется двусторонняя оценка

Ю. И. Любарский в статьях [34], [35] предпринял попытку обобщения результатов работы [24] на области более общего вида. В работе [34] получено описание сопряженного пространства к пространству

Условия отсутствия базисов Рисса из экспонент в пространстве L2(/, ехр/г)

С начала семидесятых годов под влиянием таких работ как L. Eh-renprcis ([59J), В. A. Taylor ([62j), Р, Oliver {[60]), D. М. Schneider ([61]), В. В, Напалков ([41], [42]). применительно к задачам представления функций рядами по системам из экспонент систематически стали применяться методы функционального анализа. В классической теории рядов экспонент сходимость рядов рассматривалась как сходимость в естественной топологии равномерной сходимости на компактах. Одним из следствий функционального подхода стало изучение сходимости рядов в различных топологиях счетно нормированного типа. Другими словами, стало возможным представление рядами экспонент функций из заданного локально выпуклого пространства, с естественным условием, что ряды сходятся в топологии этого пространства. Были введены понятия достаточных [59] и слабо достаточных множеств [61].Как позднее бмло показано в работах Напалкова В .В. [38], [40] и Коробейника 10. Ф. [20] для большинства случаев важных в приложениях в подпространствах аналитических функций эти понятия совпадают. Многие результаты по построению и применению достаточных множеств получены Аба-нипым А. В. [1], Епифановым О.В. [14, 15]. Так, Епифановым О.В. показано, что в подпространствах аналитических функций каждое слабо достаточное множество содержит дискретное слабо достаточное миожество с единственной предельной точкой на бесконечности. В этой главе рассматривается задача о построении дискретных слабо достаточных множеств для весовых пространств аналитических функций на римано-вых поверхностях.

Действительно, как известно (см. [11, с. 617]), можно униформизи-ровать риманову поверхность функции z2 = vf i), т.е. найдутся две мероморфные в некоторой области D расширенной комплексной плоскости функции hi(t) и /i2(), такие что для любого элемента аналитической функции p{z\) и для любого і Є D имеет место равенство h,2(t) = ip(hi(t)). Здесь D —либо единичный круг (гиперболический случай), либо D = С (эллиптический случай), либо D = С (параболический случай). Введем пространство функций Функции, входящие в E(1Z), аналитичны в области D за исключением счетного числа изолированных особых точек «і, а-2,... Рассмотрим пространство H{D\) функций, аналитических в области Db с топологией равномерной сходимости, где Dx = D\ {aj, а2, по системе весоиїЦг) = vn{h\ (),Д2()), {n = 1,2,...) построим пространство Е = [J E(vn), где І2 наделим топологией индуктивного предела пространств E(vn). Заметим, что E(7Z) С \ Множество S будем называть слабо достаточным для пространства Е, если топология индуктивного предела пространств совпадает с топологией Е. (см.[41, 20,15,1[). Существование дискретного слабо достаточного множества S для пространства Е следует из работы [15]. Множество точек будет образовывать слабо достаточное множество для пространства Е{Я), поскольку для всякой / Є Е(Щ В случае алгебраической эллиптической римановой поверхности для конкретных весов можно предложить способы построения "более редких" слабо достаточных множеств. Пусть Л = {z = (zi,z2) С2 : P{zi,z?) = 0}, где P{zi,z2) — неприводимый полином. Изложение будем вести для системы весов ип(гі,г2)=с(п( ,[+ї1,) , (21,) є Я, n = l,2,... Простейшим для исследования является случай, когда % — римано-ва поверхность эллиптического типа, т. е. найдутся две рациональные функции hi(t) и h2(t), t Є С, униформизируюіцие It. Рассмотрим, введенные в предыдущем пункте, соответствующие пространства Е(Л), Е, E(vn) [п = 1,2,...). Заметим, что Е — пространство функций, аналитических в комплексной плоскости за исключением быть может конечного числа изолированных особых точек аі,а2, .,.,а„ и бесконечно удаленной точки. Пусть f{z\,z2) Є Е(Т1). Разложим функцию !?(0 = /( iWi afa)) в окрестности каждой особой й;, (г — 1,2,...,и) в ряд Лорана

Минимальность полной системы экспонент в пространстве (/,ехр/г)

В случае алгебраической эллиптической римановой поверхности для конкретных весов можно предложить способы построения "более редких" слабо достаточных множеств. — неприводимый полином. Изложение будем вести для системы весов

Простейшим для исследования является случай, когда % — римано-ва поверхность эллиптического типа, т. е. найдутся две рациональные функции hi(t) и h2(t), t Є С, униформизируюіцие It.

Рассмотрим, введенные в предыдущем пункте, соответствующие пространства Е(Л), Е, E(vn) [п = 1,2,...). Заметим, что Е — пространство функций, аналитических в комплексной плоскости за исключением быть может конечного числа изолированных особых точек аі,а2, .,.,а„ и бесконечно удаленной точки. Пусть f{z\,z2) Є Е(Т1). Разложим функцию !?(0 = /( iWi afa)) в окрестности каждой особой й;, (г — 1,2,...,и) в ряд Лорана Введем в рассмотрение пространства A"j (г = 1, 2,...) функций, аналитических в расширенной плоскости за исключением точки щ, наделив Но индуктивный предел пространств Х 1 j = 1,2,... эквивалентен индуктивному пределу пространств Х& j = 1,2,... _ Аналогично показывается непрерывность отображения проекции из Е в пространства А ; {г = 1,2,...). Следствие. Пусть Si слабо достато іное множество для простро,н ства Х{ (і = 1,2,..., п), SM — слабо достаточное множество для Х . Тогда мнооїсество S = SooUSiU U- U5n является слабо достаточным для пространства Е. На основании данного следствия вновь получаем слабо достаточное множество для рим ан о вой поверхности эллиптического типа. Полученное таким образом слабо достаточное множество будет "минимальным" в том смысле, что из него нельзя удалить множество непулевой относительной плотности с сохранением слабой достаточности в том случае, если соответствующие множества S00,Si,S2,...,Sn были "минимальными" для A AV- AV Описанный метод построения слабо достаточных множеств на рима-новых поверхностях эллиптического типа оказывается применимым и в случае параболической римаиовой поверхности, если возможна унифор-мизация с помощью двояко периодических мероморфных функций. Для случая произвольной алгебраической римановой поверхности при системе весов (4.1) нам потребуются слабо достаточные множества для пространства Наша цель построить множество Т, слабо достаточное дли Н00 т. е. такое, что обе нормы и эквивалентны. Через d{z) обозначим расстояние от точки z до границы круга D. Теорема 4.3. Множество точекТ, удовлетворяющее условию: для вся-кой точки z из D найдется точка А Г, для которой А — z\ d(z)/8, является слабо достаточным для Я00. В результате задача сводится к построению дискретных слабо достаточных множеств для пространств целых функций конечного порядка и пространства Я функций, ограниченных в круге. Пусть P(zi,z2) — неприводимый многочлен. Тогда, как следует из фундаментального принципа (см. [59]), целая функция и(СьСг) предста-вима в виде интеграла по характеристическому многообразию тогда и только тогдя, когда и(Сі,Сг) представляется в виде интеграла по характеристическому многообразию ТІ: где (І - некоторая комплексная мера ограниченной вариации, k(z) принадлежит семейству/С Если S - достаточное множество, то мы от интеграла по всему множеству Л перейти к интегралу по множеству 5": При построении достаточных множеств задача разбивается на две части: описание сопряженного пространства, построение целой функции, имеющей хорошую асимптотику. Либо используется подход Епифанова О. В. дискретизации слабо достаточных множеств. При этом получаемые множества "не очень редкие". К настоящему времени достаточные множества в основном уже изучаются в приложении не к задачам представления функций по системам экспонент. Кроме того достаточные множества неприменимы к изучению гильбертовых пространств функций.

Основные факты и существование дискретного слабо достаточного множества

Тем самым, в случае, когда D — многоугольник, результат из работы [32] совпадает с теоремой Б. Я. Ленина и Ю. И. Любарского. Если же опорная функция области D удовлетворяет условию из работы [18], то выполняются соотношения Таким образом, и в этом случае теорема из статьи [16] повторяет теорему 10. И. Любарского из [34].

В диссертации В.И. Луценко [33] на основе более детальной разработки методов работы [35] было показано, что если па границе области D имеется дуга, в любой точке которой кривизна границы существует и отлична от нуля, то безусловных базисов Рисса из экспонент в пространстве Смирнова на этой области не существует. Тем самым, было получено далеко идущее обобщение результата из работы [35].

С 1990 года началась разработка темы о безусловных базисах Рисса из экспонент в пространствах Бергмана. Пространством Бергмана B2{D), где D - область на плоскости С, называется пространство функций, аналитических в D и интегрируемых с квадратом модуля по мерс Лебега на D. Структура гильбертова пространства в B2(D) — определяется скалярным произведением где через m(z) обозначена плоская мера Лебега. В диссертации Исаева К.П. [18] доказано утверждение о том, что если на границе области D имеется точка, в которой существует отличная от нуля кривизна, то в пространстве D не существует базисов Рисса из экспонент. Тем самым, безусловные базисы Рисса из экспонент могут существовать в пространствах Бергмана лишь на "обобщенньіх"ізьшукльіх многоугольниках, то есть па выпуклых областях у которой кривизна в точках границы либо равна бесконечности, либо равна нулю. В качестве положительного результата сконструированы безусловные базисы Рисса из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых многоугольниках. С того же времени началось изучение представлений функций из пространства L2(I, ехр/і) рядами экспонент. Так как основным инструментом является преобразование Лапласа, первоначально была изучена асимптотика интегралов Лапласа (см. [50]) и дано описание пространства сопряженного к L2(I,exyh).. В этой работе предложены геометрические характеристики выпуклых функций, позволяющие вести работу, в отличие от классического случая, не только в случае гладких функций веса. Для функционала S на пространстве L2(I, схр h) его преобразованием Фурье-Лапласа называется функция 5(A) = S(eAt), А є С. По известному общему виду функционалов на гильбертовых пространствах получаем, что преобразование Фурье-Лапласа непрерывного функционала имеет вид для некоторой функции / Є L2(I, W). В работе Луценко В. И. и Юлмухаметова Р. С. [29] доказана следующая теорема,дающая описание сопряженного пространства к L2(I, exp h) Теорема А, Пусть \V(t) — ограничена снизу полоэюительной постоянной на ограниченном интервале I и ограничена сверху на каждом компактном подмножестве I. Положим h(x) — sup(e/(it-ln \/W(t)) — сопряженная по Юнгу к функции In \/W(t) и определим Pi(x) из условия 1. Обобщенное преобразование Лапласа S(z) — S{eu) функционала S на L2(I,W) является целой функцией, удовлетворяющей условиям 2. Если \xiW(t) — выпуклая функция, то имеют место и нижняя и верхняя оценки Кроме того, в этом случае верно обратное утверждение: если F — целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условиям то существует функционал S Є L2(I, W) такой, что где i-i(t) — неотрицательная борелевскал мера на Ж, то для любого функционала S В работе [30 эта теорема распространена на случай неограниченных интервалов /. Утверждение третьего пункта является одномерным случаем теоремы из работы [58]. В работе Луценко В.И. [31] показано отсутствие базисов Рисса в случае веса h{t) — lt]a, а 1. Этот результат в диссертации является следствием теоремы 2.4(b) Перейдем к подробному обзору результатов работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Нумерация приведенных во введении теорем, лемм и формул та же, что и в соответствующих разделах. Глава 1 посвящена изучению асимптотического поведения интегралов вида где Е — выпуклая область в пространстве R и h — выпуклая функции в области Е, для х = (xi,x2, ...,„), у = (уі,У2,—,Уп) использовано обозначение ху = XJUI Х У Доопределим при необходимости функцию /І, полагая 1г(х) = +со для х . Е, и будем считать, что функция h определена и выпукла на всем пространтсве W1 (см. [45]). Функция называется сопряженным по Юнгу к функции h. Известно ([45]), что h также выпуклая функция, причем сопряженная по Юнгу к функции h совпадает с h. Введем необходимые обозначения и определения. Через V(A) будем обозначать n-мерный объем множества А С Ми. Пусть Е — некоторая область в R н х Є Е. Определим по индукции по размерности пространства величину vd{x, Е), которую будем называть "объемным расстоянием". Если Е С R, то положим — обычное расстояние от точки х Є Е до границы Е. Пусть величина vd(x,E) определена в пространстве R и Е С Rn+1. Возьмем точку Уо Є 0Е, такую, что Если таких точек па границе несколько, то возьмем любую из них. Через точку уо проходит единственная опорная гиперплоскость, ортогональная отрезку, соединяющему точки х, уо. Пусть Р — гиперплоскость, параллельная этой опорной гиперплоскости и проходящая через точку X. Размерность выпуклого множества Е\ = Pf]E равна п и х Є Е\. По допущению индукции величина vd(x, Е\) уже определена.

Похожие диссертации на Системы экспонент в весовых гильбертовых пространствах на R

Полные и минимальные системы экспонент в лебеговых пространствах на действительной осиСальникова, Татьяна Анатольевна

Целые функции типа синуса. Применение к исследованию систем экспонент в весовых гильбертовых пространствахПутинцева, Анастасия Андреевна

Системы экспонент и их обобщения в пространствах аналитических функцийВинниций, Богдан Васильевич

Пространства ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и абсолютно представляющие системы экспонент в нихТищенко Елена Сергеевна

Некоторые свойства рядов Дирихле и систем экспонент с комплексными показателямиШаповаловский, Александр Владимирович

Представление и аппроксимация функций с помощью систем экспонент и их линейных комбинацийЛюбарский, Юрий Ильич

Асимптотика -субгармонических функций и их ассоциированных мер. Применение в вопросах полноты систем экспонентРумянцева, Алла Александровна

Аппроксимационные свойства систем экспонент на конечном и бесконечном интервалахЮхименко, Александр Анатольевич

Системы сдвигов и экспонент как бесселевы последовательности и фреймыКлимова, Екатерина Сергеевна

Биортогональные ряды экспонент на невыпуклой системе отрезковВасин, Александр Петрович