Введение к работе
Актуальность темы. Исследования диссертации относятся, с одной стороны, к вопросу об ограниченности из в операторов типа потенциала с ядрами и (или) символами, осциллирующими на бесконечности, а с другой - к задаче обращения и описания образов таких операторов в неэллиптическом случае.
В диссертации рассматриваются операторы типа потенциала
(1)
ядра которых имеют особенности в начале координат и на единичной сфере и осциллируют на бесконечности:
(при интеграл (1) понимается в смысле регуляризации). Характеристики и предполагаются достаточно гладкими, а ограничена и стабилизируется в нуле как гельдеровская функция.
Рассматриваемый класс операторов содержит в себе, в частности:
а) операторы Бохнера-Рисса комплексного порядка , ;
б) акустические потенциалы, реализующие отрицательные степени операторы Гельмгольца
в;
в) дробные потенциалы типа Стрихарца по с осциллирующими на бесконечности характеристиками.
В настоящее время имеется большое число исследований по операторам типа потенциала вида
(2)
с достаточно гладкими (не осциллирующими) характеристиками в эллиптическом случае (С.Г. Самко, В.А. Ногин и др.).
Потенциалы вида (2) с осциллирующими на бесконечности характеристиками исследовались мало. Ранее ––оценки для таких операторов были получены лишь в двух случаях «специфической» осцилляции, порождаемой функцией Бесселя (операторы Бохнера–Рисса (L. Brjeson, C. Sogge)) или функцией Ханкеля (акустические потенциалы, (В.А. Ногин, Б.С. Рубин)), а также модельный случай, когда в (2).
Кроме того, имеется большое число исследований по обращению операторов типа потенциала вида (2) с достаточно гладкими (не осциллирующими) характеристиками в эллиптическом случае. Отметим, что первые результаты в этом направлении принадлежат С. Г. Самко, построившему обращение риссовых потенциалов (т.е. потенциалов (2) с постоянной характеристикой ) и описавшему образ , а также более общие функциональные пространства , в терминах гиперсингулярных интегралов (ГСИ).
В начале 90-х, в работах В.А. Ногина и его учеников (М.М. Заволженский, Е.В. Сухинин, А.Н. Карапетянц, А.П. Чеголин и др.) был разработан новый метод обращения операторов типа потенциала - метод аппроксимативных обратных операторов (АОО). В рамках этого метода было построено обращение операторов вида (2) в неэллиптическом случае, когда их символы вырождаются на том или ином множестве в меры нуль.
Имеется также ряд работ по операторам типа потенциала с особенностями ядер на различных многообразиях в (В.А. Ногин, Е.В. Сухинин, А.Н. Карапетянц, А.П. Чеголин). Интерес к таким потенциалам вызван, прежде всего, их приложением в теории комплексных степеней классических операторов математической физики: волновых операторов, операторов Клейна-Гордона-Фока и Шрёдингера, телеграфного оператора и др.
Дробные потенциалы
введенные и исследованные Р. Стрихарцем, и их модификации (так называемые операторы типа Стрихарца–Пераля–Мияси) также играют важную роль в различных вопросах анализа и математической физики.
Цели работы:
1) получение ––оценок для оператора Бохнера-Рисса и акустического потенциала комплексного порядка, в частности, – решение некоторых открытых задач для этих операторов;
2) описание образа акустического потенциала и, то есть, описание естественной области определения комплексных степеней с положительными вещественными частями, оператора Гельмгольца в ;
3) исследование вопроса об ограниченности из в операторов вида (1), ядра и символы которых одновременно осциллируют на бесконечности;
4) описание образов этих операторов в неэллиптическом случае.
Методы исследования. В диссертационной работе используются методы современного вещественного анализа: интерполяция, осцилляторные интегралы, -мультипликаторы. Существенно используются специальные пространства основных и обобщенных функций.
Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер. Они могут найти и уже нашли применение, например, в задачах описания комплексных степеней неэллиптических дифференциальных операторов, а также при получении ––оценок для осцилляторных интегралов (операторов скрученной свертки).
Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на студенческих научных конференциях, проходивших на механико-математическом факультете Ростовского госуниверситета; докладывались на научном семинаре технического университета в г. Хемнице (Германия), проходящего под руководством профессоров А. Бётчера и Б. Зильбермана; неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Ростовского госуниверситета, на международном Российско-Казахском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, 2004).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-11]. Работы [1,3-6,8,9,11] выполнены вместе с научным руководителем В.А. Ногиным, а работа [10] совместно с В.А. Ногиным и А.Н. Карапетянцем. В работах [1,3-6,8,9,11] В.А. Ногину принадлежат постановка задач и основные идеи доказательств содержащихся там результатов, Д.Н. Карасеву принадлежат доказательства указанных результатов. В работе [10] В.А. Ногину принадлежит постановка задачи и основные идеи доказательств теорем 1-3. Д.Н. Карасеву принадлежат доказательства теорем 1 и 2.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 66 наименований. Объем диссертации - 107 страниц машинописного текста.
