Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации рассматриваются пространства бесконечно дифференцируемых функций с ограничениями на рост производных и пространства голоморфных функций с равномерными весовыми оценками. Весовые шкалы таких пространств широко применяются в теории аппроксимации и интерполяции, теории роста целых функций и их приложениях, теории двойственности различных функциональных пространств, теории распределений и ее обобщениях, анализе Фурье, уравнениях в частных производных, в математической и теоретической физике. Эти пространства интенсивно изучались с различных точек зрения многими математиками (K. D. Bierstedt, J. Bonet, J. Taskinen, W. H. Summers, A. Beurling, G. Bjorck, H. Komatsu, C. Roumieu, R. Meise, B. A. Taylor, R. Braun, Ю. Ф. Коробейник, А. В. Абанин, В. В. Напалков, И. Х. Мусин и др.). Наиболее известными примерами этих пространств являются весовые пространства голоморфных функций, пространства ультрадифференцируемых функций, весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем, используемые для определения теории ультрараспределений.
Одной из важнейших проблем для таких пространств является описание их свойств и операторов в них в терминах весовых функций, их определяющих. Для эффективного изучения этой проблемы требуется выбрать оптимальные или канонические, в определенном смысле, классы весовых функций. Например, для изучения разных задач, касающихся теорий ультрараспределений и пространств ультрадифференцируемых функций, наиболее подходящими оказались весовые функции в смысле Брауна - Майзе - Тейлора. Именно, в терминах таких весов был окончательно решен вопрос о справедливости аналогов теорем Бореля и Уитни о продолжении, проводилось сравнение классических теорий ультрараспределений, найдены критерии разрешимости уравнений в частных производных и свертки и установлены условия наличия у соответствующих операторов линейных непрерывных правых обратных. А для исследований многих вопросов в весовых пространствах голоморфных функций существенную роль играют понятия канонических весовых функций и весовых систем. Например, в терминах таких весов изучались композиционные операторы и вопрос о двойственности весовых пространств голоморфных функций. В связи с этим тематика диссертации нам представляется актуальной.
Цели работы.
исследование класса почти субаддитивных весов в смысле Брауна - Майзе - Тейлора, используемых в определении классических теорий ультрараспределений;
изучение класса медленно меняющихся весов в смысле Брауна - Майзе - Тейлора, которые играют существенную роль в задаче о справедливости аналогов теорем Бореля и Уитни о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа;
введение понятия канонических, в определенном смысле, весовых последовательностей, используемых для определения пространств целых функций, удовлетворяющих равномерным весовым оценкам; получение достаточных условий каноничности для рассматриваемых весовых последовательностей;
применение полученных результатов к исследованию следующих задач:
-
задача об описании класса мультипликаторов в весовых пространствах целых функций многих переменных;
-
интерполяционная задача в весовых пространствах целых функций одной переменной;
-
задача об удобном для приложений описании сопряженных к весовым пространствам бесконечно дифференцируемых функций с помощью преобразования Фурье - Лапласа.
Методы исследований. В диссертационной работе используются методы современного и классического функционального, вещественного и комплексного анализа, а также методы теории двойственности. В частности, используются операторные методы комплексного анализа, плюрисубгармонические функции, теоремы об открытом отображении и замкнутом графике, выпуклые функции, обращение правила Лопиталя, основы теории ультрараспределений и ультрадифференцируемых функций.
Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение, например, к разрешимости уравнений типа свертки, а также к изучению теории весовых пространств голоморфных функций. Они могут быть использованы специалистами, работающими в ряде ведущих российских и зарубежных научных центров.
Апробация работы. Материал неоднократно докладывался на научном семинаре кафедры математического анализа Южного федерального университета (руководители - профессор Ю. Ф. Коробейник и профессор А. В. Аба- нин), на студенческих научных конференциях факультета математики, механики и компьютерных наук, на международной конференции "Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование"(Волгодонск, 2009 и 2011 гг.), на международной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования"(Владикавказ, 2010 г.), на международной конференции молодых ученых "Математический анализ и математическое моделирование"(Владикавказ, 2010г), и на международной конференции'Тт^е or infinite dimensional complex analysis and applications"(Ханой, Вьетнам, 2012 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано семь работ, список которых приведен в конце автореферата. В совместных с научным руководителем публикациях [1]-[3], [6], [7] А. В. Абанину принадлежат постановки задач и окончательная редактура текста, а автору диссертации — основные результаты и их доказательства.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 69 наименований. Объем диссертации составляет 114 страниц машинописного текста.
