Введение к работе
- З -
Актуальность темы. Работа посвящена исследованию нратности спектра прьыых сумм линейных операторов и описанию инвариантных подпространств операторов типа оператора интегрирования..Понятия кратности спектра и инвариантные подпространства играют большую роль в спектральном и гармоническом анализе операторов.
Кратность спектра линейного непрерывного оператора действующего з банаховом пространстве д > ~ это число (или символ со )
і4(А)= "-и,*.^оялА С : Spo.n.(A^C : v\7/o)=-X } ,
то есть наименьшее число элементов X.. , ... , Хм таких, что множество векторных полиномов *ZL-P-LA)X-i , р. пробегают иночество J всех полиномов от комплексного переменного -5- , плотно в пространстве д Кратность спектра - важный инвариант оператора, и в некоторых разделах теории операторов и ее приложений он играет ключевую роль. Напомним некоторые из этих разделов. Разумеется, понятие циклического множества (т.е. такого множества ч> , что =>ролл, (Д (2 ; у]^о)~Х'і совокупность всех таких конечных множеств С обозначим символом Cue (А) ) важно в связи с общей проблемой существования инвариантных подпространств (поскольку оператор А не имеет нетривиальных ян-вариантных поппространств тогпа и только тогпа, когда ХбСус(А) для любого Хё Х\{} ). Линейная теория управляемых динамических систем Калмана полностью зависит от описания множества С^сСАу для основного (передаточного) оператора систему. Циклические векторы (и системы векторов) ваяны в теории весовой полиномиальной аппроксимации. Есть и другие разделы анализа (например, теория С - алгебр), где понятие кратности спектра иг-
- 4 -рает важную роль.
Изучением кратности спектра операторов занимались Брэм, Халмош, Б.С. Напь, Фояш, Херреро, Н.К.Никольский, В.И.Васюнин, Б.Ы.Соломяк, А.Л.Вольберг, By и пр.
Одним из важных вопросов теории кратности спектра операторов является вопрос о вычислении кратности спектра пля прямых сумм операторов, Это обусловлено тем, что многие классы операторов, как известно из теории линейных ограниченных операторов, представляются в каком-либо смысле в виде прямых сумм операторов. Таким образом, поведение кратности спектра прямых сумм операторов в зависимости от кратностей спектра слагаемых, весьма существенно пля понимания этой характеристики вообще.
Для кратности спектра прямой суммы А > цвух операторов А . В і действующих в соответствующих (банаховых) пространствах X и | * , справедливы следующие почти очевидные неравенства:
КраИниэ случаи-(т.е. случаи, когда одно из неравенств превращается в равенство) особенно интересны. Левое неравенство обращается в равенство, грубо говоря, когда действие операторов Аир совершенно независимо одно от другого, скажем, если спектры б"(А) и 5~СЬ) хорошо разделены. Например, в работе ІІ.К.Никольского ' показано, что
H(Ab)=***x(ji(.A),jHB))
(2)
I) И.К.Никольский, Наброски к вычисленио кратности спектра ортогональных сумм // Зап. научи, семин. ЛОМИ. - 1983. - Т.126. - С. 150-158
ісли полиномиально выпуклые оболочни спектров не пересекаются,
{апомним также более рьнную работу Брэма ', гае показано, что
ЇСЛИ А и Ь - нормальные операторы в гильбертовом простран-
:тве, то пля них справеплива формула (2) тоща и только тогпа,'
(огпа т.е. спектральные меры (А) и &(.&)
ізаимно сингулярны. Обстоятельства, при которых правое неравен-:тво (І) перехопит в равенство, изучены значительно слабее. Сле-іует ожипать, что пля сложение кратностей
«обхопимо, чтобы опии из операторов (хотя бы на некотором поп-іространстве) "мажорировал" пругой оператор. Опной из целей ра-5оты и является попытка припать точный смысл этим словам.
Вторая часть писсертации посвящена применениям свертки пля описания инвариантных поппространств оператора интегрирования, ї также некоторых операторов взвешенного спвига. Поеопом пля изучения структуры решетки инвариантных поппространств оператора интегрирования стала проблемная заметка И.М.Гельфанпа ', где, в частности, запавался вопрос об описании всех циклических векторов оператора интегрирования J , (3+ )(*_)= ^wd"t я
пространстве Лебега L 10,0,] , гае 0<.О-+<х». К настоящему времени ответ на этот вопрос получен многими авторами, и более того, описаны все инвариантные подпространства этого оператора. Зпесь укажем фамилии лишь некоторых из этих авторов: Донохью, М.С.Бропский, Л.А.Сахнович, Налйш, Сарасон. Более попробно эти
2) Гельфанд И.М. Задача // Успехи матем. наук. - 1938. - № 5, С 233.
вопросы изложены, например, в обзорной статье Н.К.Никольского К
Инвариантные поппространства оператора J в пространст-вах Соболева WpCo, О ( i^p-n-oo ) и пространстве ^- Co>lJ
описаны в работе Э.Р.Цекановского ' и П.В.Остапенко, В.Г.Тара-
31 сова '. Основная цель главы 2 - получить аналогичные результаты в более общей ситуации.
Цель работы. Цель настоящей работы следующая:
- рассмотреть случай "зависимых" операторов, то есть таких
операторов А и Ь , пля которых, скажем, || Р(А) || больше,
чем II РСВ) || пля любого полинома Р , и исслеповать формулы сложения кратностей;
- также рассмотреть такое свойства "номинирования", которое
действовало на целый класс операторов, то есть если А - фик
сированный оператор, го требуется искать класс UJ операто
ров b , которые "подчинены" А в том смысле, что р (Л Ф В) =
= к(А)+р{в) алявсехВбСВ ;
вычислить кратности спектра ортогональных сумм операторов из специальных классов;
разработать единый подход пля описания инвариантных поп-пространств операторов типа оператора интегрирования в более общих ситуациях.
-
Никольский Н.К. Инвариантные поппространства в теории операторов и теории функций*// В кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ, 12. - Ы.: изп-во ВИНИТИ, 1974. С.199-412.
-
Цекановский Э.Р. Об описании инвариантных подпространств и(р, одноклеточности оператора интегрирования в пространстве W^ . // Успехи ыатем.наук. - 1965. - Т. 20, № 6. - С. 169-172.
3) Остапенко П.В., Тарасов В.Г. Об одноклеточности оператора ин-
тегрирования в некоторых функциональных пространствах // Те
ория функций, функ. анализ и их приложения. - 1977. - вып.27
- С. I2I-I28.
- 7 -Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты.
-
Изучена степень зависимости слагаемых прямой суммы операторов, коте ая влечет справедливость формулы сложения кратностей (3). На примерах показано, что достаточные признаки сложения кратностей, найденные d работе, близки к необходимый,
-
Доказана более общая теорема о сложении кратностей, которая справедлива пля общих (сепарабельных) банаховых алгебр (без предположения о существовании в алгебре (опного) порождающего). Как следствие этой теоремы получена формула сложения для рациональных кратностей.
-
Получена явная формула для кра-мости спектра ортогональ-ной суммы => Ь 0 U Т , где о - чистая изометрия,
S - чистая тензометрия, ^? - унитарный оператор, Т" - ежа- тис из класса Секефалызи-Назья и Фояза С0 . 3 частности., показано, что M(-'S") = 2, что является ответом на вопрос П.Хал-моша.
4. Дано аксиоматическое описание пространств гладких Функ
ций на отрезке Сои J , непрерывно вложенных в С Со, t] , в
котором оператор интегрирования о одноклеточен, аналогичные
результаты получены также для операторов взвешенного сдвига.
Методика исследований. 3 работе использултел общие методы функционального анализа, теория операторов, техника банаховых алгебр, методы теории аналитических функций, а также техника функциональной модели.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы в теории инвариантных подпространств, в теории несамосопряженных операторных алгебр, в теории весозо»' полиномиальной аппроксимации, в теории управлений динамических систем и в других вопросах функционального ана-
- 8 -лиза.
Апробация работы. Результаты работы поклапывались на семи наре ЛОМИ им. В.А.Стеклова по функциональной мопели, на общеинститутском семинаре Института математики и механики АН АзерС Респ., неопнократно поклапывались на семинаре отпела функционального анализа ИММ по операторным алгебрам,
Дубликации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах, список которых приведен в конце авторефераї
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введенні пвух глг.в и списка литературы. Объем писсертации - 123 страницы машинописного текста. Список литературы содержит 74 наймем вания.
