Содержание к диссертации
Введение
1. Структура пространства экспоненциальных решений линейного однородного интегрального уравнения наоси с периодическим ядром 23
1.1 Свойства линейных интегральных операторов, действующих в пространстве функций экспоненциального роста 24
1.2 Построение базисных решений однородного уравнения 34
1.3 Структура пространства экспоненциальных решений однородного уравнения 47
2. Нетеровость линейного неоднородного интегрального уравнения на оси с периодическим ядром 53
2.1 Разрешимость линейного неоднородного интегрального уравнения в случае а < Ъ 53
2.2 Нетеровость неоднородного интегрального уравнения с периодическим ядром 64
3. Линейное интегральное уравнение на полуоси с периодическим ядром 73
3.1 Алгебра линейных интегральных операторов, действующих в пространстве ограниченных функций 74
3.2 Линейное интегральное уравнение с периодическим ядром на полуоси 87
3.3 Асимптотика экспоненциальных решений линейного однородного интегрального уравнения на полуоси с периодическим ядром 112
Литература 116
- Построение базисных решений однородного уравнения
- Структура пространства экспоненциальных решений однородного уравнения
- Нетеровость неоднородного интегрального уравнения с периодическим ядром
- Линейное интегральное уравнение с периодическим ядром на полуоси
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена исследованию некоторых вопросов теории линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами на оси и полуоси. Такие уравнения являются естественным обобщением уравнений, ядра которых зависят от разности аргументов t — s. Отличительной особенностью интегральных уравнений с периодическими ядрами является то, что условие периодичности ядра K(t + U),S + и) = K(t,s) обеспечивает перестановочность интегрального оператора (Kx)(t)= fK(t,s)x{s)ds (1) —оо с оператором сдвига Tkux{t) = x(t + ксо), к Є Ъ. Это обеспечивает наличие у изучаемого уравнения многих свойств, характерных для уравнений типа свертки (K(t, s) = K(t — s)), у которых интегральный оператор перестановочен с любым оператором сдвига Ти. Поэтому полученные в работе результаты имеют соответствующие аналоги в теории уравнений с ядрами, зависящими от разности аргументов (см., например, [14], [61], [20]).
Интегральные и интегро-дифференциальные уравнения с периодическими ядрами, обыкновенные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, а так же операторы, порождаемые такими уравнениями, изучались в работах Н.В. Азбелева и его учеников [1], А.Б. Ан-тоневича [2], А.Г. Баскакова [3] - [8] и его учеников, Ю.Г. Борисовича [9], В.Р. Винокурова [11] - [13], В.Г. Курбатова [47],[48], В.Ф. Пуляева [62] -[72], П.М. Симонова [77], Ю.Н. Смолина [13], Е.Ю. Савчиц [74], З.Б. Ца-люка [80] - [82], Т.А. Burton a [85] - [87] и других [15], [28], [29], [46], [55], [58], [59].
Уравнения в частных производных с периодическими коэффициентами рассматривались П.А. Кучментом [49] - [53], А.И. Милославским [56], [57] и другими авторами.
Основы теории интегральных уравнений с ядрами, зависящими от разности аргументов t—s, были заложены в работах Н. Винера и Э.Хопфа, М.Г. Крейна [44], И.Ц. Гохберга [18]. Глубокие результаты по теории таких уравнений, а также их дискретных аналогов были получены в работах Ф.Д. Гахова и Ю.И. Черского [14], [83], И.А. Фельдмана [20], [78], Н.К. Ка-рапетянца, С.Г. Самко [32] - [36], И.Б. Симоненко [75], [76], З.Б. Цалюка, В.А. Дербенева [23], [80] - [82], В.Б. Дыбина [24]-[2б], Я.М. Ерусалимского [27], B.C. Пилиди и других [37], [38], [41], [43]. Укажем также на работы И.И. Воровича, В.А. Бабешко и их учеников, в которых рассматриваются прикладные аспекты теории сверточных интегральных уравнений в динамических задачах теории упругости.
Примерами периодических ядер может служить функция Грина системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Поэтому изучаемые уравнения с периодическими ядрами могут возникать при исследовании свойств решений дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений методами интегральных уравнений. Кроме того, различные задачи, возникающие в биологии и механике, приводят к математическим моделям, которые описываются интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями с периодическими ядрами на оси и полуоси, причем с точки зрения приложений, интерес представляют в первую очередь ограниченные решения, а также решения, имеющие определенный рост (в частности, экспоненциальный).
Основными целями работы являются:
- изучение свойств интегральных операторов вида (1) с периодическим ядром в пространстве непрерывных функций, имеющих не более чем экспоненциальный рост;
- описание структуры пространства экспоненциальных решений линейного однородного интегрального уравнения на оси с периодическим ядром ;
- изучение условий нетеровости неоднородного уравнения на оси с периодическим ядром ;
- изучение условий конечномерности пространства ограниченных решений линейного однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси;
- получение интегрального представления решения неоднородного уравнения с периодическим ядром на полуоси;
- уточнение асимптотического поведения экспоненциально убывающих при t - +оо решений однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси.
Наряду с линейными уравнениями с периодическими ядрами автором изучались почти периодические решения нелинейных интегральных уравнений [88].
Подобные задачи изучались для других классов уравнений, а также в случае других пространств [65] - [70], [74]. Исследование задач, сформулированных выше, ввиду специфики пространств, в которых рассматриваются уравнения, потребовало привлечения иной техники. В тоже время, такие вопросы, как структура пространства решений однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси и асимптотика его решений, ранее не исследовались.
В работе используются методы теории линейных непрерывных операторов. Существенным при исследовании интегральных уравнений с периодическими ядрами является использование операторного аналога дискретного преобразования Фурье, применялись также методы аналитических векторных функций. Для изучения уравнения на полуоси был использован аппарат факторизации операторнозначных функций, а также порождаемой ею факторизации соответствующих интегральных операторов.
В качестве основных результатов работы можно выделить следующие:
- найдены условия, при которых пространство решений однородного интегрального уравнения с периодическим ядром на оси конечномерно и имеет базис, состоящий из решений типа Флоке;
- для неоднородного уравнения с периодическим ядром на оси указаны условия всюду разрешимости, получено интегральное представление решения;
- исследована нетеровость уравнения на оси в различных случаях роста весовой функции;
- для однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси в случае нетеровости указаны условия конечномерности пространства ограниченных решений;
- для неоднородного уравнения на полуоси получены необходимые и достаточные условия однозначной всюду разрешимости, найдено инте тральное представление решения; аналогичное интегральное представле ние одного из решений получено и в случае, когда уравнение не является однозначно всюду разрешимым;
- найдена асимптотика имеющих экспоненциальное убывание на бесконечности решений однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси.
Работа носит теоретический характер.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следую-щих научных конференциях:
- Весенние Воронежские математические школы "Понтрягинские чтения X, XIV, XV". Воронеж, 1999, 2003, 2004;
- VII Международная научная конференция "Математика. Экономика. Экология. Образование". Ростов-на-Дону, 1999;
- Международная научная конференция "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения". Воронеж, 2000;
- X Международная научная конференция "Математика. Экономика. Образование". Ростов-на-Дону, 2002;
- III Всероссийская молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2003". Казань, 2003;
- VI Казанская международная летняя школа-конференция "Теория функций и смежные вопросы". Казань, 2003;
- Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 2005;
а также неоднократно на семинаре по дифференциальным и интегральным уравнениям проф. Цалюка З.Б. на кафедре дифференциальных уравнений Кубанского государственного университета.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [89] - [103]. В работах [89], [92], [95], выполненных совместно с научным руководителем В.Ф. Пуляевым, ему принадлежит постановка задачи. Выбор методов исследования и доказательства принадлежат автору диссертации. В работах [91], [93] В.Ф. Пуляеву принадлежат постановка задачи и реко- ф мендации относительно методов исследований.
Перейдем к обзору результатов диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.
В первой главе изучаются свойства интегральных операторов с периодическими ядрами, действующих в пространствах функций, имеющих не более чем экспоненциальный рост. На основе полученных результатов проводится исследование структуры пространства экспоненциальных решений однородного уравнения.
Во второй главе получены необходимые и достаточные условия нете-ровости неоднородного уравнения. Исследуются условия всюду разрешимости и возможности интегрального представления решений.
Третья глава посвящена изучению уравнения с периодическим ядром на полуоси. На основе метода факторизации исследуются вопросы о конечномерности пространства ограниченных решений однородного уравнения, об однозначной всюду разрешимости неоднородного уравнения и получении интегрального представления решения.
Перейдем к более подробному изложению результатов.
В первой главе рассматривается уравнение сю x(t) = / K{t,s)x(s)ds (2) -00 в пространстве непрерывных на оси функций, имеющих не более чем экспоненциальный рост. Указаны условия, обеспечивающие конечномерность пространства решений этого уравнения и представимость решения в виде линейной комбинации решений типа Флоке. Подобная задача рассматривалась для ограниченных, степенных и квадратично суммируемых решений в работах Пуляева В.Ф. [65]- [70].
Исследование уравнения проводится с помощью сведения его к дискретному уравнению типа свертки и применения к последнему методов аналитических векторных функций. Существенным при этом является использование операторного аналога дискретного преобразования Фурье.
Первый параграф носит вспомогательный характер. Здесь вводятся пространства функций экспоненциального роста, указаны условия, при которых оператор, определяемый правой частью уравнения (2), действует в указанных пространствах.
Положим ippa(t) = exp(at), при t 0; /? (О = exp(/ft), при t 0 (а и (3 - произвольные действительные чисел).
Пусть с d - некоторые фиксированные числа, и определенная в R2 комплекснозначная п х п - матрица K(t,s) удовлетворяет условиям: А\\ Существует такое си О, что K(t+u, s+co) = K(t, s) при всех t,s ЄШ. A L\ При каждом t Є R матрица (p (s)K(t, s) суммируема no s на К. Аз: При каждом t ЕЖ
оо
lim J \\K(t + Л, a) - K(t, 5) (s) fc = 0.
—oo
Выполнение условий A\ — As позволяет установить у ядра К (t, s) ряд свойств, используемых в дальнейших исследованиях.
Лемма 1.1.1. Если K(t,s) удовлетворяет условиям А\ - As, то
справедливы следующие утверждения:
оо
1. Иитеграл j ( ,,) „(.)& годится равпомерпо по t „а каждом
— ОО
компакте из Ж и
оо
Г = sup
teM.
—оо
\\K(t,s)\\ {s)ipdc(t)ds
CO.
оо
2. lim / \\K(t + h,s) — K(t, s)\\ cpd (s)ipdc(t)ds = 0 равномерно noteR.
/i- 0 J
— 00
Лемма 1.1.2. Пусть матрица K(t,s) удовлетворяет условиям А\ и Ач. Тогда следующие условия эквивалентны:
оо
f \№, )\\ Рь( Ш№
со;
1.Т = sup
—оо
оо s со;
—oo
2. Гі = sup / \\K{t,s)\\ecit-s)ds оо «Г2 = sup / A"( ,s)ed( "e)d. гєк J teM. J
— 00
oo
5. r3 = sup f \\K(t,s)\\cp (s)d.
teR J
S CO.
-oo
Пусть a, 6 Є (с; d). Через ВСп(Ж; ірьа) обозначим пространство непрерывных функций х : Ж — С", для которых
\\х\\ = sup[a;( )c»?to( )] оо.
Лемма 1.1.3. Оператор К переводит пространство ВСп(Ш;(рьа) в себя, является линейным непрерывным оператором, и для нормы К справедливо неравенство
оо
,-1/
\К\\ sup
teR
\\K(t,s)\\cp-a\s) ba(t)ds
Lr-oo
При этом, для каждого ограниченного множества X С ВС71 (К; ірьа) множество (pba(t)K(X) равностепенно непрерывно на К.
По ядру K(t, s) определим операторнозначную функцию, являющуюся операторным аналогом преобразования Фурье т) = к„ (з)
р=—оо
где вполне непрерывные операторы Кр : Сп[0;си] —»• Сп[0;си] определяются равенством:
Крх = I K(t,s — pio)x(s)ds.
о
В силу условий А\ — Аз, ряд, определяющий К(), сходится равномерно в кольце Scd = { еС:еш е } и абсолютно в кольце Scd={teC:e » \t\ edu}.
В § 1.2 изложен ряд утверждений, позволяющих в дальнейшем решить вопрос о структуре пространства решений уравнения (2). Условия, которым удовлетворяет K(t, 5), дают возможность установить эквивалентность исходного интегрального уравнения некоторому операторному уравнению типа свертки в пространстве функциональных последовательностей. Последние исследуются с помощью введенной выше функции К(,) и методов аналитических вектор-функций.
Через la b(Z] Сп[0; и]) обозначим пространство двухсторонних последовательностей Y = {ypjp -oo, где ур Є Cn[Q;u], таких, что
У = sup [\\уР\\еаП + sup [Ые ] оо.
р 0 р 0
Определим его подпространство /a,6(Z; Сп[0; и]) = {Y Є Та,ъ№ Сп[0; и]) : ур (ш) = ур(0),р = 0, ±1,... }.
Пространства ВСп(Ш;(рьа) и L,bC ] Сп[0;ш]) изоморфны. Изоморфизм Ф : ВСп(Ш;(рьа) а,б( ;Сп[0;о;]) определяется равенством Фх = {x(t + рсо)}, t€[0;w],peZ.
оо т=—оо
В пространстве 1а,ъ{%\ Сп[0;со]) рассмотрим уравнение
р = Y2 КР-тхт + fp,P Є Z. (4)
Лемма 1.2.1. Уравнения (2) и (4) эквивалентны, т.е., если x{t) — решение уравнения (2) из пространства ВСп(К;(рьа), то Фх - решение уравнения (4), принадлежащее пространству 1а ьС ] Сп[0; со]), и, обратно, если {хр} Є 1а,ь(Щ Сп[0; со]) - решение уравнения (4), то х = Ф-1{#р} -решение (2) из ВСп(Ж ,(рьа) При изучении уравнения (4) важную роль играют функции
оо — 1
р=0 р=—оо
где хр = x(t-\-poo),t Є [0;CJ], определенные, соответственно, при eacj и еЧ
Лемма 1.2.2. Пусть x(t) Є BCn(R; срьа) и является решением урав нения
оо
x(t) = J K(t, s)x(s)ds + f(t).
—оо
ТЬг а справедливы равенства:
+(0 = (Ох+(0 + + (0 + (Й, е- К е-;
х-К) = А-(Є)х"(Є) + Г(0 - iKfl, е " е , где функция ф() аналитична в кольце Scd и определяется равенством:
оо —1 —1 — т—1
(«) = Е Е (т+ к і - Е Е г ™ !.
771=11——т т=—оо Z=0
Каждое собственное значение Л функции if () и соответствующая ему цепочка присоединенных элементов А = [ао, ai,..., а ] [39] порождает конечномерное пространство Е\, состоящее из определенных на R функций, задаваемых при t Є [0; со) и т = 0, ±1,... равенством
k j- \-m—j—l
xA(t + mw) = \-mak + (-1) +1 lVm(m + 1)... (m + j)aH_i Лемма 1.2.4. 1. E\ есть конечномерное подпространство пространства ВСп(Ж](рьа), каждая функция которого является решением уравнения (2) и имеет вид
xA{t) = e- faoft) + ttpi{t) + ...+ tkipk(t)),
где (fj(t) - непрерывные со-периодические функции.
2. Подпространство Е\ инвариантно относительно оператора сдвига Тшх = x(t + со).
В третьем параграфе исследуется пространство экспоненциальных решений уравнения (2). Устанавливается, что структура этого пространства существенным образом зависит от соотношения между коэффициентами весовой функции а и Ъ и наличия у функции К{) собственных значений в кольце Sab — { Є С : eauj ebuj} . Если а b и множество собственных значений К() в кольце Sab конечно, то пространство решений однородного уравнения конечномерно и всякое решение есть линейная комбинация решений типа Флоке. Если же а Ь, либо а Ь, но К() не имеет собственных значений в кольце Баь, то уравнение имеет только нулевое решение. Случай а = Ъ путем замены сводится к уравнению в пространстве ВСп(Ж), теория которого построена в работах В.Ф. Пуляева [67], [68J.
Через .Ед обозначим подпространство Е\, состоящее из функций вида y(t) = е и cpo(t), где o(t) - со -периодическая функция.
Теорема 1.3.1. Пусть с а b d и {Ai,..., Хр} - множество всех собственных значений функции К()} принадлежащих кольцу Sab = { Є С : eauj е6 } , {Ap+i,... ,Xp+q} - множество всех собственных значений функции К{), лежащих на окружностях = eauJ, = еЬш. Тогда множество решений урав нения (2) в пространстве ВСп(Ш; срьа) совпадает с пространством
Е = ЕХі®ЕХ2®...®ЕХрфЕІ+і® ...®E°Xp+q.
Если К() не имеет собственных чисел в замкнутом кольце Sab7 то уравнение (2) имеет в ВСп(Щірьа) только нулевое решение.
Теорема 1.3.2. Пусть с Ъ а d. Тогда уравнение (2) имеет в пространстве ВСп(Ш] (рьа) только нулевое решение.
Теорема 1.3.3. Уравнение (2) имеет в пространстве е аіВСп(Ж) только нулевое решение тогда и только тогда, когда К() не имеет собственных чисел на окружности = еаи}.
Теорема 1.3.4. Пусть {Лі,..., Лр} - множество всех собственных
чисел функции К{), леоюащих на окружности = eauJ. Тогда каждое
решение уравнения (2) в пространстве е аіВСп(Ж) имеет вид
І=1
где О 6j —, (pj(t) - UJ-периодические функции.
Во второй главе изучаются вопросы нетеровости и всюду разрешимости уравнения x(t)= [ K(t,s)x(s)ds + f(t) (5)
-00
в пространстве ВСп(Ш;ірьа) В работах [65] - [68] проводилось исследование уравнения (5) в пространстве непрерывных ограниченных функций и в пространстве функций степенного роста, в ходе которого установлено, что нетеровость уравнения равносильна его однозначной всюду разрешимости. Изучение уравнения (5) в пространстве BCn(R; ръа) показало, что расширение шкалы роста решений приводит к пространствам, в которых нетеровость уравнения уже не сводится к его однозначной всюду разрешимости.
В § 2.1 исследован вопрос всюду разрешимости уравнения (5) в пространстве ВСп(Ш; ірьа) при а Ь, в случае разрешимости получено интегральное представление решения. Как и в теоремах 1.3.1 - 1.3.3, соответствующие условия сформулированы в виде условий на функцию К().
ф
Теорема 2.1.1. Пусть а b и функция if (f) не имеет собственных чисел на окружностях f = еаа;, f = е . Тогда уравнение (5) при любой функции / Є ВСп(К] (рьа) имеет решение х Є BCn{R\ рьа) При этом, существуют такие ш-периодические матрицы Rj(t,s), j = 1, 2, 3, что одно из решений уравнения имеет вид ОО
( ) = /W + J Ді( . s)f{s)ds + j R2(t, s)f(s)ds + j Rz(t, s)f(s)ds.
-co 0 —oo
Теорема 2.1.2. Пусть с a b d. Для того, чтобы уравнение (5) было однозначно всюду разрешимо в пространстве BCn(R;(pba), необходимо и достаточно, чтобы if (f) не имела собственных значений в кольце еш еЧ
Во втором параграфе исследована нетеровость уравнения (5) при различных соотношениях между а и 6. Из теорем 1.3.1 и 2.1.1 вытекает, что в случае а b отсутствие собственных чисел функции if (f) на окружностях f = eauJ, f I = еЬш обеспечивает нетеровость уравнения в пространстве ВСп(Ш;(рьа)- Оказалось, что это условие является также и необходимым.
Теорема 2.2.1. Пусть с а b d. Для того, чтобы уравнение (5) было нетерово в пространстве ВСп(Ш; (ръа), необходимо и достаточно, чтобы функция if(f) не имела собственных чисел на окружностях f = еш , f = е . Полученный результат справедлив и в случае Ъ а, однако, в силу того, что уравнение (5) не является при b а всюду разрешимым в пространстве ВСп(Ш ,(рьа), доказательство достаточности потребовало использования измененной по сравнению [70] техники, основанной на установлении взаимосвязи между исходным уравнением и транспонированным к нему.
Теорема 2.2.2. Пусть с b а d. Для того, чтобы уравнение (5) было нетерово в пространстве ВСп(Ш;срьа), необходимо и достаточно, чтобы функция if(f) не имела собственных чисел на окружностях If I = е™, f = еЧ
В случае Ъ = а уравнение может быть сведено к уравнению в пространстве ВСп(Ш). Поэтому уравнение (5) будет нетерово в e atBCn(R) то (• гда и только тогда, когда К() не имеет собственных чисел на окружности = еаш. При этом нетеровость уравнения равносильна его однозначной всюду разрешимости.
В третьей главе изучается интегральное уравнение на полуоси с периодическим ядром
oo
-(t)= I K(t,s)x(s)ds + f(t), t 0 (6)
оо x(t) =
О
в пространстве ограниченных функций.
При исследовании уравнения (6) существенную роль сыграла возможность факторизации операторнозначной функции / — К(). Впервые подобное представление было использовано Н. Винером и Э. Хопфом [10] при изучении скалярного интегрального уравнения на полуоси с ядром, зависящим от разности аргументов. В дальнейшем идея факторизации получила свое развитие в работах И.М. Рапопорта, Ф.Д. Гахова, М.Г. Крейна, И.Ц. Гохберга и других.
В случае, когда / — K(t;) допускает факторизацию, для однородного уравнения
оо
x(t) = / K(t, s)x{s)ds, t 0 (7)
о получены условия конечномерности пространства решений. Как и для уравнений с ядром, зависящим от разности аргументов, в теории уравнения (7) важную роль играют индексы факторизации. Каждому отрицательному индексу факторизации операторнозначной функции / — К(), ( = 1) соответствует конечномерное пространство стремящихся к нулю при t -» -foo решений.
Для неоднородного уравнения (6) указаны необходимые и достаточные условия однозначной всюду разрешимости в пространстве ограниченных функций, получено интегральное представление решения. В том случае, когда условие однозначной всюду разрешимости не выполнено, но уравнение при данном f(t) разрешимо, также найдено интегральное представление одного из решений.
В первом параграфе описывается банахова алгебра линейных интегральных операторов с периодическими ядрами, действующих в простран • стве ограниченных функций, и отвечающая ей алгебра операторнозначных функций - преобразований Фурье.
Пусть определенная в Ж2 комплекснозначная пхп- матрица K(t, s) удовлетворяет условиям:
В\. Существует такое ш 0, что K(t + w,s + w) = K(t,s) при всех t Є R\{;u;, к Є Щ и почти всех sR. ?2- При каждом t Є Ж\{ки , к Є Ъ} матрица K(t, s) суммируема по s на Ж. г Вз- lim / \\K(t + h, s) — K(t, s)\\ds = 0 равномерно по і Є (0;w).
(t,t+he(0;u)) J — OO
Из условий Bi B3 следует, что рассматриваемая матрица K(t, s) как функция аргумента из (кш; (к + 1)ш) в L xn(R) допускает продолжение по непрерывности в точки кш, (к + 1)и, и интеграл / \\K(t, s)\\ds сходится
— 00
равномерно по t Є [кш; (к + 1)ш] для любого к Є Z. При этом ряд, определяющий К(), будет сходиться равномерно и, вообще говоря, не абсолютно на окружности = 1.
Через В С" (Ж) (ВС(Ж+)) обозначим банахово пространство ограничь ченных функций х : Ж — Сп, (х : Ж+ —»• Сп), непрерывных всюду на R(E+), кроме, возможно, точек вида кои, к Є Z, имеющих в этих точках конечные односторонние пределы, с нормой
\\х\\ = sup ar(i)c» ОМІ = sup яМ1Ы teR\{ku ,ke%} tem+\{kuj,kez+}
Использование именно такого функционального пространства связано тем, что при переходе к дискретному уравнению возникает пространство функциональных последовательностей, координатные функции которых необходимо связывать условием непрерывности в концах отрезка [0;о;]. Рассмотренное выше пространство позволяет избежать некоторых технических сложностей, возникающих в связи с этим. Следует отметить, что если К(t, s) удовлетворяет условиям В\ — Вз при всех t Є Ж, то оператор, определяемый правой частью уравнения (7), является "улучшаю- щ щим", поэтому всякое решение соответствующего однородного уравнения, принадлежащее пространству ВС(Ж+), будет непрерывным.
Через М(ш) обозначим множество операторов вида Р = al + К, где
К - интегральный оператор вида (1), ядро К(t, s) которого удовлетворяет условиям Bi - Вз, I - единичный оператор.
Лемма 3.1.2. Множество М(ш) является банаховой алгеброй относительно операций сложения и умножения и нормы
со
ІІЛІмм = М + SUP \\K(t,s)\\Cnxnds.
t ER\iku,keZ\ J
-оо
Через M+(UJ)(M-(UJ)) обозначим подалгебру без единицы алгебры М(ш), состоящую из операторов А+ (А_), где А+ (А_) - интегральный оператор с ядром A(t,s), удовлетворяющим условию: A(t,s) = 0 при t Є (0;w),s LJ (t Є (0;LJ),S 0).
Каждому оператору P — al + К Є M(LO) поставим в соответствие операторнозначную функцию P(f) = al + К(), где K() определена по формуле (3). Множество таких функций Р() обозначим Щи).
Лемма 3.1.3. Множество П(и) является банаховой алгеброй относительно естественных операций и нормы
ОО р.
ІНІпм = Н + sup J I \\Kp(t,s)\\cn nds.
Через П.±(ш) обозначены подалгебры, соответствующие М±(ш).
Во втором параграфе третьей главы исследуется интегральное уравнение на полуоси. Принципиальным моментом при его изучении явилась возможность факторизации операторнозначной функции I — К(). Идея факторизации является ключевой при изучении интегральных уравнений типа свертки и их дискретных аналогов на полуоси. На основе результатов работы [19] при условии отсутствия у функции К() собственных чисел на единичной окружности установлена возможность факторизации функции / — К() Є П(о;), т.е. представления ее в виде
/ - к(0 = (і + к-($) (рт + Ї РА (І + +(0), № = і)
где Pj (j = 1, 2,..., т) - взаимно ортогональные проекторы такие, что Pi + Р2 + \- Рт — I, причем только один из проекторов, а именно Рш,
(•
#
имеет бесконечномерный образ; Хъ%2, • • • , Xm-i некоторые различные ненулевые целые числа, называемые правыми индексами факторизации.
Анализ работы [19] показал, что в случае алгебры П(о ) конечномерные проекторы Pj : Cn[0;cj] — Сп[0;а;] имеют вид
ш і Pj t)= [T,a P(t)b p(8)x(8)d3, о =i
где a (t), bk (s) - непрерывны на [0;ш].
Факторизация функции I — К() порождает факторизацию соответствующего интегрального оператора
/ - К = (/ + K_)(I + D)(I + ЇС+),
где К± Є М±(ш), (I + К±) 1 - І Є M±(w), а оператор I + D Є М(ш) удовлетворяет условиям:
1. Ядро D(t, s) интегрального оператора D равно нулю при t Є (0; о;);
m
s Є R\ (J (—Хзш\ { Xj + l)w) (здесь и далее положим Хт = 0).
2. При Є (0; ш) и 5 Є (—XJW; (—Xj + 1) ) ядро D(t, s) совпадает с ядром конечномерного проектора Pj, j = 1,2,..:, т — 1. При Є (0; о;) и
т—1
s Є (0; w) ядро D(t, s) будет равно ядру оператора (— \_. Pj) 3 = 1
На основе вышеизложенного для однородного уравнения получены условия конечномерности пространства решений.
Теорема 3.2.2. Пусть К() не имеет собственных значений на Sl и XiiX2,- ,Хт-1 - все ненулевые индексы факторизации оператор-функции 1—К(). Тогда все решения однородного уравнения (7), принадлежащие пространству BC™(R+), образуют конечномерное пространство размерности
а= Yl l ildimir
j-.Xj 0
При этом, всякое решение x(t) уравнения (7) стремится к нулю при
t -)• +СО (t ф kuj).
Если все ненулевые индексы факторизации положительны, то уравнение (7) имеет в ВС™(Ш+) только нулевое решение.
• Изучено также транспонированное однородное уравнение y{t)= fr(t,s)y(s)ds, t 0, (8)
о
(T(t,s) = KT(s,t), Кт- транспонированная матрица) в пространстве Ц(Щ).
Теорема 3.2.3. Пусть К{) не имеет собственных значений на Ф окружности = 1 и xi-,X2- • • • , Xm-i все ненулевые индексы фактори зации оператор-функции I — К(). Тогда все решения уравнения (8), принадлежащие пространству L"(R+), образуют конечномерное пространство размерности
Р= Yl Xj dim Pj. j-xj o Если все ненулевые индексы факторизации отрицательны, то уравнение (8) имеет в L" (R+) только нулевое решение.
Факторизация функции 1—К() позволила установить условия одно-значной всюду разрешимости уравнения (б) и построить обращение опера оо
тора I — К+ (К+х = f K(t, s)x(s)ds, t 0), т.е. получить интегральное
о представление решения.
Теорема 3.2.4. Пусть К() не имеет собственных чисел на единичной окружности. Для того, чтобы уравнение (6) при любом f Є ВС™(Ж+) имело и притом единственное решение, принадлежащее пространству ВС™(Ш+), необходимо и достаточно чтобы диагональный множитель факторизации I -f D() совпадал с единичным оператором.
В случае однозначной всюду разрешимости существуют такие ш—периодические матрицы Rj(t,s), j = 1,2, что при любом f Є J3C"(R+) единственное решение уравнения (6) выражается формулой
f(s)ds,t 0, (9) Ф) = /W + J Ы , ) + -Й2& s)+f Ri(t, T)R2(T, s)d 0 L 0
где Ri(t, s) = 0 при t Є (0; ш), s со; i?2( , s) = О при t Є (0; ш), s 0.
Отсутствие собственных значений функции К() на S1 является необходимым и достаточным условием нетеровости уравнения (б) в пространстве ВС™(Ш+). В случае нетеровости уравнение (6) будет разрешимо для тех и только тех / Є ВС%(Ж+), которые ортогональны всем решениям однородного транспонированного уравнения (8), а дефектные числа и индекс уравнения равны соответственно
a(I-K)= Ш тРґ, /?(/ - К) = ]Г XjdimPj;
J-Xj 0 j:Xj 0
тп—1
ind(I — К) = — 2_J Xj dim Pj.
Хотя в случае, когда D() не является тождественно нулевой функцией, уравнение (6) и не является однозначно всюду разрешимым, тем не менее, если уравнение при данном / Є ?C"(R+), разрешимо, то одно из его решений также выражается формулой, аналогичной (9) (теорема 3.2.5).
В § 3.3 на основании результатов двух первых глав изучено асимптотическое поведение решений уравнения (7) в пространстве e atBCn(R+)-непрерывных экспоненциально убывающих функций. В этом параграфе предполагается, что ядро К(t, s) удовлетворяет условиям А\ — Лз и О а d, с а.
Теорема 3.3.1. Пусть 0 є d — а, {Аі, Аг,..., Ар} - множество всех собственных значений функции К(), принадлежащих кольцу Sa,d-e = { Є С : eaw e(d"V} , и {Xp+h Ap+2,..., Xp+g} - множество всех собственных значений функции К(), лежащих на окружности = еаш , кратностей соответственно ai, сиг,..., ctp+q.
Если x{t) Є e atBCn(R+) - решение уравнения (7), то x(t) имеет при t — + со следующее представление:
7 = + ge4»( )W(t) + 0(e- ) ),
,0 ),
j=P+l где fi (t), Pj(t) - сужения на [0;oo) непрерывных и-периодических функций.
Построение базисных решений однородного уравнения
Диссертационная работа посвящена исследованию некоторых вопросов теории линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами на оси и полуоси. Такие уравнения являются естественным обобщением уравнений, ядра которых зависят от разности аргументов t — s. Отличительной особенностью интегральных уравнений с периодическими ядрами является то, что условие периодичности ядра K(t + U),S + и) = K(t,s) обеспечивает перестановочность интегрального оператора с оператором сдвига Tkux{t) = x(t + ксо), к Є Ъ. Это обеспечивает наличие у изучаемого уравнения многих свойств, характерных для уравнений типа свертки (K(t, s) = K(t — s)), у которых интегральный оператор перестановочен с любым оператором сдвига Ти. Поэтому полученные в работе результаты имеют соответствующие аналоги в теории уравнений с ядрами, зависящими от разности аргументов (см., например, [14], [61], [20]). Интегральные и интегро-дифференциальные уравнения с периодическими ядрами, обыкновенные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, а так же операторы, порождаемые такими уравнениями, изучались в работах Н.В. Азбелева и его учеников [1], А.Б. Ан-тоневича [2], А.Г. Баскакова [3] - [8] и его учеников, Ю.Г. Борисовича [9], В.Р. Винокурова [11] - [13], В.Г. Курбатова [47],[48], В.Ф. Пуляева [62] -[72], П.М. Симонова [77], Ю.Н. Смолина [13], Е.Ю. Савчиц [74], З.Б. Ца-люка [80] - [82], Т.А. Burton a [85] - [87] и других [15], [28], [29], [46], [55], [58], [59]. Уравнения в частных производных с периодическими коэффициентами рассматривались П.А. Кучментом [49] - [53], А.И. Милославским [56], [57] и другими авторами. Основы теории интегральных уравнений с ядрами, зависящими от разности аргументов t—s, были заложены в работах Н. Винера и Э.Хопфа, М.Г. Крейна [44], И.Ц. Гохберга [18]. Глубокие результаты по теории таких уравнений, а также их дискретных аналогов были получены в работах Ф.Д. Гахова и Ю.И. Черского [14], [83], И.А. Фельдмана [20], [78], Н.К. Ка-рапетянца, С.Г. Самко [32] - [36], И.Б. Симоненко [75], [76], З.Б. Цалюка, В.А. Дербенева [23], [80] - [82], В.Б. Дыбина [24]-[2б], Я.М. Ерусалимского [27], B.C. Пилиди и других [37], [38], [41], [43]. Укажем также на работы И.И. Воровича, В.А. Бабешко и их учеников, в которых рассматриваются прикладные аспекты теории сверточных интегральных уравнений в динамических задачах теории упругости. Примерами периодических ядер может служить функция Грина системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.
Поэтому изучаемые уравнения с периодическими ядрами могут возникать при исследовании свойств решений дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений методами интегральных уравнений. Кроме того, различные задачи, возникающие в биологии и механике, приводят к математическим моделям, которые описываются интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями с периодическими ядрами на оси и полуоси, причем с точки зрения приложений, интерес представляют в первую очередь ограниченные решения, а также решения, имеющие определенный рост (в частности, экспоненциальный). Основными целями работы являются: - изучение свойств интегральных операторов вида (1) с периодическим ядром в пространстве непрерывных функций, имеющих не более чем экспоненциальный рост; - описание структуры пространства экспоненциальных решений линейного однородного интегрального уравнения на оси с периодическим ядром ; - изучение условий нетеровости неоднородного уравнения на оси с периодическим ядром - изучение условий конечномерности пространства ограниченных решений линейного однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси; - получение интегрального представления решения неоднородного уравнения с периодическим ядром на полуоси; - уточнение асимптотического поведения экспоненциально убывающих при t - +оо решений однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси. Наряду с линейными уравнениями с периодическими ядрами автором изучались почти периодические решения нелинейных интегральных уравнений [88]. Подобные задачи изучались для других классов уравнений, а также в случае других пространств [65] - [70], [74]. Исследование задач, сформулированных выше, ввиду специфики пространств, в которых рассматриваются уравнения, потребовало привлечения иной техники.
В тоже время, такие вопросы, как структура пространства решений однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси и асимптотика его решений, ранее не исследовались. В работе используются методы теории линейных непрерывных операторов. Существенным при исследовании интегральных уравнений с периодическими ядрами является использование операторного аналога дискретного преобразования Фурье, применялись также методы аналитических векторных функций. Для изучения уравнения на полуоси был использован аппарат факторизации операторнозначных функций, а также порождаемой ею факторизации соответствующих интегральных операторов. В качестве основных результатов работы можно выделить следующие: - найдены условия, при которых пространство решений однородного интегрального уравнения с периодическим ядром на оси конечномерно и имеет базис, состоящий из решений типа Флоке; - для неоднородного уравнения с периодическим ядром на оси указаны условия всюду разрешимости, получено интегральное представление решения; - исследована нетеровость уравнения на оси в различных случаях роста весовой функции; - для однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси в случае нетеровости указаны условия конечномерности пространства ограниченных решений; - для неоднородного уравнения на полуоси получены необходимые и достаточные условия однозначной всюду разрешимости, найдено инте- тральное представление решения; аналогичное интегральное представле- ние одного из решений получено и в случае, когда уравнение не является однозначно всюду разрешимым; - найдена асимптотика имеющих экспоненциальное убывание на бесконечности решений однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси.
Структура пространства экспоненциальных решений однородного уравнения
В данном параграфе описывается структура пространства решений уравнения (1.1) в зависимости от соотношения между параметрами а и Ъ. Показано, что в случае а Ъ все решения исчерпываются линейными комбинациями решений типа Флоке tk exp(at)(f(t), где (p(t) - непрерывная иьпериодическая функция; при а b уравнение имеет только нулевое решение В Пространстве ВСП(Ш ,(рЬа)- Через Е обозначим подпространство пространства Е\, состоящее из функций вида y{t) = є й (ро(і), где іро(і) - ш -периодическая функция. Рассмотрим случай с а b d. Теорема 1.3.1. Пусть {Ai,...,Ap} - множество всех собственных значений функции К() из кольца Sai = {(бС: еаш ebw} и {Ap+i,..., Ар+9} - множество всех собственных значений функции К(), лежащих на окружностях = eaoJ, = еЬш. Тогда множество решений уравнения (1.1), принадлежащих пространству ВСп(К;ірьа), совпадает с пространством Е = Е\х Если К{) не имеет собственных чисел в замкнутом кольце Sab, то уравнение (1.1) имеет в ВСп(К;(рьа) только нулевое решение. Доказательство. Согласно лемме 1.2.4, каждая функция из Е принадлежит ВСп(Ж;(ръа) и является решением уравнения (1.1). Пусть х Є ВСп(Ш;(рьа) решение уравнения (1.1). Покажем, что х Є Е. Из леммы 1.2.2 следует справедливость равенств: Отсюда, ввиду аналитичности функции ф() в кольце е0 е6 , следует, что функции х+() и х () допускают аналитические продолжения в области ebuj, еаи}, соответственно, исключая, возможно, собственные числа функции К() из кольца е0 е . Так как каждый полюс (І—К()) г является собственным значением К() и наоборот, то функция Для цепочки А{ = [а іо,ац,... ,a,imi] определим фукнцию xj it) по формуле (1.10). Заметим, что при t Є [0;о;), т = 0,1,... имеет место равенство XAi(t + (т + 1)ш) = —yi{t + raw). Таким образом, yi(t) — —XA{{t + ш) при 0. Аналогично, раскладывая функцию F{() в степенной ряд в окрестности бесконечно удаленной точки, найдем, что yi(t) = —ХА{{ + ш) и Для 0. Действительно: Таким образом, г/г( — /о;) Из доказанного, ввиду инвариантности .Ед. относительно оператора Ти, следует, что уі Є Е\.. Учитывая представление F() = /J- г ( ), полуді чаем, что x(t) = 2_\yi{t)- Так как х Є ВСп(Ж; (ръа), то yi(t), соответствую- щие собственным значениям, лежащим на границе кольца Sab, имеют вид Уі() = е u Voi(), для г = р + 1, ,р + д, где poiM -периодические функции.
Таким образом, х Є Ех- Если же if () не имеет собственных чисел в кольце еаш еЬш, то F() является аналитической функцией во всей комплексной плоскости, а, так как F() -» 0 при —» со, то по теореме Лиувилля [54] F() = 0, следовательно, х(t) = 0. Теорема доказана. Рассмотрим теперь случай с b а d. Справедливо следующее утверждение. Теорема 1.3.2. Пусть с b а d. Тогда уравнение (1.1) имеет в пространстве ВСп(Ш , ща) только нулевое решение. Доказательство. Пусть х Є ВСп(Ш;(рьа) решение уравнения (1.1). В кольце е еаш определим функцию х() = х+() +х-(). Тогда из леммы 1.2.2 следует, что х() = К()х() или (I — К())х() = 0. Так как оператор (J — К()) обратим во всех точках кольца ebuj еаш, исключая, возможно, конечное их число, то функция х() тождественно равна нулю в кольце еЬш eauj, следовательно, x(t) = 0. Теорема доказана. В заключении рассмотрим случай 6 = а. В этом случае пространство БСП(Ж; сръа) совпадает с пространством е аЬВСп(Ж). Теорема 1.3.3. Уравнение (1.1) имеет в пространстве е аіВСп(Ш) только нулевое решение тогда и только тогда, когда К() не имеет собственных чисел на окружности = еаш. Доказательство. Положив y{t) = eatx(t), Q(t,s) = ea s K(t,s), получим уравнение в пространстве для которого справедливы результаты работы [67], откуда и вытекает утверждение теоремы. Допустим, К() имеет собственные значения, лежащие на окружности = еаи}. В отличие от работы [67], в данном случае множество собственных значений К() на окружности = eauj конечно, так как (I — К( )) г мероморфна в Scd и в каждой замкнутой подобласти этого кольца имеет не более конечного числа полюсов. Таким образом, справедливо следующее утверждение. Теорема 1.3.4.Пусть {Лі,..., \р} - множество всех собственных значений функции К(), лежащих на окружности = еаш . Тогда каждое решение уравнения (1.1) в пространстве е аіВСп(Ш) имеет вид где 0 6j -, Vj(0 - си-периодические функции. Нетеровость линейного неоднородного интегрального уравнения на оси с периодическим ядром В данной главе изучаются вопросы нетеровости и разрешимости уравнения в пространстве функций экспоненциального роста. В первом параграфе для случая а b при условии отсутствия у функции К() собственных чисел на окружностях = eacj, = еЪи} показано, что уравнение разрешимо при всех / Є ВСп(Ш; (ръа) и найдено интегральные представление решения.
Во втором параграфе найдены необходимые и достаточные условия нетеровости уравнения при различных соотношениях между а и Ъ. 2.1 Разрешимость линейного неоднородного интегрального уравнения в случае а Ь Через М. обозначим множество всех операторов, действующих в пространстве Сп[0; си], вида о а п X п- матрица A(t, s) при каждом t Є [0;a;] суммируема по s на [0;CJ] и lim J \\A(t + h,s)- A(t, s)\\ds = 0 о при каждом t Є [0;иі\. Множество M является банаховой алгеброй относительно естественных операций сложения и умножения операторов и нормы A(t,s) = \ Aj(t)Bj(s), где п X п- матрицы Aj(t), Bj(s) непрерыв- ны на [0;ы], всюду плотно в Л4. Обратимость оператора сі + А как элемента алгебры Л4 совпадает с обратимостью его как элемента подалгебры алгебры всех операторов вида сі + В, где В - вполне непрерывный оператор, действующий в пространстве Сп [О; ш]. Через Л4 обозначим подалгебру без единицы алгебры М., состоящую из операторов вида (2.2): Определение. Последовательность {хт} Є ВСп(Ш;(рьа) называется локально сходящейся к функции х (хт- -х), если sup#m со и хт сходится к х равномерно на каждом компакте из Ж. Теорема 2.1.1. Пусть а Ъ и функция К() не имеет собственных чисел на окружностях = eacj, = еЬш. Тогда уравнение (2.1) при любой функции f Є ВСп(Ш ,(рьа) имеет решение х Є 1?Сп(Ж; а). При этом существуют такие си—периодические матрицы Rj(t,s),j = 1,2,3, что одно из решений уравнения имеет вид Доказательство. Пусть Лі,...,А/ - все собственные числа функции К(0 из кольца Sab- Тогда (/ — К())_1 = I + Q() + Р() в некотором кольце e w е +є , причем функции Q() и Р() имеют вид Пусть функция /(f) равна нулю вне промежутка [0; ксо] и непрерывна при всех t Є Ж, исключая, возможно, t = 0, где она имеет конечные односторонние пределы. Определим где /р = f(t + pu) Є Cn[0;w] и положим /?() = (I - 7))-1 ДО- Так как функция Р() не имеет полюсов в круге е(а+)ш, то Р() разлагается в указанном круге в ряд Р() = 2__.РСР, Ср Є JW, причем
Нетеровость неоднородного интегрального уравнения с периодическим ядром
В этом параграфе изучается нетеровость уравнения (2.1) при различных соотношениях между а и Ь. Рассмотрены случаи а b, а Ъ и а = 6. В случае c a b d из теорем 1.3.1 и 2.1.1 следует, что если if () не имеет собственных чисел на окружностях f = еаи, = еЬш, то уравнение (2.1) нетерово в ВСп(Ш;(рьа) и его индекс равен a = Yja(Aj), J =1 где Лі,...,Хі - множество собственных чисел функции К{) из кольца еаш - еЬи о;(д ) - размерность соответствующего пространства Е\г Следующая теорема показывает, что отсутствие собственных чисел на окружностях = eacj, = ebuj является также и необходимым условием нетеровости. Теорема 2.2.1. Пусть с а b d. Для того, чтобы уравнение (2.1) было нетерово в пространстве ВСп(К ,(рьа), необходимо и достаточно, чтобы функция К() не имела собственных чисел на окружностях = е"", f = еЧ Доказательство. Достаточность, как отмечено выше, следует из результатов теорем 1.3.1 и 2.1.1. Необходимость. Пусть уравнение (2.1) нетерово в пространстве ВСп(Ш.\ ръа)- Введем функции получим систему уравнении Обозначим через E\ пространство e atBCn(R+) непрерывных вектор-функций для которых Аналогично, через Е2 обозначим пространство еыВСп(Ш+) непрерывных вектор-функций с нормой Таким образом, уравнение (2.1) в пространстве ВСп(Ш] ръа) равносильно системе (2.13) в пространстве Ei х Е2, Определим операторы С учетом введенных обозначений, система (2.13) примет вид Оператор К\ переводит пространство Е\ в себя, оператор К% - пространство Еч в себя. Действительно, учитывая (1.5), получаем Операторы Gi являются вполне непрерывными. Покажем вполне непрерывность оператора G\. Пусть М С Еъ - ограниченное множество, x(t) Є М, \\Х\\Е2 С. Пусть t 6 [ки\ (к + 1)UJ) , к 0, положим і = т + &о;, г Є [0;о;), тогда с учетом замечания 1.1.1, получаем при h —У О равномерно на R+. Из выше сказанного следует относительная компактность множества G\(M) [21], [79] . Вполне непрерывность оператора G2 устанавливается аналогично. Так как вполне непрерывное возмущение, не изменяет индекса системы [45], то нетеровость системы (2.13) эквивалентна нетеровости следующей системы в пространстве ВСп(Ш+). Покажем, что если x\(t) Є Е\ - решение (2.16), то eaix\{f) Є ВСп(К+) будет решением (2.17), и, обратно, если y{t) Є ВСп(Ш+) есть решение (2.17), то e aty{t) Є Ei - решение (2.16).
Действительно, пусть xi(t) Є Е\ -решение (2.16), тогда справедливо равенство откуда следует, что у{i) = x\{t)eat есть решение уравнения (2.17). Соотношение y(t) = x\(t)eat устанавливает изоморфизм между пространствами решений уравнения (2.16) в пространстве Е\ и уравнения (2.17) в BCn(R+). По ядру Q(t,s) по формуле (1.7) определим операторнозначную (Qm%) ( ) = I Q{t,s - mu)x{s)ds, t Є [0; w]. о Пусть 0 - собственное значение функции Q() и zo(t) - собственная функция, соответствующая о- Из определения собственной функции следует равенство умножив обе части которого на e at, и положив z(t) = zo(t)e at, получаем Таким образом, z(i) является собственной функцией К(), соответствующей собственному значению = оеаи}. Следовательно, уравнение (2.16) будет нетеровым в Еі тогда и только тогда, когда уравнение (2.17) будет нетеровым в BCn(R+). Нетеровость (2.17) в ВСп(Ш+) равносильна отсутствию собственных чисел функции Q{) на единичной окружности S1 (см. [69]). Поэтому уравнение (2.16) будет нетеровым в Е\ тогда и только тогда, когда К{) не имеет собственных чисел на окружности = еоал Введем функцию P(t, s) = K(—t, —s) и рассмотрим уравнение в пространстве 2. Аналогичными рассуждениями устанавливается, что нетеровость этого уравнения эквивалентна отсутствию у функции Р(), построенной по ядру P(t, s) в соответствии с формулой (1.7), собственных значений на окружности = e buJ- Пусть z\(t) - собственная функция, соответствующая собственному значению i. Тогда Таким образом, Z\{UJ —t) является собственной функцией для К(), отвечающей собственному значению —. Следовательно, нетеровость уравнения в пространстве E2 равносильна отсутствию у функции К{) собственных значений на окружности = е . Из полученных результатов следует, что уравнение (2.1) нетерово в пространстве BCn(R; ръа) тогда и только тогда, когда К() не имеет собственных значений на окружностях = eacj, = еЬш. Теорема доказана. Те же условия являются необходимыми и достаточными и в случае а 6, однако установление их достаточности потребовало изучения взаимосвязи между исходным уравнением при а b и транспонированным к нему.
Линейное интегральное уравнение с периодическим ядром на полуоси
В первом параграфе строится алгебра интегральных операторов, действующих в пространстве ограниченных на оси функций, а также соответствующая ей алгебра операторнозначных функций. Во втором параграфе исследуется интегральное уравнение (3.1). Использование аппарата факторизации операторнозначных функций позволило установить условия конечномерности пространства решений однородного уравнения, соответствующего (3.1). При наличии факторизации указаны необходимые и достаточные условия однозначной всюду разрешимости уравнения (3.1) в пространстве ограниченных функций, получено интегральное представление решения. Также при определенных условиях получено интегральное представление решения уравнения и в случае, когда уравнение не является однозначно всюду разрешимым. В третьем параграфе описывается асимптотика при t -f -foo экспоненциально убывающих решений однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси. При исследовании этого вопроса существенным образом использовались результаты двух первых глав. Полученные здесь результаты имеют соответствующие аналоги в теории линейных интегральных уравнений с ядрами, зависящими от разности аргументов [20], [78]. 3.1 Алгебра линейных интегральных операторов, действующих в пространстве ограниченных функций Пусть определенная в Е2 комплекснозначная пхп - матрица K{t, s) удовлетворяет условиям: В\ : Существует такое со О, что K{t + со, s + со) = К(t, s) при всех t Є М\{ксо, к Є Щ и почти всех s Є Ж. Bi : При каждом t Є R\{&o;, к Є Ъ} матрица K{t, s) суммируема по 5 Є Ж. Из условий В\ — Вз следует, что рассматриваемая матрица if(, s) как функция аргумента из (ксо; (к -f- 1)о;) в L\xn(R) допускает продолжение по непрерывности в точки ксо, (к + 1)со. При выполнении условий В\-В$ интеграл / \\K(t, s)с?5 сходится равномерно по t Є [ксо\(к-\- 1)со] для любого & Є Z и Через ВС"(Ш) (ВС(Ш+)) обозначим банахово пространство ограниченных функций х : R - Сп, (ж : К+ —) С71), непрерывных всюду на R(R+), кроме, возможно, точек вида ксо, к Є Z (к Є Z+), имеющих в этих точках конечные односторонние пределы, с нормой Использование именно такого функционального пространства обусловлено тем, что при дискретизации уравнения (3.1) возникает пространство последовательностей функций, определенных на [0;со], и необходимо следить за согласованностью значений соседних членов в точках 0 и со в том случае, когда уравнение (3.1) рассматривается в пространстве непрерывных ограниченных функций. Следует отметить, что пространство непрерывных ограниченных функций вложено в ВС(Ж+), и если K(t, s) удовлетворяет условиям Ві—Вз при всех t Є R+, а / Є BCn(R+), то всякое решение уравнения (3.1), принадлежащее пространству ВС%(Ш+), будет непрерывным.
Введем подпространство С Ш(Ш+) пространства BC(R+): Каждой матрице if (, s), удовлетворяющей условиям В\ — ?з, сопоставим два оператора К и ІГ+, положив К+х= K(t,s)x(s)ds, t 0. о Также, как в параграфе 1.1, показывается, что оператор К переводит в себя пространство ВС(Ш), а оператор К+ - пространство ?C"(R+). В соответствующих пространствах линейные операторы К, К+ являются непрерывными, и для их норм справедливы неравенства Для любого р Є Z, как и в параграфе 1.1, определим вполне непрерывные операторы Кр : (в точках t = 0;ш функция (Kpx)(t) доопределяется по непрерывности) и введем операторнозначную функцию Лемма 3.1.1. Ряд, определяющий функцию К(), сходится равномерно на единичной окружности S1. Доказательство. Пусть = 1 Оценим норму оператора Гдг: Из равномерной на [0;ш] сходимости интеграла I \\K{t, s)\\ds следу- ет, что Гдг — О при N — со, поэтому ряд, определяющий if(), сходится равномерно на 51. Лемма доказана. Приведенный ниже пример показывает, что ряд (3.3), вообще говоря, не является абсолютно сходящимся. Пример. Определим на промежутке [0;о;) функции gp(t) (р 0) следующим образом Положим K(t,s) = gp(t) при t Є [0;u ) и s Є [—pu; (— p+ l)w). При Є [0; a;) , s ш будем считать K(t, s) = 0. Продолжим К(t, s) на всю плоскость Е2, используя условие периодичности. Так как при каждом t функция К(t, s) отлична от нуля только на конечном промежутке, то условие 1?2 выполнено. Функция K(t,s) непрерывна по t Є [0;ш] при каждом s. Заметим, что Яр = sup \gp(t)\ ds = при р 0, \\КР\\ = 0 при Рассуждениями, аналогичными проведенным в работе [69], может быть показано, что для того, чтобы уравнение (3.1) было нетерово в пространстве J3C"(R+), необходимо и достаточно, чтобы К{) не имела бы собственных чисел на окружности = 1.
Определим алгебру интегральных операторов с периодическими ядрами, действующих в пространстве ВС(Ш). Через М{и) обозначим множество операторов Р = cl + К, где К— интегральный оператор вида (3.2), ядро К(t, s) которого удовлетворяет условиям В\ - Вз, I - единичный оператор, действующий в пространстве БС2(К),сєС Лемма 3.1.2. Множество М(ш) является банаховой алгеброй относительно операций сложения и умножения операторов и нормы Доказательство. Пусть Р, Q Є М(и), Р = al -\- A, Q — Ы + В. Очевидно, что Р + Q Є M(LJ), аР 6 М(ш), а Є С. Покажем, что PQ Є М(ш). Для этого достаточно показать, что ядро оператора С = ЛВ удовлетворяет условиям В\-В$. Так как Замена порядка интегрирования здесь возможна в силу суммируемости функции A(t, т)В(т, s)x(s) по т и 5, абсолютной при каждом t R іеЖ\{кш,кеЩ J J Докажем полноту пространства M(u ). Пусть последовательность {Рт}, Рт = атІ + Ат Є М(и), т Є N фундаментальна, т. е. при m, I — со. При каждом фиксированном t Є Ш\{кш, к Є Z} последовательность матриц {Am(t, s)} фундаментальна в пространстве Ьіхп(Ш), поэтому найдется матрица A(t,s), при каждом t принадлежащая пространству LJxn(R), такая, что Покажем, что A(t, s) удовлетворяет условиям By-B$. Так как при каждом t Є Ш\{кш,к Є Z} последовательность Am(t,s) сходится к матрице A(t, s) в пространстве L"xn(M), то для любого є О найдется число iV такое, что для всех t Є R\{&u;, к Є Z} и всех т N справедливо откуда следует, что A(t + w, s + w) = A(i, s) при всех Є R\{fcu;, fcGZ}n почти всех st, Справедливость условия ./ следует из того, что A(t,s) Є L"xn(E) при всех t Є R\{&u;, fceZ}. Чтобы показать условие В$, заметим, что для любого є 0 найдется номер iVo, для которого при каждом t Є (0;a;) выполнено неравенство Кроме того, так как Aw0(t,s) удовлетворяет условию В$, то для є О найдется S 0 такое, что при всех h,\h\ 5 nt,t-\-h Є (0;о;) справедливо Так как последовательность ато фундаментальна, то она сходится к некоторому числу а, поэтому Рт -ї аі + А Є M{uS). Таким образом, М(ш) образует банахову алгебру. Лемма доказана. Через М(и) обозначим подалгебру без единицы алгебры М(ш), состоящую из интегральных операторов вида (3.2) (т.е. с = 0). В качестве нормы в алгебре М(ш) будем рассматривать норму, порожденную нормой алгебры М(ш), т.е., если К Є М(ш), то оо Через M+(u) обозначим подпространство М(ш), состоящее из операторов А+, где А+ - интегральный оператор с ядром A(t, s), удовлетворяющим условию: A(t,s) = 0 при t (0;o;),s ш. Аналогично, через М-(ш) обозначим подпространство М(ш), состоящее из операторов А_, где А- - интегральный оператор с ядром A(t, s), удовлетворяющим условию: A(t, s) = 0 при t Є (0; ш), s 0; через M(w) обозначим совокупность всех тех операторов из М_(о;), для которых A(t, s) = 0 при t Є (0;о;), s ш. Покажем, что если А+, В+ Є М+(ш), то А+В+ Є М+(си), т.е.
