Введение к работе
Актуальность темы. Изучение одномерных интегральных операторов с однородными степени (—1) ядрами, действующих в Lp-пространствах, было начато Г. Харди и Дж. Литтлвудом. Далее теория таких операторов получила развитие в работах Л.Г. Михайлова, Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко, Р.В. Дудучавы, Я.Б. Рутицкого и др. Существенным при исследовании одномерных операторов с однородными степени (—1) ядрами являлась редукция к одномерным операторам типа свертки с суммируемыми ядрами. Данная связь позволила использовать результаты, полученные для операторов типа свертки, в теории одномерных операторов с однородными ядрами.
Многомерная ситуация оказывается сложнее и нуждается в принципиально других подходах. Впервые многомерные интегральные операторы с однородными степени (—п) ядрами в пространстве Lp(IRn), где 1 < р < оо и п ^ 2, появились в работах Л.Г. Михайлова в конце 60-х годов. Достаточные условия ограниченности таких операторов, а при неотрицательности ядра являющиеся и необходимыми, были получены Н.К. Карапетянцем. Вопросам разрешимости многомерных интегральных операторов с однородными степени (—п) ядрами и переменными коэффициентами посвящены работы Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко, О.Г. Авсянкина и других авторов. При исследовании вопросов разрешимости многомерных интегральных операторов на ядра помимо однородности накладывалось дополнительное условие инвариантности относительно диагонального действия SO{n) — группы вращений пространства Жп. Это позволяло значительно облегчить задачу и в определенном смысле свести её к одномерному случаю. В.М. Деундяком рассмотрен новый широкий класс ядер компактного типа, включающий в себя SO{n)-инвариантные ядра. В доказательствах существенную роль играет пространственный изоморфизм подобия операторов с однородными ядрами компактного типа и операторов свертки с компактными коэффициентами. Отметим, что операторы с однородными ядрами в весовых пространствах практически не рассматривались. Исключение составляет лишь степенной вес. Однако, этот случай практически сразу сводится к безвесовому.
В представленной работе рассматривается обобщение класса однородных функций — новый класс функций, удовлетворяющих условию анизотропной однородности, и исследуется класс интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами как в безвесовых, так и в весовых Lp-пространствах. Интерес к таким операторам продиктован, в частности, их естественной связью с операторами многомерной мультипликативной свертки. Помимо этого аппарат теории многомерных интегральных операторов с однородными и
анизотропно однородными ядрами оказывается удобен при решении задач со сложными особенностями (B.C. Рабинович), находит приложения в механике (Р.В. Дудучава), в теории операторов, инвариантных относительно растяжений (И.Б. Симоненко).
Как уже упоминалось выше, в работе при исследовании разрешимости операторов с анизотропно однородными ядрами широко используются результаты из теории операторов свертки. Операторы свертки с момента их появления были и остаются актуальным предметом исследования. Это объясняется как внутренними потребностями различных областей математики, где они возникают (гармонический анализ, теория линейных операторов, теория вероятностей, дифференциальные и интегральные уравнения), так и прикладным значением. Изучение различных операторов свертки началось в работах У. Юнга, Д. Гильберта, А.Н. Колмогорова, Е. Титчмарша, М. Рисса, Г. Харди, Дж. Литтлвуда, С.Л. Соболева и других авторов. Различные методы и примеры операторов свертки, ограниченно действующих в Lp-пространствах, рассматривались в работах Ж. Марцинкевича, А. Кальдерона и А. Зигмунда, И. Хиршмана, С.Г. Михлина, Л. Хермандера, И. Стейна, Ч. Феффермана, С.Г. Самко, Н.К. Карапетянца, А.Н. Карапетянца, А.Г. Баскакова, В.Б. Коротко-ва и многих других. Значительный вклад в теорию операторов свертки был внесен И.Б. Симоненко. С помощью локального метода им полностью изучена разрешимость операторов из алгебр, порожденных свертками с вполне суммируемыми ядрами. Отметим, что локальным методом Б.Я. Штейнбер-гом исследована фредгольмовость сверток со слабо осциллирующими коэффициентами на локально компактных группах, а компактификация, впервые возникшая в теории индекса таких операторов (В.М. Деундяк, Б.Я. Штейн-берг), в более общем контексте использовалась в различных топологических задачах (Н. Хигсон, А.Н. Дранишников, С. Ферри и др.).
Исследование свойств операторов свертки, действующих в шкалах пространств, в частности, в шкале Соболева, нашло отражение в теории псевдодифференциальных операторов. Впервые они были введены в работах Дж.Дж. Кона, Л. Ниренберга и Л. Хермандера, далее их исследование продолжили такие ученые как Г.О. Кордесс, М.Е. Тейлор, Ф. Трев и многое другие. Псевдодифференциальные операторы на группе Ш+ с коэффициентами изучаются в работах Б.А. Пламеневского, применению техники предельных операторов в теории псевдодифференциальных операторов посвящены книги B.C. Рабиновича. В настоящей работе рассматривается вопрос об изучении свойств операторов с анизотропно однородными ядрами, действующих в шкалах пространств Соболевского типа.
Цель работы. Исследование разрешимости многомерных интегральных
операторов с анизотропно однородными ядрами в безвесовых пространствах суммируемых функций, а также в Lp-пространствах с полумультипликативными весами и в шкалах гильбертовых пространств. Задачи работы.
Получить условия ограниченности многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами в безвесовых пространствах Lp: в Lp-пространствах с полу мультипликативными весами, в шкалах пространств Соболевского типа.
Построить символическое исчисление для алгебр, порожденных такими операторами как в безвесовом, так и в весовом случае. В терминах символа сформулировать и доказать критерии обратимости для элементов данных алгебр.
Построить символическое исчисление для унитализированной алгебры 2П«.;р, порожденной операторами с анизотропно однородными ядрами и коэффициентами из нового класса f2ult мультипликативно слабо осциллирующих функций на М.п = М.Пі х ... х Ш.Пк, п = (щ, ...,71). В терминах символа получить критерий фредгольмовости элементов данной алгебры.
ПолуЧИТЬ ТОПОЛОГИЧеСКуЮ формулу Индекса ДЛЯ Операторов ИЗ 2ПП;р-
Построить аналоги операторов с анизотропно однородными ядрами, дей
ствующие в шкале пространств Соболевского типа. Построить для таких
операторов символическое исчисление и в терминах символа получить
критерий фредгольмовости.
Результаты, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие основные результаты:
-
Введен новый класс многомерных интегральных операторов с произвольными анизотропно однородными ядрами, расширяющий операторы с однородными ядрами. Для новых операторов получены достаточные условия ограниченности в безвесовых Lp-пространствах, в Lp-пространствах с полумультипликативными весами.
-
Для многомерных интегральных операторов рассмотрен новый класс анизотропно однородных ядер компактного типа. Установлен пространственный изоморфизм подобия между интегральными операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа и многомерными операторами свертки с компактными коэффициентами в безвесовых Lp-пространствах и в Lp-пространствах с полумультипликативными весами.
-
Для банаховых алгебр, порожденных операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа, как в весовом, так и в безвесовом случа-
ях, построено символическое исчисление. В терминах символа получен критерий обратимости для операторов из описанных выше алгебр.
-
Введена новая С*-алгебра f2ult многомерных мультипликативно слабо осциллирующих функций на М.П1 х ... х Ш.Пк, где п\ + ... + 7 = п. Исследовано пространство максимальных идеалов алгебры f2ult, изучены свойства короны соответствующей компактификации пространства Мп, построен изоморфизм этой алгебры на С*-алгебру слабо осциллирующих функций Q(MJ^ х Tn_i), где Tn_i = Sni-i х ... х Snk-i — произведение к сфер размерностей Пі, і = 1,..., к .
-
Для элементов банаховой алгебры, порожденной многомерными интегральными операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа и операторами умножения на функции из S7ult, построено символическое исчисление, в терминах символа сформулирован и доказан критерий фредгольмовости, получена топологическая формула индекса.
-
В рамках построения аналогов операторов с анизотропно однородными ядрами, действующих в шкалах, определены новые шкалы пространств Соболевского типа с мультипликативной структурой. В построенных шкалах введен новый класс псевдодифференциальных операторов, для которого построен символ и получен критерий фредгольмовости. Исследована банахова алгебра 93П;2, порожденная операторами нулевого порядка, установлена связь между операторами с анизотропно однородными ядрами и псевдодифференциальными операторами из 23П;2-
Научная новизна. Выносимые на защиту результаты являются новыми и получены автором самостоятельно.
Методологическая основа исследования. В представленной работе широко используются методы функционального анализа и теории операторов, в частности, локальный метод И.Б. Симоненко, методы исследования псевдодифференциальных операторов, развитые B.C. Рабиновичем, метод пространственного подобия, операторная if-теория, техника работы с банаховыми и С*-алгебрами, включающая в себя теорию топологических тензорных произведений функциональных пространств и операторных алгебр, действующих в пространствах суммируемых функций.
Апробация. Результаты диссертации были представлены на: Воронежской математической зимней школе С.Г. Крейна (Воронеж, 2012), международных научных конференциях «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» (Ростов-на-Дону, 2011, 2012, 2013), международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010, 2012), VI международной конференции и международном семинаре «Аналитические методы
анализа и дифференциальных уравнений» (Минск, 2011, 2012), на международной конференции молодых ученых по дифференциальным уравнениям и их приложениям, посвященной Я.Б. Лопатинскому (Донецк, 2012).
Работа частично поддержана Министерством образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них», и внутренним грантом Южного федерального университета Мм 13-16 «Дифференциальные и интегральные уравнения. Приложения к математической физике и финансовой математике» (2013).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1-15], из которых три ([1], [5], [10]) являются публикациями в журналах перечня ВАК РФ по кандидатским диссертациям, четыре ([2], [3], [6], [11]) — статьи в других сборниках научных трудов, восемь — тезисы докладов на международных научных конференциях и семинарах. Результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно. Из совместных работ автору принадлежат следующие результаты.
[1] — теорема об ограниченности интегрального оператора с однородным ядром, инвариантным относительно преобразований группы SO{n) вращений пространства Мп, конструкция символа для элементов из унитализированной алгебры, порожденной такими операторами, формулировка и доказательство критерия обратимости для элементов из данной алгебры.
[2] — символическое исчисление и доказательство критерия фредгольмовости для операторов из алгебры УУп;р, порожденной многомерными мультипликативными свертками с непрерывными компактными коэффициентами; конструкция пространственного изоморфизма подобия алгебры Wn;p на алгебру многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа и непрерывными коэффициентами.
[5] — достаточные условия ограниченности многомерных интегральных операторов с произвольными анизотропно однородными ядрами, определение новой алгебры f2ult функций на М.п = М.П1 х ... х М.Пк; конструкция изоморфизма С*-алгебры f2ult на алгебру Q(Rk х Tn_i) многомерных слабо осциллирующих на Шк функций с компактными коэффициентами; символическое исчисление и доказательство критерия фредгольмовости операторов из алгебры 2ПП;р, порожденной операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа и операторами умножения на функции из S7ult.
[3] — топологическая формула вычисления индекса фредгольмовых операторов из Wn;p.
[6] — доказательство теоремы об индексе фредгольмовых операторов из
В работах [4], [7], [8] соавтору научному руководителю В.М. Деундяку принадлежат постановка задач и обсуждение формулировок основных результатов.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 разделов, и библиографического списка, который содержит 68 наименований использованной литературы.
Похожие диссертации на Разрешимость многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа
